สมบัติของการเท่ากัน

สมการ (Equation) เปรียบเสมือนตาชั่งที่สมดุลกันทั้งสองฝั่ง เครื่องหมายเท่ากับ ($=$) หมายถึงค่าของฝั่งซ้ายและฝั่งขวาเท่ากันพอดี การที่เราจะหาค่าตัวแปรได้ เราต้องใช้ "สมบัติของการเท่ากัน" ซึ่งเป็นกฎทางคณิตศาสตร์ที่อนุญาตให้เราดัดแปลงสมการได้โดยที่ความสมดุลยังคงอยู่ (นี่คือที่มาของวิธีลัดที่เรามักเรียกว่า "การย้ายข้าง")

An Equation is like a perfectly balanced scale. The equals sign ($=$) means the value on the left side is exactly the same as the value on the right side. To solve for a variable, we use the "Properties of Equality". These are mathematical rules that allow us to manipulate the equation while maintaining its balance (this is the logic behind the shortcut known as "moving terms").

🔄 สมบัติสมมาตร 🔄 Symmetric Property

สมบัติสมมาตร กล่าวว่า ถ้า $a = b$ แล้ว $b = a$ หมายความว่าเราสามารถสลับข้างทั้งหมดของสมการจากซ้ายไปขวา และขวาไปซ้ายได้โดยที่สมการยังคงเป็นจริง สมบัตินี้มีประโยชน์มากเมื่อเราแก้สมการเสร็จแล้วแต่ตัวแปรอยู่ฝั่งขวา เราสามารถสลับให้ตัวแปรมาอยู่ฝั่งซ้ายเพื่อความสวยงามในการตอบ

The Symmetric Property states that if $a = b$, then $b = a$. This means we can swap the entire left side with the entire right side of an equation, and it remains true. This is very useful when we finish solving, but the variable is on the right; we can flip it to the left for a standard answer format.

Example 1.1

สลับฝั่งเพื่อให้ตัวแปร $x$ มาอยู่ด้านซ้าย

$$ \text{ถ้า } 5 = x \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } x = 5 $$

Swap sides to bring the variable $x$ to the left.

$$ \text{If } 5 = x \text{, then } x = 5 $$

Example 1.2

สลับฝั่งทั้งกลุ่มของนิพจน์

$$ \text{ถ้า } 10 = y + 2 \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } y + 2 = 10 $$

Swap the entire group of the expression.

$$ \text{If } 10 = y + 2 \text{, then } y + 2 = 10 $$

Example 1.3

เครื่องหมายลบติดไปกับตัวเลขตามปกติเมื่อสลับข้าง

$$ \text{ถ้า } -8 = m \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } m = -8 $$

The negative sign stays with the number when swapping.

$$ \text{If } -8 = m \text{, then } m = -8 $$

Example 1.4

สลับข้างสมการที่เป็นเศษส่วนได้เช่นเดียวกัน

$$ \text{ถ้า } \frac{1}{2} = k \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } k = \frac{1}{2} $$

Fractions in an equation can be swapped in the same way.

$$ \text{If } \frac{1}{2} = k \text{, then } k = \frac{1}{2} $$

Example 1.5

การสลับต้องยกมาทั้งชุด ห้ามสลับแค่ตัวแปรเดียว

$$ \text{ถ้า } 3x - 5 = 2x + 1 \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } 2x + 1 = 3x - 5 $$

The swap must move the entire set, not just a single variable.

$$ \text{If } 3x - 5 = 2x + 1 \text{, then } 2x + 1 = 3x - 5 $$

Example 1.6

สลับฝั่งของสูตรการหาพื้นที่วงกลม เพื่อให้สูตรอ่านง่ายขึ้น

$$ \text{ถ้า } A = \pi r^2 \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } \pi r^2 = A $$

Swap sides of the circle's area formula to make it easier to read.

$$ \text{If } A = \pi r^2 \text{, then } \pi r^2 = A $$

Example 1.7

ใช้ยืนยันความถูกต้องว่าซ้ายและขวาเท่ากันเสมอ

$$ \text{ถ้า } 12 = 3(4) \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } 3(4) = 12 $$

Used to verify that left and right are always equal.

$$ \text{If } 12 = 3(4) \text{, then } 3(4) = 12 $$

🔗 สมบัติถ่ายทอด 🔗 Transitive Property

สมบัติถ่ายทอด กล่าวว่า ถ้า $a = b$ และ $b = c$ แล้วสรุปได้ว่า $a = c$ สมบัตินี้เหมือนกับการใช้สะพานเชื่อม ถ้าสิ่งแรกเท่ากับสิ่งกลาง และสิ่งกลางเท่ากับสิ่งสุดท้าย แสดงว่าสิ่งแรกต้องเท่ากับสิ่งสุดท้ายด้วย มักใช้ในการแทนค่าตัวแปรในระบบสมการ หรือการพิสูจน์ทางเรขาคณิต

The Transitive Property states that if $a = b$ and $b = c$, then $a = c$. This property is like a bridge: if a first item equals a middle item, and the middle item equals a last item, the first must equal the last. It is often used in substitution for systems of equations or geometric proofs.

Example 2.1

ส่งต่อความเท่ากันจากตัวแปร $x$ ผ่าน $y$ ไปสู่ตัวเลข $5$

$$ \text{ถ้า } x = y \text{ และ } y = 5 \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } x = 5 $$

Passing the equality from variable $x$ through $y$ to the number $5$.

$$ \text{If } x = y \text{ and } y = 5 \text{, then } x = 5 $$

Example 2.2

เชื่อมโยงความเท่ากันผ่านกลุ่มของนิพจน์ $b + 1$

$$ \text{ถ้า } a = b + 1 \text{ และ } b + 1 = 10 \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } a = 10 $$

Linking the equality through the expression group $b + 1$.

$$ \text{If } a = b + 1 \text{ and } b + 1 = 10 \text{, then } a = 10 $$

Example 2.3

เช่น การเปรียบเทียบขนาดของมุม ($m\angle$)

$$ \text{ถ้า } m\angle A = m\angle B \text{ และ } m\angle B = 90^\circ \text{ แล้ว } m\angle A = 90^\circ $$

E.g., comparing angle measures ($m\angle$).

$$ \text{If } m\angle A = m\angle B \text{ and } m\angle B = 90^\circ \text{, then } m\angle A = 90^\circ $$

Example 2.4

สามารถส่งต่อความเท่ากันไปได้เรื่อยๆ

$$ \text{ถ้า } m = n \text{ , } n = p \text{ และ } p = 7 \text{ แล้วสรุปได้ว่า } m = 7 $$

Equality can be passed down continuously.

$$ \text{If } m = n \text{, } n = p \text{ and } p = 7 \text{, then } m = 7 $$

Example 2.5

ตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ด้านหน้าก็สามารถใช้สมบัตินี้เชื่อมโยงได้

$$ \text{ถ้า } 2x = y \text{ และ } y = 8 \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } 2x = 8 $$

Variables with coefficients can also be linked using this property.

$$ \text{If } 2x = y \text{ and } y = 8 \text{, then } 2x = 8 $$

Example 2.6

เงินของบอยเท่ากับเงินของแอน ($B=A$) และเงินของแอนคือ 100 บาท ($A=100$) ดังนั้นเงินของบอยคือ 100 บาท ($B=100$)

Boy's money equals Ann's ($B=A$), and Ann's is 100 THB ($A=100$), so Boy has 100 THB ($B=100$).

Example 2.7

ใช้สมบัติถ่ายทอดแบบย้อนกลับเพื่อหาค่าตัวแปร $y$

$$ \text{ถ้า } 14 = 2x \text{ และ } 2x = y \text{ แล้วจะสรุปได้ว่า } 14 = y \implies y = 14 $$

Using the transitive property in reverse to find the value of $y$.

$$ \text{If } 14 = 2x \text{ and } 2x = y \text{, then } 14 = y \implies y = 14 $$

➕ สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ➕ Addition Property

สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน กล่าวว่า ถ้า $a = b$ แล้ว $a + c = b + c$ กฎนี้คือที่มาของการย้ายข้างแบบ "เปลี่ยนบวกเป็นลบ เปลี่ยนลบเป็นบวก" (การลบก็คือการบวกด้วยจำนวนเต็มลบ ดังนั้น $a - c = b - c$ จึงใช้สมบัติเดียวกันนี้) เป้าหมายคือทำตัวเลขฝั่งตัวแปรให้กลายเป็น 0

The Addition Property of Equality states that if $a = b$, then $a + c = b + c$. This rule is the origin of the "move and change sign" shortcut. (Subtraction is just adding a negative number, so $a - c = b - c$ falls under the same property). The goal is to zero out the number on the variable's side.

Example 3.1

มี $-3$ อยู่ฝั่งเดียวกับตัวแปร จึงต้อง บวก 3 เข้าไปทั้งสองข้างเพื่อให้หักล้างกันเป็น 0

There is a $-3$ with the variable, so we add 3 to both sides to cancel it to 0.

$$ \begin{aligned} x - 3 &= 5 \\ x - 3 + 3 &= 5 + 3 \\ x &= 8 \end{aligned} $$

Example 3.2

มี $+4$ อยู่ จึงต้อง บวกด้วย -4 (หรือลบ 4) ทั้งสองข้าง

There is a $+4$, so we add -4 (or subtract 4) from both sides.

$$ \begin{aligned} y + 4 &= 10 \\ y + 4 - 4 &= 10 - 4 \\ y &= 6 \end{aligned} $$

Example 3.3

กำจัดการลบ 2 ด้วยการ บวก 2 เข้าทั้งสองข้าง (แก้ตัวเลขก่อนค่อยแก้เครื่องหมายลบของตัวแปร)

Eliminate the subtraction of 2 by adding 2 to both sides (handle numbers first).

$$ \begin{aligned} -x - 2 &= 5 \\ -x - 2 + 2 &= 5 + 2 \\ -x &= 7 \end{aligned} $$

Example 3.4

ใช้หลักการ บวก 1.5 เข้าทั้งสองข้าง เช่นเดียวกับสมการที่เป็นจำนวนเต็ม

Apply the same principle by adding 1.5 to both sides, just like with integers.

$$ \begin{aligned} m - 1.5 &= 2.5 \\ m - 1.5 + 1.5 &= 2.5 + 1.5 \\ m &= 4.0 \end{aligned} $$

Example 3.5

มี $+\frac{1}{2}$ อยู่ จึงต้อง ลบออกด้วย $\frac{1}{2}$ ทั้งสองข้าง

There is a $+\frac{1}{2}$, so we must subtract $\frac{1}{2}$ from both sides.

$$ \begin{aligned} k + \frac{1}{2} &= \frac{3}{2} \\ k + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} &= \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \\ k &= \frac{2}{2} \\ k &= 1 \end{aligned} $$

Example 3.6

เราสามารถใช้สมบัติการบวกเพื่อลบ ตัวแปร ออกจากฝั่งหนึ่งได้ด้วย (ลบ $x$ ทั้งสองข้าง)

We can use the addition property to subtract a variable from one side (subtract $x$ from both sides).

$$ \begin{aligned} 2x &= x + 5 \\ 2x - x &= x - x + 5 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Example 3.7

กำจัดค่าคงตัว $-7$ โดยการ บวก 7 ทั้งสองข้างของสมการ

Eliminate the constant $-7$ by adding 7 to both sides of the equation.

$$ \begin{aligned} x - 7 &= -2 \\ x - 7 + 7 &= -2 + 7 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

✖️ สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ✖️ Multiplication Property

สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน กล่าวว่า ถ้า $a = b$ แล้ว $ac = bc$ (และรวมถึงการหารด้วย เพราะการหารคือการคูณด้วยส่วนกลับ $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ เมื่อ $c \neq 0$) กฎนี้คือที่มาของการย้ายข้างแบบ "คูณย้ายไปหาร หายย้ายไปคูณ" เป้าหมายคือทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรให้กลายเป็น 1

The Multiplication Property of Equality states that if $a = b$, then $ac = bc$ (This includes division since division is multiplying by a reciprocal $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ where $c \neq 0$). This is the origin of the "multiply becomes divide, divide becomes multiply" shortcut. The goal is to make the coefficient of the variable exactly 1.

Example 4.1

ตัวแปรถูกหารด้วย 3 จึงต้อง คูณด้วย 3 ทั้งสองข้าง

The variable is divided by 3, so we multiply by 3 on both sides.

$$ \begin{aligned} \frac{x}{3} &= 4 \\ \left(\frac{x}{3}\right) \times 3 &= 4 \times 3 \\ x &= 12 \end{aligned} $$

Example 4.2

ตัวแปรคูณอยู่กับ 5 จึงต้อง คูณด้วย $\frac{1}{5}$ (หรือหารด้วย 5) ทั้งสองข้าง

The variable is multiplied by 5, so we multiply by $\frac{1}{5}$ (or divide by 5) on both sides.

$$ \begin{aligned} 5y &= 20 \\ \frac{5y}{5} &= \frac{20}{5} \\ y &= 4 \end{aligned} $$

Example 4.3

ตัวแปรถูกหารด้วย $-2$ จึงต้อง คูณด้วย $-2$ ทั้งสองข้างเพื่อกำจัดส่วน

The variable is divided by $-2$, so we multiply by $-2$ on both sides to clear the denominator.

$$ \begin{aligned} -\frac{m}{2} &= 6 \\ \left(-\frac{m}{2}\right) \times (-2) &= 6 \times (-2) \\ m &= -12 \end{aligned} $$

Example 4.4

สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรคือ $-3$ จึงต้อง หารด้วย $-3$ ทั้งสองข้าง

The variable's coefficient is $-3$, so we must divide by $-3$ on both sides.

$$ \begin{aligned} -3k &= 15 \\ \frac{-3k}{-3} &= \frac{15}{-3} \\ k &= -5 \end{aligned} $$

Example 4.5

คูณด้วย "ส่วนกลับ" (Reciprocal) เพื่อให้สัมประสิทธิ์กลายเป็น 1 ในขั้นตอนเดียว

Multiply by the "Reciprocal" to make the coefficient 1 in a single step.

$$ \begin{aligned} \frac{2}{3}x &= 8 \\ \left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{2}{3}x\right) &= \left(\frac{3}{2}\right)(8) \\ x &= \frac{24}{2} \\ x &= 12 \end{aligned} $$

Example 4.6

การนำตัวส่วนคูณไขว้ไปอีกฝั่ง แท้จริงคือสมบัติการคูณด้วย (2)(3) ทั้งสองข้าง

Cross multiplying denominators is actually applying the multiplication property by (2)(3) on both sides.

$$ \begin{aligned} \frac{x}{2} &= \frac{5}{3} \\ \left(\frac{x}{2}\right) \times (2)(3) &= \left(\frac{5}{3}\right) \times (2)(3) \\ 3x &= 10 \end{aligned} $$

Example 4.7

ตัวแปรถูกคูณด้วย $0.5$ จึงต้อง หารด้วย $0.5$ ทั้งสองข้างเพื่อหาค่า $x$

The variable is multiplied by $0.5$, so we divide by $0.5$ on both sides to find $x$.

$$ \begin{aligned} 0.5x &= 4 \\ \frac{0.5x}{0.5} &= \frac{4}{0.5} \\ x &= 8 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Equation	aequare (make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ ($=$)
Variable	variare (to change)	ตัวแปร · ตัวอักษรที่ใช้แทนจำนวนที่ยังไม่ทราบค่า เช่น $x, y$
Equality	aequalis (equal, like)	การเท่ากัน · ภาวะที่ปริมาณทั้งสองฝั่งมีค่าเหมือนกันพอดี
Symmetric	syn- (together) + metron (measure)	สมมาตร · สมบัติที่อนุญาตให้สลับซ้าย-ขวาของสมการได้
Transitive	trans- (across) + ire (to go)	ถ่ายทอด · สมบัติที่ส่งต่อการเท่ากันผ่านตัวกลาง ($a=b, b=c \to a=c$)
Constant	con- (with) + stare (to stand)	ค่าคงตัว · ตัวเลขที่มีค่าแน่นอนตายตัว ไม่เปลี่ยนแปลง
Coefficient	co- (together) + efficere (accomplish)	สัมประสิทธิ์ · ตัวเลขที่คูณอยู่หน้าตัวแปร เช่น 5 ใน $5x$