สมบัติของจำนวนนับ (เพิ่มเติม)

หลังจากที่เราได้ศึกษาพื้นฐานของ ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) และ ผลคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของจำนวนเต็มไปแล้ว ในระดับที่สูงขึ้น เราสามารถนำหลักการเหล่านี้มาประยุกต์ใช้กับ เศษส่วน รวมถึงการทำความเข้าใจความสัมพันธ์เชิงลึกระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. และคุณสมบัติพิเศษของ จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพื่อนำไปใช้แก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนขึ้นได้

After mastering the basics of the Greatest Common Divisor (GCD) and Least Common Multiple (LCM) for integers, we can extend these concepts to fractions. Furthermore, understanding the deep relationship between GCD and LCM, along with the properties of Relatively Prime Numbers, equips us to solve more complex word problems.

ห.ร.ม. ของเศษส่วน GCD of Fractions

การหา ห.ร.ม. ของกลุ่มเศษส่วน มีหลักการสำคัญคือ ต้องทำเศษส่วนทุกจำนวนให้อยู่ในรูป "เศษส่วนอย่างต่ำ" เสียก่อน จากนั้นจึงใช้สูตร:

$$\text{ห.ร.ม. ของเศษส่วน} = \frac{\text{ห.ร.ม. ของตัวเศษ}}{\text{ค.ร.น. ของตัวส่วน}}$$

To find the GCD of fractions, all fractions must first be simplified to their "lowest terms". Then, apply the formula:

$$\text{GCD of Fractions} = \frac{\text{GCD of Numerators}}{\text{LCM of Denominators}}$$

Example 1.1

จงหา ห.ร.ม. ของ $\displaystyle \frac{2}{3}$ และ $\displaystyle \frac{4}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวเศษคือ } \color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}} &\implies \text{ห.ร.ม. ของตัวเศษ คือ } \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ \text{ตัวส่วนคือ } \color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{5}} &\implies \text{ค.ร.น. ของตัวส่วน คือ } \color{#2e7d32}{\mathbf{15}} \\ \text{ดังนั้น ห.ร.ม. ของเศษส่วน} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{15}}} \end{aligned} $$

Find the GCD of $\displaystyle \frac{2}{3}$ and $\displaystyle \frac{4}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{Numerators are } \color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}} &\implies \text{GCD of numerators is } \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ \text{Denominators are } \color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{5}} &\implies \text{LCM of denominators is } \color{#2e7d32}{\mathbf{15}} \\ \text{Thus, GCD of fractions} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{15}}} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหา ห.ร.ม. ของ $\displaystyle \frac{6}{8}$ และ $\displaystyle \frac{9}{12}$

⚠️ ต้องทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำก่อนเสมอ

$$ \begin{aligned} \text{แปลงรูป } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{6}{8}}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \\ \text{แปลงรูป } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{9}{12}}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \\ \text{หา ห.ร.ม. ของ } \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \text{ และ } \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} &= \frac{\text{ห.ร.ม. } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}},\color{#3949ab}{\mathbf{3}})}{\text{ค.ร.น. } (\color{#3949ab}{\mathbf{4}},\color{#3949ab}{\mathbf{4}})} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \end{aligned} $$

Find the GCD of $\displaystyle \frac{6}{8}$ and $\displaystyle \frac{9}{12}$

⚠️ Must simplify to lowest terms first

$$ \begin{aligned} \text{Simplify } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{6}{8}}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \\ \text{Simplify } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{9}{12}}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \\ \text{GCD of } \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \text{ and } \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} &= \frac{\text{GCD } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}},\color{#3949ab}{\mathbf{3}})}{\text{LCM } (\color{#3949ab}{\mathbf{4}},\color{#3949ab}{\mathbf{4}})} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหา ห.ร.ม. ของ $\displaystyle \frac{3}{4}$, $\displaystyle \frac{6}{7}$ และ $\displaystyle \frac{9}{10}$

$$ \begin{aligned} \text{ห.ร.ม. ตัวเศษ } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{6}}, \color{#3949ab}{\mathbf{9}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \text{ค.ร.น. ตัวส่วน } (\color{#3949ab}{\mathbf{4}}, \color{#3949ab}{\mathbf{7}}, \color{#3949ab}{\mathbf{10}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{140}} \\ \text{ห.ร.ม. ของเศษส่วน} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{140}}} \end{aligned} $$

Find the GCD of $\displaystyle \frac{3}{4}$, $\displaystyle \frac{6}{7}$ and $\displaystyle \frac{9}{10}$

$$ \begin{aligned} \text{GCD of numerators } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{6}}, \color{#3949ab}{\mathbf{9}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \text{LCM of denominators } (\color{#3949ab}{\mathbf{4}}, \color{#3949ab}{\mathbf{7}}, \color{#3949ab}{\mathbf{10}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{140}} \\ \text{GCD of fractions} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{140}}} \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนเต็ม 4 และเศษส่วน $\displaystyle \frac{8}{3}$

แปลงจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนโดยให้ส่วนเป็น 1

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนคือ } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{4}{1}}} \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{8}{3}}} \\ \text{ห.ร.ม. ตัวเศษ } (\color{#3949ab}{\mathbf{4}}, \color{#3949ab}{\mathbf{8}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \\ \text{ค.ร.น. ตัวส่วน } (\color{#3949ab}{\mathbf{1}}, \color{#3949ab}{\mathbf{3}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \text{ห.ร.ม. ของเศษส่วน} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{4}{3}}} \end{aligned} $$

Find the GCD of integer 4 and fraction $\displaystyle \frac{8}{3}$

Convert integer to a fraction with denominator 1

$$ \begin{aligned} \text{Numbers are } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{4}{1}}} \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{8}{3}}} \\ \text{GCD of numerators } (\color{#3949ab}{\mathbf{4}}, \color{#3949ab}{\mathbf{8}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \\ \text{LCM of denominators } (\color{#3949ab}{\mathbf{1}}, \color{#3949ab}{\mathbf{3}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \text{GCD of fractions} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{4}{3}}} \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนคละ $1\frac{1}{2}$ และ $2\frac{1}{4}$

แปลงเป็นเศษเกินก่อนเสมอ

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{1\frac{1}{2}}} = \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{3}{2}}} \quad \text{และ} \quad \color{#3949ab}{\mathbf{2\frac{1}{4}}} &= \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{9}{4}}} \\ \text{ห.ร.ม. ตัวเศษ } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{9}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \text{ค.ร.น. ตัวส่วน } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \\ \text{ห.ร.ม. ของเศษส่วน} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \end{aligned} $$

Find the GCD of mixed numbers $1\frac{1}{2}$ and $2\frac{1}{4}$

Convert to improper fractions first

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{1\frac{1}{2}}} = \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{3}{2}}} \quad \text{and} \quad \color{#3949ab}{\mathbf{2\frac{1}{4}}} &= \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{9}{4}}} \\ \text{GCD of numerators } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{9}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \text{LCM of denominators } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \\ \text{GCD of fractions} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{3}{4}}} \end{aligned} $$

ค.ร.น. ของเศษส่วน LCM of Fractions

ในทำนองเดียวกัน การหา ค.ร.น. ของเศษส่วน ก็ต้องแน่ใจว่า ทุกจำนวนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว จึงใช้สูตรที่สลับกันกับการหา ห.ร.ม. ดังนี้:

$$\text{ค.ร.น. ของเศษส่วน} = \frac{\text{ค.ร.น. ของตัวเศษ}}{\text{ห.ร.ม. ของตัวส่วน}}$$

Similarly, to find the LCM of fractions, ensure all numbers are in lowest terms, then use the inverted formula:

$$\text{LCM of Fractions} = \frac{\text{LCM of Numerators}}{\text{GCD of Denominators}}$$

Example 2.1

จงหา ค.ร.น. ของ $\displaystyle \frac{2}{3}$ และ $\displaystyle \frac{4}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{ค.ร.น. ตัวเศษ } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \\ \text{ห.ร.ม. ตัวส่วน } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{5}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ \text{ค.ร.น. ของเศษส่วน} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{4}{1}}} = \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \end{aligned} $$

Find the LCM of $\displaystyle \frac{2}{3}$ and $\displaystyle \frac{4}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{LCM of numerators } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \\ \text{GCD of denominators } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{5}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ \text{LCM of fractions} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{4}{1}}} = \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหา ค.ร.น. ของ $\displaystyle \frac{4}{6}$ และ $\displaystyle \frac{10}{15}$

$$ \begin{aligned} \text{ทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{4}{6}}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} \\ \text{ทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{10}{15}}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} \\ \text{ค.ร.น. ของ } \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} \text{ และ } \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} &= \frac{\text{ค.ร.น. } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}},\color{#3949ab}{\mathbf{2}})}{\text{ห.ร.ม. } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}},\color{#3949ab}{\mathbf{3}})} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} \end{aligned} $$

Find the LCM of $\displaystyle \frac{4}{6}$ and $\displaystyle \frac{10}{15}$

$$ \begin{aligned} \text{Simplify } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{4}{6}}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} \\ \text{Simplify } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{10}{15}}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} \\ \text{LCM of } \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} \text{ and } \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} &= \frac{\text{LCM } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}},\color{#3949ab}{\mathbf{2}})}{\text{GCD } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}},\color{#3949ab}{\mathbf{3}})} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{2}{3}}} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหา ค.ร.น. ของ $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{3}{4}$ และ $\displaystyle \frac{5}{6}$

$$ \begin{aligned} \text{ค.ร.น. ตัวเศษ } (\color{#3949ab}{\mathbf{1}}, \color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{5}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{15}} \\ \text{ห.ร.ม. ตัวส่วน } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}}, \color{#3949ab}{\mathbf{6}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ \text{ค.ร.น. ของเศษส่วน} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{15}{2}}} \end{aligned} $$

Find the LCM of $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{3}{4}$ and $\displaystyle \frac{5}{6}$

$$ \begin{aligned} \text{LCM of numerators } (\color{#3949ab}{\mathbf{1}}, \color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{5}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{15}} \\ \text{GCD of denominators } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}}, \color{#3949ab}{\mathbf{6}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ \text{LCM of fractions} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{15}{2}}} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ $\displaystyle \frac{5}{3}$

$$ \begin{aligned} \text{แปลงรูปเป็น } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{2}{1}}} \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{5}{3}}} \\ \text{ค.ร.น. ตัวเศษ } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{5}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{10}} \\ \text{ห.ร.ม. ตัวส่วน } (\color{#3949ab}{\mathbf{1}}, \color{#3949ab}{\mathbf{3}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ \text{ค.ร.น. ของเศษส่วน} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{10}{1}}} = \color{#2e7d32}{\mathbf{10}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 2 and $\displaystyle \frac{5}{3}$

$$ \begin{aligned} \text{Format as } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{2}{1}}} \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{5}{3}}} \\ \text{LCM of numerators } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{5}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{10}} \\ \text{GCD of denominators } (\color{#3949ab}{\mathbf{1}}, \color{#3949ab}{\mathbf{3}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ \text{LCM of fractions} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{10}{1}}} = \color{#2e7d32}{\mathbf{10}} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหา ค.ร.น. ของ $2\frac{2}{3}$ และ $1\frac{5}{6}$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{2\frac{2}{3}}} = \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{8}{3}}} \quad \text{และ} \quad \color{#3949ab}{\mathbf{1\frac{5}{6}}} &= \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{11}{6}}} \\ \text{ค.ร.น. ตัวเศษ } (\color{#3949ab}{\mathbf{8}}, \color{#3949ab}{\mathbf{11}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{88}} \\ \text{ห.ร.ม. ตัวส่วน } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{6}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \text{ค.ร.น. ของเศษส่วน} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{88}{3}}} \end{aligned} $$

Find the LCM of $2\frac{2}{3}$ and $1\frac{5}{6}$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{2\frac{2}{3}}} = \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{8}{3}}} \quad \text{and} \quad \color{#3949ab}{\mathbf{1\frac{5}{6}}} &= \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{11}{6}}} \\ \text{LCM of numerators } (\color{#3949ab}{\mathbf{8}}, \color{#3949ab}{\mathbf{11}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{88}} \\ \text{GCD of denominators } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{6}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \text{LCM of fractions} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{88}{3}}} \end{aligned} $$

ความสัมพันธ์ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. Relationship Between GCD & LCM

สำหรับจำนวนนับ สองจำนวน สมมติให้เป็น $A$ และ $B$ จะมีกฎความสัมพันธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งคือ ผลคูณของสองจำนวนนั้น จะเท่ากับ ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของสองจำนวนนั้นเสมอ

$$A \times B = \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.}$$

For any two natural numbers, let's call them $A$ and $B$, there is a fundamental relationship: the product of the two numbers is always equal to the product of their GCD and LCM.

$$A \times B = \text{GCD} \times \text{LCM}$$

Example 3.1

กำหนดให้จำนวนสองจำนวนคือ 12 และ 18 จงตรวจสอบความสัมพันธ์ของผลคูณ

$$ \begin{aligned} \text{ห.ร.ม. ของ } (\color{#3949ab}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{18}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \\ \text{ค.ร.น. ของ } (\color{#3949ab}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{18}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{36}} \\ \text{ผลคูณของสองจำนวน } \implies \color{#3949ab}{\mathbf{12}} \times \color{#3949ab}{\mathbf{18}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{216}} \\ \text{ห.ร.ม. } \times \text{ ค.ร.น. } \implies \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{36}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{216}} \\ \text{สรุปได้ว่า } \color{#2e7d32}{\mathbf{216}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{216}} \quad \text{(เป็นจริง)} \end{aligned} $$

Given two numbers 12 and 18, verify their product relationship.

$$ \begin{aligned} \text{GCD of } (\color{#3949ab}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{18}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \\ \text{LCM of } (\color{#3949ab}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{18}}) &= \color{#2e7d32}{\mathbf{36}} \\ \text{Product of numbers } \implies \color{#3949ab}{\mathbf{12}} \times \color{#3949ab}{\mathbf{18}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{216}} \\ \text{GCD } \times \text{ LCM } \implies \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{36}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{216}} \\ \text{Conclusion: } \color{#2e7d32}{\mathbf{216}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{216}} \quad \text{(True)} \end{aligned} $$

Example 3.2

จำนวนนับสองจำนวนมี ห.ร.ม. คือ 5 และ ค.ร.น. คือ 30 ถ้าจำนวนหนึ่งคือ 10 จงหาอีกจำนวนหนึ่ง

$$ \begin{aligned} A \times B &= \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{10}} \times B &= \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{30}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{10}}B &= \color{#2e7d32}{\mathbf{150}} \\ B &= \frac{\color{#2e7d32}{\mathbf{150}}}{\color{#3949ab}{\mathbf{10}}} \\ B &= \color{#2e7d32}{\mathbf{15}} \end{aligned} $$

Two numbers have a GCD of 5 and an LCM of 30. If one number is 10, find the other.

$$ \begin{aligned} A \times B &= \text{GCD} \times \text{LCM} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{10}} \times B &= \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{30}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{10}}B &= \color{#2e7d32}{\mathbf{150}} \\ B &= \frac{\color{#2e7d32}{\mathbf{150}}}{\color{#3949ab}{\mathbf{10}}} \\ B &= \color{#2e7d32}{\mathbf{15}} \end{aligned} $$

Example 3.3

ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนเท่ากับ 240 และ ห.ร.ม. ของสองจำนวนนี้คือ 4 จงหา ค.ร.น.

$$ \begin{aligned} \text{ผลคูณของสองจำนวน} &= \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{240}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \times \text{ค.ร.น.} \\ \text{ค.ร.น.} &= \frac{\color{#3949ab}{\mathbf{240}}}{\color{#2e7d32}{\mathbf{4}}} \\ \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \end{aligned} $$

The product of two natural numbers is 240 and their GCD is 4. Find their LCM.

$$ \begin{aligned} \text{Product of numbers} &= \text{GCD} \times \text{LCM} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{240}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \times \text{LCM} \\ \text{LCM} &= \frac{\color{#3949ab}{\mathbf{240}}}{\color{#2e7d32}{\mathbf{4}}} \\ \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \end{aligned} $$

Example 3.4

เป็นไปได้หรือไม่ที่จำนวนนับสองจำนวนจะมี ห.ร.ม. เป็น 8 และ ค.ร.น. เป็น 20?

$$ \begin{aligned} &\text{ตามสมบัติทางคณิตศาสตร์ ค.ร.น. จะต้องหารด้วย ห.ร.ม. ลงตัวเสมอ} \\ &\text{ตรวจสอบ: } \frac{\text{ค.ร.น.}}{\text{ห.ร.ม.}} = \frac{\color{#3949ab}{\mathbf{20}}}{\color{#3949ab}{\mathbf{8}}} = \color{#c62828}{\mathbf{2.5}} \\ &\textbf{\color{#c62828}เป็นไปไม่ได้} \text{ เพราะหารไม่ลงตัว} \end{aligned} $$

Is it possible for two natural numbers to have a GCD of 8 and an LCM of 20?

$$ \begin{aligned} &\text{Mathematically, the LCM must always be perfectly divisible by the GCD.} \\ &\text{Check: } \frac{\text{LCM}}{\text{GCD}} = \frac{\color{#3949ab}{\mathbf{20}}}{\color{#3949ab}{\mathbf{8}}} = \color{#c62828}{\mathbf{2.5}} \\ &\textbf{\color{#c62828}Impossible} \text{ because it does not divide evenly.} \end{aligned} $$

Example 3.5

จำนวนนับ $x$ และ $y$ มี ห.ร.ม. คือ 7 และ ค.ร.น. คือ 42 จงหาผลคูณของ $x$ และ $y$

$$ \begin{aligned} x \cdot y &= \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.} \\ x \cdot y &= \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{42}} \\ x \cdot y &= \color{#2e7d32}{\mathbf{294}} \end{aligned} $$

Natural numbers $x$ and $y$ have a GCD of 7 and an LCM of 42. Find the product of $x$ and $y$.

$$ \begin{aligned} x \cdot y &= \text{GCD} \times \text{LCM} \\ x \cdot y &= \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{42}} \\ x \cdot y &= \color{#2e7d32}{\mathbf{294}} \end{aligned} $$

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ Relatively Prime Numbers

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Coprimes / Relatively Prime Numbers) คือ จำนวนนับสองจำนวนขึ้นไปที่ มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 (หมายความว่าไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นใดเลยนอกจาก 1)

ข้อสังเกต: ไม่จำเป็นที่จำนวนเหล่านั้นจะต้องเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น 8 และ 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะทั้งคู่ แต่ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน (ห.ร.ม. = 1) จึงถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ต่อกัน และ ค.ร.น. ของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะเท่ากับผลคูณของสองจำนวนนั้นเสมอ

Relatively Prime Numbers (or Coprimes) are two or more natural numbers whose Greatest Common Divisor (GCD) is exactly 1 (meaning they share no common factors other than 1).

Note: The numbers themselves do not have to be prime. For instance, 8 and 9 are composite numbers, but they share no common factors (GCD = 1), so they are relatively prime to each other. Furthermore, the LCM of relatively prime numbers is always their product.

Example 4.1

จงพิจารณาว่า 8 และ 15 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } \color{#3949ab}{\mathbf{8}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}, 2, 4, 8 \\ \text{ตัวประกอบของ } \color{#3949ab}{\mathbf{15}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}, 3, 5, 15 \\ \text{ตัวประกอบร่วมมีเพียง } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{ ดังนั้น ห.ร.ม. } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ \textbf{ตอบ:} \text{ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์} \end{aligned} $$

Determine if 8 and 15 are relatively prime.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } \color{#3949ab}{\mathbf{8}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}, 2, 4, 8 \\ \text{Factors of } \color{#3949ab}{\mathbf{15}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}, 3, 5, 15 \\ \text{The only common factor is } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}\text{, so GCD } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ \textbf{Ans:} \text{ They are relatively prime.} \end{aligned} $$

Example 4.2

จงพิจารณาว่า 14 และ 21 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } \color{#3949ab}{\mathbf{14}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}, 2, \color{#2e7d32}{\mathbf{7}}, 14 \\ \text{ตัวประกอบของ } \color{#3949ab}{\mathbf{21}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}, 3, \color{#2e7d32}{\mathbf{7}}, 21 \\ \text{มีตัวประกอบร่วมคือ } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{ และ } \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \implies \text{ห.ร.ม. } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ \textbf{ตอบ:} \text{ } \textbf{\color{#c62828}ไม่เป็น}\text{ จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์} \end{aligned} $$

Determine if 14 and 21 are relatively prime.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } \color{#3949ab}{\mathbf{14}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}, 2, \color{#2e7d32}{\mathbf{7}}, 14 \\ \text{Factors of } \color{#3949ab}{\mathbf{21}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}, 3, \color{#2e7d32}{\mathbf{7}}, 21 \\ \text{Common factors are } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{ and } \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \implies \text{GCD } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ \textbf{Ans:} \text{ They are } \textbf{\color{#c62828}not}\text{ relatively prime.} \end{aligned} $$

Example 4.3

ถ้า $A$ และ $B$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน จงหา ค.ร.น. ของ 8 และ 11

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } \color{#3949ab}{\mathbf{8}} \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{11}} \text{ มี ห.ร.ม. } = \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ \text{ค.ร.น. ของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ } &= \text{ผลคูณของสองจำนวนนั้น} \\ \text{ค.ร.น.} &= \color{#3949ab}{\mathbf{8}} \times \color{#3949ab}{\mathbf{11}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{88}} \end{aligned} $$

If $A$ and $B$ are relatively prime, find the LCM of 8 and 11.

$$ \begin{aligned} \text{Since } \color{#3949ab}{\mathbf{8}} \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{11}} \text{ have a GCD of } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ \text{LCM of coprimes } &= \text{Product of the numbers} \\ \text{LCM} &= \color{#3949ab}{\mathbf{8}} \times \color{#3949ab}{\mathbf{11}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{88}} \end{aligned} $$

Example 4.4

จำนวนนับที่เรียงติดกันสองจำนวน (เช่น 25 และ 26) เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเสมอหรือไม่?

$$ \begin{aligned} &\text{จำนวนนับที่เรียงติดกัน จะไม่มีตัวประกอบร่วมใดๆ นอกจาก } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{ เสมอ} \\ &\text{เช่น } \color{#3949ab}{\mathbf{25}} = 5 \times 5 \quad \text{และ} \quad \color{#3949ab}{\mathbf{26}} = 2 \times 13 \\ &\text{ห.ร.ม. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{25}} \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{26}} \text{ คือ } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ &\textbf{ตอบ: } \text{เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเสมอ} \end{aligned} $$

Are two consecutive natural numbers (like 25 and 26) always relatively prime?

$$ \begin{aligned} &\text{Consecutive integers never share any common factors other than } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}}. \\ &\text{e.g., } \color{#3949ab}{\mathbf{25}} = 5 \times 5 \quad \text{and} \quad \color{#3949ab}{\mathbf{26}} = 2 \times 13 \\ &\text{GCD of } \color{#3949ab}{\mathbf{25}} \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{26}} \text{ is } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ &\textbf{Ans: } \text{Yes, they are always relatively prime.} \end{aligned} $$

Example 4.5

จงหาจำนวนนับ 1 จำนวน ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 12

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบเฉพาะของ } \color{#3949ab}{\mathbf{12}} \text{ คือ } 2 \text{ และ } 3 \\ \text{ต้องหาตัวเลขที่หารด้วย } 2 \text{ และ } 3 \text{ ไม่ลงตัว} \\ \text{เช่น } 5, 7, 11, 13, \color{#2e7d32}{\mathbf{25}}, 31 \text{ ฯลฯ} \\ \textbf{ตอบ: } \text{สมมติเลือก } \color{#2e7d32}{\mathbf{25}} \text{ (ห.ร.ม. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{12}} \text{ กับ } \color{#2e7d32}{\mathbf{25}} \text{ คือ } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{)} \end{aligned} $$

Find 1 natural number that is relatively prime to 12.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factors of } \color{#3949ab}{\mathbf{12}} \text{ are } 2 \text{ and } 3 \\ \text{We need a number not divisible by } 2 \text{ or } 3 \\ \text{e.g., } 5, 7, 11, 13, \color{#2e7d32}{\mathbf{25}}, 31 \text{, etc.} \\ \textbf{Ans: } \text{Let's choose } \color{#2e7d32}{\mathbf{25}} \text{ (GCD of } \color{#3949ab}{\mathbf{12}} \text{ and } \color{#2e7d32}{\mathbf{25}} \text{ is } \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{)} \end{aligned} $$

โจทย์ปัญหาประยุกต์ Word Problems Application

การแก้โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. มีจุดสังเกตสำคัญดังนี้:

ห.ร.ม. มักใช้กับคำว่า "แบ่งให้เท่ากัน", "ตัดเป็นท่อนให้ยาวที่สุด", "จัดกลุ่มให้ได้มากที่สุด" โดยไม่เหลือเศษ
ค.ร.น. มักใช้กับคำว่า "พร้อมกันอีกครั้ง", "บรรจบกัน", "เสียงกระดิ่งดังพร้อมกัน"

Key indicators for solving GCD and LCM word problems:

GCD is used for phrases like "divide equally", "cut into longest pieces", "group into maximum size" without remainders.
LCM is used for phrases like "together again", "meet at the same time", "bells ring simultaneously".

Example 5.1

นาฬิกาปลุก 3 เรือน ตั้งเวลาให้ดังทุกๆ 15 นาที, 20 นาที และ 30 นาที ตามลำดับ ถ้านาฬิกาทั้งสามเรือนดังพร้อมกันเวลา 08.00 น. จะดังพร้อมกันอีกครั้งเวลาใด?

$$ \begin{aligned} \text{หา ค.ร.น. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{15}}, \color{#3949ab}{\mathbf{20}}, \color{#3949ab}{\mathbf{30}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{15}} &= 3 \times 5 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{20}} &= 2^2 \times 5 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{30}} &= 2 \times 3 \times 5 \\ \text{ค.ร.น.} &= 2^2 \times 3 \times 5 = \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \text{ นาที} \\ &\text{อีก } \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \text{ นาที (1 ชั่วโมง) คือเวลา } \color{#2e7d32}{\mathbf{09.00 น.}} \end{aligned} $$

Three alarms ring every 15, 20, and 30 minutes respectively. If they all ring together at 08:00 AM, at what time will they ring together again?

$$ \begin{aligned} \text{Find LCM of } \color{#3949ab}{\mathbf{15}}, \color{#3949ab}{\mathbf{20}}, \color{#3949ab}{\mathbf{30}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{15}} &= 3 \times 5 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{20}} &= 2^2 \times 5 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{30}} &= 2 \times 3 \times 5 \\ \text{LCM} &= 2^2 \times 3 \times 5 = \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \text{ minutes} \\ &\text{60 mins (1 hour) later is } \color{#2e7d32}{\mathbf{09:00 AM.}} \end{aligned} $$

Example 5.2

มีเชือก 3 เส้น ยาว 12, 18 และ 24 เมตร ต้องการตัดเป็นเส้นสั้นๆ ให้ยาวเท่ากันและยาวที่สุด โดยไม่เหลือเศษ จะตัดได้ยาวเส้นละกี่เมตร?

$$ \begin{aligned} \text{หา ห.ร.ม. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{18}}, \color{#3949ab}{\mathbf{24}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{12}} &= 2^2 \times 3 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{18}} &= 2 \times 3^2 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{24}} &= 2^3 \times 3 \\ \text{ห.ร.ม.} &= 2 \times 3 = \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \text{ เมตร} \end{aligned} $$

Three ropes are 12, 18, and 24 meters long. They need to be cut into equal, longest possible pieces with no leftovers. How long will each piece be?

$$ \begin{aligned} \text{Find GCD of } \color{#3949ab}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{18}}, \color{#3949ab}{\mathbf{24}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{12}} &= 2^2 \times 3 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{18}} &= 2 \times 3^2 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{24}} &= 2^3 \times 3 \\ \text{GCD} &= 2 \times 3 = \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \text{ meters} \end{aligned} $$

Example 5.3

นักวิ่งสองคนวิ่งรอบสนาม คนแรกใช้เวลา $1\frac{1}{2}$ นาที คนที่สองใช้เวลา $2\frac{1}{4}$ นาที ถ้าเริ่มวิ่งพร้อมกัน ทั้งคู่จะวิ่งผ่านจุดเริ่มต้นพร้อมกันอีกครั้งเมื่อเวลาผ่านไปกี่นาที?

$$ \begin{aligned} \text{แปลงเป็นเศษส่วน: } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{3}{2}}} \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{9}{4}}} \\ \text{หา ค.ร.น. ของเศษส่วน} &= \frac{\text{ค.ร.น. } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{9}})}{\text{ห.ร.ม. } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}})} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{9}{2}}} \text{ นาที} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4.5}} \text{ นาที} \quad \text{(หรือ 4 นาที 30 วินาที)} \end{aligned} $$

Two athletes run around a track. The first takes $1\frac{1}{2}$ mins, the second takes $2\frac{1}{4}$ mins. If they start together, after how many minutes will they cross the start line together again?

$$ \begin{aligned} \text{Convert to fractions: } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{3}{2}}} \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{\frac{9}{4}}} \\ \text{Find LCM of fractions} &= \frac{\text{LCM } (\color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{9}})}{\text{GCD } (\color{#3949ab}{\mathbf{2}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}})} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{\frac{9}{2}}} \text{ minutes} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4.5}} \text{ minutes} \quad \text{(or 4 mins 30 secs)} \end{aligned} $$

Example 5.4

ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนคือ 384 และ ค.ร.น. คือ 48 จงหา ห.ร.ม. ของสองจำนวนนี้

$$ \begin{aligned} \text{จากสูตร } A \times B &= \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{384}} &= \text{ห.ร.ม.} \times \color{#3949ab}{\mathbf{48}} \\ \text{ห.ร.ม.} &= \frac{\color{#3949ab}{\mathbf{384}}}{\color{#3949ab}{\mathbf{48}}} \\ \text{ห.ร.ม.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{8}} \end{aligned} $$

The product of two natural numbers is 384 and their LCM is 48. Find their GCD.

$$ \begin{aligned} \text{From formula } A \times B &= \text{GCD} \times \text{LCM} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{384}} &= \text{GCD} \times \color{#3949ab}{\mathbf{48}} \\ \text{GCD} &= \frac{\color{#3949ab}{\mathbf{384}}}{\color{#3949ab}{\mathbf{48}}} \\ \text{GCD} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{8}} \end{aligned} $$

Example 5.5

ลานสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 24 เมตร ยาว 36 เมตร ต้องการปูกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดใหญ่ที่สุดโดยไม่ต้องตัดกระเบื้อง จะต้องใช้กระเบื้องทั้งหมดกี่แผ่น?

$$ \begin{aligned} \text{1. หาขนาดกระเบื้อง (ห.ร.ม. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{24}}, \color{#3949ab}{\mathbf{36}}\text{)} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \text{ เมตร/ด้าน} \\ \text{2. หาจำนวนกระเบื้อง} &= \frac{\text{พื้นที่ลาน}}{\text{พื้นที่กระเบื้อง 1 แผ่น}} \\ &= \frac{\color{#3949ab}{\mathbf{24}} \times \color{#3949ab}{\mathbf{36}}}{\color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}} \\ &= 2 \times 3 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \text{ แผ่น} \end{aligned} $$

A rectangular plaza is 24 m wide and 36 m long. It needs to be paved with the largest possible square tiles without cutting any. How many tiles are needed?

$$ \begin{aligned} \text{1. Find tile size (GCD of } \color{#3949ab}{\mathbf{24}}, \color{#3949ab}{\mathbf{36}}\text{)} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \text{ m/side} \\ \text{2. Find total tiles} &= \frac{\text{Plaza Area}}{\text{Area of 1 tile}} \\ &= \frac{\color{#3949ab}{\mathbf{24}} \times \color{#3949ab}{\mathbf{36}}}{\color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}} \\ &= 2 \times 3 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \text{ tiles} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Greatest Common Divisor (GCD)	dividere (to divide)	ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) · จำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หารตัวเลขกลุ่มหนึ่งลงตัวทั้งหมด (บางครั้งเรียก HCF)
Least Common Multiple (LCM)	multiplex (having many folds)	ผลคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) · จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่สามารถถูกหารด้วยตัวเลขกลุ่มหนึ่งได้ลงตัวทั้งหมด
Fraction	frangere (to break)	เศษส่วน · ตัวเลขที่แสดงถึงส่วนหนึ่งของทั้งหมด ประกอบด้วยตัวเศษและตัวส่วน
Numerator	numerare (to count)	ตัวเศษ · ตัวเลขที่อยู่ด้านบนของเศษส่วน บ่งบอกจำนวนส่วนที่มีอยู่
Denominator	denominare (to name)	ตัวส่วน · ตัวเลขที่อยู่ด้านล่างของเศษส่วน บ่งบอกว่าทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นกี่ส่วน
Relatively Prime / Coprime	co- (together) + primus (first)	จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ · ตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไปที่มีตัวหารร่วมกันเพียงตัวเดียวคือ 1 (ห.ร.ม. = 1)
Relationship	relatio (carrying back)	ความสัมพันธ์ · ความเกี่ยวข้องกันทางคณิตศาสตร์ เช่น A × B = GCD × LCM