การแก้สมการเชิงเส้น

การแก้สมการ (Solving an Equation) คือกระบวนการหาค่าของ ตัวแปร (Variable) ที่ทำให้สมการเป็นจริง โดยใช้สมบัติการเท่ากัน (การบวก, ลบ, คูณ, หารด้วยจำนวนที่เท่ากันทั้งสองข้าง) เป้าหมายหลักคือการจัดรูปสมการให้ตัวแปรอยู่โดดเดี่ยวเพียงฝั่งเดียว เช่น $x = \text{ค่าคงตัว}$

Solving an equation is the process of finding the value of the variable that makes the mathematical statement true. We use properties of equality. The main goal is to isolate the variable on one side, e.g., $x = \text{constant}$.

ระดับที่ 1: สมการพื้นฐานขั้นตอนเดียว Level 1: Basic One-Step

หาค่าตัวแปรโดยใช้สมบัติการบวกหรือการคูณเพียงขั้นตอนเดียว เพื่อกำจัดตัวเลขที่อยู่ติดกับตัวแปร

Find the variable's value using a single arithmetic step to isolate it.

Example 1.1

กำจัด -12 โดยการนำ 12 ไปบวกทั้งสองข้างของสมการ

Eliminate -12 by adding 12 to both sides of the equation.

$$ \begin{aligned} x - 12 &= 25 \\ x - 12 + 12 &= 25 + 12 \\ x &= 37 \end{aligned} $$

Example 1.2

กำจัด +8 โดยการนำ 8 ไปลบออกจากทั้งสองข้างของสมการ

Eliminate +8 by subtracting 8 from both sides of the equation.

$$ \begin{aligned} y + 8 &= 15 \\ y + 8 - 8 &= 15 - 8 \\ y &= 7 \end{aligned} $$

Example 1.3

กำจัด 4 ที่คูณอยู่กับ $a$ โดยการนำ 4 ไปหารทั้งสองข้าง

Eliminate the 4 multiplied by $a$ by dividing both sides by 4.

$$ \begin{aligned} 4a &= 36 \\ \frac{4a}{4} &= \frac{36}{4} \\ a &= 9 \end{aligned} $$

Example 1.4

กำจัด 5 ที่เป็นตัวหาร โดยการนำ 5 ไปคูณทั้งสองข้าง

Eliminate the divisor 5 by multiplying both sides by 5.

$$ \begin{aligned} \frac{b}{5} &= 7 \\ \frac{b}{5} \times 5 &= 7 \times 5 \\ b &= 35 \end{aligned} $$

Example 1.5

เมื่อสัมประสิทธิ์ติดลบ ให้นำจำนวนติดลบนั้นไปหารทั้งสองข้าง (ระวังเครื่องหมาย)

When the coefficient is negative, divide both sides by that negative number.

$$ \begin{aligned} -3m &= 21 \\ \frac{-3m}{-3} &= \frac{21}{-3} \\ m &= -7 \end{aligned} $$

Example 1.6

ใช้หลักการเดียวกันกับจำนวนเต็ม นำ 4.5 ไปบวกทั้งสองข้าง

Use the same principle as integers; add 4.5 to both sides.

$$ \begin{aligned} k - 4.5 &= 2.5 \\ k &= 2.5 + 4.5 \\ k &= 7.0 \end{aligned} $$

Example 1.7

ย้ายเศษส่วนไปลบออกเพื่อหาค่าของ $p$

Subtract the fraction from both sides to find the value of $p$.

$$ \begin{aligned} p + \frac{1}{2} &= 3 \\ p &= 3 - \frac{1}{2} \\ p &= \frac{6}{2} - \frac{1}{2} \\ p &= \frac{5}{2} \end{aligned} $$

ระดับที่ 2: สมการหลายขั้นตอน Level 2: Multi-Step

มีทั้งการบวกลบและการคูณหารในข้อเดียว หลักการสำคัญคือ ต้องกำจัดตัวเลขที่อยู่ห่างจากตัวแปรมากที่สุดก่อน เสมอ

Involves both addition/subtraction and multiplication/division. The key rule is to eliminate constants furthest from the variable first.

Example 2.1

กำจัด +7 ก่อน แล้วจึงกำจัด 3 ที่คูณอยู่กับ $x$

Eliminate +7 first, then eliminate the 3 multiplied by $x$.

$$ \begin{aligned} 3x + 7 &= 22 \\ 3x &= 22 - 7 \\ 3x &= 15 \\ x &= \frac{15}{3} \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Example 2.2

ย้าย -4 ไปบวกฝั่งขวา จากนั้นย้าย 5 ไปหาร

Move -4 to add on the right side, then move 5 to divide.

$$ \begin{aligned} 5y - 4 &= 11 \\ 5y &= 11 + 4 \\ 5y &= 15 \\ y &= 3 \end{aligned} $$

Example 2.3

ย้าย 10 ไปลบออกก่อน แล้วจึงจัดการกับสัมประสิทธิ์ที่ติดลบ

Subtract 10 first, then deal with the negative coefficient.

$$ \begin{aligned} 10 - 4p &= 2 \\ -4p &= 2 - 10 \\ -4p &= -8 \\ p &= \frac{-8}{-4} \\ p &= 2 \end{aligned} $$

Example 2.4

กำจัดตัวเลขที่บวกลบอยู่ (-2) ก่อนจะไปจัดการกับตัวส่วน

Eliminate the subtracted number (-2) before dealing with the denominator.

$$ \begin{aligned} \frac{m}{3} - 2 &= 5 \\ \frac{m}{3} &= 5 + 2 \\ \frac{m}{3} &= 7 \\ m &= 7 \times 3 \\ m &= 21 \end{aligned} $$

Example 2.5

เนื่องจากส่วนคลุมทั้งสมการฝั่งซ้าย ต้องกำจัดตัวส่วน 2 ทิ้งก่อนเป็นอันดับแรก

Since the denominator covers the entire left side, eliminate the 2 first.

$$ \begin{aligned} \frac{k + 4}{2} &= 6 \\ k + 4 &= 6 \times 2 \\ k + 4 &= 12 \\ k &= 12 - 4 \\ k &= 8 \end{aligned} $$

Example 2.6

รวมพจน์ที่มีตัวแปร $x$ เข้าด้วยกันก่อน ($2x + 3x = 5x$)

Combine the terms with variable $x$ first ($2x + 3x = 5x$).

$$ \begin{aligned} 2x + 3x - 5 &= 20 \\ 5x - 5 &= 20 \\ 5x &= 25 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Example 2.7

หลักการเดียวกับจำนวนเต็ม ย้าย 1.5 ไปลบ แล้วนำ 0.2 ไปหาร

Same principle as integers; subtract 1.5, then divide by 0.2.

$$ \begin{aligned} 0.2a + 1.5 &= 2.7 \\ 0.2a &= 2.7 - 1.5 \\ 0.2a &= 1.2 \\ a &= \frac{1.2}{0.2} \\ a &= 6 \end{aligned} $$

ระดับที่ 3: ตัวแปรอยู่ทั้งสองข้าง Level 3: Both Sides

ต้องนำพจน์ที่มีตัวแปร (เช่น $x$) มารวมไว้ฝั่งเดียวกัน และย้ายพจน์ที่เป็นค่าคงตัว (ตัวเลข) ไปรวมไว้อีกฝั่งหนึ่งก่อนทำการแก้สมการต่อ

Collect all variable terms on one side of the equation and all constant terms on the other side before proceeding to solve.

Example 3.1

ย้ายตัวแปรไปรวมกันฝั่งซ้าย และตัวเลขไปรวมกันฝั่งขวา

Move variables to the left side and numbers to the right side.

$$ \begin{aligned} 5x - 4 &= 2x + 11 \\ 5x - 2x &= 11 + 4 \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Example 3.2

เพื่อหลีกเลี่ยงสัมประสิทธิ์ติดลบ นิยมย้ายตัวแปรที่มีค่าน้อยไปหาตัวแปรที่มีค่ามาก

To avoid a negative coefficient, it is common to move the smaller variable to the larger one.

$$ \begin{aligned} 8y + 3 &= 5y + 18 \\ 8y - 5y &= 18 - 3 \\ 3y &= 15 \\ y &= 5 \end{aligned} $$

Example 3.3

การย้ายตัวแปรไปฝั่งขวาและตัวเลขมาฝั่งซ้ายก็สามารถทำได้เช่นกัน

Moving variables to the right and numbers to the left works perfectly as well.

$$ \begin{aligned} 2a - 7 &= 6a + 9 \\ -7 - 9 &= 6a - 2a \\ -16 &= 4a \\ \frac{-16}{4} &= a \\ -4 &= a \end{aligned} $$

Example 3.4

ย้ายพจน์ $-3m$ ไปบวกอีกฝั่ง จะช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้น

Moving the $-3m$ term to the other side to add makes the calculation easier.

$$ \begin{aligned} 10 - 3m &= m - 2 \\ 10 + 2 &= m + 3m \\ 12 &= 4m \\ 3 &= m \end{aligned} $$

Example 3.5

ตัวแปรเดี่ยว $k$ มีค่าเท่ากับ $1k$ ให้ย้ายไปลบออกจาก $4k$

A single variable $k$ equals $1k$; move it to subtract from $4k$.

$$ \begin{aligned} 4k + 5 &= k - 7 \\ 4k - k &= -7 - 5 \\ 3k &= -12 \\ k &= -4 \end{aligned} $$

Example 3.6

เมื่อย้ายพจน์ข้ามเครื่องหมายเท่ากับ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายบวกลบเสมอ

When moving terms across the equal sign, always change their addition/subtraction sign.

$$ \begin{aligned} 7p - 2 &= 4p + 10 \\ 7p - 4p &= 10 + 2 \\ 3p &= 12 \\ p &= 4 \end{aligned} $$

Example 3.7

รวบรวมตัวแปรและตัวเลข แล้วทำการสลับข้างให้อ่านง่ายขึ้นในตอนท้าย

Collect variables and numbers, then swap sides at the end for readability.

$$ \begin{aligned} x + 8 &= 3x - 4 \\ 8 + 4 &= 3x - x \\ 12 &= 2x \\ 6 &= x \end{aligned} $$

ระดับที่ 4: สมการที่มีวงเล็บ Level 4: Parentheses

ต้องใช้ สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) เพื่อคูณกระจายตัวเลขที่อยู่หน้าวงเล็บเข้าไปคูณกับทุกพจน์ข้างในวงเล็บก่อนเริ่มแก้สมการ

Apply the Distributive Property to multiply the number outside the parenthesis with every term inside before solving.

Example 4.1

กระจายตัวเลขหน้าวงเล็บเข้าไปคูณกับทุกพจน์ในวงเล็บทั้งสองข้าง

Distribute the number outside the parentheses to every term inside on both sides.

$$ \begin{aligned} 2(x - 3) &= 4(x + 1) \\ 2x - 6 &= 4x + 4 \\ -6 - 4 &= 4x - 2x \\ -10 &= 2x \\ -5 &= x \end{aligned} $$

Example 4.2

กระจาย 3 เข้าไปคูณกับ $y$ และ 2 ก่อนทำการแก้สมการ

Distribute 3 to multiply with $y$ and 2 before solving the equation.

$$ \begin{aligned} 3(y + 2) &= 15 \\ 3y + 6 &= 15 \\ 3y &= 15 - 6 \\ 3y &= 9 \\ y &= 3 \end{aligned} $$

Example 4.3

ระวังเครื่องหมาย! เมื่อกระจายจำนวนลบเข้าไป เครื่องหมายด้านในจะถูกเปลี่ยน

Watch the signs! Distributing a negative number changes the signs inside.

$$ \begin{aligned} 4(a - 1) &= -2(a + 3) \\ 4a - 4 &= -2a - 6 \\ 4a + 2a &= -6 + 4 \\ 6a &= -2 \\ a &= -\frac{2}{6} \\ a &= -\frac{1}{3} \end{aligned} $$

Example 4.4

เครื่องหมายลบหน้าวงเล็บ มีค่าเท่ากับการนำ $-1$ คูณกระจายเข้าไป

A minus sign outside parentheses is equivalent to distributing a $-1$.

$$ \begin{aligned} -(m + 5) &= 3m - 1 \\ -m - 5 &= 3m - 1 \\ -5 + 1 &= 3m + m \\ -4 &= 4m \\ -1 &= m \end{aligned} $$

Example 4.5

กระจายวงเล็บก่อน จากนั้นรวมพจน์ตัวเลขที่อยู่ฝั่งเดียวกันเข้าด้วยกัน

Distribute first, then combine the number terms on the same side.

$$ \begin{aligned} 2(3k - 2) + 4 &= 16 \\ 6k - 4 + 4 &= 16 \\ 6k &= 16 \\ k &= \frac{16}{6} \\ k &= \frac{8}{3} \end{aligned} $$

Example 4.6

กระจายวงเล็บทั้งสองฝั่งให้เรียบร้อย แล้วจึงรวมพจน์ที่คล้ายกัน

Distribute on both sides completely, then combine the like terms.

$$ \begin{aligned} 5(p - 2) &= 3(p + 4) - 2 \\ 5p - 10 &= 3p + 12 - 2 \\ 5p - 10 &= 3p + 10 \\ 5p - 3p &= 10 + 10 \\ 2p &= 20 \\ p &= 10 \end{aligned} $$

Example 4.7

การกระจายทศนิยมทำได้เหมือนจำนวนเต็มปกติ เช่น $0.5 \times 4x = 2x$

Distributing decimals is like whole numbers, e.g., $0.5 \times 4x = 2x$.

$$ \begin{aligned} 0.5(4x + 2) &= x + 5 \\ 2x + 1 &= x + 5 \\ 2x - x &= 5 - 1 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

ระดับที่ 5: สมการในรูปเศษส่วน Level 5: Fractions

วิธีการที่ง่ายที่สุดคือการหา ค.ร.น. (Least Common Multiple) ของตัวส่วนทั้งหมด แล้วนำค่า ค.ร.น. นั้นไป คูณตลอดทั้งสมการ (ทุกพจน์) เพื่อกำจัดตัวส่วนทิ้งทั้งหมดก่อน

The easiest method is to find the LCM (Least Common Multiple) of all denominators, then multiply the entire equation by this LCM to eliminate all fractions first.

Example 5.1

ตัวส่วนคือ 2 และ 3 $\implies$ ค.ร.น. คือ 6 นำ 6 คูณตลอด

Denominators 2 & 3 $\implies$ LCM = 6. Multiply all by 6.

$$ \begin{aligned} \frac{x}{2} + \frac{x}{3} &= 10 \\ 6 \left( \frac{x}{2} \right) + 6 \left( \frac{x}{3} \right) &= 6(10) \\ 3x + 2x &= 60 \\ 5x &= 60 \\ x &= 12 \end{aligned} $$

Example 5.2

นำ 3 คูณตลอดทั้งสมการ

Multiply the entire equation by 3.

$$ \begin{aligned} \frac{y - 1}{3} &= 4 \\ 3 \left( \frac{y - 1}{3} \right) &= 3(4) \\ y - 1 &= 12 \\ y &= 13 \end{aligned} $$

Example 5.3

ค.ร.น. ของ 4 และ 3 คือ 12

LCM of 4 and 3 is 12.

$$ \begin{aligned} \frac{a + 2}{4} &= \frac{a - 1}{3} \\ 12 \left( \frac{a + 2}{4} \right) &= 12 \left( \frac{a - 1}{3} \right) \\ 3(a + 2) &= 4(a - 1) \\ 3a + 6 &= 4a - 4 \\ 6 + 4 &= 4a - 3a \\ 10 &= a \end{aligned} $$

Example 5.4

ค.ร.น. ของ 5 และ 2 คือ 10 (ต้องคูณฝั่งขวาด้วย)

LCM of 5 and 2 is 10 (must multiply right side too).

$$ \begin{aligned} \frac{m}{5} - \frac{m}{2} &= 3 \\ 10 \left( \frac{m}{5} \right) - 10 \left( \frac{m}{2} \right) &= 10(3) \\ 2m - 5m &= 30 \\ -3m &= 30 \\ m &= -10 \end{aligned} $$

Example 5.5

ค.ร.น. ของ 3 และ 2 คือ 6

LCM of 3 and 2 is 6.

$$ \begin{aligned} \frac{2k - 1}{3} + \frac{k}{2} &= 5 \\ 6 \left( \frac{2k - 1}{3} \right) + 6 \left( \frac{k}{2} \right) &= 6(5) \\ 2(2k - 1) + 3k &= 30 \\ 4k - 2 + 3k &= 30 \\ 7k &= 32 \\ k &= \frac{32}{7} \end{aligned} $$

Example 5.6

ค.ร.น. ของ 2 และ 4 คือ 4

LCM of 2 and 4 is 4.

$$ \begin{aligned} \frac{p + 1}{2} - \frac{p - 1}{4} &= 1 \\ 4 \left( \frac{p + 1}{2} \right) - 4 \left( \frac{p - 1}{4} \right) &= 4(1) \\ 2(p + 1) - 1(p - 1) &= 4 \\ 2p + 2 - p + 1 &= 4 \\ p + 3 &= 4 \\ p &= 1 \end{aligned} $$

Example 5.7

ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4 คือ 12

LCM of 2, 3, and 4 is 12.

$$ \begin{aligned} \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} &= 13 \\ 12\left(\frac{x}{2}\right) + 12\left(\frac{x}{3}\right) + 12\left(\frac{x}{4}\right) &= 12(13) \\ 6x + 4x + 3x &= 156 \\ 13x &= 156 \\ x &= \frac{156}{13} \\ x &= 12 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Equation	aequare (to make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ ($=$)
Linear Equation	linea (line) + aequare	สมการเชิงเส้น · สมการที่ตัวแปรมีเลขชี้กำลังเป็น 1 กราฟเป็นเส้นตรง
Variable	variare (to change)	ตัวแปร · ตัวอักษรที่ใช้แทนค่าที่ยังไม่ทราบ (เช่น $x, y, a$)
Constant	constare (to stand firm)	ค่าคงตัว · ตัวเลขที่มีค่าแน่นอน (เช่น $5, -12$)
Coefficient	co- (together) + efficere (to accomplish)	สัมประสิทธิ์ · ตัวเลขที่คูณอยู่หน้าตัวแปร (เช่น เลข 3 ใน $3x$)
Distributive Property	distribuere (to divide, distribute)	สมบัติการแจกแจง · กฎที่ว่า $a(b + c) = ab + ac$
Least Common Multiple (LCM)	multus (much, many)	ค.ร.น. · จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วยกลุ่มตัวเลขลงตัว
Isolate	insula (island)	แยกให้อยู่โดดเดี่ยว · กระบวนการจัดสมการให้ตัวแปรอยู่ฝั่งเดียว