ค่าสัมบูรณ์และจำนวนตรงข้าม

ในระบบจำนวนเต็ม (Integer System) เราสามารถใช้ เส้นจำนวน (Number Line) เป็นเครื่องมือในการอธิบายตำแหน่งและขนาดของตัวเลขต่างๆ เมื่อเราพิจารณาจุดที่อยู่ห่างจาก $0$ ไปทางซ้ายและทางขวา จะนำไปสู่แนวคิดสำคัญสองประการคือ ค่าสัมบูรณ์ (ระยะทาง) และ จำนวนตรงข้าม (ทิศทางที่ตรงกันข้าม)

In the Integer System, we use the Number Line to visualize the position and magnitude of numbers. Examining points to the left and right of $0$ leads us to two key concepts: Absolute Value (distance) and Opposite Numbers (opposite directions).

📏 ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value) 📏 Absolute Value

Distance from zero on the number line

นิยาม: ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มใดๆ คือ ระยะห่างระหว่างจำนวนนั้นกับ $0$ บนเส้นจำนวน เนื่องจากระยะทางไม่สามารถติดลบได้ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใดๆ จึงเป็น บวก หรือ ศูนย์ เสมอ

เราใช้สัญลักษณ์ $|a|$ แทนคำว่า "ค่าสัมบูรณ์ของ $a$"

$$ |-5| = 5 \quad \text{และ} \quad |5| = 5 $$

Definition: The absolute value of an integer is its distance from $0$ on the number line. Because distance cannot be negative, absolute value is always positive or zero.

We use the symbol $|a|$ to denote "the absolute value of $a$".

$$ |-5| = 5 \quad \text{and} \quad |5| = 5 $$

Example 1.1

$\text{จงหาค่าของ } |8|$

$$ \begin{aligned} |8| &= 8 \\ &\text{(เพราะ } 8 \text{ อยู่ห่างจาก } 0 \text{ เป็นระยะทาง } 8 \text{ หน่วย)} \end{aligned} $$

$\text{Evaluate } |8|$

$$ \begin{aligned} |8| &= 8 \\ &\text{(Because } 8 \text{ is } 8 \text{ units away from } 0\text{)} \end{aligned} $$

Example 1.2

$\text{จงหาค่าของ } |-12|$

$$ \begin{aligned} |-12| &= 12 \\ &\text{(เพราะ } -12 \text{ อยู่ห่างจาก } 0 \text{ เป็นระยะทาง } 12 \text{ หน่วยทางซ้าย)} \end{aligned} $$

$\text{Evaluate } |-12|$

$$ \begin{aligned} |-12| &= 12 \\ &\text{(Because } -12 \text{ is } 12 \text{ units away from } 0 \text{ to the left)} \end{aligned} $$

Example 1.3

$\text{จงหาค่าของ } |0|$

$$ \begin{aligned} |0| &= 0 \\ &\text{(ระยะห่างของ } 0 \text{ กับตัวมันเองคือ } 0 \text{ หน่วย)} \end{aligned} $$

$\text{Evaluate } |0|$

$$ \begin{aligned} |0| &= 0 \\ &\text{(The distance from } 0 \text{ to itself is } 0 \text{ units)} \end{aligned} $$

Example 1.4

$\text{จงหาค่าของ } |5 - 9|$

(ต้องคำนวณผลลัพธ์ในเครื่องหมาย $|...|$ ให้เสร็จก่อน)

$$ \begin{aligned} |5 - 9| &= |-4| \\ &= 4 \end{aligned} $$

$\text{Evaluate } |5 - 9|$

(Perform the operation inside the $|...|$ first)

$$ \begin{aligned} |5 - 9| &= |-4| \\ &= 4 \end{aligned} $$

Example 1.5

$\text{จงหาค่าของ } -|-7|$

(ระวัง! เครื่องหมายลบที่อยู่ข้างนอกจะถูกคงไว้)

$$ \begin{aligned} -|-7| &= -(7) \quad \text{(เพราะ } |-7| \text{ มีค่าเท่ากับ } 7\text{)} \\ &= -7 \end{aligned} $$

$\text{Evaluate } -|-7|$

(Caution! The negative sign outside remains)

$$ \begin{aligned} -|-7| &= -(7) \quad \text{(Because } |-7| \text{ evaluates to } 7\text{)} \\ &= -7 \end{aligned} $$

🔄 จำนวนตรงข้าม (Opposite Numbers) 🔄 Opposite Numbers

แนวคิด: จำนวนตรงข้ามคือ จำนวนที่มี ระยะห่างจาก $0$ เท่ากัน (ค่าสัมบูรณ์เท่ากัน) แต่อยู่คนละฝั่งของ $0$ บนเส้นจำนวน

จำนวนตรงข้ามของ $a$ เขียนแทนด้วย $-a$
เช่น จำนวนตรงข้ามของ $3$ คือ $-3$ และจำนวนตรงข้ามของ $-3$ คือ $3$

สมบัติที่สำคัญ: ผลรวมของจำนวนใดๆ กับจำนวนตรงข้ามของมัน จะมีค่าเท่ากับ $0$ เสมอ

$$ a + (-a) = 0 $$

Concept: Opposite numbers are numbers that are the same distance from $0$ (same absolute value) but on opposite sides of the number line.

The opposite of $a$ is denoted by $-a$.
For example, the opposite of $3$ is $-3$, and the opposite of $-3$ is $3$.

Key Property: The sum of any number and its opposite is always $0$.

$$ a + (-a) = 0 $$

Example 2.1

$\text{จงหาจำนวนตรงข้ามของ } 14$

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนตรงข้ามของ } 14 \text{ คือ } -14 \\ \text{ตรวจสอบ: } 14 + (-14) &= 0 \end{aligned} $$

$\text{Find the opposite of } 14$

$$ \begin{aligned} \text{The opposite of } 14 \text{ is } -14 \\ \text{Check: } 14 + (-14) &= 0 \end{aligned} $$

Example 2.2

$\text{จงหาจำนวนตรงข้ามของ } -25$

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนตรงข้ามของ } -25 \text{ คือ } 25 \\ \text{ตรวจสอบ: } (-25) + 25 &= 0 \end{aligned} $$

$\text{Find the opposite of } -25$

$$ \begin{aligned} \text{The opposite of } -25 \text{ is } 25 \\ \text{Check: } (-25) + 25 &= 0 \end{aligned} $$

Example 2.3

$\text{จงหาจำนวนตรงข้ามของ } 0$

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนตรงข้ามของ } 0 \text{ คือ } 0 \\ \text{ตรวจสอบ: } 0 + 0 &= 0 \end{aligned} $$

(ศูนย์เป็นจำนวนเดียวที่เป็นจำนวนตรงข้ามของตัวมันเอง)

$\text{Find the opposite of } 0$

$$ \begin{aligned} \text{The opposite of } 0 \text{ is } 0 \\ \text{Check: } 0 + 0 &= 0 \end{aligned} $$

(Zero is the only number that is its own opposite)

Example 2.4

$\text{จงหาค่าของ } -(-9)$

(ความหมายคือ "จำนวนตรงข้ามของ $-9$")

$$ \begin{aligned} -(-9) &= 9 \\ &\text{(ลบชนลบกลายเป็นบวก)} \end{aligned} $$

$\text{Evaluate } -(-9)$

(This means "the opposite of $-9$")

$$ \begin{aligned} -(-9) &= 9 \\ &\text{(Double negative becomes positive)} \end{aligned} $$

Example 2.5

$\text{จงหาจำนวนตรงข้ามของ } |-17|$

$$ \begin{aligned} \text{ขั้นที่ 1: หาค่าสัมบูรณ์ก่อน } |-17| &= 17 \\ \text{ขั้นที่ 2: หาจำนวนตรงข้ามของ } 17 &= -17 \end{aligned} $$

$\text{Find the opposite of } |-17|$

$$ \begin{aligned} \text{Step 1: Evaluate absolute value } |-17| &= 17 \\ \text{Step 2: Find the opposite of } 17 &= -17 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Absolute Value	absolutus (unrestricted, perfect)	ค่าสัมบูรณ์ · ระยะห่างของจำนวนใดๆ จากศูนย์บนเส้นจำนวน (เป็นบวกหรือศูนย์เสมอ)
Opposite Number	opponere (to set against)	จำนวนตรงข้าม · จำนวนที่มีระยะห่างจากศูนย์เท่ากันแต่อยู่คนละฝั่ง
Number Line	numerus (number) + linea (string/line)	เส้นจำนวน · เส้นตรงที่ใช้แสดงความสัมพันธ์และตำแหน่งของจำนวนจริงต่างๆ
Distance	distantia (standing apart)	ระยะห่าง / ระยะทาง · ขนาดของความห่างระหว่างจุดสองจุด
Integer	integer (whole, untouched)	จำนวนเต็ม · จำนวนที่สมบูรณ์ ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยม