กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

การแยกตัวประกอบ
Factorization

การเขียนในรูปผลคูณ แผนภาพต้นไม้ และการหารสั้น

TH

การแยกตัวประกอบ (Factorization) คือ การเขียนจำนวนนับในรูปการคูณของ ตัวประกอบเฉพาะ (Prime Factors) ซึ่งหมายถึงการแตกตัวเลขนั้นๆ ออกเป็นส่วนย่อยที่สุดจนไม่สามารถแตกได้อีกด้วยการคูณ การแยกตัวประกอบนี้เป็นพื้นฐานสำคัญในการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ในบทเรียนต่อไป

EN

Factorization is the process of expressing a natural number as a product of its Prime Factors. This means breaking down the number into its smallest irreducible multiplicative parts. It is a fundamental skill for finding the Greatest Common Divisor (GCD) and Least Common Multiple (LCM).

1

✖️ การเขียนในรูปผลคูณ ✖️ Writing as a Product

TH

วิธีการนี้เริ่มจากการแยกจำนวนนับออกเป็นผลคูณของสองจำนวนใดๆ ก่อน จากนั้นพิจารณาว่าตัวเลขที่ได้มาเป็นจำนวนเฉพาะหรือยัง หากยังไม่ใช่ ให้แยกตัวประกอบของจำนวนนั้นต่อไปเรื่อยๆ จนกว่าตัวเลขทุกตัวจะเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด แล้วจึงเขียนให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังเพื่อความเรียบร้อย

EN

This method starts by expressing the number as a product of any two factors. Then, check if these factors are prime numbers. If not, continue breaking them down until all numbers in the product are prime. Finally, express repeated primes using exponents for neatness.

Example 1.1

จงแยกตัวประกอบของ $12$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{12} &= \color{#2e7d32}{3} \times \color{#3949ab}{4} \\ &= \color{#2e7d32}{3} \times (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3} \\ &= \color{#2e7d32}{2}^2 \times \color{#2e7d32}{3} \end{aligned} $$

Factorize $12$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{12} &= \color{#2e7d32}{3} \times \color{#3949ab}{4} \\ &= \color{#2e7d32}{3} \times (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3} \\ &= \color{#2e7d32}{2}^2 \times \color{#2e7d32}{3} \end{aligned} $$
Example 1.2

จงแยกตัวประกอบของ $18$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{18} &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#3949ab}{9} \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times (\color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{3}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3}^2 \end{aligned} $$

Factorize $18$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{18} &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#3949ab}{9} \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times (\color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{3}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3}^2 \end{aligned} $$
Example 1.3

จงแยกตัวประกอบของ $30$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{30} &= \color{#2e7d32}{5} \times \color{#3949ab}{6} \\ &= \color{#2e7d32}{5} \times (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{5} \end{aligned} $$

Factorize $30$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{30} &= \color{#2e7d32}{5} \times \color{#3949ab}{6} \\ &= \color{#2e7d32}{5} \times (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{5} \end{aligned} $$
Example 1.4

จงแยกตัวประกอบของ $100$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{100} &= \color{#3949ab}{10} \times \color{#3949ab}{10} \\ &= (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{5}) \times (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{5}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{5} \times \color{#2e7d32}{5} \\ &= \color{#2e7d32}{2}^2 \times \color{#2e7d32}{5}^2 \end{aligned} $$

Factorize $100$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{100} &= \color{#3949ab}{10} \times \color{#3949ab}{10} \\ &= (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{5}) \times (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{5}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{5} \times \color{#2e7d32}{5} \\ &= \color{#2e7d32}{2}^2 \times \color{#2e7d32}{5}^2 \end{aligned} $$
Example 1.5

จงแยกตัวประกอบของ $72$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{72} &= \color{#3949ab}{8} \times \color{#3949ab}{9} \\ &= (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#3949ab}{4}) \times (\color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{3}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2}) \times \color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{3} \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{3} \\ &= \color{#2e7d32}{2}^3 \times \color{#2e7d32}{3}^2 \end{aligned} $$

Factorize $72$

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{72} &= \color{#3949ab}{8} \times \color{#3949ab}{9} \\ &= (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#3949ab}{4}) \times (\color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{3}) \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times (\color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2}) \times \color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{3} \\ &= \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{2} \times \color{#2e7d32}{3} \times \color{#2e7d32}{3} \\ &= \color{#2e7d32}{2}^3 \times \color{#2e7d32}{3}^2 \end{aligned} $$
2

🌳 แผนภาพต้นไม้ 🌳 Tree Diagram

TH

การใช้แผนภาพต้นไม้เป็นการแตกแขนงตัวเลขลงมาคล้ายรากไม้ เพื่อให้เห็นภาพการแยกตัวประกอบที่ชัดเจนขึ้น โดยเริ่มต้นเขียนจำนวนนับไว้ด้านบน แล้วโยงเส้นแตกออกเป็นผลคูณของสองจำนวน ทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนกระทั่งปลายสายทุกเส้นเป็นจำนวนเฉพาะ

EN

Using a tree diagram visually branches out the numbers like roots, making the factorization process clearer. Start with the number at the top, draw branches for two factors, and repeat this until the end of every branch is a prime number.

Example 2.1

จงแยกตัวประกอบของ $16$ โดยใช้แผนภาพต้นไม้

16 4 4 2 2 2 2

$\therefore 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

Factorize $16$ using a tree diagram.

16 4 4 2 2 2 2

$\therefore 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

Example 2.2

จงแยกตัวประกอบของ $24$ โดยใช้แผนภาพต้นไม้

24 4 6 2 2 2 3

$\therefore 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$

Factorize $24$ using a tree diagram.

24 4 6 2 2 2 3

$\dots 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$

Example 2.3

จงแยกตัวประกอบของ $36$ โดยใช้แผนภาพต้นไม้

36 6 6 2 3 2 3

$\therefore 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$

Factorize $36$ using a tree diagram.

36 6 6 2 3 2 3

$\therefore 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$

Example 2.4

จงแยกตัวประกอบของ $50$ โดยใช้แผนภาพต้นไม้

50 5 10 2 5

$\therefore 50 = 2 \times 5 \times 5 = 2 \times 5^2$

Factorize $50$ using a tree diagram.

50 5 10 2 5

$\therefore 50 = 2 \times 5 \times 5 = 2 \times 5^2$

Example 2.5

จงแยกตัวประกอบของ $60$ โดยใช้แผนภาพต้นไม้

60 6 10 2 3 2 5

$\therefore 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

Factorize $60$ using a tree diagram.

60 6 10 2 3 2 5

$\therefore 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

3

➗ การตั้งหาร (หารสั้น) ➗ Short Division

TH

วิธีการนี้เป็นวิธีที่นิยมมากที่สุดสำหรับตัวเลขที่มีค่ามาก โดยการนำ จำนวนเฉพาะ ที่น้อยที่สุดที่สามารถหารจำนวนนั้นลงตัวมาหารไปเรื่อยๆ จนกว่าผลลัพธ์สุดท้ายที่ได้จะเป็นจำนวนเฉพาะ คำตอบคือผลคูณของตัวหารทั้งหมดและผลลัพธ์สุดท้าย

EN

This method is the most popular for larger numbers. Continuously divide the number by the smallest possible prime number until the final quotient is also a prime number. The factorization is the product of all the divisors and the final quotient.

Example 3.1

จงแยกตัวประกอบของ $56$ โดยใช้วิธีหารสั้น

2 2 2 56 28 14 7

$\therefore 56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7$

Factorize $56$ using short division.

2 2 2 56 28 14 7

$\therefore 56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7$

Example 3.2

จงแยกตัวประกอบของ $72$ โดยใช้วิธีหารสั้น

2 2 2 3 72 36 18 9 3

$\therefore 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$

Factorize $72$ using short division.

2 2 2 3 72 36 18 9 3

$\dots 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$

Example 3.3

จงแยกตัวประกอบของ $150$ โดยใช้วิธีหารสั้น

2 3 5 150 75 25 5

$\therefore 150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2 \times 3 \times 5^2$

Factorize $150$ using short division.

2 3 5 150 75 25 5

$\therefore 150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2 \times 3 \times 5^2$

Example 3.4

จงแยกตัวประกอบของ $210$ โดยใช้วิธีหารสั้น

2 3 5 210 105 35 7

$\therefore 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$

Factorize $210$ using short division.

2 3 5 210 105 35 7

$\therefore 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$

Example 3.5

จงแยกตัวประกอบของ $315$ โดยใช้วิธีหารสั้น

3 3 5 315 105 35 7

$\therefore 315 = 3 \times 3 \times 5 \times 7 = 3^2 \times 5 \times 7$

Factorize $315$ using short division.

3 3 5 315 105 35 7

$\therefore 315 = 3 \times 3 \times 5 \times 7 = 3^2 \times 5 \times 7$

\n\n

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Factorization factor (maker, doer) + -ization (process of) การแยกตัวประกอบ · กระบวนการแยกจำนวนให้เป็นผลคูณของตัวประกอบ
Factor facere (to do, to make) ตัวประกอบ · จำนวนนับที่สามารถนำไปหารจำนวนนั้นได้ลงตัว
Prime Number primus (first) จำนวนเฉพาะ · จำนวนนับที่มากกว่า 1 ซึ่งมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง
Product pro- (forward) + ducere (to lead) ผลคูณ · ผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณตัวเลขเข้าด้วยกัน
Tree Diagram tree (plant) + diagramma (figure) แผนภาพต้นไม้ · การแสดงรูปแบบโครงสร้างการแตกแขนงคล้ายกิ่งก้านต้นไม้
Short Division short (brief) + divisio (divide) การหารสั้น · วิธีการหารที่แสดงเฉพาะผลลัพธ์ในแต่ละขั้น นิยมใช้แยกตัวประกอบ