โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

💡 เคล็ดลับการแจกแจงโจทย์ (Keyword Matching):

📌 โจทย์ ห.ร.ม.: มักจะมีคำว่า แบ่งให้เท่ากัน, มากที่สุด, ยาวที่สุด, ไม่ปะปนกัน
📌 โจทย์ ค.ร.น.: มักจะมีคำว่า น้อยที่สุด, พร้อมกันอีกครั้ง, สั้นที่สุด, การเติมของให้เต็ม หรือ การเรียงบล็อก
📌 โจทย์มีเศษ:
- ห.ร.ม. มีเศษ $\rightarrow$ นำตัวตั้งไปลบเศษทิ้งก่อน แล้วค่อยหา ห.ร.ม.
- ค.ร.น. มีเศษ $\rightarrow$ หา ค.ร.น. ให้เสร็จก่อน แล้วค่อยนำผลลัพธ์ไปบวกเศษ

💡 Keyword Matching Tips:

📌 GCD Word Problems: Look for keywords like divide equally, maximum, longest, or without mixing.
📌 LCM Word Problems: Look for keywords like minimum/least, meet again at the same time, shortest, filling capacities, or stacking blocks.
📌 Remainder Problems:
- GCD with Remainder $\rightarrow$ Subtract the remainder from each number *first*, then find the GCD.
- LCM with Remainder $\rightarrow$ Find the LCM *first*, then add the remainder to the result.

โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. / GCD Word Problems

ตัวอย่างที่ 1.1 : การแบ่งผลไม้ (จำแนกหมวดหมู่) Example 1.1 : Categorizing Fruits

มีส้ม 30 ผล, มังคุด 45 ผล และ แอปเปิล 60 ผล ต้องการแบ่งใส่ตะกร้าให้ ได้จำนวนผลไม้มากที่สุด โดยที่แต่ละตะกร้าต้องเป็นผลไม้ชนิดเดียวกันและมีจำนวนเท่ากันทุกลูก จะแบ่งได้ตะกร้าละกี่ผล?

There are 30 oranges, 45 mangosteens, and 60 apples. We want to divide them into baskets to get the maximum number of fruits per basket. Each basket must contain only one type of fruit, and all baskets must have the same amount. How many fruits will be in each basket?

วิธีคิด: มีคำสั่งว่าแบ่งให้ "เท่ากัน" และ "มากที่สุด" คีย์เวิร์ดนี้คือการหา ห.ร.ม.
1. หา ห.ร.ม. ของ 30, 45, 60 $\rightarrow$ ได้ $15$

คำตอบ: แบ่งได้ตะกร้าละ 15 ผล

Solution: The keywords "divide equally" and "maximum" indicate we need to find the GCD.
1. Find the GCD of 30, 45, and 60 $\rightarrow$ GCD is $15$.

Answer: Each basket will contain 15 fruits.

ตัวอย่างที่ 1.2 : การตัดเชือก / ลวด Example 1.2 : Cutting Wire

ช่างมีลวด 3 เส้น ขนาดยาว 24 เมตร, 36 เมตร และ 48 เมตร ต้องการตัดลวดเป็นเส้นๆ ให้ ยาวที่สุดเท่าๆ กันโดยไม่เหลือเศษ จะตัดลวดได้ยาวเส้นละกี่เมตร และทั้งหมดได้กี่เส้น?

A technician has 3 wires of lengths 24m, 36m, and 48m. They want to cut the wires into the longest possible equal pieces without any leftovers. How long is each piece, and how many pieces are there in total?

วิธีคิด: หา ห.ร.ม. เพื่อหาความยาวที่มากที่สุด
1. ห.ร.ม. ของ 24, 36, 48 คือ 12 (ลวดยาวเส้นละ 12 เมตร)
2. หาจำนวนเส้นทั้งหมด:
    - เส้นที่ 1 ตัดได้ $24 \div 12 = 2$ เส้น
    - เส้นที่ 2 ตัดได้ $36 \div 12 = 3$ เส้น
    - เส้นที่ 3 ตัดได้ $48 \div 12 = 4$ เส้น

คำตอบ: ยาวเส้นละ 12 เมตร และตัดได้ทั้งหมด $2 + 3 + 4 = 9$ เส้น

Solution: Find the GCD for the longest length.
1. The GCD of 24, 36, and 48 is 12 (Each piece is 12m long).
2. Calculate total pieces:
    - Wire 1: $24 \div 12 = 2$ pieces
    - Wire 2: $36 \div 12 = 3$ pieces
    - Wire 3: $48 \div 12 = 4$ pieces

Answer: Each piece is 12m long, and there are $2 + 3 + 4 = 9$ pieces in total.

ตัวอย่างที่ 1.3 : การปักเสาล้อมแปลงที่ดิน Example 1.3 : Planting Fence Posts

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 20 เมตร ยาว 32 เมตร ต้องการปักเสาทำรั้วรอบที่ดินให้มีระยะห่าง เท่ากันและห่างกันมากที่สุด จะต้องใช้เสาทั้งหมดกี่ต้น?

A rectangular plot of land is 20 meters wide and 32 meters long. You want to plant fence posts around the perimeter with equal and maximum distance between each post. How many posts are needed?

วิธีคิด: หา ห.ร.ม. กว้าง-ยาว เพื่อหาระยะห่างของเสา
1. ห.ร.ม. ของ 20 และ 32 คือ $4$ (หมายถึงระยะห่างเสาแต่ละต้นคือ 4 เมตร)
2. หาระยะรอบรูป: $2 \times (20 + 32) = 104$ เมตร
3. จำนวนเสา = ระยะรอบรูป $\div$ ระยะห่างเสา $\rightarrow 104 \div 4 = 26$ ต้น

คำตอบ: ต้องใช้เสาทั้งหมด 26 ต้น

Solution: Find the GCD of width and length for the spacing.
1. The GCD of 20 and 32 is $4$ (Posts are spaced 4 meters apart).
2. Find the perimeter: $2 \times (20 + 32) = 104$ meters.
3. Total Posts = Perimeter $\div$ Spacing $\rightarrow 104 \div 4 = 26$ posts.

Answer: 26 posts are needed in total.

ตัวอย่างที่ 1.4 : โจทย์หารแล้วเหลือเศษ (เศษไม่เท่ากัน) Example 1.4 : Fixed Remainders

หาจำนวนนับที่ มากที่สุด ที่นำไปหาร 47 แล้วเหลือเศษ 2 และนำไปหาร 64 แล้วเหลือเศษ 4

Find the largest number that leaves a remainder of 2 when dividing 47, and leaves a remainder of 4 when dividing 64.

วิธีคิด: จำนวน"นำไปหาร" คือ ห.ร.ม.
ต้องนำเลขเหล่านั้นไปลบเศษออกก่อน
- $47 - 2 = 45$
- $64 - 4 = 60$
หา ห.ร.ม. ของเลขที่ลบแล้ว (45 และ 60) $\rightarrow$ ห.ร.ม. คือ 15

คำตอบ: จำนวนนับที่มากที่สุดคือ 15

Solution: The "largest divisor" implies GCD.
Subtract the remainders first:
- $47 - 2 = 45$
- $64 - 4 = 60$
Find the GCD of the new numbers (45 and 60) $\rightarrow$ GCD is 15.

Answer: The largest number is 15.

ตัวอย่างที่ 1.5 : โจทย์เหลือเศษแต่ไม่บอกตัวเลข (เศษเท่ากัน) Example 1.5 : GCD with Unknown but Equal Remainders

หาน้ำหนักของถุงทรายที่ หนักที่สุด ซึ่งสามารถใช้ตักบรรจุทรายกอง 125 กก., 170 กก. และ 215 กก. ได้จนหมด แต่พบว่าทุกกองตักแล้วมี ทรายเหลือจำนวนเท่าๆ กันพอดี

Find the heaviest sandbag weight that can be used to scoop and pack sand from piles of 125 kg, 170 kg, and 215 kg completely. It turns out that every pile leaves exactly the same amount of sand leftover.

วิธีคิด: สูตรลัด!! หา ห.ร.ม. แบบเหลือเศษเท่ากันแต่ไม่บอกเศษมา คือการนำเลขมา ลบกันเป็นคู่ๆ
คู่ที่ 1: $170 - 125 = 45$
คู่ที่ 2: $215 - 170 = 45$
คู่ที่ 3: $215 - 125 = 90$
หา ห.ร.ม. ของผลลัพธ์ (45, 45, 90) $\rightarrow$ 45

คำตอบ: ถุงทรายที่หนักที่สุดขีดละ 45 กิโลกรัม

Solution: Trick: For "equal but unknown remainders" in GCD, we subtract the original numbers in pairs.
Pair 1: $170 - 125 = 45$
Pair 2: $215 - 170 = 45$
Pair 3: $215 - 125 = 90$
Find the GCD of the differences (45, 45, 90) $\rightarrow$ 45.

Answer: The heaviest sandbag weighs 45 kilograms.

โจทย์ปัญหา ค.ร.น. / LCM Word Problems

ตัวอย่างที่ 2.1 : นาฬิกาปลุกดังพร้อมกัน Example 2.1 : Synchronized Alarms

นาฬิกา 3 เรือน เรือนแรกดังทุกๆ 15 นาที, เรือนที่สองดังทุกๆ 20 นาที และเรือนที่สามดังทุกๆ 30 นาที ถ้านาฬิกาทั้งสามตีพร้อมกันครั้งแรกเวลา 08:00 น. ทั้งสามจะดัง พร้อมกันอีกครั้ง เวลาใด?

There are 3 alarm clocks. The first rings every 15 minutes, the second every 20 minutes, and the third every 30 minutes. If they all ring simultaneously at 08:00 AM, at what time will they all ring together again?

วิธีคิด: คีย์เวิร์ดรอบเวลาและคำว่า "พร้อมกันอีกครั้ง" = หา ค.ร.น.
1. ค.ร.น. ของ 15, 20, 30 คือ $60$ นาที
2. $60$ นาที = 1 ชั่วโมง $\rightarrow$ 08:00 + 1 ชั่วโมง = 09:00 น.

คำตอบ: พร้อมกันครั้งถัดไปเวลา 09:00 น.

Solution: The keyword "together again" implies finding the LCM of the time intervals.
1. The LCM of 15, 20, and 30 is $60$ minutes.
2. 60 minutes = 1 hour $\rightarrow$ 08:00 AM + 1 hour = 09:00 AM.

Answer: They will ring together again at 09:00 AM.

ตัวอย่างที่ 2.2 : การวิ่งผลัด / โคจรกลับมาเจอกัน Example 2.2 : Athletes on a Track

นักวิ่ง 3 คน วิ่งรอบสนาม 1 รอบ ใช้เวลา 6, 8 และ 12 นาทีตามลำดับ ถ้าออกสตาร์ทพร้อมกัน ทั้งสามคนจะวิ่งมาพบกันที่จุดเริ่มต้นพร้อมกันอีกครั้งเมื่อผ่านไปกี่นาที? และคนแรกวิ่งได้กี่รอบ?

Three runners complete one lap around a track in 6, 8, and 12 minutes, respectively. If they start simultaneously, after how many minutes will they meet again at the starting line? And how many laps will the first runner have completed?

วิธีคิด: หาเวลามาพบบรรจบกัน $\rightarrow$ ค.ร.น.
1. ค.ร.น. ของ 6, 8, 12 คือ $24$ นาที
2. คนแรกใช้เวลา 6 นาที/รอบ $\rightarrow 24 \div 6 = 4$ รอบ

คำตอบ: เจอพร้อมกันอีกครั้งเมื่อผ่านไป 24 นาที (คนแรกวิ่งได้ 4 รอบ)

Solution: Finding their next meeting point $\rightarrow$ LCM.
1. The LCM of 6, 8, and 12 is $24$ minutes.
2. The first runner takes 6 minutes/lap $\rightarrow 24 \div 6 = 4$ laps.

Answer: They will meet again after 24 minutes (The 1st runner completed 4 laps).

ตัวอย่างที่ 2.3 : จำนวนที่น้อยที่สุดหารลงตัว Example 2.3 : The Smallest Divisible Number

จงหาจำนวนนับที่ น้อยที่สุด ซึ่งหารด้วย 12, 16 และ 24 แล้วลงตัวพอดี

Find the smallest counting number that is exactly divisible by 12, 16, and 24.

วิธีคิด: จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งเป็น "ตัวตั้ง" ให้เลขกลุ่มนี้หารลงตัว = หา ค.ร.น.
- ค.ร.น. ของ 12, 16, 24 คือ 48

คำตอบ: จำนวนนับที่น้อยที่สุดคือ 48

Solution: The smallest dividend for a set of numbers is the LCM.
- The LCM of 12, 16, and 24 is 48.

Answer: The smallest number is 48.

ตัวอย่างที่ 2.4 : ค.ร.น. แบบเหลือเศษ Example 2.4 : LCM with a Fixed Remainder

จงหาจำนวนนับที่ น้อยที่สุด ที่เมื่อนำ 8, 10 และ 12 ไปหาร จะ เหลือเศษ 3 ทุกจำนวน

Find the smallest counting number that, when divided by 8, 10, and 12, always leaves a remainder of 3.

วิธีคิด: สำหรับโจทย์ ค.ร.น. ให้ "หา ค.ร.น. ตามปกติให้เสร็จก่อน แล้วนำผลลัพธ์ไปบวกเพิ่ม"
1. ค.ร.น. ของ 8, 10, 12 คือ 120 (แปลว่า 120 หารลงตัวแน่นอน 100%)
2. โจทย์อยากให้เหลือเศษ 3 ก็แค่บวกเศษเพิ่มเข้าไป $\rightarrow 120 + 3 = 123$

คำตอบ: จำนวนนั้นคือ 123

Solution: For LCM problems ending in a remainder: "Find the LCM first, then add the remainder."
1. The LCM of 8, 10, and 12 is 120 (This means 120 is perfectly divisible).
2. Since we need a remainder of 3, add 3 to the LCM $\rightarrow 120 + 3 = 123$.

Answer: The number is 123.

ตัวอย่างที่ 2.5 : การต่อบล็อกให้สูงเท่ากัน Example 2.5 : Stacking Blocks Proportionally

คุณครูมีบล็อกไม้ 2 ชนิด ชนิด A มีความหนาอันละ 14 ซม. และชนิด B มีความหนาอันละ 21 ซม. ถ้าต้องการซ้อนบล็อกแยกชนิดกัน ให้ตั้งเป็นหอคอย 2 มิติ โดยให้ส่วนสูงของหอคอยทั้งสองฝั่งเท่ากันพอดีและเตี้ยที่สุด หอคอยนี้จะสูงเท่าไร?

A teacher has 2 types of wooden blocks. Type A is 14 cm thick, and Type B is 21 cm thick. If they build a distinct tower for each type, what is the shortest possible equal height both towers can reach?

วิธีคิด: หาส่วนสูงที่จุดบรรจบครั้งแรก = หา ค.ร.น.
1. ค.ร.น. ของ 14 และ 21 คือ $42$
(อธิบายเพิ่มเติม: บล็อก A ใช้ 3 อัน = 42 ซม. / บล็อก B ใช้ 2 อัน = 42 ซม. เท่ากันพอดี)

คำตอบ: หอคอยจะสูง 42 เซนติเมตร

Solution: The first overlapping height represents the LCM.
1. The LCM of 14 and 21 is $42$.
(Explanation: Type A needs 3 blocks to reach 42 cm. Type B needs 2 blocks to reach 42 cm.)

Answer: The height is 42 cm.

โจทย์ความสัมพันธ์ ห.ร.ม. / ค.ร.น. / Relationship Word Problems

จำสูตรตายตัวนี้ไว้ใช้:
ก้อนที่1 $\times$ ก้อนที่2 $~=~ \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.}$

Formula to unlock missing variables:
Number 1 $\times$ Number 2 $~=~\text{GCD} \times \text{LCM}$

ตัวอย่างที่ 3.1 : หา จำนวนที่สอง Example 3.1 : Find the Missing Number

ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนนับ 2 จำนวนคือ 15 และ 180 ตามลำดับ หากจำนวนแรกคือ 45 จำนวนที่สองมีค่าเท่าไร?

The GCD and LCM of 2 numbers are 15 and 180 respectively. If the first number is 45, what is the second number?

วิธีคิด: ตั้งสูตร $A \times B = \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.}$
แทนค่า: $45 \times B = 15 \times 180$
$B = \frac{15 \times 180}{45} = \frac{2700}{45} = 60$

คำตอบ: จำนวนที่สองคือ 60

Solution: Use formula $A \times B = \text{GCD} \times \text{LCM}$
Substitute: $45 \times B = 15 \times 180$
$B = \frac{15 \times 180}{45} = \frac{2700}{45} = 60$

Answer: The second number is 60.

ตัวอย่างที่ 3.2 : หาค่าจากผลคูณเบ็ดเสร็จ Example 3.2 : Given the Product

ผลคูณของเลขสองจำนวนคือ 1,600 หาก ห.ร.ม. ของสองจำนวนนั้นคือ 10 แล้ว ค.ร.น. จะเป็นเท่าไร?

The product of two numbers is 1,600. If their GCD is 10, what is their LCM?

วิธีคิด: โจทย์ให้ฝั่ง "ผลคูณระฆัง" มาแล้วคือ 1,600
แทนค่า: ผลคูณรวม $= \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.}$
$1,600 = 10 \times \text{ค.ร.น.}$ $\rightarrow$ $\text{ค.ร.น.} = \frac{1,600}{10} = 160$

คำตอบ: ค.ร.น. คือ 160

Solution: The total product of $A \times B$ is already given as 1,600.
Substitute: Product $= \text{GCD} \times \text{LCM}$
$1,600 = 10 \times \text{LCM}$ $\rightarrow$ $\text{LCM} = \frac{1,600}{10} = 160$

Answer: The LCM is 160.

ตัวอย่างที่ 3.3 : ย้อนกลไก หา ห.ร.ม. แบบติดตัวแปร Example 3.3 : Algebraic Distractors

เลขสองจำนวนคือ $2a$ และ $3b$ มีผลคูณคือ 1,080 และมี ค.ร.น. เท่ากับ 180 จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนพวกนี้

Two numbers are denoted as $2a$ and $3b$. Their product is 1,080, and their LCM is 180. Find their GCD.

วิธีคิด: $2a$ และ $3b$ เป็นแค่ตัวแปรหลอก แต่แท้จริงโจทย์ให้ "ผลคูณ" สมบูรณ์แบบมาแล้ว คือ 1,080!
สูตร: ผลคูณ $= \text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.}$
$1,080 = \text{ห.ร.ม.} \times 180$
$\text{ห.ร.ม.} = \frac{1,080}{180} = 6$

คำตอบ: ห.ร.ม. คือ 6

Solution: $2a$ and $3b$ are meant to confuse. The total product is already known (1,080).
Formula: Product $= \text{GCD} \times \text{LCM}$
$1,080 = \text{GCD} \times 180$
$\text{GCD} = \frac{1,080}{180} = 6$

Answer: The GCD is 6.

ตัวอย่างที่ 3.4 : สัดส่วนกับตัวแปร Example 3.4 : Proportion Link

ถ้า ห.ร.ม. ของตัวแปร A และ 60 คือ 12 และ ค.ร.น. ของเหล่านั้นคือ 240 จงหาค่าของ A

If the GCD of a variable A and 60 is 12, and their LCM is 240, find the value of A.

วิธีคิด:
$A \times 60 = 12 \times 240$
$A \times 60 = 2,880$
$A = \frac{2,880}{60} = 48$

คำตอบ: A มีค่าเท่ากับ 48

Solution:
$A \times 60 = 12 \times 240$
$A \times 60 = 2,880$
$A = \frac{2,880}{60} = 48$

Answer: A is equal to 48.

ตัวอย่างที่ 3.5 : โจทย์ประยุกต์อัตรายุคประถม Example 3.5 : Advanced Ratios Strategy

เลขสองจำนวน จำนวนหนึ่งมีค่าเป็น 3 เท่าของอีกจำนวนหนึ่ง (เช่น $A$ กับ $3A$) ถ้า ห.ร.ม. ของสองจำนวนนี้คือ 9 จงหาผลคูณเบ็ดเสร็จของสองจำนวนนี้

One number is 3 times another number (for example $x$ and $3x$). If their GCD is 9, what is the product of the two numbers?

วิธีคิด:
1. ให้เลขจำนวนแรกคือ $x$ และ จำนวนที่สองคือ $3x$
2. ห.ร.ม. ของ $x$ กับ $3x$ ซึ่งมีตัวคูณร่วมสูงสุดคือ $x$ เอง
3. แสดงว่า $x = \text{ห.ร.ม.} = 9$
4. ดังนั้น จำนวนแรกคือ $9$ และอีกจำนวนคือ $3(9) = 27$
5. ผลคูณ $= 9 \times 27 = 243$

คำตอบ: ผลคูณคือ 243

Solution:
1. Let the first number be $x$ and the second be $3x$.
2. The GCD of $x$ and $3x$ must be $x$.
3. Thus, $x = \text{GCD} = 9$.
4. The first number is $9$, and the second number is $3(9) = 27$.
5. The product $= 9 \times 27 = 243$.

Answer: The product is 243.

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Maximum / Greatest	maximus(greatest) / greát(Old English)	มากที่สุด · คีย์เวิร์ดบ่งบอกการหาตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.)
Divide Equally	dividere(to divide) + aequus(even)	แบ่งให้เท่ากัน · คีย์เวิร์ดบ่งบอกการหารชิ้นส่วนให้มีขนาดเท่ากัน
Minimum / Least	minimus(smallest) / lǣst(Old English)	น้อยที่สุด · คีย์เวิร์ดบ่งบอกการหาตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)
Simultaneously	simul(at the same time)	พร้อมกัน · เจอในโจทย์เวลา ปลุกนาฬิกา วิ่งแข่ง (กลับมาเจอกัน)
Remainder	re(back) + manere(remain)	เศษ(จากการหาร) · ตัวเลขที่เหลือจากการหารไม่ลงตัว
Product	pro(forward) + ducere(to lead)	ผลคูณ · ค่าที่ได้จากการนำจำนวนสองจำนวนมาคูณกัน ($A \times B$)