ลำดับการดำเนินการ

ในการคำนวณโจทย์คณิตศาสตร์ที่มีหลายเครื่องหมายปะปนกัน (โจทย์ระคน) หากเราคำนวณจากซ้ายไปขวาโดยไม่สนกฎเกณฑ์ อาจทำให้ได้คำตอบที่ไม่ตรงกัน ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงตั้งข้อตกลงร่วมกันที่เรียกว่า "ลำดับการดำเนินการ" (Order of Operations) เพื่อให้ทุกคนคำนวณได้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ

When solving math problems with multiple operators, calculating strictly left-to-right without rules can lead to different answers. Mathematicians established the "Order of Operations" so that everyone arrives at the exact same correct result.

⚙️ ข้อตกลงในการคำนวณโจทย์ระคน (PEMDAS) ⚙️ Order of Operations (PEMDAS)

หากในโจทย์มีเครื่องหมายหลายชนิด ให้ยึดลำดับการคิดตามขั้นตอนนี้เสมอ:

P - Parentheses: คำนวณใน วงเล็บ ก่อนเสมอ (ทำจากวงเล็บในสุดออกไปข้างนอก)
E - Exponents: คำนวณ เลขยกกำลัง (และกรณฑ์ หรือราก ถ้ามี)
M/D - Multiplication & Division: คำนวณ การคูณและการหาร โดยทำจาก ซ้ายไปขวา (เครื่องหมายไหนมาก่อนทำก่อน)
A/S - Addition & Subtraction: คำนวณ การบวกและการลบ โดยทำจาก ซ้ายไปขวา เป็นลำดับสุดท้าย

If a problem contains multiple operations, always follow these ordered steps:

P - Parentheses: Calculate inside parentheses/brackets first (innermost to outermost).
E - Exponents: Calculate exponents (and roots, if any).
M/D - Multiplication & Division: Perform multiplication and division from left to right.
A/S - Addition & Subtraction: Perform addition and subtraction from left to right last.

Example 1.1

จงหาผลลัพธ์ของ $5 + 3 \times 2$

$$ \begin{aligned} 5 + 3 \times 2 &= 5 + 6 \quad \text{(ทำคูณก่อนบวก)} \\ &= 11 \end{aligned} $$

Evaluate $5 + 3 \times 2$

$$ \begin{aligned} 5 + 3 \times 2 &= 5 + 6 \quad \text{(Multiply before adding)} \\ &= 11 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาผลลัพธ์ของ $(5 + 3) \times 2$

$$ \begin{aligned} (5 + 3) \times 2 &= 8 \times 2 \quad \text{(ทำในวงเล็บก่อน)} \\ &= 16 \end{aligned} $$

Evaluate $(5 + 3) \times 2$

$$ \begin{aligned} (5 + 3) \times 2 &= 8 \times 2 \quad \text{(Calculate inside parentheses first)} \\ &= 16 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาผลลัพธ์ของ $24 \div 4 \times 2$
(ข้อนี้ระวังผิดบ่อย ต้องทำจากซ้ายไปขวา)

$$ \begin{aligned} 24 \div 4 \times 2 &= 6 \times 2 \quad \text{(เจอหารก่อน ให้ทำหารก่อน)} \\ &= 12 \end{aligned} $$

Evaluate $24 \div 4 \times 2$
(Common pitfall: Must go Left to Right)

$$ \begin{aligned} 24 \div 4 \times 2 &= 6 \times 2 \quad \text{(Division comes first, left to right)} \\ &= 12 \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหาผลลัพธ์ของ $4^2 \div 2 + 3$

$$ \begin{aligned} 4^2 \div 2 + 3 &= 16 \div 2 + 3 \quad \text{(ทำเลขยกกำลังก่อน)} \\ &= 8 + 3 \quad \text{(ทำหารก่อนบวก)} \\ &= 11 \end{aligned} $$

Evaluate $4^2 \div 2 + 3$

$$ \begin{aligned} 4^2 \div 2 + 3 &= 16 \div 2 + 3 \quad \text{(Exponents first)} \\ &= 8 + 3 \quad \text{(Divide before adding)} \\ &= 11 \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหาผลลัพธ์ของ $-5 + (-3) \times (-2) - (-4)^2$

$$ \begin{aligned} -5 + (-3) \times (-2) - (-4)^2 &= -5 + (-3) \times (-2) - 16 \quad \text{(เลขยกกำลัง)} \\ &= -5 + 6 - 16 \quad \text{(การคูณ)} \\ &= 1 - 16 \quad \text{(บวกลบ ซ้ายไปขวา)} \\ &= -15 \end{aligned} $$

Evaluate $-5 + (-3) \times (-2) - (-4)^2$

$$ \begin{aligned} -5 + (-3) \times (-2) - (-4)^2 &= -5 + (-3) \times (-2) - 16 \quad \text{(Exponents)} \\ &= -5 + 6 - 16 \quad \text{(Multiplication)} \\ &= 1 - 16 \quad \text{(Add/Sub from left to right)} \\ &= -15 \end{aligned} $$

Example 1.6

จงหาผลลัพธ์ของ $10 - [ 3 + (2 \times 4) ]$

$$ \begin{aligned} 10 - [ 3 + (2 \times 4) ] &= 10 - [ 3 + 8 ] \quad \text{(ทำวงเล็บในสุดก่อน)} \\ &= 10 - 11 \quad \text{(ทำวงเล็บก้ามปู)} \\ &= -1 \end{aligned} $$

Evaluate $10 - [ 3 + (2 \times 4) ]$

$$ \begin{aligned} 10 - [ 3 + (2 \times 4) ] &= 10 - [ 3 + 8 ] \quad \text{(Innermost parentheses first)} \\ &= 10 - 11 \quad \text{(Brackets next)} \\ &= -1 \end{aligned} $$

Example 1.7

จงหาผลลัพธ์ของ $(-15) + 3 \times (-4)$

$$ \begin{aligned} (-15) + 3 \times (-4) &= -15 + (-12) \quad \text{(ทำคูณก่อนบวก)} \\ &= -27 \end{aligned} $$

Evaluate $(-15) + 3 \times (-4)$

$$ \begin{aligned} (-15) + 3 \times (-4) &= -15 + (-12) \quad \text{(Multiply before adding)} \\ &= -27 \end{aligned} $$

Example 1.8

จงหาผลลัพธ์ของ $24 \div (-3) - 2 \times (-5)$

$$ \begin{aligned} 24 \div (-3) - 2 \times (-5) &= -8 - 2 \times (-5) \quad \text{(ทำหารจากซ้ายไปขวา)} \\ &= -8 - (-10) \quad \text{(ทำคูณก่อนลบ)} \\ &= -8 + 10 \\ &= 2 \end{aligned} $$

Evaluate $24 \div (-3) - 2 \times (-5)$

$$ \begin{aligned} 24 \div (-3) - 2 \times (-5) &= -8 - 2 \times (-5) \quad \text{(Divide from left to right)} \\ &= -8 - (-10) \quad \text{(Multiply before subtracting)} \\ &= -8 + 10 \\ &= 2 \end{aligned} $$

Example 1.9

จงหาผลลัพธ์ของ $(-5)^2 - (-18) \div 3 + 2$

$$ \begin{aligned} (-5)^2 - (-18) \div 3 + 2 &= 25 - (-18) \div 3 + 2 \quad \text{(ทำเลขยกกำลังก่อน)} \\ &= 25 - (-6) + 2 \quad \text{(ทำหารก่อนบวกและลบ)} \\ &= 25 + 6 + 2 \quad \text{(บวกลบ ซ้ายไปขวา)} \\ &= 33 \end{aligned} $$

Evaluate $(-5)^2 - (-18) \div 3 + 2$

$$ \begin{aligned} (-5)^2 - (-18) \div 3 + 2 &= 25 - (-18) \div 3 + 2 \quad \text{(Exponents first)} \\ &= 25 - (-6) + 2 \quad \text{(Divide before adding/subtracting)} \\ &= 25 + 6 + 2 \quad \text{(Add/Sub from left to right)} \\ &= 33 \end{aligned} $$

Example 1.10

จงหาผลลัพธ์ของ $12 - [ 5 \times (-2) + (-8) \div 4 ]$

$$ \begin{aligned} 12 - [ 5 \times (-2) + (-8) \div 4 ] &= 12 - [ -10 + (-8) \div 4 ] \quad \text{(ทำคูณในวงเล็บก้ามปูก่อน)} \\ &= 12 - [ -10 + (-2) ] \quad \text{(ทำหารในวงเล็บก้ามปู)} \\ &= 12 - [ -12 ] \quad \text{(บวกในวงเล็บก้ามปู)} \\ &= 12 + 12 \\ &= 24 \end{aligned} $$

Evaluate $12 - [ 5 \times (-2) + (-8) \div 4 ]$

$$ \begin{aligned} 12 - [ 5 \times (-2) + (-8) \div 4 ] &= 12 - [ -10 + (-8) \div 4 ] \quad \text{(Multiply inside brackets first)} \\ &= 12 - [ -10 + (-2) ] \quad \text{(Divide inside brackets)} \\ &= 12 - [ -12 ] \quad \text{(Add inside brackets)} \\ &= 12 + 12 \\ &= 24 \end{aligned} $$

Example 1.11

จงหาผลลัพธ์ของ $(-36) \div 9 \times 2 - (-5 + 1)$

$$ \begin{aligned} (-36) \div 9 \times 2 - (-5 + 1) &= (-36) \div 9 \times 2 - (-4) \quad \text{(ทำในวงเล็บก่อน)} \\ &= -4 \times 2 - (-4) \quad \text{(ทำหารจากซ้ายไปขวา)} \\ &= -8 - (-4) \quad \text{(ทำคูณก่อนลบ)} \\ &= -8 + 4 \\ &= -4 \end{aligned} $$

Evaluate $(-36) \div 9 \times 2 - (-5 + 1)$

$$ \begin{aligned} (-36) \div 9 \times 2 - (-5 + 1) &= (-36) \div 9 \times 2 - (-4) \quad \text{(Calculate inside parentheses first)} \\ &= -4 \times 2 - (-4) \quad \text{(Divide from left to right)} \\ &= -8 - (-4) \quad \text{(Multiply before subtracting)} \\ &= -8 + 4 \\ &= -4 \end{aligned} $$

🌍 การแก้โจทย์ปัญหาจำนวนเต็มในชีวิตประจำวัน 🌍 Real-life Integer Word Problems

ในชีวิตประจำวัน เรามักพบจำนวนเต็มทั้งบวกและลบซ่อนอยู่ในหลายสถานการณ์ เช่น:

อุณหภูมิ: สูงขึ้น (บวก), ลดลง (ลบ)
ระดับน้ำทะเล: เหนือระดับน้ำทะเล (บวก), ต่ำกว่าระดับน้ำทะเล (ลบ)
การเงิน: กำไร/ฝากเงิน (บวก), ขาดทุน/ถอนเงิน (ลบ)

การนำสถานการณ์เหล่านี้มาเขียนประโยคสัญลักษณ์และคำนวณตามกฎ PEMDAS คือหัวใจสำคัญ

In daily life, positive and negative integers appear in various situations:

Temperature: Rising (Positive), Dropping (Negative)
Sea Level: Above sea level (Positive), Below sea level (Negative)
Finance: Profit/Deposit (Positive), Loss/Withdrawal (Negative)

Translating these into mathematical expressions and applying PEMDAS is key.

Example 2.1

เช้าวันหนึ่งอุณหภูมิอยู่ที่ $-5^\circ\text{C}$ ในตอนบ่ายอุณหภูมิเพิ่มขึ้น $8^\circ\text{C}$ และพอตกกลางคืนอุณหภูมิลดลงอีก $6^\circ\text{C}$ อุณหภูมิในตอนกลางคืนคือเท่าใด?

$$ \begin{aligned} \text{อุณหภูมิสุทธิ} &= -5 + 8 - 6 \\ &= 3 - 6 \quad \text{(บวกลบจากซ้ายไปขวา)} \\ &= -3 \text{ }^\circ\text{C} \end{aligned} $$

One morning, the temperature was $-5^\circ\text{C}$. In the afternoon, it rose by $8^\circ\text{C}$. By nightfall, it dropped by $6^\circ\text{C}$. What was the temperature at night?

$$ \begin{aligned} \text{Net temperature} &= -5 + 8 - 6 \\ &= 3 - 6 \quad \text{(Add/Sub left to right)} \\ &= -3 \text{ }^\circ\text{C} \end{aligned} $$

Example 2.2

นกนางนวลบินอยู่เหนือระดับน้ำทะเล $15$ เมตร มองเห็นปลาว่ายน้ำอยู่ที่ระดับความลึก $-10$ เมตร (ต่ำกว่าระดับน้ำทะเล $10$ เมตร) นกนางนวลอยู่ห่างจากปลาเป็นระยะทางเท่าใด?

$$ \begin{aligned} \text{ระยะห่าง} &= \text{ตำแหน่งบนสุด} - \text{ตำแหน่งต่ำสุด} \\ &= 15 - (-10) \\ &= 15 + 10 \\ &= 25 \text{ เมตร} \end{aligned} $$

A seagull is flying $15$ meters above sea level. It spots a fish at a depth of $-10$ meters (below sea level). What is the total vertical distance between them?

$$ \begin{aligned} \text{Distance} &= \text{Highest position} - \text{Lowest position} \\ &= 15 - (-10) \\ &= 15 + 10 \\ &= 25 \text{ meters} \end{aligned} $$

Example 2.3

พ่อค้าขายของ 3 วัน วันแรกได้กำไร $500$ บาท วันที่สองขาดทุน $800$ บาท วันที่สามได้กำไร $200$ บาท สรุปแล้ว 3 วันนี้พ่อค้าได้กำไรหรือขาดทุนกี่บาท?

$$ \begin{aligned} \text{ยอดสุทธิ} &= 500 + (-800) + 200 \\ &= -300 + 200 \\ &= -100 \text{ บาท (หมายถึง ขาดทุน } 100 \text{ บาท)} \end{aligned} $$

A merchant sold goods for 3 days. Day 1: Profit of $500$ THB. Day 2: Loss of $800$ THB. Day 3: Profit of $200$ THB. Did he make a profit or a loss overall, and by how much?

$$ \begin{aligned} \text{Net amount} &= 500 + (-800) + 200 \\ &= -300 + 200 \\ &= -100 \text{ THB (meaning a loss of } 100 \text{ THB)} \end{aligned} $$

Example 2.4

เรือดำน้ำลำหนึ่งจอดอยู่ที่ระดับ $-120$ เมตร (ใต้ทะเล) จากนั้นดำดิ่งลงไปอีกด้วยความเร็ว $30$ เมตรต่อนาที เป็นเวลา $4$ นาที ตำแหน่งปัจจุบันของเรือดำน้ำคือที่ใด?

$$ \begin{aligned} \text{ตำแหน่งปัจจุบัน} &= -120 - (30 \times 4) \quad \text{(ทำในวงเล็บหรือการคูณก่อน)} \\ &= -120 - 120 \\ &= -240 \text{ เมตร} \end{aligned} $$

A submarine is at $-120$ meters (underwater). It then dives deeper at a rate of $30$ meters per minute for $4$ minutes. What is its current position?

$$ \begin{aligned} \text{Current position} &= -120 - (30 \times 4) \quad \text{(Parentheses or multiplication first)} \\ &= -120 - 120 \\ &= -240 \text{ meters} \end{aligned} $$

Example 2.5

ในการทำแบบทดสอบ 20 ข้อ มีเกณฑ์คือ: ตอบถูกได้ $+5$ คะแนน, ตอบผิดได้ $-2$ คะแนน, ไม่ตอบได้ $0$ คะแนน ถ้านักเรียนตอบถูก 12 ข้อ, ผิด 5 ข้อ, และไม่ตอบ 3 ข้อ เขาจะได้คะแนนรวมเท่าใด?

$$ \begin{aligned} \text{คะแนนรวม} &= (12 \times 5) + (5 \times -2) + (3 \times 0) \quad \text{(ทำคูณก่อนบวก)} \\ &= 60 + (-10) + 0 \\ &= 50 \text{ คะแนน} \end{aligned} $$

In a 20-question test: Correct = $+5$ pts, Incorrect = $-2$ pts, Blank = $0$ pts. If a student gets 12 correct, 5 incorrect, and leaves 3 blank, what is the total score?

$$ \begin{aligned} \text{Total score} &= (12 \times 5) + (5 \times -2) + (3 \times 0) \quad \text{(Multiply before adding)} \\ &= 60 + (-10) + 0 \\ &= 50 \text{ points} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมความหมาย

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Order of Operations	ordo (arrangement) + operari (to work)	ลำดับการดำเนินการ · กฎที่ระบุว่าต้องคำนวณส่วนใดของสมการก่อน-หลัง
Parentheses	para- (beside) + en- (in) + thesis (place)	วงเล็บ ( ) · สิ่งแรกที่ต้องคำนวณตามกฎ PEMDAS
Evaluate	ex- (out) + valere (be worth)	ประเมินค่า / หาผลลัพธ์ · การคำนวณเพื่อหาค่าสุดท้ายของนิพจน์คณิตศาสตร์
Integer	in- (not) + tangere (to touch)	จำนวนเต็ม · ตัวเลขที่ไม่มีเศษส่วนประกอบ ทั้งบวก ลบ และศูนย์
Equation	aequare (make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ (=)