กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

ทศนิยมซ้ำ
Repeating Decimals

ระบบจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

TH

ทศนิยม (Decimals) เป็นรูปแบบหนึ่งของจำนวนตรรกยะ เมื่อเราหารเศษส่วนแล้วไม่ลงตัว เราจะได้ตัวเลขหลังจุดทศนิยมที่อาจจะจบลง หรือดำเนินต่อไปเรื่อยๆ อย่างมีรูปแบบ (ซ้ำ) การทำความเข้าใจทศนิยมซ้ำจะช่วยให้เราจำแนกประเภทของจำนวนในระบบจำนวนจริงได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

EN

Decimals are another way to express rational numbers. When we divide fractions and they don't result in an integer, we get digits after the decimal point that either end or continue infinitely in a predictable pattern (repeating).

1

🛑 ทศนิยมรู้จบ / Terminating Decimals

TH

คือทศนิยมที่หารลงตัว หรือมีจำนวนตัวเลขหลังจุดจำกัด เช่น $0.5$, $0.25$ ในทางคณิตศาสตร์ถือเป็นทศนิยมซ้ำศูนย์

EN

Decimals that have a finite number of digits after the decimal point. Mathematically, they are repeating decimals with zero repeating.

Example 1.1 : ทศนิยม 1 ตำแหน่ง / 1 Decimal Place

ทศนิยมพื้นฐานที่มีตัวเลขหลังจุดเพียง 1 ตัว เกิดจากการหารที่จบในขั้นตอนเดียว

Basic decimal with exactly 1 digit after the point, resulting from a single-step division.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} &= 0.5 \end{aligned} $$
Example 1.2 : ทศนิยม 2 ตำแหน่ง / 2 Decimal Places

ทศนิยมที่จบใน 2 ตำแหน่ง มักพบเมื่อตัวส่วนเป็น 4 หรือ 25

A decimal that terminates at 2 decimal places, commonly found when the denominator is 4 or 25.

$$ \begin{aligned} \frac{3}{4} &= 0.75 \end{aligned} $$
Example 1.3 : ทศนิยม 3 ตำแหน่ง / 3 Decimal Places

การหารที่มีเศษในขั้นตอนแรกๆ แต่สุดท้ายหารลงตัวที่ตำแหน่งที่ 3

Division that has remainders initially but terminates perfectly at the 3rd decimal place.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{8} &= 0.625 \end{aligned} $$
Example 1.4 : ตัวส่วนที่เป็นกำลังของ 2 และ 5 / Powers of 2 and 5

เศษส่วนใดๆ ที่ตัวส่วนแยกตัวประกอบได้แค่เลข 2 หรือ 5 จะเป็นทศนิยมรู้จบเสมอ

Any fraction whose denominator's prime factors are only 2 or 5 will always terminate.

$$ \begin{aligned} \frac{7}{20} &= 0.35 \end{aligned} $$
Example 1.5 : ตัวส่วนเป็นเลข 25 / Denominator of 25

เราสามารถคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 4 เพื่อทำให้ตัวส่วนเป็น 100 ได้อย่างรวดเร็ว

We can multiply both numerator and denominator by 4 to quickly make the denominator 100.

$$ \begin{aligned} \frac{9}{25} &= \frac{9 \times 4}{25 \times 4} \\ &= \frac{36}{100} \\ &= 0.36 \end{aligned} $$
Example 1.6 : ทศนิยมรู้จบค่าลบ / Negative Terminating Decimal

ทศนิยมรู้จบสามารถเป็นค่าติดลบ และมีจำนวนเต็มอยู่ด้านหน้าได้

Terminating decimals can be negative values and can include an integer part.

$$ \begin{aligned} -\frac{11}{4} &= -2.75 \end{aligned} $$
Example 1.7 : แนวคิดการซ้ำศูนย์ / Repeating Zero Concept

ทศนิยมรู้จบสามารถเขียนในรูปทศนิยมที่เติมเลข 0 (ศูนย์) ต่อท้ายไปเรื่อยๆ ได้

A terminating decimal can be written as repeating zeros infinitely without changing its value.

$$ \begin{aligned} 0.5 &= 0.50 \\ &= 0.500 \\ &= 0.5000\dots \end{aligned} $$
2

🔄 ทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ / Repeating Decimals

TH

คือทศนิยมที่มีกลุ่มตัวเลขหลังจุดซ้ำเดิมไปเรื่อยๆ อย่างไม่สิ้นสุด โดยเราใช้จุด ($\cdot$) บนหัวตัวเลขเพื่อแสดงการซ้ำ

EN

Decimals with a pattern of digits that repeat infinitely. We use dot notation above the repeating digits to represent the sequence.

Example 2.1 : ซ้ำ 1 ตำแหน่ง / 1 Repeating Digit

ตัวเลขเดิมตัวเดียวซ้ำไปเรื่อยๆ เราจะใส่จุดบนตัวเลขนั้นเพียง 1 จุด

A single digit repeating infinitely. We place one dot over that digit.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3} &= 0.3333\dots \\ &= 0.\dot{3} \end{aligned} $$
Example 2.2 : ซ้ำ 1 ตำแหน่งเลขอื่น / Another 1 Repeating Digit

ตัวส่วนที่เป็นเลข 9 มักจะให้ผลลัพธ์การหารเป็นทศนิยมซ้ำ 1 ตำแหน่งเสมอ

A denominator of 9 almost always results in a 1-digit repeating decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{2}{9} &= 0.2222\dots \\ &= 0.\dot{2} \end{aligned} $$
Example 2.3 : ซ้ำ 2 ตำแหน่ง / 2 Repeating Digits

ตัวเลข 2 ตัวซ้ำกันเป็นชุด ให้ใส่จุดบนตัวเลขทั้งสองตัว

Two digits repeating as a block. Place dots over both digits.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{11} &= 0.454545\dots \\ &= 0.\dot{4}\dot{5} \end{aligned} $$
Example 2.4 : ซ้ำไม่หมด (เริ่มซ้ำช้า) / Delayed Repeating

ทศนิยมที่มีเลขหลังจุดที่ไม่ซ้ำอยู่ด้านหน้า แล้วตามด้วยตัวเลขที่วนซ้ำ

A decimal where a non-repeating digit appears first, followed by a repeating digit.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{6} &= 0.16666\dots \\ &= 0.1\dot{6} \end{aligned} $$
Example 2.5 : ซ้ำไม่หมด 2 ตำแหน่ง / Delayed 2 Repeating Digits

มีตัวเลขไม่ซ้ำอยู่ข้างหน้า แล้วตามด้วยชุดที่ซ้ำกัน 2 ตัว

A non-repeating digit followed by a 2-digit repeating block.

$$ \begin{aligned} \frac{7}{33} &= 0.212121\dots \\ &= 0.\dot{2}\dot{1} \end{aligned} $$
Example 2.6 : ชุดการซ้ำที่ยาวมาก / Long Repeating Block

เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นเลข 7 มักเกิดทศนิยมซ้ำที่มีความยาวถึง 6 ตำแหน่ง (ใส่จุดเฉพาะตัวแรกและตัวสุดท้ายของชุด)

Fractions with a denominator of 7 often result in repeating blocks of 6 digits (dots placed only on first and last digit).

$$ \begin{aligned} \frac{1}{7} &= 0.142857142857\dots \\ &= 0.\dot{1}4285\dot{7} \end{aligned} $$
Example 2.7 : ส่วนประกอบของเลข 99 / Denominator of 99

ตัวส่วนที่เป็นเลข 99 จะสร้างทศนิยมซ้ำ 2 ตำแหน่งตามตัวเศษด้านบน

A denominator of 99 creates a 2-digit repeating decimal corresponding to its numerator.

$$ \begin{aligned} \frac{25}{99} &= 0.252525\dots \\ &= 0.\dot{2}\dot{5} \end{aligned} $$
3

🧮 การแปลงเป็นเศษส่วน / Fraction Conversion

TH

การแปลงทศนิยมซ้ำกลับเป็นเศษส่วน สามารถทำได้ด้วย วิธีจัดรูปสมการ หรือ ใช้สูตรลัด โดยวิธีสมการจะต้องคูณเพื่อเลื่อนจุดทศนิยมให้ตรงกัน

EN

Conversion can be done via algebraic equations or a shortcut formula. The equation method multiplies to shift and perfectly align the decimals.

Example 3.1 : วิธีแก้สมการ - ซ้ำ 1 ตำแหน่ง / Eq Method - 1 Digit
TH

กำหนดให้ $x$ เท่ากับทศนิยมซ้ำนั้น แล้วคูณด้วย 10 เพื่อเลื่อนจุดทศนิยม 1 ตำแหน่ง

$$ \begin{aligned} x &= 0.3333\dots \qquad \text{--- (สมการ 1)} \\ 10x &= 3.3333\dots \qquad \text{--- (สมการ 2)} \\ 10x - x &= 3.3333\dots - 0.3333\dots \\ 9x &= 3 \\ x &= \frac{3}{9} \\ x &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$
EN

Let $x$ equal the repeating decimal, then multiply by 10 to shift the decimal point by 1 place.

$$ \begin{aligned} x &= 0.3333\dots \qquad \text{--- (Eq. 1)} \\ 10x &= 3.3333\dots \qquad \text{--- (Eq. 2)} \\ 10x - x &= 3.3333\dots - 0.3333\dots \\ 9x &= 3 \\ x &= \frac{3}{9} \\ x &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$
Example 3.2 : วิธีแก้สมการ - ซ้ำ 2 ตำแหน่ง / Eq Method - 2 Digits
TH

เนื่องจากมีตัวเลขซ้ำ 2 ตำแหน่ง เราจึงต้องคูณด้วย 100 เพื่อเลื่อนจุดและให้ชุดที่ซ้ำตรงกัน

$$ \begin{aligned} x &= 0.4545\dots \qquad \text{--- (สมการ 1)} \\ 100x &= 45.4545\dots \qquad \text{--- (สมการ 2)} \\ 100x - x &= 45.4545\dots - 0.4545\dots \\ 99x &= 45 \\ x &= \frac{45}{99} \\ x &= \frac{5}{11} \end{aligned} $$
EN

Since 2 digits repeat, we must multiply by 100 to shift the decimal and properly align the repeats.

$$ \begin{aligned} x &= 0.4545\dots \qquad \text{--- (Eq. 1)} \\ 100x &= 45.4545\dots \qquad \text{--- (Eq. 2)} \\ 100x - x &= 45.4545\dots - 0.4545\dots \\ 99x &= 45 \\ x &= \frac{45}{99} \\ x &= \frac{5}{11} \end{aligned} $$
Example 3.3 : วิธีแก้สมการ - เริ่มซ้ำช้า / Eq Method - Delayed Repeat
TH

ต้องสร้างสมการที่ดันจุดไปด้านหน้าตัวซ้ำ (คูณ 10) และด้านหลังตัวซ้ำ (คูณ 100) แล้วจึงนำมาลบกัน

$$ \begin{aligned} x &= 0.1666\dots \\ 10x &= 1.666\dots \qquad \text{--- (สมการ 1)} \\ 100x &= 16.666\dots \qquad \text{--- (สมการ 2)} \\ 100x - 10x &= 16.666\dots - 1.666\dots \\ 90x &= 15 \\ x &= \frac{15}{90} \\ x &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$
EN

Create equations placing the point just before the repeat (multiply 10) and right after (multiply 100), then subtract.

$$ \begin{aligned} x &= 0.1666\dots \\ 10x &= 1.666\dots \qquad \text{--- (Eq. 1)} \\ 100x &= 16.666\dots \qquad \text{--- (Eq. 2)} \\ 100x - 10x &= 16.666\dots - 1.666\dots \\ 90x &= 15 \\ x &= \frac{15}{90} \\ x &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$
Example 3.4 : วิธีลัด - ซ้ำทั้งหมด / Shortcut - All Repeating

ตัวเศษ = ตัวเลขทั้งหมดลบด้วยตัวที่ไม่ซ้ำ (ในที่นี้คือ 0) | ตัวส่วน = 9 ตามจำนวนตัวเลขที่ซ้ำ

Numerator = All digits minus non-repeating (0) | Denominator = 9s based on repeating quantity.

$$ \begin{aligned} 0.\dot{7} &= \frac{7 - 0}{9} \\ &= \frac{7}{9} \end{aligned} $$
Example 3.5 : วิธีลัด - ซ้ำ 2 ตัว / Shortcut - 2 Digits

เลขซ้ำ 2 ตำแหน่ง จึงใช้ตัวส่วนเป็น 99 แล้วตัดทอนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

2 repeating digits, so the denominator is 99, then simplify.

$$ \begin{aligned} 0.\dot{1}\dot{2} &= \frac{12 - 0}{99} \\ &= \frac{12}{99} \\ &= \frac{4}{33} \end{aligned} $$
Example 3.6 : วิธีลัด - แบบเริ่มซ้ำช้า / Shortcut - Delayed Repeat

ทศนิยม $0.4\dot{2}\dot{1}$ ตัวเลขทั้งหมดคือ 421 ตัวไม่ซ้ำคือ 4 ส่วนตัวส่วนคือ 99 (ซ้ำ 2 ตัว) และ 0 (ไม่ซ้ำ 1 ตัว)

Decimal $0.4\dot{2}\dot{1}$ All digits=421, non-repeating=4. Denom is 99 (2 rep) and 0 (1 non-rep).

$$ \begin{aligned} 0.4\dot{2}\dot{1} &= \frac{421 - 4}{990} \\ &= \frac{417}{990} \\ &= \frac{139}{330} \end{aligned} $$
Example 3.7 : วิธีลัด - มีจำนวนเต็มด้านหน้า / Shortcut - With Integer

แยกจำนวนเต็มบวกเอาไว้ด้านหน้า แล้วแปลงเฉพาะส่วนทศนิยมด้วยวิธีลัด

Keep the integer part out in front, and convert only the decimal part using the shortcut.

$$ \begin{aligned} 1.\dot{2} &= 1 + \frac{2 - 0}{9} \\ &= 1 + \frac{2}{9} \\ &= \frac{9}{9} + \frac{2}{9} \\ &= \frac{11}{9} \end{aligned} $$
4

🌌 จำนวนอตรรกยะ / Irrational Numbers

TH

คือทศนิยมที่ไม่รู้จบและ ไม่ซ้ำ ซึ่งไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ เช่น $\pi$ หรือ $\sqrt{2}$

EN

Decimals that are non-terminating and non-repeating. They cannot be written as fractions.

Example 4.1 : ค่าพาย / Pi ($\pi$)

อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม (22/7 เป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น ไม่ใช่ค่าแท้จริง)

Ratio of a circle's circumference to its diameter (22/7 is only an approximation).

$$ \begin{aligned} \pi &\approx 3.1415926535\dots \end{aligned} $$
Example 4.2 : รากที่สองของ 2 / Square Root of 2 ($\sqrt{2}$)

ความยาวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1x1 เป็นอตรรกยะที่ถูกค้นพบเป็นตัวแรกๆ ของโลก

The diagonal of a 1x1 square. One of the first discovered irrational numbers in history.

$$ \begin{aligned} \sqrt{2} &\approx 1.4142135623\dots \end{aligned} $$
Example 4.3 : รากที่สองของ 3 / Square Root of 3 ($\sqrt{3}$)

รากที่ถอดออกมาไม่เป็นจำนวนเต็ม จะมีค่าเป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ

Square roots of non-perfect squares are always irrational numbers.

$$ \begin{aligned} \sqrt{3} &\approx 1.7320508075\dots \end{aligned} $$
Example 4.4 : จำนวนออยเลอร์ / Euler's Number ($e$)

ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ สำคัญมากในเรื่องการคำนวณการเติบโตแบบทวีคูณ

Mathematical constant serving as the base of the natural logarithm. Vital in exponential growth.

$$ \begin{aligned} e &\approx 2.7182818284\dots \end{aligned} $$
Example 4.5 : รากที่สองของ 5 / Square Root of 5 ($\sqrt{5}$)

จำนวนตรรกยะบวกอตรรกยะ หรือนำมาคูณหารกัน ผลลัพธ์จะเป็นอตรรกยะเสมอ

Rational plus irrational, or irrational divided by rational, always results in an irrational number.

$$ \begin{aligned} \sqrt{5} &\approx 2.2360679774\dots \end{aligned} $$
Example 4.6 : อัตราส่วนทองคำ / Golden Ratio ($\phi$)

อัตราส่วนสัดส่วนความงามทางคณิตศาสตร์ ที่มี $\sqrt{5}$ เป็นส่วนประกอบ จึงทำให้เป็นอตรรกยะด้วยเช่นกัน

The mathematical proportion of beauty, which contains $\sqrt{5}$, making it intrinsically irrational.

$$ \begin{aligned} \phi &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ &\approx 1.6180339887\dots \end{aligned} $$
Example 4.7 : ทศนิยมสร้างรูปแบบแต่ไม่ซ้ำ / Patterned Non-repeating

ทศนิยมที่ดูเหมือนมีรูปแบบการเพิ่มขึ้น แต่ไม่ใช่ "กลุ่มที่วนลูปกลับมาซ้ำกันเป๊ะๆ" ถือว่าเป็นอตรรกยะ

A decimal showing a growing pattern but not a "strictly repeating block" is considered irrational.

$$ \begin{aligned} x &= 0.101001000100001\dots \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Rational Number ratio (measure) จำนวนตรรกยะ · เขียนเป็นเศษส่วนได้
Irrational Number ir- (not) + ratio จำนวนอตรรกยะ · เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้
Terminating terminus (end) ทศนิยมรู้จบ · มีตำแหน่งสิ้นสุด
Repeating re- (again) ทศนิยมซ้ำ · มีกลุ่มตัวเลขเดิมวนซ้ำ
Numerator numerus (number) ตัวเศษ · จำนวนส่วนบนของเศษส่วน
Denominator nomen (name) ตัวส่วน · จำนวนส่วนล่างของเศษส่วน
Infinite in- (not) + finis (end) อนันต์ · ต่อเนื่องไปไม่มีที่สิ้นสุด