สมบัติเพิ่มเติมของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

เศษส่วน / Fractions

ภาษาไทย

การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไม่ได้จำกัดอยู่แค่จำนวนเต็มเท่านั้น เราสามารถหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ของชุดเศษส่วน ได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:

English

Finding the GCD and LCM is not limited to whole numbers. We can calculate the GCD or LCM of fractions using these formulas:

ห.ร.ม. ของเศษส่วน (GCD of Fractions)

ห.ร.ม. =

ห.ร.ม. ของ ตัวเศษ (Numerators) ค.ร.น. ของ ตัวส่วน (Denominators)

ค.ร.น. ของเศษส่วน (LCM of Fractions)

ค.ร.น. =

ค.ร.น. ของ ตัวเศษ (Numerators) ห.ร.ม. ของ ตัวส่วน (Denominators)

ตัวอย่างที่ 1.1 : หา ห.ร.ม. ของเศษส่วน

หา ห.ร.ม. ของ \( \frac{2}{3} \), \( \frac{4}{9} \), \( \frac{8}{15} \)

ขั้นที่ 1: หา ห.ร.ม. ของตัวเศษ (2, 4, 8)
→ ห.ร.ม. = 2

ขั้นที่ 2: หา ค.ร.น. ของตัวส่วน (3, 9, 15)
→ ค.ร.น. = 45
คำตอบ: \( \frac{2}{45} \)

ตัวอย่างที่ 1.2 : หา ค.ร.น. ของเศษส่วน

หา ค.ร.น. ของ \( \frac{2}{3} \), \( \frac{4}{9} \), \( \frac{8}{15} \)

ขั้นที่ 1: หา ค.ร.น. ของตัวเศษ (2, 4, 8)
→ ค.ร.น. = 8

ขั้นที่ 2: หา ห.ร.ม. ของตัวส่วน (3, 9, 15)
→ ห.ร.ม. = 3
คำตอบ: \( \frac{8}{3} \)

ตัวอย่างที่ 1.3 : หา ห.ร.ม. ของเศษส่วน

หา ห.ร.ม. ของ \( \frac{10}{21} \), \( \frac{25}{14} \)

ขั้นที่ 1: หา ห.ร.ม. ของตัวเศษ (10, 25)
→ ห.ร.ม. = 5

ขั้นที่ 2: หา ค.ร.น. ของตัวส่วน (21, 14)
→ ค.ร.น. = 42
คำตอบ: \( \frac{5}{42} \)

ความสัมพันธ์ / Relationship between GCD and LCM

ภาษาไทย

สำหรับเลขจำนวนนับ สองจำนวนใดๆ (สมมติว่าเป็นก้อน \( A \) และ \( B \)) ผลคูณของตัวเลขทั้งสองนั้น จะมีค่าเท่ากับผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของพวกมันเสมอ

English

For any two counting numbers (let's say \( A \) and \( B \)), the product of the two numbers is always equal to the product of their GCD and LCM.

\( A \times B = \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.} \)

(Product of numbers = GCD × LCM)

ตัวอย่างที่ 2.1 : หาตัวเลขที่หายไป

กำหนด ห.ร.ม. = \( 6 \) และ ค.ร.น. = \( 36 \)
ถ้าเลขหนึ่งคือ \( 18 \) จงหาเลขอีกลำดับ (\( B \))

วิธีคิด: \( 18 \times B = 6 \times 36 \)
\( 18 \times B = 216 \)
\( B = \frac{216}{18} = 12 \)
คำตอบ: 12

ตัวอย่างที่ 2.2 : หา ค.ร.น.

เลขสองจำนวนคือ \( 15 \) และ \( A \). ถ้า ห.ร.ม. คือ \( 5 \) และผลคูณของสองจำนวนนี้คือ \( 450 \) จงหา ค.ร.น.

วิธีคิด: ผลคูณ = ห.ร.ม. × ค.ร.น.
\( 450 = 5 \times \text{ค.ร.น.} \)
\( \text{ค.ร.น.} = \frac{450}{5} = 90 \)
คำตอบ: 90

ตัวอย่างที่ 2.3 : หา ห.ร.ม.

เลขสองจำนวนคือ \( 24 \) และ \( 36 \). ถ้า ค.ร.น. คือ \( 72 \) จงหา ห.ร.ม.

วิธีคิด: \( 24 \times 36 = \text{ห.ร.ม.} \times 72 \)
\( 864 = \text{ห.ร.ม.} \times 72 \)
\( \text{ห.ร.ม.} = \frac{864}{72} = 12 \)
คำตอบ: 12

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ / Coprime Numbers

ภาษาไทย

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ คือกลุ่มเลขตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปที่ ไม่มีตัวประกอบร่วมใดๆ ยกเว้น 1 พูดง่ายๆ คือไม่สามารถนำเลขใดมาหารลงตัวได้พร้อมกันนอกจากเลข 1 นั่นเอง

ห.ร.ม. ของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์จะเท่ากับ 1 เสมอ
ค.ร.น. ของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์จะเท่ากับ ผลคูณของพวกมัน ทันที

English

Coprime numbers (or relatively prime numbers) are a set of numbers that share no common factors other than 1.

The GCD of coprime numbers is always 1.
The LCM is simply their product.

ตัวอย่าง 3.1: 14 และ 15

ปัจจัยของ 14: 1, 2, 7, 14
ปัจจัยของ 15: 1, 3, 5, 15
จะเห็นว่ามีตัวประกอบร่วมกันแค่ 1 เท่านั้น.

- ห.ร.ม. = \( 1 \)
- ค.ร.น. = \( 14 \times 15 = 210 \)

ตัวอย่าง 3.2: 8 และ 9

ปัจจัยของ 8: 1, 2, 4, 8
ปัจจัยของ 9: 1, 3, 9
ตัวประกอบร่วมคือ 1 เท่านั้น. เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์!

- ห.ร.ม. = \( 1 \)
- ค.ร.น. = \( 8 \times 9 = 72 \)

ตัวอย่าง 3.3: 20 และ 27

ปัจจัยของ 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
ปัจจัยของ 27: 1, 3, 9, 27
ไม่มีจำนวนเฉพาะที่หารสองจำนวนนี้ลงตัวเลย ห.ร.ม. จึงเป็น 1.

- ห.ร.ม. = \( 1 \)
- ค.ร.น. = \( 20 \times 27 = 540 \)

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Numerator	numerus(number)	ตัวเศษ · The top number in a fraction
Denominator	nomen(name)	ตัวส่วน · The bottom number in a fraction
Relationship	relatus(brought back)	ความสัมพันธ์ · The way in which two or more concepts are connected
Coprime	co-(together) + prime(first)	จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ · Numbers that have no common factors other than 1
Product	pro-(forward) + ducere(to lead)	ผลคูณ · The result of multiplying numbers together