สมการเลขยกกำลัง

สมการเลขยกกำลัง (Exponential Equation) คือ สมการที่มีตัวแปรปรากฏอยู่ที่ตำแหน่งของ เลขชี้กำลัง (Exponent) โดยหลักการพื้นฐานที่สุดในการแก้สมการประเภทนี้คือ ความพยายามจัดรูปให้ทั้งสองข้างของสมการมี ฐาน (Base) ที่เท่ากันเสียก่อน

An Exponential Equation is an equation in which variables occur as exponents. The most fundamental strategy for solving these equations is to express both sides of the equation with the same base.

🔑 ทฤษฎีบทและหลักการสำคัญ / Core Principles

ในการแก้สมการเลขยกกำลัง เราอาศัยสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 (One-to-One Function) ซึ่งให้ผลสรุปที่สำคัญ 3 รูปแบบ ดังนี้:

$$ \begin{aligned} &\text{1. } a^x = a^y \implies x = y \quad \text{(เมื่อ } a > 0 \text{ และ } a \neq 1\text{)} \\ &\text{2. } a^x = b^x \implies x = 0 \quad \text{(เมื่อ } a \neq b \text{ และ } a,b > 0\text{)} \\ &\text{3. } \text{สมการรูปพหุนาม: ให้สมมติ } u = a^x \text{ โดยที่ } u > 0 \text{ เสมอ} \end{aligned} $$

To solve exponential equations, we rely on the one-to-one property of exponential functions, which yields 3 key principles:

$$ \begin{aligned} &\text{1. } a^x = a^y \implies x = y \quad \text{(where } a > 0 \text{ and } a \neq 1\text{)} \\ &\text{2. } a^x = b^x \implies x = 0 \quad \text{(where } a \neq b \text{ and } a,b > 0\text{)} \\ &\text{3. } \text{Quadratic form: Substitute } u = a^x \text{ noting that } u > 0 \text{ always} \end{aligned} $$

📝 รูปแบบตัวอย่างสมการ / Equation Examples

เรามาดูตัวอย่างการแก้สมการในรูปแบบต่างๆ ตั้งแต่การทำฐานให้เท่ากันแบบง่ายๆ ไปจนถึงการแก้สมการในรูปพหุนามดีกรีสอง

Let's explore various examples, ranging from simple same-base equations to quadratic forms in exponential equations.

Example 2.1 : ทำฐานให้เท่ากัน (พื้นฐาน)

จงแก้สมการ $2^{x+3} = 32$

แปลง $32$ ให้กลายเป็นเลขยกกำลังฐาน $2$

$$ \begin{aligned} 2^{x+3} &= 2^5 \\ x + 3 &= 5 \quad \text{(จับเลขชี้กำลังมาเท่ากัน)} \\ x &= 5 - 3 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Solve the equation $2^{x+3} = 32$.

Convert $32$ into a power of base $2$.

$$ \begin{aligned} 2^{x+3} &= 2^5 \\ x + 3 &= 5 \quad \text{(equate the exponents)} \\ x &= 5 - 3 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Example 2.2 : ฐานเป็นเศษส่วนและเลขชี้กำลังติดลบ

จงแก้สมการ $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \frac{27}{8}$

สังเกตว่า $\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^3$ ซึ่งเป็นส่วนกลับของฐานฝั่งซ้าย

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} &= \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} &= \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \quad \text{(พลิกเศษส่วน ทำให้เลขชี้กำลังติดลบ)} \\ 2x &= -3 \\ x &= -\frac{3}{2} \end{aligned} $$

Solve the equation $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \frac{27}{8}$.

Notice that $\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^3$, which is the reciprocal of the left base.

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} &= \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} &= \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \quad \text{(flip fraction, negate exponent)} \\ 2x &= -3 \\ x &= -\frac{3}{2} \end{aligned} $$

Example 2.3 : เลขยกกำลังที่มีฐานติดกรณฑ์ (ราก)

จงแก้สมการ $\left(\sqrt{3}\right)^{x-1} = 81$

เปลี่ยนรากที่สองให้อยู่ในรูปเลขชี้กำลัง $\frac{1}{2}$

$$ \begin{aligned} \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{x-1} &= 3^4 \\ 3^{\frac{x-1}{2}} &= 3^4 \\ \frac{x-1}{2} &= 4 \\ x - 1 &= 8 \\ x &= 9 \end{aligned} $$

Solve the equation $\left(\sqrt{3}\right)^{x-1} = 81$.

Convert the square root to a fractional exponent of $\frac{1}{2}$.

$$ \begin{aligned} \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{x-1} &= 3^4 \\ 3^{\frac{x-1}{2}} &= 3^4 \\ \frac{x-1}{2} &= 4 \\ x - 1 &= 8 \\ x &= 9 \end{aligned} $$

Example 2.4 : ฐานไม่เท่ากัน แต่เลขชี้กำลังเท่ากัน

จงแก้สมการ $5^{2x-4} = 7^{2x-4}$

เมื่อฐานไม่สามารถทำให้เท่ากันได้ ($5 \neq 7$) สมการจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อเลขชี้กำลังมีค่าเป็นศูนย์เท่านั้น ($a^0 = b^0 = 1$)

$$ \begin{aligned} \text{อ้างอิงจาก } a^y &= b^y \implies y = 0 \\ 2x - 4 &= 0 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Solve the equation $5^{2x-4} = 7^{2x-4}$.

When bases cannot be made equal ($5 \neq 7$), the equation holds true only if the exponent is zero ($a^0 = b^0 = 1$).

$$ \begin{aligned} \text{Based on } a^y &= b^y \implies y = 0 \\ 2x - 4 &= 0 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Example 2.5 : การดึงตัวร่วม

จงแก้สมการ $3^{x+1} - 3^x = 54$

แยก $3^{x+1}$ เป็น $3^x \cdot 3^1$ แล้วดึงตัวร่วม $3^x$ ออกมา

$$ \begin{aligned} 3^x \cdot 3^1 - 3^x &= 54 \\ 3^x(3 - 1) &= 54 \quad \text{(ดึง } 3^x \text{ เป็นตัวร่วม)} \\ 3^x(2) &= 54 \\ 3^x &= \frac{54}{2} \\ 3^x &= 27 \\ 3^x &= 3^3 \\ x &= 3 \end{aligned} $$

Solve the equation $3^{x+1} - 3^x = 54$.

Split $3^{x+1}$ into $3^x \cdot 3^1$, then factor out $3^x$.

$$ \begin{aligned} 3^x \cdot 3^1 - 3^x &= 54 \\ 3^x(3 - 1) &= 54 \quad \text{(Factor out } 3^x\text{)} \\ 3^x(2) &= 54 \\ 3^x &= \frac{54}{2} \\ 3^x &= 27 \\ 3^x &= 3^3 \\ x &= 3 \end{aligned} $$

Example 2.6 : การสมมติตัวแปร (สมการรูปพหุนามดีกรีสอง)

จงแก้สมการ $4^x - 3(2^x) - 4 = 0$

สังเกตว่า $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ เราสามารถสมมติให้ $A = 2^x$ ได้

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 3(2^x) - 4 &= 0 \\ \text{ให้ } A &= 2^x \quad \text{(สังเกตว่า } A > 0 \text{ เสมอ)} \\ A^2 - 3A - 4 &= 0 \\ (A - 4)(A + 1) &= 0 \\ A &= 4 \text{ หรือ } A = -1 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับ $A = 2^x$:

กรณีที่ 1: $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies$ $x = 2$

กรณีที่ 2: $2^x = -1$ **เป็นไปไม่ได้ (ไม่มีคำตอบ) เพราะเลขยกกำลังฐานบวก ย่อมมีค่ามากกว่า 0 เสมอ**

Solve the equation $4^x - 3(2^x) - 4 = 0$.

Notice that $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. We can substitute $A = 2^x$.

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 3(2^x) - 4 &= 0 \\ \text{Let } A &= 2^x \quad \text{(Note that } A > 0 \text{ always)} \\ A^2 - 3A - 4 &= 0 \\ (A - 4)(A + 1) &= 0 \\ A &= 4 \text{ or } A = -1 \end{aligned} $$

Substitute back $A = 2^x$:

Case 1: $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies$ $x = 2$

Case 2: $2^x = -1$ **Impossible (No solution) because an exponential function with a positive base is always > 0.**

Example 2.7 : การสมมติตัวแปร (เลขชี้กำลังเป็นลบ)

จงแก้สมการ $2^x - 2^{3-x} = 2$

แยกเลขชี้กำลัง $2^{3-x} = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{2^x}$ แล้วให้ $A = 2^x$

$$ \begin{aligned} 2^x - \frac{8}{2^x} &= 2 \\ \text{ให้ } A &= 2^x \\ A - \frac{8}{A} &= 2 \\ \text{นำ } A \text{ คูณตลอดจะได้ } \quad A^2 - 8 &= 2A \\ A^2 - 2A - 8 &= 0 \\ (A - 4)(A + 2) &= 0 \\ A &= 4 \text{ หรือ } A = -2 \end{aligned} $$

เนื่องจาก $A = 2^x > 0$ เสมอ ดังนั้น $A = -2$ ใช้ไม่ได้
จะได้ $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies$ $x = 2$

Solve the equation $2^x - 2^{3-x} = 2$.

Split the exponent $2^{3-x} = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{2^x}$, then let $A = 2^x$.

$$ \begin{aligned} 2^x - \frac{8}{2^x} &= 2 \\ \text{Let } A &= 2^x \\ A - \frac{8}{A} &= 2 \\ \text{Multiply by } A \text{ gives } \quad A^2 - 8 &= 2A \\ A^2 - 2A - 8 &= 0 \\ (A - 4)(A + 2) &= 0 \\ A &= 4 \text{ or } A = -2 \end{aligned} $$

Since $A = 2^x > 0$ always, $A = -2$ is rejected.
We get $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies$ $x = 2$

Example 2.8 : เครื่องหมายกรณฑ์ทั้งสองข้าง

จงแก้สมการ $\sqrt{2^x} = \sqrt[3]{4}$

แปลงเครื่องหมายกรณฑ์ให้อยู่ในรูปเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน โดย $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

$$ \begin{aligned} (2^x)^{\frac{1}{2}} &= (2^2)^{\frac{1}{3}} \\ 2^{\frac{x}{2}} &= 2^{\frac{2}{3}} \\ \frac{x}{2} &= \frac{2}{3} \quad \text{(ฐานเท่ากัน จับเลขชี้กำลังมาเท่ากัน)} \\ x &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

Solve the equation $\sqrt{2^x} = \sqrt[3]{4}$.

Convert radicals to fractional exponents using $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.

$$ \begin{aligned} (2^x)^{\frac{1}{2}} &= (2^2)^{\frac{1}{3}} \\ 2^{\frac{x}{2}} &= 2^{\frac{2}{3}} \\ \frac{x}{2} &= \frac{2}{3} \quad \text{(Equating the exponents)} \\ x &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

Example 2.9 : กรณฑ์ซ้อนกรณฑ์ (Nested Radicals)

จงแก้สมการ $\sqrt{5\sqrt{5}} = 5^x$

ค่อยๆ ถอดรากจากด้านในสุดออกมา แล้วใช้สมบัติการคูณเลขยกกำลัง

$$ \begin{aligned} \left(5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} &= 5^x \\ \left(5^{1 + \frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} &= 5^x \\ \left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} &= 5^x \\ 5^{\frac{3}{4}} &= 5^x \\ x &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$

Solve the equation $\sqrt{5\sqrt{5}} = 5^x$.

Unpack the radicals from the inside out and use exponent multiplication rules.

Example 2.10 : ตัวแปรอยู่ที่อันดับของกรณฑ์

จงแก้สมการ $\sqrt[x]{27} = 9$

เปลี่ยน $\sqrt[x]{\dots}$ ให้เป็นเลขชี้กำลังเศษส่วน $\frac{1}{x}$ และปรับฐานให้เป็น $3$

$$ \begin{aligned} 27^{\frac{1}{x}} &= 9 \\ (3^3)^{\frac{1}{x}} &= 3^2 \\ 3^{\frac{3}{x}} &= 3^2 \\ \frac{3}{x} &= 2 \\ 3 &= 2x \implies x = \frac{3}{2} \end{aligned} $$

Solve the equation $\sqrt[x]{27} = 9$.

Convert $\sqrt[x]{\dots}$ into a fractional exponent $\frac{1}{x}$ and set the base to $3$.

$$ \begin{aligned} 27^{\frac{1}{x}} &= 9 \\ (3^3)^{\frac{1}{x}} &= 3^2 \\ 3^{\frac{3}{x}} &= 3^2 \\ \frac{3}{x} &= 2 \\ 3 &= 2x \implies x = \frac{3}{2} \end{aligned} $$

Example 2.11 : กรณฑ์ผสมกับส่วนกลับ (เศษส่วน)

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8^x}} = 4^{x-1}$

ปรับฐานเป็น $2$ ทั้งสองข้าง และดันตัวส่วนขึ้นมาเพื่อให้เลขชี้กำลังติดลบ

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(2^3)^{\frac{x}{2}}} &= (2^2)^{x-1} \\ \frac{1}{2^{\frac{3x}{2}}} &= 2^{2x-2} \\ 2^{-\frac{3x}{2}} &= 2^{2x-2} \\ -\frac{3x}{2} &= 2x - 2 \\ -3x &= 4x - 4 \quad \text{(นำ } 2 \text{ ไปคูณไขว้)} \\ 4 &= 7x \\ x &= \frac{4}{7} \end{aligned} $$

Solve the equation $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8^x}} = 4^{x-1}$.

Adjust both bases to $2$ and bring the denominator up by making the exponent negative.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(2^3)^{\frac{x}{2}}} &= (2^2)^{x-1} \\ \frac{1}{2^{\frac{3x}{2}}} &= 2^{2x-2} \\ 2^{-\frac{3x}{2}} &= 2^{2x-2} \\ -\frac{3x}{2} &= 2x - 2 \\ -3x &= 4x - 4 \quad \text{(Multiply by } 2\text{)} \\ 4 &= 7x \\ x &= \frac{4}{7} \end{aligned} $$

Example 2.12 : การสมมติตัวแปรที่มีค่าในรูปกรณฑ์

จงแก้สมการ $3^x - 4\sqrt{3^x} + 3 = 0$

สังเกตว่า $3^x$ คือกำลังสองของ $\sqrt{3^x}$ ดังนั้นเราสามารถจัดให้อยู่ในรูปพหุนามดีกรีสองได้

$$ \begin{aligned} (\sqrt{3^x})^2 - 4\sqrt{3^x} + 3 &= 0 \\ \text{ให้ } A &= \sqrt{3^x} \quad \text{(โดยที่ } A > 0 \text{ เสมอ)} \\ A^2 - 4A + 3 &= 0 \\ (A - 3)(A - 1) &= 0 \\ A &= 3 \text{ หรือ } A = 1 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับ $A = \sqrt{3^x}$ หรือก็คือ $3^{\frac{x}{2}}$:

กรณีที่ 1: $\sqrt{3^x} = 3 \implies 3^{\frac{x}{2}} = 3^1 \implies \frac{x}{2} = 1 \implies$ $x = 2$

กรณีที่ 2: $\sqrt{3^x} = 1 \implies 3^{\frac{x}{2}} = 3^0 \implies \frac{x}{2} = 0 \implies$ $x = 0$

$\text{เซตคำตอบคือ } \{0, 2\}$

Solve the equation $3^x - 4\sqrt{3^x} + 3 = 0$.

Notice that $3^x$ is the square of $\sqrt{3^x}$. We can arrange this into a quadratic form.

$$ \begin{aligned} (\sqrt{3^x})^2 - 4\sqrt{3^x} + 3 &= 0 \\ \text{Let } A &= \sqrt{3^x} \quad \text{(where } A > 0 \text{ always)} \\ A^2 - 4A + 3 &= 0 \\ (A - 3)(A - 1) &= 0 \\ A &= 3 \text{ or } A = 1 \end{aligned} $$

Substitute back $A = \sqrt{3^x}$, which is $3^{\frac{x}{2}}$:

Case 1: $\sqrt{3^x} = 3 \implies 3^{\frac{x}{2}} = 3^1 \implies \frac{x}{2} = 1 \implies$ $x = 2$

Case 2: $\sqrt{3^x} = 1 \implies 3^{\frac{x}{2}} = 3^0 \implies \frac{x}{2} = 0 \implies$ $x = 0$

$\text{Solution set is } \{0, 2\}$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้

คำศัพท์	รากศัพท์ / Prefix	ความหมาย / Meaning
Exponential	ex- (out) + ponere (to place)	เอกซ์โพเนนเชียล · เกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กำลัง
Base	basis (foundation)	ฐาน · ตัวเลขที่ถูกคูณซ้ำๆ ด้วยตัวมันเองตามจำนวนของเลขชี้กำลัง
Exponent / Index	exponere (to put forth)	เลขชี้กำลัง · ตัวเลขขนาดเล็กที่เขียนไว้มุมขวาบน เพื่อบอกจำนวนครั้งที่ต้องคูณฐาน
Substitute	sub- (in place of) + statuere (set up)	สมมติ / แทนที่ · การนำตัวแปรใหม่ (เช่น $A$ หรือ $u$) เข้ามาแทนนิพจน์ที่ซับซ้อนเพื่อให้แก้สมการง่ายขึ้น
Quadratic	quadratus (made square)	กำลังสอง (ดีกรีสอง) · พหุนามที่มีกำลังสูงสุดเป็น 2 เช่น $Ax^2+Bx+C=0$