สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

หัวใจสำคัญของการเรียนพีชคณิต คือการเข้าใจความสัมพันธ์ของปริมาณต่างๆ โดยใช้ ตัวแปร (Variables) และ สมการ (Equations) เปรียบเสมือนตาชั่งที่ต้องรักษาสมดุลทั้งสองฝั่ง ในบทนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพื้นฐานที่สำคัญที่สุดนั่นคือ "สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว"

The core of algebra is understanding the relationship between quantities using Variables and Equations. An equation is like a scale that must maintain balance on both sides. In this chapter, we will learn the most fundamental concept: the "Linear Equation with One Variable".

⚖️ ความหมายของสมการ ⚖️ Meaning of Equation

สมการ (Equation) คือประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่มี เครื่องหมายเท่ากับ ($=$) เพื่อแสดงว่าปริมาณหรือนิพจน์ทางด้านซ้ายและด้านขวามีค่า "เท่ากัน" หากไม่มีเครื่องหมาย $=$ เราจะไม่เรียกสิ่งนั้นว่าสมการ

An Equation is a mathematical sentence containing an equal sign ($=$) to show that the quantities or expressions on the left and right sides are "equal". Without an $=$ sign, it is not an equation.

Example 1.1

ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเพียงตัวเลขและเครื่องหมาย $=$ ถือว่าเป็นสมการ

A mathematical sentence with only numbers and an $=$ sign is an equation.

$$ 5 + 4 = 9 $$

Example 1.2

สมการมักจะมี ตัวแปร (เช่น $x, y, a$) ปะปนอยู่ด้วย เพื่อแทนค่าที่ยังไม่ทราบ

Equations often contain variables (like $x, y, a$) to represent unknown values.

$$ x + 2 = 7 $$

Example 1.3

ถ้าไม่มีเครื่องหมาย $=$ เราจะเรียกว่า "นิพจน์ (Expression)"

$$ 3x + 5 \quad (\text{ไม่มีเครื่องหมาย } =) $$

If there is no $=$ sign, it is called an "Expression".

$$ 3x + 5 \quad (\text{no } = \text{ sign}) $$

Example 1.4

ถ้าใช้เครื่องหมาย $<,>, \leq, \geq, \neq$ แทน ถือเป็น "อสมการ (Inequality)"

If signs like $<,>, \leq, \geq, \neq$ are used, it is an "Inequality".

$$ y - 1 > 4 $$

Example 1.5

"สองเท่าของจำนวนหนึ่งมีค่าเท่ากับสิบ" สามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้

"Twice a number is equal to ten" can be written as an equation:

$$ 2a = 10 $$

Example 1.6

สมการสามารถมีตัวแปรปรากฏอยู่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของเครื่องหมาย $=$ ได้

An equation can have variables appearing on both the left and right sides of the $=$ sign.

$$ 2m + 1 = m - 3 $$

Example 1.7

ส่วนประกอบของสมการสามารถอยู่ในรูปของเศษส่วนหรือทศนิยมได้

Components of an equation can be in the form of fractions or decimals.

$$ \frac{k}{3} = 5.5 $$

✅❌ สมการที่เป็นจริงและสมการที่เป็นเท็จ ✅❌ True and False Equations

สมการที่มีแต่ตัวเลข (ไม่มีตัวแปร) จะสามารถบอกได้ทันทีว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ

สมการที่เป็นจริง (True Equation): ค่าของฝั่งซ้ายและขวา เท่ากันจริง
สมการที่เป็นเท็จ (False Equation): ค่าของฝั่งซ้ายและขวา ไม่เท่ากัน

Equations with only numbers (no variables) can immediately be determined as true or false.

True Equation: The values of the left and right sides are actually equal.
False Equation: The values of the left and right sides are not equal.

Example 2.1

คำนวณฝั่งซ้าย จะได้ $8$ ซึ่งเท่ากับฝั่งขวาพอดี

$$ \begin{aligned} 10 - 2 &= 8 \\ 8 &= 8 \quad (\text{\textcolor{#2e7d32}{สมการเป็นจริง}}) \end{aligned} $$

Calculating the left side gives $8$, which exactly equals the right side.

$$ \begin{aligned} 10 - 2 &= 8 \\ 8 &= 8 \quad (\text{\textcolor{#2e7d32}{True Equation}}) \end{aligned} $$

Example 2.2

คำนวณฝั่งซ้าย $3 \times 4$ ได้ $12$ ซึ่งไม่เท่ากับ $15$

$$ \begin{aligned} 3 \times 4 &= 15 \\ 12 &\neq 15 \quad (\text{\textcolor{#c62828}{สมการเป็นเท็จ}}) \end{aligned} $$

Calculating the left side $3 \times 4$ gives $12$, which is not equal to $15$.

$$ \begin{aligned} 3 \times 4 &= 15 \\ 12 &\neq 15 \quad (\text{\textcolor{#c62828}{False Equation}}) \end{aligned} $$

Example 2.3

หากมีตัวเลขต้องคำนวณทั้งสองฝั่ง ให้ทำจนได้ผลลัพธ์สุดท้ายก่อนตัดสินใจ

$$ \begin{aligned} 5 + 5 &= 2 \times 5 \\ 10 &= 10 \quad (\text{\textcolor{#2e7d32}{สมการเป็นจริง}}) \end{aligned} $$

If there are operations on both sides, evaluate them to the final result before deciding.

$$ \begin{aligned} 5 + 5 &= 2 \times 5 \\ 10 &= 10 \quad (\text{\textcolor{#2e7d32}{True Equation}}) \end{aligned} $$

Example 2.4

ฝั่งซ้ายได้ $5$ ส่วนฝั่งขวาได้ $4$ จึงเป็นเท็จ

$$ \begin{aligned} 20 \div 4 &= 2 + 2 \\ 5 &\neq 4 \quad (\text{\textcolor{#c62828}{สมการเป็นเท็จ}}) \end{aligned} $$

The left side is $5$, while the right side is $4$, so it's false.

$$ \begin{aligned} 20 \div 4 &= 2 + 2 \\ 5 &\neq 4 \quad (\text{\textcolor{#c62828}{False Equation}}) \end{aligned} $$

Example 2.5

สมการที่มี "ตัวแปร" จะยังบอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ จนกว่าจะมีการแทนค่าตัวแปรนั้น เรียกว่า "ประโยคเปิด"

$$ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ \text{ถ้า } x = 4 &\implies 4 + 1 = 5 \quad (\text{จริง}) \\ \text{ถ้า } x = 3 &\implies 3 + 1 \neq 5 \quad (\text{เท็จ}) \end{aligned} $$

Equations with "variables" cannot be determined as true or false until the variable is substituted. This is an "Open sentence".

$$ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ \text{If } x = 4 &\implies 4 + 1 = 5 \quad (\text{True}) \\ \text{If } x = 3 &\implies 3 + 1 \neq 5 \quad (\text{False}) \end{aligned} $$

Example 2.6

สมการบางรูปแบบ เมื่อจัดรูปแล้วทั้งสองฝั่งหน้าตาเหมือนกันเป๊ะ หมายความว่าแทน $x$ ด้วยเลขอะไรก็ เป็นจริงเสมอ

$$ \begin{aligned} 2(x + 1) &= 2x + 2 \\ 2x + 2 &= 2x + 2 \quad (\text{\textcolor{#2e7d32}{เป็นจริงเสมอ}}) \end{aligned} $$

Some equations, when simplified, look exactly the same on both sides. This means substituting any number for $x$ will always be true.

$$ \begin{aligned} 2(x + 1) &= 2x + 2 \\ 2x + 2 &= 2x + 2 \quad (\text{\textcolor{#2e7d32}{Identity Equation}}) \end{aligned} $$

Example 2.7

สมการบางรูปแบบ ขัดแย้งกับหลักความเป็นจริงอย่างชัดเจน หมายความว่า เป็นเท็จเสมอ (ไม่มีทางหาค่ามาแทนได้)

$$ \begin{aligned} x &= x + 1 \\ 0 &\neq 1 \quad (\text{\textcolor{#c62828}{เป็นเท็จเสมอ}}) \end{aligned} $$

Some equations clearly contradict reality, meaning they are always false (no value can make it true).

$$ \begin{aligned} x &= x + 1 \\ 0 &\neq 1 \quad (\text{\textcolor{#c62828}{Contradiction}}) \end{aligned} $$

📏 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 📏 Linear Equations with One Variable

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือสมการที่มีตัวแปรเพียง 1 ชนิดเท่านั้น (เช่น มีแต่ $x$) และเลขชี้กำลังของตัวแปรนั้น ต้องเป็น 1 เสมอ (ห้ามเป็น $x^2, x^3$)

รูปทั่วไป: $\quad \displaystyle \color{#ff6f00} ax + b = 0$

เมื่อ $a, b$ เป็นค่าคงตัว (ตัวเลข) และ $a \neq 0$

A Linear Equation with One Variable is an equation with only 1 type of variable (e.g., only $x$), and the exponent of that variable must always be 1 (no $x^2, x^3$).

General Form: $\quad \displaystyle \color{#ff6f00} ax + b = 0$

Where $a, b$ are constants (numbers) and $a \neq 0$

Example 3.1

เมื่อสมการอยู่ในรูปทั่วไป $ax + b = 0$ เราสามารถระบุค่าตัวเลขสัมประสิทธิ์ได้ทันที

$$ \begin{aligned} 2x - 6 &= 0 \\ \text{จะได้ } a &= 2 \\ b &= -6 \end{aligned} $$

When the equation is in the general form $ax + b = 0$, we can immediately identify the coefficients.

$$ \begin{aligned} 2x - 6 &= 0 \\ \text{we get } a &= 2 \\ b &= -6 \end{aligned} $$

Example 3.2

บางครั้งสมการอาจไม่ได้มาในรูปทั่วไปตั้งแต่แรก เราต้องย้ายข้างให้ฝั่งขวาเป็น $0$ ก่อน

$$ \begin{aligned} 3y &= 12 \\ 3y - 12 &= 0 \quad (\text{จัดรูปแล้วจะได้ } a=3, b=-12) \end{aligned} $$

Sometimes the equation isn't initially in general form. We must rearrange it so the right side is $0$.

$$ \begin{aligned} 3y &= 12 \\ 3y - 12 &= 0 \quad (\text{Rearranged, we get } a=3, b=-12) \end{aligned} $$

Example 3.3

สมการนี้มีทั้ง $x$ และ $y$ จึงไม่ใช่สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (เป็นสมการเชิงเส้นสองตัวแปร)

This equation has both $x$ and $y$, so it is not a linear equation with one variable (it's two variables).

$$ x + y = 5 $$

Example 3.4

ตัวแปร $x$ ยกกำลัง 2 จึงไม่ใช่สมการเชิงเส้น (เรียกว่าสมการกำลังสอง หรือ Quadratic)

The variable $x$ is squared, so it is not a linear equation (it's a quadratic equation).

$$ x^2 - 4 = 0 $$

Example 3.5

สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร (ค่า $a$) หรือค่าคงตัว (ค่า $b$) สามารถเป็นเศษส่วนได้

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}z + 5 &= 0 \\ \text{ได้ } a &= \frac{1}{2}, \quad b = 5 \end{aligned} $$

The coefficient of the variable (value $a$) or the constant (value $b$) can be fractions.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}z + 5 &= 0 \\ \text{we get } a &= \frac{1}{2}, \quad b = 5 \end{aligned} $$

Example 3.6

บางสมการต้องกระจายวงเล็บและรวมพจน์ที่คล้ายกันก่อน จึงจะเห็นว่าเป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

$$ \begin{aligned} 5(m - 1) &= 2m \\ 5m - 5 &= 2m \\ 5m - 2m - 5 &= 0 \\ 3m - 5 &= 0 \quad (\text{ใช่ เป็นสมการเชิงเส้น}) \end{aligned} $$

Some equations require distributing brackets and combining like terms before recognizing them as linear equations with one variable.

$$ \begin{aligned} 5(m - 1) &= 2m \\ 5m - 5 &= 2m \\ 5m - 2m - 5 &= 0 \\ 3m - 5 &= 0 \quad (\text{Yes, it is a linear equation}) \end{aligned} $$

Example 3.7

หากสมการมีแค่พจน์ของตัวแปร หมายความว่าค่า $b$ คือ $0$ และสัมประสิทธิ์ที่มองไม่เห็นคือ $1$ หรือ $-1$

$$ \begin{aligned} -x &= 0 \\ -1x + 0 &= 0 \\ \text{ได้ } a &= -1, \quad b = 0 \end{aligned} $$

If the equation only has a variable term, it means value $b$ is $0$, and the invisible coefficient is $1$ or $-1$.

$$ \begin{aligned} -x &= 0 \\ -1x + 0 &= 0 \\ \text{we get } a &= -1, \quad b = 0 \end{aligned} $$

🎯 คำตอบของสมการ 🎯 Solution of an Equation

คำตอบของสมการ (Solution or Root) คือ จำนวนหรือตัวเลขที่เมื่อนำไป แทนค่า (Substitute) ในตำแหน่งของตัวแปรแล้ว ทำให้สมการนั้นกลายเป็น สมการที่เป็นจริง (ค่าฝั่งซ้ายเท่ากับฝั่งขวา)

The Solution (or Root) of an equation is the number that, when substituted into the variable, makes the equation a True Equation (left side equals right side).

Example 4.1

จงตรวจสอบว่า $x = 3$ เป็นคำตอบของสมการ $2x = 6$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{แทนค่า } x &= 3 \text{ ลงในสมการ} \\ 2(3) &= 6 \\ 6 &= 6 \quad (\text{เป็นจริง}) \\ \therefore 3 &\text{ เป็นคำตอบของสมการ} \end{aligned} $$

Verify if $x = 3$ is a solution to the equation $2x = 6$.

$$ \begin{aligned} \text{Substitute } x &= 3 \text{ into the equation} \\ 2(3) &= 6 \\ 6 &= 6 \quad (\text{True}) \\ \therefore 3 &\text{ is a solution} \end{aligned} $$

Example 4.2

สมการง่ายๆ เราสามารถตั้งคำถามว่า "เลขอะไรเอ่ย ลบด้วย $5$ แล้วเหลือ $10$?"

$$ \begin{aligned} y - 5 &= 10 \\ \text{เราทราบว่า } 15 - 5 &= 10 \\ \therefore y &= 15 \text{ คือคำตอบ} \end{aligned} $$

For simple equations, ask: "What number minus $5$ leaves $10$?"

$$ \begin{aligned} y - 5 &= 10 \\ \text{We know that } 15 - 5 &= 10 \\ \therefore y &= 15 \text{ is the solution} \end{aligned} $$

Example 4.3

ตรวจสอบว่า $m = 2$ เป็นคำตอบของ $3m + 1 = 10$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{แทนค่า } m &= 2 \\ 3(2) + 1 &= 10 \\ 6 + 1 &= 10 \\ 7 &\neq 10 \quad (\text{เป็นเท็จ}) \\ \therefore 2 &\text{ \textcolor{#c62828}{ไม่ใช่}คำตอบของสมการ} \end{aligned} $$

Verify if $m = 2$ is a solution for $3m + 1 = 10$.

$$ \begin{aligned} \text{Substitute } m &= 2 \\ 3(2) + 1 &= 10 \\ 6 + 1 &= 10 \\ 7 &\neq 10 \quad (\text{False}) \\ \therefore 2 &\text{ is \textcolor{#c62828}{not} a solution} \end{aligned} $$

Example 4.4

โดยปกติ "สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว" (รูปแบบ $ax+b=0, a \neq 0$) จะมีคำตอบเพียง คำตอบเดียวเท่านั้น

$$ \begin{aligned} 2x + 1 &= 5 \\ \text{มีคำตอบเดียวคือ } x &= 2 \end{aligned} $$

Normally, a "Linear Equation with One Variable" (form $ax+b=0, a \neq 0$) will have exactly one unique solution.

$$ \begin{aligned} 2x + 1 &= 5 \\ \text{The only solution is } x &= 2 \end{aligned} $$

Example 4.5

หากสมการเป็นจริงเสมอ (เอกลักษณ์) หมายความว่า ไม่ว่าจะแทนค่าด้วยเลขอะไร สมการก็ยังคงเป็นจริง

$$ \begin{aligned} x + x &= 2x \\ 2x &= 2x \quad (\text{แทนด้วยจำนวนจริงใดๆ ก็ได้}) \\ \therefore &\text{\textcolor{#2e7d32}{มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน}} \end{aligned} $$

If the equation is an identity, it means no matter what number you substitute, it remains true.

$$ \begin{aligned} x + x &= 2x \\ 2x &= 2x \quad (\text{Can be any real number}) \\ \therefore &\text{\textcolor{#2e7d32}{Infinite solutions}} \end{aligned} $$

Example 4.6

หากสมการเป็นเท็จเสมอ (ข้อขัดแย้ง) เช่น จำนวนใดเล่าที่เท่ากับตัวมันเองบวกด้วย 5? ไม่มีทางเป็นไปได้

$$ \begin{aligned} x &= x + 5 \\ 0 &\neq 5 \quad (\text{เมื่อนำ } x \text{ ลบออกทั้งสองข้าง}) \\ \therefore &\text{\textcolor{#c62828}{ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ}} \end{aligned} $$

If the equation is a contradiction. For example, what number equals itself plus 5? Impossible.

$$ \begin{aligned} x &= x + 5 \\ 0 &\neq 5 \quad (\text{Subtracting } x \text{ from both sides}) \\ \therefore &\text{\textcolor{#c62828}{No real solution}} \end{aligned} $$

Example 4.7

ตรวจสอบว่า $a = 8$ เป็นคำตอบของ $\displaystyle \frac{a}{2} - 1 = 3$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{แทนค่า } a &= 8 \\ \frac{8}{2} - 1 &= 3 \\ 4 - 1 &= 3 \\ 3 &= 3 \quad (\text{เป็นจริง}) \\ \therefore 8 &\text{ เป็นคำตอบของสมการ} \end{aligned} $$

Verify if $a = 8$ is a solution for $\displaystyle \frac{a}{2} - 1 = 3$.

$$ \begin{aligned} \text{Substitute } a &= 8 \\ \frac{8}{2} - 1 &= 3 \\ 4 - 1 &= 3 \\ 3 &= 3 \quad (\text{True}) \\ \therefore 8 &\text{ is a solution} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Equation	aequare (to make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงความเท่ากันของสองปริมาณ โดยใช้เครื่องหมาย =
Variable	variare (to vary, change)	ตัวแปร · สัญลักษณ์ (มักเป็นตัวอักษร) ที่ใช้แทนค่าจำนวนที่ยังไม่ทราบ หรือค่าที่เปลี่ยนแปลงได้
Constant	constare (to stand firm)	ค่าคงตัว · จำนวนที่มีค่าแน่นอน ไม่เปลี่ยนแปลง (เช่น ตัวเลข 5, -2)
Linear	linea (line)	เชิงเส้น · มีเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรเป็น 1 (เมื่อนำไปพล็อตกราฟจะได้เส้นตรง)
Solution (Root)	solvere (to loosen, untie)	คำตอบของสมการ · ค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง
Expression	exprimere (to represent, express)	นิพจน์ · กลุ่มของตัวเลข ตัวแปร และเครื่องหมายดำเนินการ (ไม่มีเครื่องหมาย =)
Coefficient	co- (together) + efficere (accomplish)	สัมประสิทธิ์ · ตัวเลขที่คูณอยู่หน้าตัวแปร