นิพจน์พีชคณิต

ก่อนที่เราจะเริ่มแก้ "สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว" เราจำเป็นต้องเข้าใจสัญลักษณ์และภาษาทางคณิตศาสตร์เสียก่อน หัวข้อนี้เปรียบเสมือนการเรียนรู้คำศัพท์เพื่อนำไปแต่งประโยคคณิตศาสตร์ โดยองค์ประกอบที่สำคัญที่สุดประกอบด้วย ตัวแปร (Variable), ค่าคงตัว (Constant), และ นิพจน์พีชคณิต (Algebraic Expression)

Before solving "Linear Equations with One Variable", we must first understand mathematical symbols and language. This topic is like learning vocabulary to compose mathematical sentences. The most essential components are Variables, Constants, and Algebraic Expressions.

🔠 ตัวแปร 🔠 Variable

ตัวแปร (Variable) คือ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนปริมาณหรือสิ่งที่เรา ยังไม่ทราบค่า (Unknown) หรือสามารถเปลี่ยนแปลงค่าได้ นิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษพิมพ์เล็กในการเขียนแทน

$$\text{เช่น } x, y, z, a, b, c$$

A Variable is a symbol used to represent a quantity that is unknown or can change. We typically use lowercase English letters to denote them.

$$\text{e.g., } x, y, z, a, b, c$$

🔢 ค่าคงตัว 🔢 Constant

ค่าคงตัว (Constant) คือ ตัวเลขที่มี ค่าแน่นอนตายตัว ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ทศนิยม หรือเศษส่วน

$$\text{เช่น } 5, \quad -12, \quad 0, \quad 3.14, \quad \frac{1}{2}$$

A Constant is a number that has a fixed, definite value that cannot change. It can be a positive integer, negative integer, decimal, or fraction.

$$\text{e.g., } 5, \quad -12, \quad 0, \quad 3.14, \quad \frac{1}{2}$$

🧩 นิพจน์พีชคณิต 🧩 Algebraic Expression

นิพจน์พีชคณิต (Algebraic Expression) คือ การนำค่าคงตัวและตัวแปรมาเขียนรวมกันให้อยู่ในรูปของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ การบวก (+) การลบ (-) การคูณ (×) หรือ การหาร (÷)

*หมายเหตุ: ในทางพีชคณิต เรามักละเครื่องหมายคูณระหว่างตัวเลขกับตัวแปร เช่น $2 \times x$ จะเขียนติดกันเป็น $2x$

An Algebraic Expression is formed by combining constants and variables using mathematical operations: addition (+), subtraction (-), multiplication (×), or division (÷).

*Note: In algebra, we often omit the multiplication sign. For example, $2 \times x$ is simply written as $2x$.

ส่วนประกอบของนิพจน์ / Parts of an Expression

$$\displaystyle \underbrace{2x}_{\text{พจน์ที่ 1}} + \underbrace{5}_{\text{พจน์ที่ 2}}$$

พจน์ (Term): ส่วนที่บวกหรือลบกันอยู่ (เช่น $2x$ และ $5$)
สัมประสิทธิ์ (Coefficient): ตัวเลขที่คูณอยู่หน้าตัวแปร (เช่น เลข $2$ หน้า $x$)

$$\displaystyle \underbrace{2x}_{\text{Term 1}} + \underbrace{5}_{\text{Term 2}}$$

Term: The parts separated by + or - signs (e.g., $2x$ and $5$).
Coefficient: The number multiplied by the variable (e.g., $2$ in front of $x$).

$$\text{ตัวอย่างนิพจน์อื่นๆ: } \quad 3a - 7, \quad \frac{y}{4} + 1, \quad 5(x - 2)$$

$$\text{Other examples: } \quad 3a - 7, \quad \frac{y}{4} + 1, \quad 5(x - 2)$$

✍️ การเขียนนิพจน์พีชคณิตจากข้อความ ✍️ Translating Words

หัวใจสำคัญของการเรียนเรื่องนี้คือการ "แปลภาษาพูดให้เป็นภาษาคณิตศาสตร์" เราจะกำหนดตัวแปร (เช่น ให้ $x$ แทนจำนวนที่เราไม่ทราบค่า) แล้วพิจารณาข้อความที่โจทย์ให้มาทีละส่วน

The core of this topic is "translating spoken language into mathematical language". We define a variable (e.g., let $x$ be the unknown number) and break down the given phrase piece by piece.

Example 4.1

ข้อความ: "สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งบวกด้วยห้า"

วิธีคิด:
ให้ $x$ แทน จำนวนจำนวนหนึ่ง
"สองเท่าของ $x$" คือ $2x$
"บวกด้วย 5" คือ $+ 5$

$$\text{นิพจน์ที่ได้: } \quad 2x + 5$$

Phrase: "Two times a number plus five"

Reasoning:
Let $x$ be the number.
"Two times $x$" is $2x$
"Plus 5" is $+ 5$

$$\text{Expression: } \quad 2x + 5$$

Example 4.2

ข้อความ: "ครึ่งหนึ่งของผลต่างของจำนวนจำนวนหนึ่งกับเจ็ด"

วิธีคิด:
คำว่า "ผลต่าง" แปลว่าต้องเอามาลบกันก่อน จึงต้องใส่วงเล็บ
"ผลต่างของ $x$ กับ 7" คือ $(x - 7)$
"ครึ่งหนึ่ง" คือ คูณด้วย $\frac{1}{2}$ หรือ หารด้วย $2$

$$\text{นิพจน์ที่ได้: } \quad \frac{1}{2}(x - 7) \quad \text{หรือ} \quad \frac{x - 7}{2}$$

Phrase: "Half of the difference between a number and seven"

Reasoning:
"Difference" means subtraction must happen first, so we use parentheses.
"Difference between $x$ and 7" is $(x - 7)$
"Half of" means multiplying by $\frac{1}{2}$ or dividing by $2$.

$$\text{Expression: } \quad \frac{1}{2}(x - 7) \quad \text{or} \quad \frac{x - 7}{2}$$

Example 4.3

ข้อความ: "แปดน้อยกว่าสามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง"

วิธีคิด:
ระวัง! คำว่า "...น้อยกว่า..." ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าคำนี้ จะต้องเป็นตัวลบ (อยู่ข้างหลัง)
"สามเท่าของ $x$" คือ $3x$
นำ $3x$ เป็นตัวตั้ง แล้วลบออกด้วย $8$

$$\text{นิพจน์ที่ได้: } \quad 3x - 8 \quad \text{ (ผิดถ้าเขียน } 8 - 3x \text{)}$$

Phrase: "Eight less than three times a number"

Reasoning:
Watch out! The phrase "less than" means the first number is subtracted from the second.
"Three times $x$" is $3x$
Take $3x$ as the base, and subtract $8$ from it.

$$\text{Expression: } \quad 3x - 8 \quad \text{ (Incorrect if written as } 8 - 3x \text{)}$$

Example 4.4

ข้อความ: "สามในสี่ของผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับสิบ"

วิธีคิด:
ต้องหาผลบวกก่อน จึงใส่วงเล็บ $(x + 10)$
แล้วค่อยคูณด้วยเศษส่วน "สามในสี่" คือ $\frac{3}{4}$

$$\text{นิพจน์ที่ได้: } \quad \frac{3}{4}(x + 10)$$

Phrase: "Three-fourths of the sum of a number and ten"

Reasoning:
Find the sum first, so use parentheses $(x + 10)$
Then multiply by the fraction "three-fourths" which is $\frac{3}{4}$.

$$\text{Expression: } \quad \frac{3}{4}(x + 10)$$

Example 4.5

ข้อความ: "จำนวนซึ่งมากกว่า $y$ อยู่ 15"

วิธีคิด:
จำนวนตั้งต้นคือ $y$
ต้องการจำนวนที่มากกว่านี้ไปอีก 15 แปลว่าต้องนำไป "บวกเพิ่ม"

$$\text{นิพจน์ที่ได้: } \quad y + 15$$

Phrase: "A number greater than $y$ by 15"

Reasoning:
The starting number is $y$
We want a number larger by 15, which implies "addition".

$$\text{Expression: } \quad y + 15$$

Example 4.6

ข้อความ: "ผลบวกของจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงติดกัน"

วิธีคิด:
จำนวนเต็มเรียงติดกัน จะเพิ่มขึ้นทีละ $1$ (เช่น 4, 5, 6)
ให้จำนวนแรกคือ $x$
จำนวนที่สองคือ $x + 1$
จำนวนที่สามคือ $x + 2$
นำทั้งสามตัวมาบวกกัน

$$\text{นิพจน์ที่ได้: } \quad x + (x + 1) + (x + 2)$$

Phrase: "The sum of three consecutive integers"

Reasoning:
Consecutive integers increase by $1$ each time (e.g., 4, 5, 6).
Let the first integer be $x$.
The second is $x + 1$.
The third is $x + 2$.
Add them all together.

$$\text{Expression: } \quad x + (x + 1) + (x + 2)$$

Example 4.7

ข้อความ: "มีเงินอยู่จำนวนหนึ่ง ซื้อขนมไป 20 บาท แล้วนำเงินที่เหลือมาแบ่งครึ่งให้พี่น้อง 2 คน จะได้คนละเท่าไหร่?"

วิธีคิด:
ให้เงินที่มีตอนแรกคือ $x$ บาท
ซื้อขนมไป 20 บาท แปลว่าเงินลดลง เหลือ $(x - 20)$ บาท
แบ่งครึ่งให้ 2 คน แปลว่าต้องนำไปหารด้วย $2$

$$\text{นิพจน์ที่ได้: } \quad \frac{x - 20}{2}$$

Phrase: "Having an amount of money, spending 20 baht on snacks, and dividing the remaining money equally between 2 siblings. How much does each get?"

Reasoning:
Let the initial amount be $x$ baht.
Spending 20 baht means the money decreases, leaving $(x - 20)$ baht.
Dividing equally by 2 means dividing the remainder by $2$.

$$\text{Expression: } \quad \frac{x - 20}{2}$$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Variable	variare (to change)	ตัวแปร · สัญลักษณ์แทนจำนวนที่ยังไม่ทราบค่า หรือสามารถเปลี่ยนแปลงค่าได้
Constant	con- (together) + stare (to stand)	ค่าคงตัว · จำนวนที่มีค่าแน่นอน ตายตัว ไม่เปลี่ยนแปลง เช่น 5, -3
Expression	ex- (out) + premere (to press)	นิพจน์ · กลุ่มของตัวเลข ตัวแปร ที่เชื่อมกันด้วยเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์
Term	terminus (end, limit)	พจน์ · ส่วนประกอบของนิพจน์แต่ละส่วนที่ถูกคั่นด้วยเครื่องหมายบวกหรือลบ
Coefficient	co- (together) + efficere (to accomplish)	สัมประสิทธิ์ · ตัวเลขที่คูณอยู่ด้านหน้าตัวแปรในแต่ละพจน์
Equation	aequare (to make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่มีเครื่องหมาย "เท่ากับ (=)"