TH
การหารลงตัว (Divisibility) คือการที่จำนวนหนึ่งสามารถหารอีกจำนวนหนึ่งได้โดยมีเศษเหลือเป็นศูนย์ (0) แทนที่เราจะต้องตั้งหารยาวเพื่อตรวจสอบทุกครั้ง นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบ "กฎการหารลงตัว" ซึ่งเป็นทางลัดที่ช่วยให้เราตรวจสอบจำนวนได้อย่างรวดเร็วเพียงแค่สังเกตตัวเลขบางหลัก หรือนำตัวเลขมาบวก/ลบกัน
EN
Divisibility means that one number can be divided by another without leaving any remainder (remainder is 0). Instead of performing long division every time, mathematicians discovered "Divisibility Rules." These are shortcuts that let us quickly test numbers just by examining specific digits or doing simple addition/subtraction.
1
การหารด้วย 2 ลงตัว Divisibility by 2
TH
กฎ: ให้พิจารณา เลขโดดในหลักหน่วย (หลักสุดท้าย) หากเป็น เลขคู่ ได้แก่ $0, 2, 4, 6, 8$ จำนวนนั้นจะหารด้วย $2$ ลงตัวเสมอ ไม่ว่าตัวเลขจะยาวแค่ไหนก็ตาม
EN
Rule: Look at the last digit (ones place). If it is an even number ($0, 2, 4, 6, 8$), the entire number is divisible by $2$.
Examples 1
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &3,456 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 6 \text{ (เลขคู่)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 2 ลงตัว}
\\[8pt]
\text{2) } &7,891 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 1 \text{ (เลขคี่)} \implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 2
ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &120 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 0 \text{ (เลขคู่)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 2 ลงตัว}
\\[8pt]
\text{4) } &555 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 5 \text{ (เลขคี่)} \implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 2
ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &1,008 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 8 \text{ (เลขคู่)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 2 ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &3,456 \\
&\text{Last digit is } 6 \text{ (even)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 2}
\\[8pt]
\text{2) } &7,891 \\
&\text{Last digit is } 1 \text{ (odd)} \implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 2}
\\[8pt]
\text{3) } &120 \\
&\text{Last digit is } 0 \text{ (even)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 2}
\\[8pt]
\text{4) } &555 \\
&\text{Last digit is } 5 \text{ (odd)} \implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 2}
\\[8pt]
\text{5) } &1,008 \\
&\text{Last digit is } 8 \text{ (even)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 2}
\end{aligned}
$$
2
การหารด้วย 3 ลงตัว Divisibility by 3
TH
กฎ: ให้นำ เลขโดดของทุกหลักมาบวกกัน หากผลลัพธ์ที่ได้หารด้วย $3$ ลงตัว จำนวนดั้งเดิมนั้นก็จะหารด้วย $3$ ลงตัวเช่นกัน
EN
Rule: Find the sum of all digits. If this sum is a multiple of $3$ (divisible by $3$), the original number is divisible by $3$.
Examples 2
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &4,152 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 4+1+5+2 = 12 \\
&\text{เนื่องจาก } 12 \div 3 = 4 \text{ (ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 3
ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &111 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 1+1+1 = 3 \\
&\text{เนื่องจาก } 3 \div 3 = 1 \text{ (ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 3
ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &1,001 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 1+0+0+1 = 2 \\
&\text{เนื่องจาก } 2 \div 3 \text{ (ไม่ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 3
ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &9,999 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 9+9+9+9 = 36 \\
&\text{เนื่องจาก } 36 \div 3 = 12 \text{ (ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 3
ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &12,345 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 1+2+3+4+5 = 15 \\
&\text{เนื่องจาก } 15 \div 3 = 5 \text{ (ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 3
ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &4,152 \\
&\text{Sum of digits: } 4+1+5+2 = 12 \\
&\text{Since } 12 \div 3 = 4 \text{ (exact)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
3} \\[8pt]
\text{2) } &111 \\
&\text{Sum of digits: } 1+1+1 = 3 \\
&\text{Since } 3 \div 3 = 1 \text{ (exact)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 3}
\\[8pt]
\text{3) } &1,001 \\
&\text{Sum of digits: } 1+0+0+1 = 2 \\
&\text{Since } 2 \div 3 \text{ (not exact)} \implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible
by 3} \\[8pt]
\text{4) } &9,999 \\
&\text{Sum of digits: } 9+9+9+9 = 36 \\
&\text{Since } 36 \div 3 = 12 \text{ (exact)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
3} \\[8pt]
\text{5) } &12,345 \\
&\text{Sum of digits: } 1+2+3+4+5 = 15 \\
&\text{Since } 15 \div 3 = 5 \text{ (exact)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
3}
\end{aligned}
$$
3
การหารด้วย 4 ลงตัว Divisibility by 4
TH
กฎ: ให้ดูเฉพาะ 2 หลักสุดท้าย หากตัวเลข 2 หลักนั้นรวมกันแล้วหารด้วย $4$ ลงตัว (หรือเป็น $00$) จำนวนดั้งเดิมก็จะหารด้วย $4$ ลงตัว
EN
Rule: Look at the last 2 digits. If they form a number that is divisible by $4$ (or are $00$), the entire number is divisible by $4$.
Examples 3
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &15,324 \\
&\text{พิจารณา 2 หลักสุดท้ายคือ } 24 \implies 24 \div 4 = 6 \text{ (ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 4 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &8,100 \\
&\text{พิจารณา 2 หลักสุดท้ายคือ } 00 \implies \text{เข้าเงื่อนไขลงท้ายด้วย } 00 \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 4 ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &1,022 \\
&\text{พิจารณา 2 หลักสุดท้ายคือ } 22 \implies 22 \div 4 \text{ (ไม่ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 4 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &908 \\
&\text{พิจารณา 2 หลักสุดท้ายคือ } 08 \implies 8 \div 4 = 2 \text{ (ลงตัว)} \\&\implies
\textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 4 ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &444 \\
&\text{พิจารณา 2 หลักสุดท้ายคือ } 44 \implies 44 \div 4 = 11 \text{ (ลงตัว)} \\&\implies
\textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 4 ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &15,324 \\
&\text{Last 2 digits are } 24 \implies 24 \div 4 = 6 \text{ (exact)} \\&\implies
\textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 4} \\[8pt]
\text{2) } &8,100 \\
&\text{Last 2 digits are } 00 \implies \text{Ends in } 00 \\&\implies
\textbf{\color{#2e7d32}
Divisible by 4} \\[8pt]
\text{3) } &1,022 \\
&\text{Last 2 digits are } 22 \implies 22 \div 4 \text{ (not exact)} \\&\implies
\textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 4} \\[8pt]
\text{4) } &908 \\
&\text{Last 2 digits are } 08 \implies 8 \div 4 = 2 \text{ (exact)} \\&\implies
\textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 4} \\[8pt]
\text{5) } &444 \\
&\text{Last 2 digits are } 44 \implies 44 \div 4 = 11 \text{ (exact)} \\&\implies
\textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 4}
\end{aligned}
$$
4
การหารด้วย 5 ลงตัว Divisibility by 5
TH
กฎ: ให้ดู หลักสุดท้าย (หลักหน่วย) หากเป็นเลข $0$ หรือ $5$ จำนวนนั้นจะหารด้วย $5$ ลงตัวเสมอ
EN
Rule: Look at the last digit. If it is $0$ or $5$, the entire number is divisible by $5$.
Examples 4
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &12,345 \\
&\text{หลักหน่วยลงท้ายด้วย } 5 \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 5 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &99,870 \\
&\text{หลักหน่วยลงท้ายด้วย } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 5 ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &101 \\
&\text{หลักหน่วยลงท้ายด้วย } 1 \implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 5 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &5,555 \\
&\text{หลักหน่วยลงท้ายด้วย } 5 \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 5 ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &-20 \\
&\text{หลักหน่วยลงท้ายด้วย } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 5 ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &12,345 \\
&\text{Last digit is } 5 \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 5} \\[8pt]
\text{2) } &99,870 \\
&\text{Last digit is } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 5} \\[8pt]
\text{3) } &101 \\
&\text{Last digit is } 1 \implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 5} \\[8pt]
\text{4) } &5,555 \\
&\text{Last digit is } 5 \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 5} \\[8pt]
\text{5) } &-20 \\
&\text{Last digit is } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 5}
\end{aligned}
$$
5
การหารด้วย 6 ลงตัว Divisibility by 6
TH
กฎ: จำนวนนั้นจะต้อง ผ่านกฎทั้งแม่ 2 และแม่ 3 กล่าวคือ ต้องเป็น "เลขคู่" และ "ผลบวกของเลขโดดทุกหลักต้องหารด้วย $3$ ลงตัว"
EN
Rule: The number must satisfy both Rule of 2 AND Rule of 3. It must be an even number, AND the sum of its digits must be divisible by $3$.
Examples 5
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &7,314 \\
&\text{หลักหน่วยเป็นคู่ } (4) \checkmark \\
&\text{ และ ผลรวมเลขโดด } 7+3+1+4 = 15 \text{ (หารด้วย 3 ลงตัว)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 6 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &120 \\
&\text{หลักหน่วยเป็นคู่ } (0) \checkmark \\
&\text{ และ ผลรวมเลขโดด } 1+2+0 = 3 \text{ (หารด้วย 3 ลงตัว)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 6 ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &111 \\
&\text{หลักหน่วยเป็นคี่ } (1) \times \text{ (ไม่ผ่านกฎหารด้วย 2)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 6 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &400 \\
&\text{หลักหน่วยเป็นคู่ } (0) \checkmark \\
&\text{ แต่ผลรวมเลขโดด } 4+0+0 = 4 \text{ (หารด้วย 3 ไม่ลงตัว)} \times \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 6 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &36 \\
&\text{หลักหน่วยเป็นคู่ } (6) \checkmark \\
&\text{ และ ผลรวมเลขโดด } 3+6 = 9 \text{ (หารด้วย 3 ลงตัว)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 6 ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &7,314 \\
&\text{Even number } (4) \checkmark \\
&\text{ and Sum of digits } 7+3+1+4 = 15 \text{ (divisible by 3)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 6} \\[8pt]
\text{2) } &120 \\
&\text{Even number } (0) \checkmark \\
&\text{ and Sum of digits } 1+2+0 = 3 \text{ (divisible by 3)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 6} \\[8pt]
\text{3) } &111 \\
&\text{Odd number } (1) \times \text{ (fails Rule of 2)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 6} \\[8pt]
\text{4) } &400 \\
&\text{Even number } (0) \checkmark \\
&\text{ but Sum of digits } 4+0+0 = 4 \text{ (not divisible by 3)} \times \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 6} \\[8pt]
\text{5) } &36 \\
&\text{Even number } (6) \checkmark \\
&\text{ and Sum of digits } 3+6 = 9 \text{ (divisible by 3)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 6}
\end{aligned}
$$
6
การหารด้วย 7 ลงตัว Divisibility by 7
TH
กฎ: นำเลขโดดตัวสุดท้าย คูณ 2 แล้วนำผลลัพธ์ไป ลบ ออกจากกลุ่มตัวเลขที่เหลือ หากผลลัพธ์สุดท้ายหารด้วย $7$ ลงตัว (หรือเป็น $0$) จำนวนนั้นจะหารด้วย $7$ ลงตัว (สามารถทำซ้ำได้หากเลขยังยาวอยู่)
EN
Rule: Take the last digit, multiply it by 2, and subtract it from the rest of the number. If the result is divisible by $7$ (or is $0$), the number is divisible by $7$.
Examples 6
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &343 \\
&\text{ตัดหลักสุดท้ายคูณ 2: } 3 \times 2 = 6 \\
&\text{ลบออกจากที่เหลือ: } 34 - 6 = 28 \\
&\text{เนื่องจาก } 28 \div 7 = 4 \text{ (ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 7
ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &105 \\
&\text{ตัดหลักสุดท้ายคูณ 2: } 5 \times 2 = 10 \\
&\text{ลบออกจากที่เหลือ: } 10 - 10 = 0 \\
&\text{เนื่องจาก } 0 \div 7 = 0 \text{ (ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 7
ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &224 \\
&\text{ตัดหลักสุดท้ายคูณ 2: } 4 \times 2 = 8 \\
&\text{ลบออกจากที่เหลือ: } 22 - 8 = 14 \\
&\text{เนื่องจาก } 14 \div 7 = 2 \text{ (ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 7
ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &100 \\
&\text{ตัดหลักสุดท้ายคูณ 2: } 0 \times 2 = 0 \\
&\text{ลบออกจากที่เหลือ: } 10 - 0 = 10 \\
&\text{เนื่องจาก } 10 \div 7 \text{ (ไม่ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 7
ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &2,023 \\
&\text{ครั้งที่ 1: } 202 - (3 \times 2) = 196 \\
&\text{ครั้งที่ 2: } 19 - (6 \times 2) = 7 \\
&\text{เนื่องจาก } 7 \div 7 = 1 \text{ (ลงตัว)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 7
ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &343 \\
&\text{Double the last digit: } 3 \times 2 = 6 \\
&\text{Subtract from rest: } 34 - 6 = 28 \\
&\text{Since } 28 \div 7 = 4 \text{ (exact)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
7} \\[8pt]
\text{2) } &105 \\
&\text{Double the last digit: } 5 \times 2 = 10 \\
&\text{Subtract from rest: } 10 - 10 = 0 \\
&\text{Since } 0 \div 7 = 0 \text{ (exact)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 7}
\\[8pt]
\text{3) } &224 \\
&\text{Double the last digit: } 4 \times 2 = 8 \\
&\text{Subtract from rest: } 22 - 8 = 14 \\
&\text{Since } 14 \div 7 = 2 \text{ (exact)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
7} \\[8pt]
\text{4) } &100 \\
&\text{Double the last digit: } 0 \times 2 = 0 \\
&\text{Subtract from rest: } 10 - 0 = 10 \\
&\text{Since } 10 \div 7 \text{ (not exact)} \implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible
by 7} \\[8pt]
\text{5) } &2,023 \\
&\text{Step 1: } 202 - (3 \times 2) = 196 \\
&\text{Step 2: } 19 - (6 \times 2) = 7 \\
&\text{Since } 7 \div 7 = 1 \text{ (exact)} \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 7}
\end{aligned}
$$
7
การหารด้วย 8 ลงตัว Divisibility by 8
TH
กฎ: ให้ดู 3 หลักสุดท้าย หากตัวเลข 3 หลักนั้นเชื่อมกันแล้วหารด้วย $8$ ลงตัว (หรือเป็น $000$) จำนวนดั้งเดิมก็จะหารด้วย $8$ ลงตัว
EN
Rule: Look at the last 3 digits. If they form a number that is divisible by $8$ (or are $000$), the entire number is divisible by $8$.
Examples 7
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &56,120 \\
&\text{พิจารณา 3 หลักสุดท้ายคือ } 120 \\&\implies 120 \div 8 = 15 \text{ (ลงตัว)}
\\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 8 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &1,000 \\
&\text{พิจารณา 3 หลักสุดท้ายคือ } 000 \\&\implies \text{เข้าเงื่อนไขลงท้ายด้วย } 000 \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 8 ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &8,088 \\
&\text{พิจารณา 3 หลักสุดท้ายคือ } 088 \\&\implies 88 \div 8 = 11 \text{ (ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 8 ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &1,012 \\
&\text{พิจารณา 3 หลักสุดท้ายคือ } 012 \\&\implies 12 \div 8 \text{ (ไม่ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 8 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &500 \\
&\text{พิจารณา 3 หลักสุดท้ายคือ } 500 \\&\implies 500 \div 8 \text{ (ไม่ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 8 ไม่ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &56,120 \\
&\text{Last 3 digits are } 120 \\&\implies 120 \div 8 = 15 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 8} \\[8pt]
\text{2) } &1,000 \\
&\text{Last 3 digits are } 000 \\&\implies \text{Ends in } 000 \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 8} \\[8pt]
\text{3) } &8,088 \\
&\text{Last 3 digits are } 088 \\&\implies 88 \div 8 = 11 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 8} \\[8pt]
\text{4) } &1,012 \\
&\text{Last 3 digits are } 012 \\&\implies 12 \div 8 \text{ (not exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 8} \\[8pt]
\text{5) } &500 \\
&\text{Last 3 digits are } 500 \\&\implies 500 \div 8 \text{ (not exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 8}
\end{aligned}
$$
8
การหารด้วย 9 ลงตัว Divisibility by 9
TH
กฎ: ให้นำ เลขโดดของทุกหลักมาบวกกัน หากผลลัพธ์ที่ได้หารด้วย $9$ ลงตัว จำนวนดั้งเดิมนั้นก็จะหารด้วย $9$ ลงตัว (ใช้หลักการเดียวกับแม่ 3)
EN
Rule: Find the sum of all digits. If this sum is a multiple of $9$ (divisible by $9$), the original number is divisible by $9$.
Examples 8
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &78,534 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 7+8+5+3+4 = 27 \\
&\text{เนื่องจาก } 27 \div 9 = 3 \text{ (ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 9 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &909 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 9+0+9 = 18 \\
&\text{เนื่องจาก } 18 \div 9 = 2 \text{ (ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 9 ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &111 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 1+1+1 = 3 \\
&\text{เนื่องจาก } 3 \div 9 \text{ (ไม่ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 9 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &9,999 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 9+9+9+9 = 36 \\
&\text{เนื่องจาก } 36 \div 9 = 4 \text{ (ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 9 ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &12,345 \\
&\text{ผลรวมเลขโดด: } 1+2+3+4+5 = 15 \\
&\text{เนื่องจาก } 15 \div 9 \text{ (ไม่ลงตัว)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 9 ไม่ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &78,534 \\
&\text{Sum of digits: } 7+8+5+3+4 = 27 \\
&\text{Since } 27 \div 9 = 3 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 9} \\[8pt]
\text{2) } &909 \\
&\text{Sum of digits: } 9+0+9 = 18 \\
&\text{Since } 18 \div 9 = 2 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 9} \\[8pt]
\text{3) } &111 \\
&\text{Sum of digits: } 1+1+1 = 3 \\
&\text{Since } 3 \div 9 \text{ (not exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 9} \\[8pt]
\text{4) } &9,999 \\
&\text{Sum of digits: } 9+9+9+9 = 36 \\
&\text{Since } 36 \div 9 = 4 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 9} \\[8pt]
\text{5) } &12,345 \\
&\text{Sum of digits: } 1+2+3+4+5 = 15 \\
&\text{Since } 15 \div 9 \text{ (not exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 9}
\end{aligned}
$$
9
การหารด้วย 10 ลงตัว Divisibility by 10
TH
กฎ: ให้ดู หลักสุดท้าย จะต้องเป็นเลข $0$ เพียงตัวเดียวเท่านั้น จึงจะหารด้วย $10$ ลงตัว
EN
Rule: Look at the last digit. It must be exactly $0$ to be divisible by $10$.
Examples 9
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &54,320 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 10 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &100 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 10 ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &55 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 5 \implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 10 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &9,000 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 10 ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &101 \\
&\text{หลักสุดท้ายคือ } 1 \implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 10 ไม่ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &54,320 \\
&\text{Last digit is } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 10} \\[8pt]
\text{2) } &100 \\
&\text{Last digit is } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 10} \\[8pt]
\text{3) } &55 \\
&\text{Last digit is } 5 \implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 10} \\[8pt]
\text{4) } &9,000 \\
&\text{Last digit is } 0 \implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 10} \\[8pt]
\text{5) } &101 \\
&\text{Last digit is } 1 \implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 10}
\end{aligned}
$$
10
การหารด้วย 11 ลงตัว Divisibility by 11
TH
กฎ: ให้นำเลขโดดมา บวกและลบสลับกัน (สลับเครื่องหมายจากซ้ายไปขวา) หากผลลัพธ์เป็น $0$ หรือค่าที่หารด้วย $11$ ลงตัว จำนวนนั้นจะหารด้วย $11$ ลงตัว
EN
Rule: Find the alternating sum of the digits (add one, subtract the next, and so on). If the result is $0$ or a multiple of $11$, it is divisible by $11$.
Examples 10
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &2,728 \\
&\text{บวกลบสลับหลัก: } 2-7+2-8 = -11 \\
&\text{เนื่องจาก } -11 \text{ หารด้วย 11 ลงตัว} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย
11 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &121 \\
&\text{บวกลบสลับหลัก: } 1-2+1 = 0 \\
&\text{เนื่องจาก } 0 \text{ หารด้วย 11 ลงตัว} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 11
ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &1,331 \\
&\text{บวกลบสลับหลัก: } 1-3+3-1 = 0 \\
&\text{เนื่องจาก } 0 \text{ หารด้วย 11 ลงตัว} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 11
ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &8,193 \\
&\text{บวกลบสลับหลัก: } 8-1+9-3 = 13 \\
&\text{เนื่องจาก } 13 \text{ หารด้วย 11 ไม่ลงตัว} \\&\implies \textbf{\color{#c62828}
หารด้วย
11 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &1,001 \\
&\text{บวกลบสลับหลัก: } 1-0+0-1 = 0 \\
&\text{เนื่องจาก } 0 \text{ หารด้วย 11 ลงตัว} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 11
ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &2,728 \\
&\text{Alternating sum: } 2-7+2-8 = -11 \\
&\text{Since } -11 \text{ is a multiple of 11} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible
by
11} \\[8pt]
\text{2) } &121 \\
&\text{Alternating sum: } 1-2+1 = 0 \\
&\text{Since } 0 \text{ is a multiple of 11} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible
by
11} \\[8pt]
\text{3) } &1,331 \\
&\text{Alternating sum: } 1-3+3-1 = 0 \\
&\text{Since } 0 \text{ is a multiple of 11} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible
by
11} \\[8pt]
\text{4) } &8,193 \\
&\text{Alternating sum: } 8-1+9-3 = 13 \\
&\text{Since } 13 \text{ is not a multiple of 11} \\&\implies \textbf{\color{#c62828} Not
Divisible by 11} \\[8pt]
\text{5) } &1,001 \\
&\text{Alternating sum: } 1-0+0-1 = 0 \\
&\text{Since } 0 \text{ is a multiple of 11} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible
by
11}
\end{aligned}
$$
11
การหารด้วย 12 ลงตัว Divisibility by 12
TH
กฎ: จำนวนนั้นจะต้อง ผ่านกฎทั้งแม่ 3 และแม่ 4 (คือ ผลบวกเลขโดดหารด้วย 3 ลงตัว และ 2 หลักสุดท้ายหารด้วย 4 ลงตัว)
EN
Rule: The number must satisfy both Rule of 3 AND Rule of 4 (sum of digits divisible by 3 AND last 2 digits divisible by 4).
Examples 11
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &1,824 \\
&\text{แม่ 4: 2 หลักสุดท้าย } 24 \div 4 = 6 \checkmark \\
&\text{แม่ 3: ผลรวมเลขโดด } 1+8+2+4 = 15 \text{ (หารด้วย 3 ลงตัว)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 12 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &144 \\
&\text{แม่ 4: 2 หลักสุดท้าย } 44 \div 4 = 11 \checkmark \\
&\text{แม่ 3: ผลรวมเลขโดด } 1+4+4 = 9 \text{ (หารด้วย 3 ลงตัว)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 12 ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &120 \\
&\text{แม่ 4: 2 หลักสุดท้าย } 20 \div 4 = 5 \checkmark \\
&\text{แม่ 3: ผลรวมเลขโดด } 1+2+0 = 3 \text{ (หารด้วย 3 ลงตัว)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} หารด้วย 12 ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &100 \\
&\text{แม่ 4: 2 หลักสุดท้าย } 00 \checkmark \\
&\text{แม่ 3: ผลรวมเลขโดด } 1+0+0 = 1 \text{ (หารด้วย 3 ไม่ลงตัว)} \times \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 12 ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &102 \\
&\text{แม่ 4: 2 หลักสุดท้าย } 02 \text{ (หารด้วย 4 ไม่ลงตัว)} \times \\
&\text{แม่ 3: ผลรวมเลขโดด } 1+0+2 = 3 \text{ (หารด้วย 3 ลงตัว)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย 12 ไม่ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &1,824 \\
&\text{Rule of 4: Last 2 digits } 24 \div 4 = 6 \checkmark \\
&\text{Rule of 3: Sum of digits } 1+8+2+4 = 15 \text{ (divisible by 3)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 12} \\[8pt]
\text{2) } &144 \\
&\text{Rule of 4: Last 2 digits } 44 \div 4 = 11 \checkmark \\
&\text{Rule of 3: Sum of digits } 1+4+4 = 9 \text{ (divisible by 3)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 12} \\[8pt]
\text{3) } &120 \\
&\text{Rule of 4: Last 2 digits } 20 \div 4 = 5 \checkmark \\
&\text{Rule of 3: Sum of digits } 1+2+0 = 3 \text{ (divisible by 3)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by 12} \\[8pt]
\text{4) } &100 \\
&\text{Rule of 4: Last 2 digits } 00 \checkmark \\
&\text{Rule of 3: Sum of digits } 1+0+0 = 1 \text{ (not divisible by 3)} \times \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 12} \\[8pt]
\text{5) } &102 \\
&\text{Rule of 4: Last 2 digits } 02 \text{ (not divisible by 4)} \times \\
&\text{Rule of 3: Sum of digits } 1+0+2 = 3 \text{ (divisible by 3)} \checkmark \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible by 12}
\end{aligned}
$$
12
การหารด้วย 13 ลงตัว Divisibility by 13
TH
กฎ: นำเลขโดดตัวสุดท้าย คูณ 4 แล้วนำไป บวก เข้ากับตัวเลขที่เหลือ หากผลลัพธ์สุดท้ายหารด้วย $13$ ลงตัว จำนวนดั้งเดิมก็จะหารด้วย $13$ ลงตัว (ทำซ้ำได้ถ้ายาวเกินไป)
EN
Rule: Take the last digit, multiply it by 4, and add it to the rest of the number. If the result is a multiple of $13$, the number is divisible by $13$.
Examples 12
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &637 \\
&\text{ครั้งที่ 1: } 63 + (7 \times 4) = 91 \\
&\text{ครั้งที่ 2: } 9 + (1 \times 4) = 13 \\
&\text{เนื่องจาก } 13 \div 13 = 1 \text{ (ลงตัว)} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32}
หารด้วย 13 ลงตัว} \\[8pt]
\text{2) } &169 \\
&\text{ครั้งที่ 1: } 16 + (9 \times 4) = 52 \\
&\text{ครั้งที่ 2: } 5 + (2 \times 4) = 13 \\
&\text{เนื่องจาก } 13 \div 13 = 1 \text{ (ลงตัว)} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32}
หารด้วย
13 ลงตัว} \\[8pt]
\text{3) } &1,001 \\
&\text{ครั้งที่ 1: } 100 + (1 \times 4) = 104 \\
&\text{ครั้งที่ 2: } 10 + (4 \times 4) = 26 \\
&\text{เนื่องจาก } 26 \div 13 = 2 \text{ (ลงตัว)} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32}
หารด้วย
13 ลงตัว} \\[8pt]
\text{4) } &144 \\
&\text{ครั้งที่ 1: } 14 + (4 \times 4) = 30 \\
&\text{เนื่องจาก } 30 \div 13 \text{ (ไม่ลงตัว)} \\&\implies \textbf{\color{#c62828} หารด้วย
13
ไม่ลงตัว} \\[8pt]
\text{5) } &130 \\
&\text{ครั้งที่ 1: } 13 + (0 \times 4) = 13 \\
&\text{เนื่องจาก } 13 \div 13 = 1 \text{ (ลงตัว)} \\&\implies \textbf{\color{#2e7d32}
หารด้วย
13 ลงตัว}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{1) } &637 \\
&\text{Step 1: } 63 + (7 \times 4) = 91 \\
&\text{Step 2: } 9 + (1 \times 4) = 13 \\
&\text{Since } 13 \div 13 = 1 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
13} \\[8pt]
\text{2) } &169 \\
&\text{Step 1: } 16 + (9 \times 4) = 52 \\
&\text{Step 2: } 5 + (2 \times 4) = 13 \\
&\text{Since } 13 \div 13 = 1 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
13} \\[8pt]
\text{3) } &1,001 \\
&\text{Step 1: } 100 + (1 \times 4) = 104 \\
&\text{Step 2: } 10 + (4 \times 4) = 26 \\
&\text{Since } 26 \div 13 = 2 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
13} \\[8pt]
\text{4) } &144 \\
&\text{Step 1: } 14 + (4 \times 4) = 30 \\
&\text{Since } 30 \div 13 \text{ (not exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#c62828} Not Divisible
by 13} \\[8pt]
\text{5) } &130 \\
&\text{Step 1: } 13 + (0 \times 4) = 13 \\
&\text{Since } 13 \div 13 = 1 \text{ (exact)} \\
&\implies \textbf{\color{#2e7d32} Divisible by
13}
\end{aligned}
$$
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Divisibility | dividere (to divide) + -abilis (able to) | การหารลงตัว · คุณสมบัติของตัวเลขที่สามารถถูกหารด้วยอีกจำนวนได้โดยไม่มีเศษเหลือ |
| Digit | digitus (finger, toe) | เลขโดด · ตัวเลขตัวเดียว (0-9) ที่นำมาประกอบกันเป็นจำนวน |
| Even Number | efen (level, equal) | จำนวนคู่ · จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัวเสมอ |
| Sum | summa (total) | ผลรวม / ผลบวก · ผลลัพธ์ที่ได้จากการนำตัวเลขมาบวกกัน |
| Composite Number | com- (together) + ponere (to place) | จำนวนประกอบ · จำนวนที่มีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว (เกิดจากการประกอบกันของจำนวนอื่น) |
| Alternate | alternare (to do by turns) | สลับกัน · การทำสิ่งหนึ่งสลับกับอีกสิ่งหนึ่งเป็นรูปแบบ เช่น บวก ลบ บวก ลบ |