คุณสมบัติของจำนวนนับ

จำนวนนับ (Counting Numbers หรือ Natural Numbers) คือ จำนวนที่เราใช้ในการนับสิ่งของต่างๆ เริ่มต้นตั้งแต่ $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนนับเหล่านี้มีคุณสมบัติและความสัมพันธ์ที่น่าสนใจมากมาย ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญในการเรียนคณิตศาสตร์ระดับสูงต่อไป

Counting Numbers (or Natural Numbers) are the numbers we use for counting objects, starting from $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ to infinity. These numbers possess many interesting properties and relationships, which form a crucial foundation for advanced mathematics.

🧩 ตัวประกอบ (Factors) 🧩 Factors

ตัวประกอบ (Factor) ของจำนวนนับใดๆ คือ จำนวนนับที่สามารถหารจำนวนนับนั้นได้ลงตัวพอดี (ไม่มีเศษ) ยกตัวอย่างเช่น $3$ เป็นตัวประกอบของ $12$ เพราะ $12 \div 3 = 4$ ลงตัวพอดี

A Factor of a counting number is any counting number that divides into it perfectly, leaving no remainder. For example, $3$ is a factor of $12$ because $12 \div 3 = 4$ exactly.

Example 1.1

จงหาตัวประกอบทั้งหมดของ $6$

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนที่หาร } 6 \text{ ลงตัว} &= 1, 2, 3, 6 \\ \text{ดังนั้น ตัวประกอบของ } 6 \text{ คือ } &\implies 1, 2, 3, 6 \end{aligned} $$

Find all factors of $6$.

$$ \begin{aligned} \text{Numbers dividing } 6 \text{ exactly} &= 1, 2, 3, 6 \\ \text{Therefore, factors of } 6 \text{ are } &\implies 1, 2, 3, 6 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาตัวประกอบทั้งหมดของ $15$

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนที่หาร } 15 \text{ ลงตัว} &= 1, 3, 5, 15 \\ \text{ดังนั้น ตัวประกอบของ } 15 \text{ คือ } &\implies 1, 3, 5, 15 \end{aligned} $$

Find all factors of $15$.

$$ \begin{aligned} \text{Numbers dividing } 15 \text{ exactly} &= 1, 3, 5, 15 \\ \text{Therefore, factors of } 15 \text{ are } &\implies 1, 3, 5, 15 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาตัวประกอบทั้งหมดของ $24$

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนที่หาร } 24 \text{ ลงตัว} &= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \\ \text{ดังนั้น ตัวประกอบของ } 24 \text{ คือ } &\implies 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \end{aligned} $$

Find all factors of $24$.

$$ \begin{aligned} \text{Numbers dividing } 24 \text{ exactly} &= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \\ \text{Therefore, factors of } 24 \text{ are } &\implies 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \end{aligned} $$

Example 1.4

พิจารณาว่า $7$ เป็นตัวประกอบของ $42$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{นำ } 42 \div 7 &= 6 \text{ (หารลงตัวพอดี ไม่มีเศษ)} \\ &\implies \text{ใช่, } 7 \text{ เป็นตัวประกอบของ } 42 \end{aligned} $$

Determine if $7$ is a factor of $42$.

$$ \begin{aligned} \text{Calculate } 42 \div 7 &= 6 \text{ (Divides exactly, no remainder)} \\ &\implies \text{Yes, } 7 \text{ is a factor of } 42 \end{aligned} $$

Example 1.5

พิจารณาว่า $5$ เป็นตัวประกอบของ $23$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{นำ } 23 \div 5 &= 4 \text{ เศษ } 3 \text{ (หารไม่ลงตัว)} \\ &\implies \text{ไม่ใช่, } 5 \text{ ไม่เป็นตัวประกอบของ } 23 \end{aligned} $$

Determine if $5$ is a factor of $23$.

$$ \begin{aligned} \text{Calculate } 23 \div 5 &= 4 \text{ remainder } 3 \text{ (Does not divide exactly)} \\ &\implies \text{No, } 5 \text{ is not a factor of } 23 \end{aligned} $$

💎 จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ 💎 Prime and Composite Numbers

จำนวนเฉพาะ (Prime Number): คือจำนวนนับที่มากกว่า $1$ และมีตัวประกอบเพียง $2$ ตัวเท่านั้น คือ $1$ และตัวมันเอง (เช่น $2, 3, 5, 7$)
จำนวนประกอบ (Composite Number): คือจำนวนนับที่มีตัวประกอบมากกว่า $2$ ตัว (เช่น $4, 6, 8, 9$)

** หมายเหตุ: เลข 1 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ **

Prime Number: A counting number greater than $1$ that has exactly $2$ factors: $1$ and itself (e.g., $2, 3, 5, 7$).
Composite Number: A counting number that has more than $2$ factors (e.g., $4, 6, 8, 9$).

** Note: The number 1 is neither prime nor composite. **

Example 2.1

พิจารณาว่า $7$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 7 &= 1, 7 \quad \text{(มีเพียง 2 ตัว)} \\ &\implies 7 \text{ เป็น } \textbf{จำนวนเฉพาะ} \end{aligned} $$

Determine if $7$ is a prime or composite number.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 7 &= 1, 7 \quad \text{(Exactly 2 factors)} \\ &\implies 7 \text{ is a } \textbf{Prime Number} \end{aligned} $$

Example 2.2

พิจารณาว่า $12$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 12 &= 1, 2, 3, 4, 6, 12 \quad \text{(มีมากกว่า 2 ตัว)} \\ &\implies 12 \text{ เป็น } \textbf{จำนวนประกอบ} \end{aligned} $$

Determine if $12$ is a prime or composite number.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 12 &= 1, 2, 3, 4, 6, 12 \quad \text{(More than 2 factors)} \\ &\implies 12 \text{ is a } \textbf{Composite Number} \end{aligned} $$

Example 2.3

พิจารณาว่า $2$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 2 &= 1, 2 \quad \text{(มีเพียง 2 ตัว)} \\ &\implies 2 \text{ เป็น } \textbf{จำนวนเฉพาะ} \text{ (และเป็นจำนวนคู่ตัวเดียวที่เป็นจำนวนเฉพาะ)} \end{aligned} $$

Determine if $2$ is a prime number.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 2 &= 1, 2 \quad \text{(Exactly 2 factors)} \\ &\implies 2 \text{ is a } \textbf{Prime Number} \text{ (and the only even prime number)} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง $10$ ถึง $20$

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนนับ } 11 \text{ ถึง } 19 &= 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 \\ \text{คัดเลือกเฉพาะจำนวนที่มีตัวประกอบ 2 ตัว} &\implies 11, 13, 17, 19 \end{aligned} $$

Find all prime numbers between $10$ and $20$.

$$ \begin{aligned} \text{Counting numbers from } 11 \text{ to } 19 &= 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 \\ \text{Select only numbers with exactly 2 factors} &\implies 11, 13, 17, 19 \end{aligned} $$

Example 2.5

พิจารณาว่า $51$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่?

(คำแนะนำ: ลองนำเลขต่างๆ ไปหารดู เช่น 2, 3, 5...)

$$ \begin{aligned} \text{ทดลองหารด้วย } 3 &\implies 51 \div 3 = 17 \text{ (หารลงตัว)} \\ \text{ตัวประกอบของ } 51 &\implies 1, 3, 17, 51 \quad \text{(มีมากกว่า 2 ตัว)} \\ &\implies 51 \text{ เป็น } \textbf{จำนวนประกอบ} \end{aligned} $$

Determine if $51$ is a prime number.

(Hint: Try dividing by primes like 2, 3, 5...)

$$ \begin{aligned} \text{Try dividing by } 3 &\implies 51 \div 3 = 17 \text{ (Divides exactly)} \\ \text{Factors of } 51 &\implies 1, 3, 17, 51 \quad \text{(More than 2 factors)} \\ &\implies 51 \text{ is a } \textbf{Composite Number} \end{aligned} $$

🔍 ตัวประกอบเฉพาะและคู่ตัวประกอบ 🔍 Prime Factors and Factor Pairs

ตัวประกอบเฉพาะ (Prime Factor): คือตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ ที่มีคุณสมบัติเป็น "จำนวนเฉพาะ" ด้วย
คู่ตัวประกอบ (Factor Pairs): คือจำนวนนับ 2 จำนวนที่คูณกันแล้วได้เท่ากับจำนวนที่กำหนด

Prime Factor: A factor of a counting number that is itself a "prime number".
Factor Pairs: A pair of counting numbers that, when multiplied together, yield the given number.

Example 3.1

จงหาตัวประกอบเฉพาะของ $30$

$$ \begin{aligned} \text{หาตัวประกอบทั้งหมดของ } 30 &\implies 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \\ \text{คัดเลือกตัวที่เป็นจำนวนเฉพาะ} &\implies 2, 3, 5 \\ \text{ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะของ } 30 &\implies 2, 3, \text{และ } 5 \end{aligned} $$

Find the prime factors of $30$.

$$ \begin{aligned} \text{ Find all factors of } 30 &\implies 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \\ \text{ Select the prime numbers} &\implies 2, 3, 5 \\ \text{Therefore, prime factors of } 30 &\implies 2, 3, \text{and } 5 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาคู่ตัวประกอบทั้งหมดของ $16$

$$ \begin{aligned} \text{จับคู่จำนวนที่คูณกันได้ } 16 &\implies 1 \times 16 \\ &\implies 2 \times 8 \\ &\implies 4 \times 4 \\ \text{คู่ตัวประกอบของ } 16 \text{ คือ} &\implies (1,16), (2,8), (4,4) \end{aligned} $$

Find all factor pairs of $16$.

$$ \begin{aligned} \text{Pair numbers that multiply to } 16 &\implies 1 \times 16 \\ &\implies 2 \times 8 \\ &\implies 4 \times 4 \\ \text{Factor pairs of } 16 \text{ are} &\implies (1,16), (2,8), (4,4) \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาตัวประกอบเฉพาะของ $60$ (โดยการแยกตัวประกอบ / Prime Factorization)

$$ \begin{aligned} 60 &= 6 \times 10 \\ &= (2 \times 3) \times (2 \times 5) \\ &= 2^2 \times 3 \times 5 \\ \text{ตัวประกอบเฉพาะของ } 60 &\implies 2, 3, 5 \end{aligned} $$

Find the prime factors of $60$ (using Prime Factorization).

$$ \begin{aligned} 60 &= 6 \times 10 \\ &= (2 \times 3) \times (2 \times 5) \\ &= 2^2 \times 3 \times 5 \\ \text{Prime factors of } 60 &\implies 2, 3, 5 \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาตัวประกอบเฉพาะของ $49$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบทั้งหมดของ } 49 &\implies 1, 7, 49 \\ \text{คัดเลือกตัวที่เป็นจำนวนเฉพาะ} &\implies 7 \\ \text{ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะของ } 49 &\implies 7 \end{aligned} $$

Find the prime factors of $49$.

$$ \begin{aligned} \text{All factors of } 49 &\implies 1, 7, 49 \\ \text{Select the prime numbers} &\implies 7 \\ \text{Therefore, the prime factor of } 49 &\implies 7 \end{aligned} $$

Example 3.5

จงหาคู่ตัวประกอบทั้งหมดของ $36$

$$ \begin{aligned} \text{จับคู่จำนวนที่คูณกันได้ } 36 &\implies 1 \times 36 \\ &\implies 2 \times 18 \\ &\implies 3 \times 12 \\ &\implies 4 \times 9 \\ &\implies 6 \times 6 \\ \text{คู่ตัวประกอบของ } 36 \text{ คือ} &\implies (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6) \end{aligned} $$

Find all factor pairs of $36$.

$$ \begin{aligned} \text{Pair numbers that multiply to } 36 &\implies 1 \times 36 \\ &\implies 2 \times 18 \\ &\implies 3 \times 12 \\ &\implies 4 \times 9 \\ &\implies 6 \times 6 \\ \text{Factor pairs of } 36 \text{ are} &\implies (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6) \end{aligned} $$

🤝 ตัวประกอบร่วม (Common Factors) 🤝 Common Factors

ตัวประกอบร่วม (Common Factor) คือตัวประกอบที่มีเหมือนกันหรือซ้ำกัน ของจำนวนนับตั้งแต่ $2$ จำนวนขึ้นไป ซึ่งตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุด เราเรียกว่า ห.ร.ม. (หารร่วมมาก / Highest Common Factor)

A Common Factor is a factor that is shared by two or more counting numbers. The largest of these common factors is known as the HCF (Highest Common Factor).

Example 4.1

จงหาตัวประกอบร่วมของ $12$ และ $18$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 12 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, 4, \mathbf{6}, 12 \\ \text{ตัวประกอบของ } 18 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, \mathbf{6}, 9, 18 \\ \text{ตัวประกอบร่วมของทั้งสองจำนวน} &\implies 1, 2, 3, 6 \end{aligned} $$

Find the common factors of $12$ and $18$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 12 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, 4, \mathbf{6}, 12 \\ \text{Factors of } 18 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, \mathbf{6}, 9, 18 \\ \text{Common factors of both numbers} &\implies 1, 2, 3, 6 \end{aligned} $$

Example 4.2

จงหาตัวประกอบร่วมของ $15$ และ $25$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 15 &\implies \mathbf{1}, 3, \mathbf{5}, 15 \\ \text{ตัวประกอบของ } 25 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{5}, 25 \\ \text{ตัวประกอบร่วม} &\implies 1, 5 \end{aligned} $$

Find the common factors of $15$ and $25$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 15 &\implies \mathbf{1}, 3, \mathbf{5}, 15 \\ \text{Factors of } 25 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{5}, 25 \\ \text{Common factors} &\implies 1, 5 \end{aligned} $$

Example 4.3

จงหาตัวประกอบร่วมของ $8, 16,$ และ $24$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 8 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{4}, \mathbf{8} \\ \text{ตัวประกอบของ } 16 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{4}, \mathbf{8}, 16 \\ \text{ตัวประกอบของ } 24 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, 3, \mathbf{4}, 6, \mathbf{8}, 12, 24 \\ \text{ตัวประกอบร่วม} &\implies 1, 2, 4, 8 \end{aligned} $$

Find the common factors of $8, 16,$ and $24$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 8 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{4}, \mathbf{8} \\ \text{Factors of } 16 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{4}, \mathbf{8}, 16 \\ \text{Factors of } 24 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, 3, \mathbf{4}, 6, \mathbf{8}, 12, 24 \\ \text{Common factors} &\implies 1, 2, 4, 8 \end{aligned} $$

Example 4.4

จงหาตัวประกอบร่วมของ $7$ และ $11$

(ทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะ)

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 7 &\implies \mathbf{1}, 7 \\ \text{ตัวประกอบของ } 11 &\implies \mathbf{1}, 11 \\ \text{ตัวประกอบร่วม} &\implies 1 \quad \text{(เรียกว่าจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์)} \end{aligned} $$

Find the common factors of $7$ and $11$.

(Both are prime numbers)

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 7 &\implies \mathbf{1}, 7 \\ \text{Factors of } 11 &\implies \mathbf{1}, 11 \\ \text{Common factors} &\implies 1 \quad \text{(Known as relatively prime)} \end{aligned} $$

Example 4.5

จงหา หารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ $20$ และ $30$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 20 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, 4, \mathbf{5}, \mathbf{10}, 20 \\ \text{ตัวประกอบของ } 30 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, 3, \mathbf{5}, 6, \mathbf{10}, 15, 30 \\ \text{ตัวประกอบร่วม} &\implies 1, 2, 5, 10 \\ \text{ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด (ห.ร.ม.)} &\implies 10 \end{aligned} $$

Find the Highest Common Factor (HCF) of $20$ and $30$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 20 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, 4, \mathbf{5}, \mathbf{10}, 20 \\ \text{Factors of } 30 &\implies \mathbf{1}, \mathbf{2}, 3, \mathbf{5}, 6, \mathbf{10}, 15, 30 \\ \text{Common factors} &\implies 1, 2, 5, 10 \\ \text{Highest Common Factor (HCF)} &\implies 10 \end{aligned} $$

⚖️ จำนวนคู่และจำนวนคี่ ⚖️ Even and Odd Numbers

จำนวนคู่ (Even Number): คือจำนวนนับที่หารด้วย $2$ ลงตัว (เขียนในรูป $2n$ ได้ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับ) เช่น $2, 4, 6, 8, 10$
จำนวนคี่ (Odd Number): คือจำนวนนับที่หารด้วย $2$ ไม่ลงตัว (เขียนในรูป $2n-1$ ได้) เช่น $1, 3, 5, 7, 9$

Even Number: A counting number that is exactly divisible by $2$ (can be written as $2n$). e.g., $2, 4, 6, 8, 10$.
Odd Number: A counting number that is not divisible by $2$ (can be written as $2n-1$). e.g., $1, 3, 5, 7, 9$.

Example 5.1

จงพิจารณาว่า $14$ และ $27$ เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่

$$ \begin{aligned} 14 \div 2 &= 7 \text{ (หารลงตัว)} &\implies 14 \text{ เป็น } \textbf{จำนวนคู่} \\ 27 \div 2 &= 13 \text{ เศษ } 1 \text{ (หารไม่ลงตัว)} &\implies 27 \text{ เป็น } \textbf{จำนวนคี่} \end{aligned} $$

Determine if $14$ and $27$ are even or odd.

$$ \begin{aligned} 14 \div 2 &= 7 \text{ (Divides exactly)} &\implies 14 \text{ is an } \textbf{Even Number} \\ 27 \div 2 &= 13 \text{ remainder } 1 \text{ (Does not divide exactly)} &\implies 27 \text{ is an } \textbf{Odd Number} \end{aligned} $$

Example 5.2

ผลบวกของ จำนวนคู่ + จำนวนคู่ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

$$ \begin{aligned} \text{สมมติจำนวนคู่คือ } 4 \text{ และ } 6 \\ 4 + 6 &= 10 \\ 10 \div 2 &= 5 \text{ (ลงตัว)} \\ \text{สรุป: } \textbf{คู่} + \textbf{คู่} &\implies \textbf{จำนวนคู่} \end{aligned} $$

What is the result of Even + Even?

$$ \begin{aligned} \text{Suppose the even numbers are } 4 \text{ and } 6 \\ 4 + 6 &= 10 \\ 10 \div 2 &= 5 \text{ (Divides exactly)} \\ \text{Conclusion: } \textbf{Even} + \textbf{Even} &\implies \textbf{Even Number} \end{aligned} $$

Example 5.3

ผลบวกของ จำนวนคี่ + จำนวนคี่ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

$$ \begin{aligned} \text{สมมติจำนวนคี่คือ } 3 \text{ และ } 5 \\ 3 + 5 &= 8 \\ 8 \div 2 &= 4 \text{ (ลงตัว)} \\ \text{สรุป: } \textbf{คี่} + \textbf{คี่} &\implies \textbf{จำนวนคู่} \end{aligned} $$

What is the result of Odd + Odd?

$$ \begin{aligned} \text{Suppose the odd numbers are } 3 \text{ and } 5 \\ 3 + 5 &= 8 \\ 8 \div 2 &= 4 \text{ (Divides exactly)} \\ \text{Conclusion: } \textbf{Odd} + \textbf{Odd} &\implies \textbf{Even Number} \end{aligned} $$

Example 5.4

ผลคูณของ จำนวนคู่ $\times$ จำนวนคี่ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

$$ \begin{aligned} \text{สมมติจำนวนคู่ } 2 \text{ และ จำนวนคี่ } 3 \\ 2 \times 3 &= 6 \\ \text{พิจารณารูปแบบ: } 2n \times (2m-1) &= 2[n(2m-1)] \quad \text{(ดึง 2 ออกมาได้เสมอ)} \\ \text{สรุป: } \textbf{คู่} \times \textbf{คี่} &\implies \textbf{จำนวนคู่} \end{aligned} $$

What is the result of Even $\times$ Odd?

$$ \begin{aligned} \text{Suppose even number } 2 \text{ and odd number } 3 \\ 2 \times 3 &= 6 \\ \text{Consider the pattern: } 2n \times (2m-1) &= 2[n(2m-1)] \quad \text{(2 can always be factored out)} \\ \text{Conclusion: } \textbf{Even} \times \textbf{Odd} &\implies \textbf{Even Number} \end{aligned} $$

Example 5.5

ผลคูณของ จำนวนคี่ $\times$ จำนวนคี่ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

$$ \begin{aligned} \text{สมมติจำนวนคี่ } 3 \text{ และ } 7 \\ 3 \times 7 &= 21 \\ 21 \div 2 &= 10 \text{ เศษ } 1 \\ \text{สรุป: } \textbf{คี่} \times \textbf{คี่} &\implies \textbf{จำนวนคี่} \end{aligned} $$

What is the result of Odd $\times$ Odd?

$$ \begin{aligned} \text{Suppose the odd numbers are } 3 \text{ and } 7 \\ 3 \times 7 &= 21 \\ 21 \div 2 &= 10 \text{ remainder } 1 \\ \text{Conclusion: } \textbf{Odd} \times \textbf{Odd} &\implies \textbf{Odd Number} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Natural Number	natura (nature)	จำนวนนับ / จำนวนธรรมชาติ · ตัวเลขที่ใช้ในการนับสิ่งของ เริ่มตั้งแต่ 1
Factor	facere (to make, do)	ตัวประกอบ · จำนวนที่หารจำนวนอื่นได้ลงตัว (ผู้สร้างตัวเลขนั้นจากการคูณ)
Prime Number	primus (first, primary)	จำนวนเฉพาะ · จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง (จำนวนพื้นฐาน)
Composite Number	com- (together) + ponere (to place)	จำนวนประกอบ · จำนวนที่มีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว (เกิดจากการประกอบกันของจำนวนอื่น)
Common Factor	communis (shared)	ตัวประกอบร่วม · ตัวประกอบที่มีอยู่ร่วมกันในตัวเลขตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป
Even / Odd	-	จำนวนคู่ (Even) หาร 2 ลงตัว / จำนวนคี่ (Odd) หาร 2 ไม่ลงตัว