เทคนิคพิเศษของจำนวนนับ

การวิเคราะห์ จำนวนนับ (Natural Numbers) เป็นรากฐานสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะการแยกตัวประกอบเฉพาะ (Prime Factorization) ซึ่งสามารถนำมาใช้สร้างสูตรลัดและเทคนิคพิเศษในการหาจำนวนตัวประกอบ ผลบวก ผลคูณ และตรวจสอบจำนวนเฉพาะได้อย่างรวดเร็ว โดยไม่ต้องนั่งไล่หาตัวเลขทีละตัวให้เสียเวลา

Analyzing Natural Numbers is a fundamental part of mathematics. By utilizing Prime Factorization, we can construct shortcuts and special techniques to quickly find the number of factors, their sum, their product, and check for prime numbers without the need for manual, time-consuming counting.

🔍 วิธีการตรวจสอบจำนวนเฉพาะ 🔍 Checking for Prime Numbers

ในการตรวจสอบว่าจำนวนนับ $N$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ เราไม่จำเป็นต้องนำตัวเลขทุกตัวไปหาร แต่มีเทคนิคคือ:
หาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ยกกำลังสองแล้วไม่เกิน $N$ ($p^2 \le N$) แล้วนำไปหาร $N$
ถ้าไม่มีจำนวนเฉพาะตัวใดเลยที่หารลงตัว แสดงว่า $N$ เป็นจำนวนเฉพาะ

To check if a number $N$ is prime, we don't need to divide by every number. The technique is:
Find all prime numbers $p$ whose square is less than or equal to $N$ ($p^2 \le N$), and divide $N$ by them.
If none of these primes divide $N$ evenly, then $N$ is a prime number.

Example 1.1

จงตรวจสอบว่า $29$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

$$ \begin{aligned} \text{หาจำนวนเฉพาะ } p \text{ ที่ } p^2 \le 29 &\text{ คือ } 2, 3, 5 \\ \text{นำไปหาร 29: } \quad 29 \div 2 &\implies \text{ไม่ลงตัว} \\ 29 \div 3 &\implies \text{ไม่ลงตัว} \\ 29 \div 5 &\implies \text{ไม่ลงตัว} \\ \text{สรุป: } & \textbf{\color{#2e7d32} 29 เป็นจำนวนเฉพาะ} \end{aligned} $$

Check if $29$ is a prime number.

$$ \begin{aligned} \text{Find primes } p \text{ where } p^2 \le 29 &\text{ are } 2, 3, 5 \\ \text{Divide 29 by these: } \quad 29 \div 2 &\implies \text{not divisible} \\ 29 \div 3 &\implies \text{not divisible} \\ 29 \div 5 &\implies \text{not divisible} \\ \text{Conclusion: } & \textbf{\color{#2e7d32} 29 is a prime number} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงตรวจสอบว่า $91$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

$$ \begin{aligned} \text{หาจำนวนเฉพาะ } p \text{ ที่ } p^2 \le 91 &\text{ คือ } 2, 3, 5, 7 \\ \text{ลองนำ 7 ไปหาร: } \quad 91 \div 7 &= 13 \quad \text{(หารลงตัว)} \\ \text{สรุป: } & \textbf{\color{#c62828} 91 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ} \end{aligned} $$

Check if $91$ is a prime number.

$$ \begin{aligned} \text{Find primes } p \text{ where } p^2 \le 91 &\text{ are } 2, 3, 5, 7 \\ \text{Try dividing by 7: } \quad 91 \div 7 &= 13 \quad \text{(divisible)} \\ \text{Conclusion: } & \textbf{\color{#c62828} 91 is not a prime number} \end{aligned} $$

Example 1.3

จงตรวจสอบว่า $97$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

$$ \begin{aligned} \text{หาจำนวนเฉพาะ } p \text{ ที่ } p^2 \le 97 &\text{ คือ } 2, 3, 5, 7 \\ \text{พบว่าไม่มีจำนวนเฉพาะใดหาร } 97 &\text{ ลงตัวเลย} \\ \text{สรุป: } & \textbf{\color{#2e7d32} 97 เป็นจำนวนเฉพาะ} \end{aligned} $$

Check if $97$ is a prime number.

$$ \begin{aligned} \text{Find primes } p \text{ where } p^2 \le 97 &\text{ are } 2, 3, 5, 7 \\ \text{No prime numbers divide } 97 &\text{ evenly} \\ \text{Conclusion: } & \textbf{\color{#2e7d32} 97 is a prime number} \end{aligned} $$

Example 1.4

จงตรวจสอบว่า $143$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

$$ \begin{aligned} \text{หาจำนวนเฉพาะ } p \text{ ที่ } p^2 \le 143 &\text{ คือ } 2, 3, 5, 7, 11 \\ \text{ลองนำ 11 ไปหาร: } \quad 143 \div 11 &= 13 \quad \text{(หารลงตัว)} \\ \text{สรุป: } & \textbf{\color{#c62828} 143 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ} \end{aligned} $$

Check if $143$ is a prime number.

$$ \begin{aligned} \text{Find primes } p \text{ where } p^2 \le 143 &\text{ are } 2, 3, 5, 7, 11 \\ \text{Try dividing by 11: } \quad 143 \div 11 &= 13 \quad \text{(divisible)} \\ \text{Conclusion: } & \textbf{\color{#c62828} 143 is not a prime number} \end{aligned} $$

Example 1.5

จงตรวจสอบว่า $113$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

$$ \begin{aligned} \text{หาจำนวนเฉพาะ } p \text{ ที่ } p^2 \le 113 &\text{ คือ } 2, 3, 5, 7 \\ \text{พบว่าไม่มีจำนวนเฉพาะใดหาร } 113 &\text{ ลงตัวเลย} \\ \text{สรุป: } & \textbf{\color{#2e7d32} 113 เป็นจำนวนเฉพาะ} \end{aligned} $$

Check if $113$ is a prime number.

$$ \begin{aligned} \text{Find primes } p \text{ where } p^2 \le 113 &\text{ are } 2, 3, 5, 7 \\ \text{No prime numbers divide } 113 &\text{ evenly} \\ \text{Conclusion: } & \textbf{\color{#2e7d32} 113 is a prime number} \end{aligned} $$

🔢 วิธีการหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมด 🔢 Finding the Total Number of Factors

เทคนิคในการหาว่าตัวเลขหนึ่งๆ มีตัวประกอบทั้งหมดกี่ตัว ให้ทำตามขั้นตอนดังนี้:

นำจำนวนนับนั้นมา แยกตัวประกอบเฉพาะ ให้อยู่ในรูป $N = a^p \times b^q \times c^r \times \dots$ (เมื่อ $a,b,c$ เป็นจำนวนเฉพาะ)
นำ เลขชี้กำลัง ของแต่ละตัวมา บวก 1 แล้วนำมา คูณกัน

$$\text{จำนวนตัวประกอบทั้งหมด} = (p+1)(q+1)(r+1)\dots$$

To find how many factors a number has, follow these steps:

Find the prime factorization of the number: $N = a^p \times b^q \times c^r \times \dots$ (where $a,b,c$ are primes).
Take each exponent, add 1 to it, and then multiply them all together.

$$\text{Total Number of Factors} = (p+1)(q+1)(r+1)\dots$$

Example 2.1

จงหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ $12$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบของ } 12 &= 4 \times 3 \\ &= 2^2 \times 3^1 \\ \text{นำเลขชี้กำลังมาบวก } 1 \text{ แล้วคูณกัน: } \quad d &= (2+1)(1+1) \\ &= 3 \times 2 \\ &= 6 \text{ ตัว} \\ \text{ตัวประกอบทั้งหมด คือ } & 1, 2, 3, 4, 6, 12 \end{aligned} $$

Find the total number of factors for $12$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization of } 12 &= 4 \times 3 \\ &= 2^2 \times 3^1 \\ \text{Add 1 to exponents and multiply: } \quad d &= (2+1)(1+1) \\ &= 3 \times 2 \\ &= 6 \text{ factors} \\ \text{All factors are: } & 1, 2, 3, 4, 6, 12 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ $36$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบของ } 36 &= 9 \times 4 \\ &= 2^2 \times 3^2 \\ \text{จำนวนตัวประกอบ: } \quad d &= (2+1)(2+1) \\ &= 3 \times 3 \\ &= 9 \text{ ตัว} \end{aligned} $$

Find the total number of factors for $36$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization of } 36 &= 9 \times 4 \\ &= 2^2 \times 3^2 \\ \text{Number of factors: } \quad d &= (2+1)(2+1) \\ &= 3 \times 3 \\ &= 9 \text{ factors} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ $100$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบของ } 100 &= 10 \times 10 \\ &= 2^2 \times 5^2 \\ \text{จำนวนตัวประกอบ: } \quad d &= (2+1)(2+1) \\ &= 3 \times 3 \\ &= 9 \text{ ตัว} \end{aligned} $$

Find the total number of factors for $100$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization of } 100 &= 10 \times 10 \\ &= 2^2 \times 5^2 \\ \text{Number of factors: } \quad d &= (2+1)(2+1) \\ &= 3 \times 3 \\ &= 9 \text{ factors} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ $210$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบของ } 210 &= 21 \times 10 \\ &= (3 \times 7) \times (2 \times 5) \\ &= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 \\ \text{จำนวนตัวประกอบ: } \quad d &= (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) \\ &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ &= 16 \text{ ตัว} \end{aligned} $$

Find the total number of factors for $210$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization of } 210 &= 21 \times 10 \\ &= (3 \times 7) \times (2 \times 5) \\ &= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 \\ \text{Number of factors: } \quad d &= (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) \\ &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ &= 16 \text{ factors} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ $1000$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบของ } 1000 &= 10^3 \\ &= (2 \times 5)^3 \\ &= 2^3 \times 5^3 \\ \text{จำนวนตัวประกอบ: } \quad d &= (3+1)(3+1) \\ &= 4 \times 4 \\ &= 16 \text{ ตัว} \end{aligned} $$

Find the total number of factors for $1000$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization of } 1000 &= 10^3 \\ &= (2 \times 5)^3 \\ &= 2^3 \times 5^3 \\ \text{Number of factors: } \quad d &= (3+1)(3+1) \\ &= 4 \times 4 \\ &= 16 \text{ factors} \end{aligned} $$

➕ วิธีการหาผลบวกของตัวประกอบทั้งหมด ➕ Finding the Sum of All Factors

หลังจากแยกตัวประกอบเป็น $N = a^p \times b^q \dots$ แล้ว เราสามารถหา ผลบวกของตัวประกอบทุกตัว ได้โดยการกระจายผลบวกของกำลังฐานแต่ละตัวตั้งแต่กำลัง 0 จนถึงกำลังสูงสุด แล้วนำแต่ละวงเล็บมาคูณกัน:

$$\text{ผลบวก} = (a^0 + a^1 + \dots + a^p) \times (b^0 + b^1 + \dots + b^q) \times \dots$$

After prime factorization $N = a^p \times b^q \dots$, the sum of all factors can be found by adding the powers of each base starting from 0 up to its max exponent, and then multiplying these sums together:

$$\text{Sum} = (a^0 + a^1 + \dots + a^p) \times (b^0 + b^1 + \dots + b^q) \times \dots$$

Example 3.1

จงหาผลบวกของตัวประกอบทั้งหมดของ $12$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 12 &= 2^2 \times 3^1 \\ \text{สร้างวงเล็บผลบวก: } \quad S &= (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (3^0 + 3^1) \\ &= (1 + 2 + 4) \times (1 + 3) \\ &= 7 \times 4 \\ &= 28 \end{aligned} $$

Find the sum of all factors of $12$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 12 &= 2^2 \times 3^1 \\ \text{Create sum terms: } \quad S &= (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (3^0 + 3^1) \\ &= (1 + 2 + 4) \times (1 + 3) \\ &= 7 \times 4 \\ &= 28 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาผลบวกของตัวประกอบทั้งหมดของ $18$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 18 &= 2^1 \times 3^2 \\ \text{ผลบวกตัวประกอบ: } \quad S &= (2^0 + 2^1) \times (3^0 + 3^1 + 3^2) \\ &= (1 + 2) \times (1 + 3 + 9) \\ &= 3 \times 13 \\ &= 39 \end{aligned} $$

Find the sum of all factors of $18$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 18 &= 2^1 \times 3^2 \\ \text{Sum of factors: } \quad S &= (2^0 + 2^1) \times (3^0 + 3^1 + 3^2) \\ &= (1 + 2) \times (1 + 3 + 9) \\ &= 3 \times 13 \\ &= 39 \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาผลบวกของตัวประกอบทั้งหมดของ $24$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 24 &= 2^3 \times 3^1 \\ \text{ผลบวกตัวประกอบ: } \quad S &= (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \times (3^0 + 3^1) \\ &= (1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3) \\ &= 15 \times 4 \\ &= 60 \end{aligned} $$

Find the sum of all factors of $24$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 24 &= 2^3 \times 3^1 \\ \text{Sum of factors: } \quad S &= (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \times (3^0 + 3^1) \\ &= (1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3) \\ &= 15 \times 4 \\ &= 60 \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาผลบวกของตัวประกอบทั้งหมดของ $50$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 50 &= 2^1 \times 5^2 \\ \text{ผลบวกตัวประกอบ: } \quad S &= (2^0 + 2^1) \times (5^0 + 5^1 + 5^2) \\ &= (1 + 2) \times (1 + 5 + 25) \\ &= 3 \times 31 \\ &= 93 \end{aligned} $$

Find the sum of all factors of $50$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 50 &= 2^1 \times 5^2 \\ \text{Sum of factors: } \quad S &= (2^0 + 2^1) \times (5^0 + 5^1 + 5^2) \\ &= (1 + 2) \times (1 + 5 + 25) \\ &= 3 \times 31 \\ &= 93 \end{aligned} $$

Example 3.5

จงหาผลบวกของตัวประกอบทั้งหมดของ $100$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 100 &= 2^2 \times 5^2 \\ \text{ผลบวกตัวประกอบ: } \quad S &= (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (5^0 + 5^1 + 5^2) \\ &= (1 + 2 + 4) \times (1 + 5 + 25) \\ &= 7 \times 31 \\ &= 217 \end{aligned} $$

Find the sum of all factors of $100$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 100 &= 2^2 \times 5^2 \\ \text{Sum of factors: } \quad S &= (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (5^0 + 5^1 + 5^2) \\ &= (1 + 2 + 4) \times (1 + 5 + 25) \\ &= 7 \times 31 \\ &= 217 \end{aligned} $$

✖️ วิธีการหาผลคูณของตัวประกอบทั้งหมด ✖️ Finding the Product of All Factors

การหาผลคูณของตัวประกอบทุกตัว มีสูตรลัดที่ง่ายมาก เพียงแค่เราทราบ จำนวนตัวประกอบทั้งหมด (ให้แทนด้วยตัวแปร $d$) แล้วนำไปแทนในสูตร:

$$\text{ผลคูณ} = N^{\frac{d}{2}}$$

โดย $N$ คือจำนวนนับนั้น และ $d$ คือจำนวนตัวประกอบที่หาได้จากหัวข้อที่ 2

To find the product of all factors, there is a simple shortcut if we know the total number of factors (let's denote it as $d$). Use the formula:

$$\text{Product} = N^{\frac{d}{2}}$$

Where $N$ is the original number and $d$ is the number of factors from Section 2.

Example 4.1

จงหาผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของ $6$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 6 &= 2^1 \times 3^1 \\ \text{จำนวนตัวประกอบ } (d) &= (1+1)(1+1) \\ &= 4 \text{ ตัว} \\ \text{สูตรผลคูณของตัวประกอบ: } \quad P &= N^{\frac{d}{2}} \\ &= 6^{\frac{4}{2}} \\ &= 6^2 \\ &= 36 \end{aligned} $$

Find the product of all factors of $6$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 6 &= 2^1 \times 3^1 \\ \text{Number of factors } (d) &= (1+1)(1+1) \\ &= 4 \text{ factors} \\ \text{Product of factors formula: } \quad P &= N^{\frac{d}{2}} \\ &= 6^{\frac{4}{2}} \\ &= 6^2 \\ &= 36 \end{aligned} $$

Example 4.2

จงหาผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของ $12$

$$ \begin{aligned} \text{จาก Example 2.1 มีตัวประกอบ } d &= 6 \text{ ตัว} \\ \text{ผลคูณของตัวประกอบ: } \quad P &= 12^{\frac{6}{2}} \\ &= 12^3 \\ &= 1728 \end{aligned} $$

Find the product of all factors of $12$.

$$ \begin{aligned} \text{From Example 2.1, number of factors } d &= 6 \\ \text{Product of factors: } \quad P &= 12^{\frac{6}{2}} \\ &= 12^3 \\ &= 1728 \end{aligned} $$

Example 4.3

จงหาผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของ $16$

กรณีที่ $N$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ $d$ จะเป็นเลขคี่ ให้ใช้สมบัติเลขยกกำลังซ้อนจัดรูป

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 16 &= 2^4 \\ \text{จำนวนตัวประกอบ } (d) &= (4+1) \\ &= 5 \text{ ตัว} \\ \text{ผลคูณของตัวประกอบ: } \quad P &= 16^{\frac{5}{2}} \\ &= (2^4)^{\frac{5}{2}} \\ &= 2^{10} \\ &= 1024 \end{aligned} $$

Find the product of all factors of $16$.

If $N$ is a perfect square, $d$ will be odd. Use power rules to simplify.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 16 &= 2^4 \\ \text{Number of factors } (d) &= (4+1) \\ &= 5 \text{ factors} \\ \text{Product of factors: } \quad P &= 16^{\frac{5}{2}} \\ &= (2^4)^{\frac{5}{2}} \\ &= 2^{10} \\ &= 1024 \end{aligned} $$

Example 4.4

จงหาผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของ $30$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 30 &= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \\ \text{จำนวนตัวประกอบ } (d) &= (1+1)(1+1)(1+1) \\ &= 8 \text{ ตัว} \\ \text{ผลคูณของตัวประกอบ: } \quad P &= 30^{\frac{8}{2}} \\ &= 30^4 \\ &= 810,000 \end{aligned} $$

Find the product of all factors of $30$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 30 &= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \\ \text{Number of factors } (d) &= (1+1)(1+1)(1+1) \\ &= 8 \text{ factors} \\ \text{Product of factors: } \quad P &= 30^{\frac{8}{2}} \\ &= 30^4 \\ &= 810,000 \end{aligned} $$

Example 4.5

จงหาผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของ $100$

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ: } 100 &= 2^2 \times 5^2 \\ \text{จำนวนตัวประกอบ } (d) &= (2+1)(2+1) \\ &= 9 \text{ ตัว} \\ \text{ผลคูณของตัวประกอบ: } \quad P &= 100^{\frac{9}{2}} \\ &= (\sqrt{100})^9 \\ &= 10^9 \\ &= 1,000,000,000 \end{aligned} $$

Find the product of all factors of $100$.

$$ \begin{aligned} \text{Prime factorization: } 100 &= 2^2 \times 5^2 \\ \text{Number of factors } (d) &= (2+1)(2+1) \\ &= 9 \text{ factors} \\ \text{Product of factors: } \quad P &= 100^{\frac{9}{2}} \\ &= (\sqrt{100})^9 \\ &= 10^9 \\ &= 1,000,000,000 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้อง

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Natural Number	natura (nature)	จำนวนนับ / จำนวนเต็มบวก · ตัวเลขที่ใช้ในการนับสิ่งของ เริ่มต้นที่ 1, 2, 3,...
Prime Number	primus (first, basic)	จำนวนเฉพาะ · จำนวนนับที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และตัวมันเอง
Factor	facere (to do, to make)	ตัวประกอบ · จำนวนนับที่สามารถนำไปหารจำนวนนับที่กำหนดได้ลงตัวพอดี
Prime Factorization	-	การแยกตัวประกอบเฉพาะ · การเขียนจำนวนนับในรูปการคูณกันของจำนวนเฉพาะ
Sum & Product	summa (highest) & producere (bring forth)	ผลบวก และ ผลคูณ · ผลลัพธ์ที่ได้จากการนำปริมาณมารวมกันและการคูณกัน