ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)

ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) หรือ Least Common Multiple (LCM) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดที่สามารถนำจำนวนเต็มบวกอื่นๆ ตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปมาหารลงตัวได้พอดี การหา ค.ร.น. มีประโยชน์อย่างมากในการบวกลบเศษส่วนที่ไม่เท่ากัน และการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นเป็นรอบเวลา

The Least Common Multiple (LCM) is the smallest positive integer that is perfectly divisible by two or more given positive integers. Finding the LCM is extremely useful for adding/subtracting fractions with different denominators and solving word problems involving recurring cycles.

การหาผลคูณร่วม Finding Common Multiples

วิธีพื้นฐานที่สุดคือการแจกแจง "พหุคูณ" (Multiples) หรือท่องสูตรคูณของแต่ละจำนวนไปเรื่อยๆ จากนั้นมองหาตัวเลขชุดที่ซ้ำกัน (ผลคูณร่วม) แล้วเลือกตัวเลขที่มีค่า น้อยที่สุด มาเป็นคำตอบ

The most basic method is to list the "Multiples" of each number. Then, identify the common numbers shared among all lists, and select the smallest one as the answer.

Example 1.1

จงหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 โดยการหาผลคูณร่วม

$$ \begin{aligned} \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{4}} \text{ คือ } &\ 4, 8, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 16, 20, \color{#3949ab}{\mathbf{24}}, \dots \\ \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{6}} \text{ คือ } &\ 6, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 18, \color{#3949ab}{\mathbf{24}}, 30, \dots \\ \text{ผลคูณร่วม คือ } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{24}}, \dots \\ \text{ดังนั้น ค.ร.น. คือ } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \quad \text{(ค่าน้อยที่สุด)} \end{aligned} $$

Find the LCM of 4 and 6 by listing multiples.

$$ \begin{aligned} \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{4}} \text{ are } &\ 4, 8, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 16, 20, \color{#3949ab}{\mathbf{24}}, \dots \\ \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{6}} \text{ are } &\ 6, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 18, \color{#3949ab}{\mathbf{24}}, 30, \dots \\ \text{Common multiples are } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{24}}, \dots \\ \text{Therefore, the LCM is } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \quad \text{(The smallest)} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหา ค.ร.น. ของ 3 และ 5

$$ \begin{aligned} \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{3}} \text{ คือ } &\ 3, 6, 9, 12, \color{#2e7d32}{\mathbf{15}}, 18, \dots \\ \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{5}} \text{ คือ } &\ 5, 10, \color{#2e7d32}{\mathbf{15}}, 20, 25, \dots \\ \text{ดังนั้น ค.ร.น. คือ } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{15}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 3 and 5.

$$ \begin{aligned} \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{3}} \text{ are } &\ 3, 6, 9, 12, \color{#2e7d32}{\mathbf{15}}, 18, \dots \\ \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{5}} \text{ are } &\ 5, 10, \color{#2e7d32}{\mathbf{15}}, 20, 25, \dots \\ \text{Therefore, the LCM is } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{15}} \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหา ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4

$$ \begin{aligned} \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{2}} \text{ คือ } &\ 2, 4, 6, 8, 10, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 14, \dots \\ \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{3}} \text{ คือ } &\ 3, 6, 9, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 15, 18, \dots \\ \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{4}} \text{ คือ } &\ 4, 8, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 16, 20, \dots \\ \text{ดังนั้น ค.ร.น. คือ } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 2, 3, and 4.

$$ \begin{aligned} \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{2}} \text{ are } &\ 2, 4, 6, 8, 10, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 14, \dots \\ \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{3}} \text{ are } &\ 3, 6, 9, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 15, 18, \dots \\ \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{4}} \text{ are } &\ 4, 8, \color{#2e7d32}{\mathbf{12}}, 16, 20, \dots \\ \text{Therefore, the LCM is } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหา ค.ร.น. ของ 8 และ 10

$$ \begin{aligned} \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{8}} \text{ คือ } &\ 8, 16, 24, 32, \color{#2e7d32}{\mathbf{40}}, 48, \dots \\ \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{10}} \text{ คือ } &\ 10, 20, 30, \color{#2e7d32}{\mathbf{40}}, 50, \dots \\ \text{ดังนั้น ค.ร.น. คือ } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{40}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 8 and 10.

$$ \begin{aligned} \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{8}} \text{ are } &\ 8, 16, 24, 32, \color{#2e7d32}{\mathbf{40}}, 48, \dots \\ \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{10}} \text{ are } &\ 10, 20, 30, \color{#2e7d32}{\mathbf{40}}, 50, \dots \\ \text{Therefore, the LCM is } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{40}} \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหา ค.ร.น. ของ 6 และ 9

$$ \begin{aligned} \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{6}} \text{ คือ } &\ 6, 12, \color{#2e7d32}{\mathbf{18}}, 24, 30, \dots \\ \text{พหุคูณของ } \color{#3949ab}{\mathbf{9}} \text{ คือ } &\ 9, \color{#2e7d32}{\mathbf{18}}, 27, 36, 45, \dots \\ \text{ดังนั้น ค.ร.น. คือ } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{18}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 6 and 9.

$$ \begin{aligned} \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{6}} \text{ are } &\ 6, 12, \color{#2e7d32}{\mathbf{18}}, 24, 30, \dots \\ \text{Multiples of } \color{#3949ab}{\mathbf{9}} \text{ are } &\ 9, \color{#2e7d32}{\mathbf{18}}, 27, 36, 45, \dots \\ \text{Therefore, the LCM is } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{18}} \end{aligned} $$

การแยกตัวประกอบ Prime Factorization

วิธีนี้ทำได้โดยนำจำนวนที่ต้องการหา ค.ร.น. มาแยกเป็นผลคูณของ จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers) จากนั้นให้ นำตัวประกอบทุกฐานที่มีอยู่มาคูณกัน โดยเลือกตัวที่มีเลขชี้กำลังสูงที่สุดของแต่ละฐาน

This method involves breaking down each number into its Prime Factors. Then, multiply the highest powers of all prime factors present to find the LCM.

Example 2.1

จงหา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 โดยการแยกตัวประกอบ

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{12}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times 3 = \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times 3^1 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{18}} &= 2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} = 2^1 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ \text{เลือกกำลังสูงสุดของแต่ละฐาน} &\implies \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \text{ และ } \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ &= 4 \times 9 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{36}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 12 and 18 using prime factorization.

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{12}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times 3 = \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times 3^1 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{18}} &= 2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} = 2^1 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ \text{Choose highest powers} &\implies \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \text{ and } \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ &= 4 \times 9 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{36}} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหา ค.ร.น. ของ 15 และ 20

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{15}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{20}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ &= 4 \times 3 \times 5 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 15 and 20.

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{15}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{20}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ &= 4 \times 3 \times 5 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหา ค.ร.น. ของ 24 และ 36

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{24}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^3}} \times 3^1 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{36}} &= 2^2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ &= 8 \times 9 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{72}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 24 and 36.

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{24}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^3}} \times 3^1 \\ \color{#3949ab}{\mathbf{36}} &= 2^2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3^2}} \\ &= 8 \times 9 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{72}} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหา ค.ร.น. ของ 14, 21 และ 28

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{14}} &= 2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{21}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{28}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ &= 4 \times 3 \times 7 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{84}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 14, 21, and 28.

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{14}} &= 2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{21}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{28}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{7}} \\ &= 4 \times 3 \times 7 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{84}} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหา ค.ร.น. ของ 8, 12 และ 20

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{8}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^3}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{12}} &= 2^2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{20}} &= 2^2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ &= 8 \times 3 \times 5 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{120}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 8, 12, and 20.

$$ \begin{aligned} \color{#3949ab}{\mathbf{8}} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^3}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{12}} &= 2^2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ \color{#3949ab}{\mathbf{20}} &= 2^2 \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2^3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \\ &= 8 \times 3 \times 5 \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{120}} \end{aligned} $$

การหารสั้น Short Division

การหารสั้นเป็นวิธีที่นิยมมากที่สุดเพราะรวดเร็ว โดยมีขั้นตอนดังนี้:

นำจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนที่กำหนดให้อย่างน้อย 2 จำนวนลงตัว มาหารไปเรื่อยๆ
หากจำนวนใดหารไม่ลงตัว ให้ดึงจำนวนนั้นลงมาในบรรทัดถัดไป
หยุดหารเมื่อไม่มีจำนวนเฉพาะใดที่หารได้อย่างน้อย 2 จำนวนอีกต่อไป
ค.ร.น. คือ ผลคูณของ "ตัวหารทั้งหมด" และ "ผลลัพธ์สุดท้ายที่เหลืออยู่"

Short division is the most popular and efficient method:

Divide by a prime number that perfectly divides at least 2 of the given numbers.
If a number is not divisible, bring it down to the next row unchanged.
Stop when no prime number can divide at least 2 numbers.
The LCM is the product of all divisors and the remaining numbers at the bottom.

Example 3.1

จงหา ค.ร.น. ของ 16 และ 24 โดยการหารสั้น

$$ \begin{array}{r|rr} \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 16 & 24 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 8 & 12 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 4 & 6 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \end{array} $$

$$ \begin{aligned} \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{48}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 16 and 24 using short division.

$$ \begin{aligned} \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{48}} \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหา ค.ร.น. ของ 18, 27 และ 36

$$ \begin{array}{r|rrr} \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & 18 & 27 & 36 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & 6 & 9 & 12 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 2 & 3 & 4 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \end{array} $$

(ในบรรทัดที่นำ 2 ไปหาร 2 และ 4 นั้น เลข 3 หารไม่ลงตัว จึงดึงลงมา)

$$ \begin{aligned} \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{108}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 18, 27, and 36.

(When dividing by 2, 3 is not divisible, so it's brought down).

$$ \begin{aligned} \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{108}} \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหา ค.ร.น. ของ 15, 25 และ 30

$$ \begin{array}{r|rrr} \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} & 15 & 25 & 30 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & 3 & 5 & 6 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \end{array} $$

$$ \begin{aligned} \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{150}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 15, 25, and 30.

$$ \begin{aligned} \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{150}} \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหา ค.ร.น. ของ 10, 15 และ 20

$$ \begin{array}{r|rrr} \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} & 10 & 15 & 20 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 2 & 3 & 4 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \end{array} $$

$$ \begin{aligned} \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 10, 15, and 20.

$$ \begin{aligned} \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \end{aligned} $$

Example 3.5

จงหา ค.ร.น. ของ 12, 16 และ 24

$$ \begin{array}{r|rrr} \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} & 12 & 16 & 24 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & 3 & 4 & 6 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 1 & 4 & 2 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \end{array} $$

(สามารถใช้จำนวนประกอบเช่น 4 หารก่อนเพื่อความรวดเร็ว แต่หลักสูตรแนะนำให้ใช้จำนวนเฉพาะ)

$$ \begin{aligned} \text{ค.ร.น.} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{48}} \end{aligned} $$

Find the LCM of 12, 16, and 24.

(Composite numbers like 4 can be used for speed, though primes are recommended).

$$ \begin{aligned} \text{LCM} &= \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{48}} \end{aligned} $$

📝 โจทย์ปัญหา ค.ร.น. 📝 LCM Word Problems

โจทย์ปัญหาที่ต้องใช้ ค.ร.น. ในการแก้ มักจะมีจุดสังเกตจากคำสำคัญ (Keywords) ดังนี้:

"พร้อมกันอีกครั้ง" (เช่น ตีระฆัง, วิ่งรอบสนาม)
"น้อยที่สุด" ที่แบ่งได้พอดี (เช่น ซื้อของมาจัดกลุ่ม)
เหตุการณ์ที่เกิดซ้ำเป็น รอบ (Cycle)

LCM word problems usually contain specific keywords:

"Together again" or "Simultaneously" (e.g., ringing bells, running on a track)
The "minimum" or "least" amount required to be divided evenly.
Events that repeat in a Cycle.

Example 4.1

นาฬิกาปลุก 3 เรือน เรือนแรกปลุกทุกๆ 10 นาที เรือนที่สองทุกๆ 15 นาที และเรือนที่สามทุกๆ 20 นาที ถ้านาฬิกาทั้งสามเรือนปลุกพร้อมกันเวลา 08.00 น. นาฬิกาจะปลุกพร้อมกันอีกครั้งเวลาใด?

$$ \begin{aligned} \text{หา ค.ร.น. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{10}}, \color{#3949ab}{\mathbf{15}}, \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{20}} \\ \text{จะได้ ค.ร.น. } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \text{ นาที} \\ \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \text{ นาที } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{ ชั่วโมง} \\ \text{ดังนั้น จะปลุกพร้อมกันอีกครั้งเวลา } &\ 08.00 + \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{ ชั่วโมง} = \color{#2e7d32}{\mathbf{09.00}} \text{ น.} \end{aligned} $$

Three alarm clocks ring every 10, 15, and 20 minutes respectively. If they all ring together at 08:00 AM, at what time will they ring together again?

$$ \begin{aligned} \text{Find LCM of } \color{#3949ab}{\mathbf{10}}, \color{#3949ab}{\mathbf{15}}, \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{20}} \\ \text{The LCM is } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \text{ minutes} \\ \color{#2e7d32}{\mathbf{60}} \text{ minutes } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{ hour} \\ \text{They will ring together again at } &\ 08:00 + \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \text{ hour} = \color{#2e7d32}{\mathbf{09:00}} \text{ AM} \end{aligned} $$

Example 4.2

นักวิ่ง 3 คน วิ่งรอบสนาม 1 รอบ ใช้เวลา 3, 4 และ 6 นาที ตามลำดับ ถ้าทั้งสามคนออกสตาร์ทพร้อมกัน พวกเขาจะมาพบกันที่จุดเริ่มต้นพร้อมกันอีกครั้งในอีกกี่นาที?

$$ \begin{aligned} \text{หา ค.ร.น. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}}, \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{6}} \\ \begin{array}{r|rrr} \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & 3 & 4 & 6 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 1 & 4 & 2 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \end{array} \\ \text{ค.ร.น. } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \\ \text{ดังนั้น จะมาพบกันอีกครั้งในอีก } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \text{ นาที} \end{aligned} $$

Three runners take 3, 4, and 6 minutes respectively to complete one lap around a track. If they start together, in how many minutes will they meet at the starting point again?

$$ \begin{aligned} \text{Find LCM of } \color{#3949ab}{\mathbf{3}}, \color{#3949ab}{\mathbf{4}}, \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{6}} \\ \begin{array}{r|rrr} \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & 3 & 4 & 6 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 1 & 4 & 2 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \end{array} \\ \text{LCM } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \\ \text{Therefore, they will meet again in } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \text{ minutes} \end{aligned} $$

Example 4.3

ต้องการซื้อฮอทดอกที่มีแพ็คละ 10 ชิ้น และขนมปังที่มีแพ็คละ 8 ชิ้น จะต้องซื้ออย่างน้อยที่สุดกี่ชิ้น เพื่อให้มีฮอทดอกและขนมปังจับคู่กันได้พอดีโดยไม่มีเศษเหลือ?

$$ \begin{aligned} \text{หา ค.ร.น. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{10}} \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{8}} \\ \begin{array}{r|rr} \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 10 & 8 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \end{array} \\ \text{ค.ร.น. } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{40}} \\ \text{ดังนั้น ต้องซื้ออย่างน้อยอย่างละ } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{40}} \text{ ชิ้น} \end{aligned} $$

You want to buy hotdogs (sold in packs of 10) and buns (sold in packs of 8). What is the minimum number of each you must buy so they pair up perfectly with no leftovers?

$$ \begin{aligned} \text{Find LCM of } \color{#3949ab}{\mathbf{10}} \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{8}} \\ \begin{array}{r|rr} \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 10 & 8 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \end{array} \\ \text{LCM } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{5}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{4}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{40}} \\ \text{Therefore, buy a minimum of } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{40}} \text{ pieces each} \end{aligned} $$

Example 4.4

ต้นไม้ A ต้องรดน้ำทุกๆ 4 วัน ต้นไม้ B ต้องรดน้ำทุกๆ 6 วัน วันนี้รดน้ำต้นไม้ทั้งสองต้นพร้อมกัน อีกกี่วันจึงจะรดน้ำพร้อมกันอีกครั้ง?

$$ \begin{aligned} \text{หา ค.ร.น. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{4}} \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{6}} \\ \begin{array}{r|rr} \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 4 & 6 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \end{array} \\ \text{ค.ร.น. } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \\ \text{ดังนั้น จะรดน้ำพร้อมกันอีกในอีก } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \text{ วัน} \end{aligned} $$

Plant A needs watering every 4 days, and Plant B every 6 days. Today both were watered together. In how many days will they be watered together again?

$$ \begin{aligned} \text{Find LCM of } \color{#3949ab}{\mathbf{4}} \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{6}} \\ \begin{array}{r|rr} \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 4 & 6 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \end{array} \\ \text{LCM } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \\ \text{Therefore, water together again in } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{12}} \text{ days} \end{aligned} $$

Example 4.5

ไฟประดับสีแดงกะพริบทุกๆ 12 วินาที สีน้ำเงินกะพริบทุกๆ 18 วินาที และสีเขียวกะพริบทุกๆ 24 วินาที ไฟทั้งสามสีจะกะพริบพร้อมกันครั้งต่อไปเมื่อผ่านไปกี่วินาที?

$$ \begin{aligned} \text{หา ค.ร.น. ของ } \color{#3949ab}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{18}}, \text{ และ } \color{#3949ab}{\mathbf{24}} \\ \begin{array}{r|rrr} \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} & 12 & 18 & 24 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 2 & 3 & 4 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \end{array} \\ \text{ค.ร.น. } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{72}} \\ \text{ดังนั้น จะกะพริบพร้อมกันอีกครั้งใน } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{72}} \text{ วินาที} \end{aligned} $$

A red string light flashes every 12 seconds, blue every 18 seconds, and green every 24 seconds. In how many seconds will all three flash together next?

$$ \begin{aligned} \text{Find LCM of } \color{#3949ab}{\mathbf{12}}, \color{#3949ab}{\mathbf{18}}, \text{ and } \color{#3949ab}{\mathbf{24}} \\ \begin{array}{r|rrr} \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} & 12 & 18 & 24 \\ \hline \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} & 2 & 3 & 4 \\ \hline & \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} & \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \end{array} \\ \text{LCM } &= \color{#2e7d32}{\mathbf{6}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{1}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{3}} \times \color{#2e7d32}{\mathbf{2}} \\ &= \color{#2e7d32}{\mathbf{72}} \\ \text{Therefore, they flash together in } &\ \color{#2e7d32}{\mathbf{72}} \text{ seconds} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Least Common Multiple (LCM)	multiplicare (to make many)	ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) · จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนที่กำหนดให้ลงตัว
Multiple	multus (many) + plicare (to fold)	พหุคูณ / ผลคูณ · จำนวนที่เกิดจากการนำจำนวนเต็มไปคูณกับจำนวนนั้นๆ (เช่น ท่องสูตรคูณ)
Prime Factorization	primus (first) + facere (to make)	การแยกตัวประกอบ · การเขียนจำนวนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ
Short Division	dividere (to force apart)	การหารสั้น · วิธีการหารที่เขียนเฉพาะผลลัพธ์โดยทดเศษไว้ในใจ ใช้หา ค.ร.น. ได้อย่างรวดเร็ว
Cycle	kyklos (circle)	รอบ / วัฏจักร · เหตุการณ์หรือช่วงเวลาที่เกิดขึ้นซ้ำๆ อย่างเป็นระบบ (พบบ่อยในโจทย์ ค.ร.น.)