ความสัมพันธ์ระหว่างเศษส่วนและทศนิยม

เศษส่วน (Fractions) และทศนิยม (Decimals) เป็นสองรูปแบบที่ใช้แสดงจำนวนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็มที่เหมือนกัน เราสามารถเปลี่ยนรูปแบบไปมาได้เสมอเพื่อความสะดวกในการคำนวณ ในบทเรียนนี้เราจะมาดูหลักการง่ายๆ ในการแปลงทศนิยมเป็นเศษส่วน และการตั้งหารเพื่อแปลงเศษส่วนกลับมาเป็นทศนิยม

Fractions and decimals are two different ways to represent quantities that are not whole numbers. We can always convert between these forms for easier calculation. In this lesson, we will explore the simple principles of converting decimals to fractions, and using long division to convert fractions back to decimals.

การเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน Converting Decimals to Fractions

หลักการเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน ให้สังเกตที่ จำนวนตำแหน่งของทศนิยม ซึ่งจะบ่งบอกถึงตัวส่วน (Denominator) ดังนี้:

ทศนิยม 1 ตำแหน่ง มีตัวส่วนเป็น 10
ทศนิยม 2 ตำแหน่ง มีตัวส่วนเป็น 100
ทศนิยม 3 ตำแหน่ง มีตัวส่วนเป็น 1000

หลังจากเขียนในรูปเศษส่วนแล้ว ควรทอนให้เป็น เศษส่วนอย่างต่ำ (Simplest form) เสมอ

To convert a decimal to a fraction, observe the number of decimal places, which determines the denominator:

1 decimal place has a denominator of 10
2 decimal places have a denominator of 100
3 decimal places have a denominator of 1000

After writing as a fraction, always simplify it to its simplest form.

Example 1.1

จงแปลง $0.8$ ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

$$ \begin{aligned} 0.8 &= \frac{8}{10} \quad \text{(ทศนิยม 1 ตำแหน่ง ส่วนเป็น 10)} \\ &= \frac{8 \div 2}{10 \div 2} \quad \text{(นำ 2 มาหารทั้งเศษและส่วน)} \\ &= \frac{4}{5} \end{aligned} $$

Convert $0.8$ to a fraction in simplest form.

$$ \begin{aligned} 0.8 &= \frac{8}{10} \quad \text{(1 decimal place, denominator is 10)} \\ &= \frac{8 \div 2}{10 \div 2} \quad \text{(Divide both by 2)} \\ &= \frac{4}{5} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงแปลง $0.45$ ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

$$ \begin{aligned} 0.45 &= \frac{45}{100} \quad \text{(ทศนิยม 2 ตำแหน่ง ส่วนเป็น 100)} \\ &= \frac{45 \div 5}{100 \div 5} \\ &= \frac{9}{20} \end{aligned} $$

Convert $0.45$ to a fraction in simplest form.

$$ \begin{aligned} 0.45 &= \frac{45}{100} \quad \text{(2 decimal places, denominator is 100)} \\ &= \frac{45 \div 5}{100 \div 5} \\ &= \frac{9}{20} \end{aligned} $$

Example 1.3

จงแปลง $0.125$ ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

$$ \begin{aligned} 0.125 &= \frac{125}{1000} \quad \text{(ทศนิยม 3 ตำแหน่ง ส่วนเป็น 1000)} \\ &= \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} \quad \text{(ใช้แม่ 125 หาร)} \\ &= \frac{1}{8} \end{aligned} $$

Convert $0.125$ to a fraction in simplest form.

$$ \begin{aligned} 0.125 &= \frac{125}{1000} \quad \text{(3 decimal places, denominator is 1000)} \\ &= \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} \quad \text{(Divide by 125)} \\ &= \frac{1}{8} \end{aligned} $$

Example 1.4

จงแปลง $2.5$ ให้เป็นจำนวนคละ

$$ \begin{aligned} 2.5 &= 2 + 0.5 \\ &= 2 + \frac{5}{10} \\ &= 2 + \frac{1}{2} \\ &= 2\frac{1}{2} \end{aligned} $$

Convert $2.5$ to a mixed number.

$$ \begin{aligned} 2.5 &= 2 + 0.5 \\ &= 2 + \frac{5}{10} \\ &= 2 + \frac{1}{2} \\ &= 2\frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 1.5

จงแปลง $0.04$ ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

$$ \begin{aligned} 0.04 &= \frac{4}{100} \quad \text{(มี 2 ตำแหน่ง จึงส่วนด้วย 100)} \\ &= \frac{4 \div 4}{100 \div 4} \\ &= \frac{1}{25} \end{aligned} $$

Convert $0.04$ to a fraction in simplest form.

$$ \begin{aligned} 0.04 &= \frac{4}{100} \quad \text{(2 decimal places, so denominator is 100)} \\ &= \frac{4 \div 4}{100 \div 4} \\ &= \frac{1}{25} \end{aligned} $$

Example 1.6

จงแปลง $1.05$ ให้เป็นเศษส่วนและจำนวนคละ

$$ \begin{aligned} 1.05 &= \frac{105}{100} \\ &= \frac{105 \div 5}{100 \div 5} \\ &= \frac{21}{20} \quad \text{(เศษเกิน)} \\ &= 1\frac{1}{20} \quad \text{(จำนวนคละ)} \end{aligned} $$

Convert $1.05$ to a fraction and mixed number.

$$ \begin{aligned} 1.05 &= \frac{105}{100} \\ &= \frac{105 \div 5}{100 \div 5} \\ &= \frac{21}{20} \quad \text{(Improper fraction)} \\ &= 1\frac{1}{20} \quad \text{(Mixed number)} \end{aligned} $$

Example 1.7

รูปแบบนี้สามารถใช้กับทศนิยมกี่ตำแหน่งก็ได้ เช่น จงแปลง $0.0625$ ให้เป็นเศษส่วน

$$ \begin{aligned} 0.0625 &= \frac{625}{10000} \quad \text{(ทศนิยม 4 ตำแหน่ง ส่วนเป็น 10000)} \\ &= \frac{625 \div 625}{10000 \div 625} \\ &= \frac{1}{16} \end{aligned} $$

This pattern applies to any number of decimal places. E.g., Convert $0.0625$ to a fraction.

$$ \begin{aligned} 0.0625 &= \frac{625}{10000} \quad \text{(4 decimal places, denominator is 10000)} \\ &= \frac{625 \div 625}{10000 \div 625} \\ &= \frac{1}{16} \end{aligned} $$

การเปลี่ยนเศษส่วนเป็นทศนิยม Converting Fractions to Decimals

วิธีการที่เป็นสากลที่สุดในการเปลี่ยนเศษส่วนเป็นทศนิยม คือการ นำตัวส่วนไปหารตัวเศษ (ตั้งหารยาว) โดยตัวเศษจะเป็นตัวตั้ง (Dividend) และตัวส่วนจะเป็นตัวหาร (Divisor)

ผลลัพธ์ที่ได้อาจเป็น ทศนิยมรู้จบ (Terminating Decimal) ที่หารลงตัว หรือ ทศนิยมซ้ำ (Repeating Decimal) ที่หารไม่ลงตัวและมีตัวเลขซ้ำกันไปเรื่อยๆ

The most universal method to convert a fraction to a decimal is to divide the numerator by the denominator (using long division). The numerator acts as the dividend, and the denominator as the divisor.

The result can be a Terminating Decimal (division ends) or a Repeating Decimal (division continues infinitely with a repeating pattern).

Example 2.1

จงเขียน $\displaystyle \frac{1}{2}$ ให้อยู่ในรูปทศนิยม

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} &= 1 \div 2 \\ &= 0.5 \quad \text{(ทศนิยมรู้จบ)} \end{aligned} $$

Write $\displaystyle \frac{1}{2}$ as a decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} &= 1 \div 2 \\ &= 0.5 \quad \text{(Terminating decimal)} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงเขียน $\displaystyle \frac{3}{4}$ ให้อยู่ในรูปทศนิยม โดยแสดงการตั้งหารยาว

$$ \begin{aligned} \frac{3}{4} &= 3 \div 4 \\[5pt] \text{ตั้งหารยาว:} & \\[5pt] &\begin{array}{r} 0.75 \\ 4 \overline{)3.00} \\ \underline{2~8}\phantom{0} \\ 20 \\ \underline{20} \\ 0 \end{array} \\[10pt] \therefore \frac{3}{4} &= 0.75 \end{aligned} $$

Write $\displaystyle \frac{3}{4}$ as a decimal using long division.

$$ \begin{aligned} \frac{3}{4} &= 3 \div 4 \\[5pt] \text{Long division:} & \\[5pt] &\begin{array}{r} 0.75 \\ 4 \overline{)3.00} \\ \underline{2~8}\phantom{0} \\ 20 \\ \underline{20} \\ 0 \end{array} \\[10pt] \therefore \frac{3}{4} &= 0.75 \end{aligned} $$

Example 2.3

จงเขียน $\displaystyle \frac{5}{8}$ ให้อยู่ในรูปทศนิยม

$$ \begin{aligned} \frac{5}{8} &= 5 \div 8 \\[5pt] \text{ตั้งหารยาว:} & \\[5pt] &\begin{array}{r} 0.625 \\ 8 \overline{)5.000} \\ \underline{4~8}\phantom{00} \\ 20\phantom{0} \\ \underline{16}\phantom{0} \\ 40 \\ \underline{40} \\ 0 \end{array} \\[10pt] \therefore \frac{5}{8} &= 0.625 \end{aligned} $$

Write $\displaystyle \frac{5}{8}$ as a decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{8} &= 5 \div 8 \\[5pt] \text{Long division:} & \\[5pt] &\begin{array}{r} 0.625 \\ 8 \overline{)5.000} \\ \underline{4~8}\phantom{00} \\ 20\phantom{0} \\ \underline{16}\phantom{0} \\ 40 \\ \underline{40} \\ 0 \end{array} \\[10pt] \therefore \frac{5}{8} &= 0.625 \end{aligned} $$

Example 2.4

จงเขียน $\displaystyle \frac{1}{3}$ ให้อยู่ในรูปทศนิยม (สังเกตว่าเศษจะวนซ้ำไปเรื่อยๆ)

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3} &= 1 \div 3 \\[5pt] \text{ตั้งหารยาว:} & \\[5pt] &\begin{array}{r} 0.333... \\ 3 \overline{)1.000...} \\ \underline{\phantom{0}9}\phantom{00...} \\ 10\phantom{0...} \\ \underline{\phantom{0}9}\phantom{0...} \\ 10\phantom{...} \\ \underline{\phantom{0}9}\phantom{...} \\ 1... \end{array} \\[10pt] \therefore \frac{1}{3} &= 0.333... \\ &= 0.\dot{3} \quad \text{(เขียนย่อเป็น)} \end{aligned} $$

Write $\displaystyle \frac{1}{3}$ as a decimal (notice the remainder repeats endlessly).

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3} &= 1 \div 3 \\[5pt] \text{Long division:} & \\[5pt] &\begin{array}{r} 0.333... \\ 3 \overline{)1.000...} \\ \underline{\phantom{0}9}\phantom{00...} \\ 10\phantom{0...} \\ \underline{\phantom{0}9}\phantom{0...} \\ 10\phantom{...} \\ \underline{\phantom{0}9}\phantom{...} \\ 1... \end{array} \\[10pt] \therefore \frac{1}{3} &= 0.333... \\ &= 0.\dot{3} \quad \text{(Written as)} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงเขียน $\displaystyle \frac{5}{6}$ ให้อยู่ในรูปทศนิยม

$$ \begin{aligned} \frac{5}{6} &= 5 \div 6 \\ &= 0.8333... \\ &= 0.8\dot{3} \quad \text{(ซ้ำเฉพาะเลข 3)} \end{aligned} $$

Write $\displaystyle \frac{5}{6}$ as a decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{6} &= 5 \div 6 \\ &= 0.8333... \\ &= 0.8\dot{3} \quad \text{(Only 3 repeats)} \end{aligned} $$

Example 2.6

จงเขียน $\displaystyle \frac{15}{4}$ ให้อยู่ในรูปทศนิยม (ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน จะได้ผลลัพธ์มากกว่า 1)

$$ \begin{aligned} \frac{15}{4} &= 15 \div 4 \\ &= 3 \text{ เศษ } 3 \\ &= 3 + \frac{3}{4} \\ &= 3 + 0.75 \\ &= 3.75 \end{aligned} $$

Write $\displaystyle \frac{15}{4}$ as a decimal (numerator > denominator means result > 1).

$$ \begin{aligned} \frac{15}{4} &= 15 \div 4 \\ &= 3 \text{ remainder } 3 \\ &= 3 + \frac{3}{4} \\ &= 3 + 0.75 \\ &= 3.75 \end{aligned} $$

Example 2.7

หากตัวส่วนสามารถคูณให้เป็น 10, 100 หรือ 1000 ได้ง่ายๆ เราอาจไม่จำเป็นต้องตั้งหารยาว เช่น จงแปลง $\displaystyle \frac{7}{20}$ เป็นทศนิยม

$$ \begin{aligned} \frac{7}{20} &= \frac{7 \times 5}{20 \times 5} \quad \text{(นำ 5 มาคูณทั้งเศษและส่วนเพื่อให้ส่วนเป็น 100)} \\ &= \frac{35}{100} \\ &= 0.35 \quad \text{(ส่วนเป็น 100 คือทศนิยม 2 ตำแหน่ง)} \end{aligned} $$

If the denominator can easily be multiplied to 10, 100, or 1000, long division can be avoided. E.g., Convert $\displaystyle \frac{7}{20}$ to a decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{7}{20} &= \frac{7 \times 5}{20 \times 5} \quad \text{(Multiply by 5 to get 100)} \\ &= \frac{35}{100} \\ &= 0.35 \quad \text{(Denominator 100 means 2 decimal places)} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Fraction	fractus (broken)	เศษส่วน · จำนวนที่แสดงถึงส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มทั้งหมด
Decimal	decimus (tenth)	ทศนิยม · ระบบตัวเลขที่ใช้ฐานสิบและมีจุดเพื่อแสดงค่าที่น้อยกว่าหนึ่ง
Numerator	numerare (to count)	ตัวเศษ · ตัวเลขที่อยู่ด้านบนของเศษส่วน บ่งบอกจำนวนส่วนที่มีอยู่
Denominator	denominare (to name)	ตัวส่วน · ตัวเลขที่อยู่ด้านล่างของเศษส่วน บ่งบอกการแบ่งส่วนทั้งหมด
Simplify	simplex (simple) + -fy (make)	ทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ · การลดทอนเศษส่วนให้มีตัวเลขน้อยที่สุด
Terminating Decimal	terminus (end, limit)	ทศนิยมรู้จบ · ทศนิยมที่มีจำนวนตำแหน่งที่สิ้นสุดแน่นอน
Repeating Decimal	re- (again) + petere (to seek)	ทศนิยมซ้ำ · ทศนิยมที่มีตัวเลขตัวหนึ่งหรือชุดหนึ่งวนซ้ำไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด
Quotient	quotiens (how many times)	ผลหาร · ผลลัพธ์ที่ได้จากการหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกตัวเลขหนึ่ง