สมบัติของเลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง (Exponents) คือการเขียนแทนการคูณตัวเลขเดิมซ้ำๆ กันหลายครั้ง โดยมี "ฐาน (Base)" เป็นตัวเลขที่ถูกคูณ และ "เลขชี้กำลัง (Exponent/Power)" เป็นจำนวนครั้งที่คูณ สมบัติทั้ง 7 ข้อต่อไปนี้เป็นกฎพื้นฐานที่ช่วยให้การคำนวณง่ายและรวดเร็วขึ้น

Exponents represent repeated multiplication of the same number. The "Base" is the number being multiplied, and the "Exponent (or Power)" is the number of times it is multiplied. The following 7 properties are fundamental rules to simplify calculations.

✖️ การคูณเลขยกกำลัง / Product Rule

ทฤษฎี: เมื่อคูณเลขยกกำลังที่มี ฐานเหมือนกัน ให้นำเลขชี้กำลังมา บวกกัน

$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$

Rule: When multiplying exponential expressions with the same base, add the exponents.

$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$

Example 1.1 : จำนวนเต็มบวกพื้นฐาน

จงหาผลคูณของ $2^3 \times 2^4$

Evaluate $2^3 \times 2^4$

$$ \begin{aligned} 2^3 \times 2^4 &= 2^{3+4} \\ &= 2^7 \\ &= 128 \end{aligned} $$

Example 1.2 : มีเลขชี้กำลังติดลบ

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $x^5 \cdot x^{-2}$

Simplify: $x^5 \cdot x^{-2}$

$$ \begin{aligned} x^5 \cdot x^{-2} &= x^{5 + (-2)} \\ &= x^3 \end{aligned} $$

Example 1.3 : การคูณหลายพจน์

จงหาค่าของ $3^2 \times 3^4 \times 3^{-1}$

Evaluate $3^2 \times 3^4 \times 3^{-1}$

$$ \begin{aligned} 3^2 \times 3^4 \times 3^{-1} &= 3^{2+4+(-1)} \\ &= 3^5 \\ &= 243 \end{aligned} $$

Example 1.4 : เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{3}{2}}$

Simplify: $a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{3}{2}} &= a^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \\ &= a^{\frac{4}{2}} \\ &= a^2 \end{aligned} $$

Example 1.5 : ฐานเป็นจำนวนลบ

จงหาผลคูณของ $(-2)^3 \times (-2)^5$

Evaluate $(-2)^3 \times (-2)^5$

$$ \begin{aligned} (-2)^3 \times (-2)^5 &= (-2)^{3+5} \\ &= (-2)^8 \\ &= 256 \end{aligned} $$

Example 1.6 : ฐานเป็นพหุนาม

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $(x+y)^2 (x+y)^3$

Simplify: $(x+y)^2 (x+y)^3$

$$ \begin{aligned} (x+y)^2 (x+y)^3 &= (x+y)^{2+3} \\ &= (x+y)^5 \end{aligned} $$

Example 1.7 : เลขชี้กำลังเป็นตัวแปร

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $2^{n+1} \times 2^{n-1}$

Simplify: $2^{n+1} \times 2^{n-1}$

$$ \begin{aligned} 2^{n+1} \times 2^{n-1} &= 2^{(n+1) + (n-1)} \\ &= 2^{2n} \end{aligned} $$

➗ การหารเลขยกกำลัง / Quotient Rule

ทฤษฎี: เมื่อหารเลขยกกำลังที่มี ฐานเหมือนกัน ให้นำเลขชี้กำลังของตัวตั้งมา ลบด้วย เลขชี้กำลังของตัวหาร

$$ a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{(เมื่อ } a \neq 0 \text{)} $$

Rule: When dividing exponential expressions with the same base, subtract the exponent of the denominator from the numerator.

$$ a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{(when } a \neq 0 \text{)} $$

Example 2.1 : การหารพื้นฐาน

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{5^7}{5^3}$

Evaluate $\displaystyle \frac{5^7}{5^3}$

$$ \begin{aligned} \frac{5^7}{5^3} &= 5^{7-3} \\ &= 5^4 \\ &= 625 \end{aligned} $$

Example 2.2 : ตัวหารมีกำลังติดลบ

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $x^8 \div x^{-3}$

Simplify: $x^8 \div x^{-3}$

$$ \begin{aligned} x^8 \div x^{-3} &= x^{8 - (-3)} \\ &= x^{8+3} \\ &= x^{11} \end{aligned} $$

Example 2.3 : เลขชี้กำลังเป็นตัวแปร

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $\displaystyle \frac{a^{3x}}{a^x}$

Simplify: $\displaystyle \frac{a^{3x}}{a^x}$

$$ \begin{aligned} \frac{a^{3x}}{a^x} &= a^{3x - x} \\ &= a^{2x} \end{aligned} $$

Example 2.4 : ผสมการคูณและการหาร

จงหาค่าของ $\displaystyle \frac{10^2 \times 10^5}{10^4}$

Evaluate $\displaystyle \frac{10^2 \times 10^5}{10^4}$

$$ \begin{aligned} \frac{10^2 \times 10^5}{10^4} &= \frac{10^{2+5}}{10^4} \\ &= \frac{10^7}{10^4} \\ &= 10^{7-4} \\ &= 10^3 \\ &= 1000 \end{aligned} $$

Example 2.5 : เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $\displaystyle \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{6}}}$

Simplify: $\displaystyle \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{6}}}$

$$ \begin{aligned} \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{6}}} &= y^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} \\ &= y^{\frac{2}{6} - \frac{1}{6}} \\ &= y^{\frac{1}{6}} \end{aligned} $$

Example 2.6 : ฐานเป็นจำนวนลบ

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{(-3)^5}{(-3)^2}$

Evaluate $\displaystyle \frac{(-3)^5}{(-3)^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{(-3)^5}{(-3)^2} &= (-3)^{5-2} \\ &= (-3)^3 \\ &= -27 \end{aligned} $$

Example 2.7 : ตัดทอนพหุนามในเลขชี้กำลัง

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $\displaystyle \frac{2^{n+3}}{2^n}$

Simplify: $\displaystyle \frac{2^{n+3}}{2^n}$

$$ \begin{aligned} \frac{2^{n+3}}{2^n} &= 2^{(n+3) - n} \\ &= 2^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$

🔄 เลขยกกำลังซ้อน / Power of a Power Rule

ทฤษฎี: เมื่อมีเลขยกกำลังซ้อนกันอยู่นอกวงเล็บ ให้นำเลขชี้กำลังทั้งสองมา คูณกัน

$$ (a^m)^n = a^{m \times n} = a^{mn} $$

Rule: To raise a power to a power, multiply the exponents.

$$ (a^m)^n = a^{m \times n} = a^{mn} $$

Example 3.1 : ยกกำลังซ้อนพื้นฐาน

จงหาค่าของ $(2^3)^4$

Evaluate $(2^3)^4$

$$ \begin{aligned} (2^3)^4 &= 2^{3 \times 4} \\ &= 2^{12} \\ &= 4096 \end{aligned} $$

Example 3.2 : มีเลขชี้กำลังติดลบ

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $(x^{-2})^5$

Simplify: $(x^{-2})^5$

$$ \begin{aligned} (x^{-2})^5 &= x^{(-2) \times 5} \\ &= x^{-10} \end{aligned} $$

Example 3.3 : ยกกำลังซ้อนกันหลายชั้น

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $((3^2)^3)^2$

Simplify: $((3^2)^3)^2$

$$ \begin{aligned} ((3^2)^3)^2 &= 3^{2 \times 3 \times 2} \\ &= 3^{12} \end{aligned} $$

Example 3.4 : ยกกำลังเศษส่วน

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $(y^{\frac{1}{2}})^4$

Simplify: $(y^{\frac{1}{2}})^4$

$$ \begin{aligned} (y^{\frac{1}{2}})^4 &= y^{\frac{1}{2} \times 4} \\ &= y^2 \end{aligned} $$

Example 3.5 : เลขชี้กำลังเป็นตัวแปรทั้งคู่

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $(a^x)^y$

Simplify: $(a^x)^y$

$$ \begin{aligned} (a^x)^y &= a^{x \times y} \\ &= a^{xy} \end{aligned} $$

Example 3.6 : ลบคูณลบกลายเป็นบวก

จงหาค่าของ $(5^{-1})^{-2}$

Evaluate $(5^{-1})^{-2}$

$$ \begin{aligned} (5^{-1})^{-2} &= 5^{(-1) \times (-2)} \\ &= 5^2 \\ &= 25 \end{aligned} $$

Example 3.7 : เลขชี้กำลังเป็นพหุนาม

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $(2^{n+1})^3$

Simplify: $(2^{n+1})^3$

$$ \begin{aligned} (2^{n+1})^3 &= 2^{(n+1) \times 3} \\ &= 2^{3n+3} \end{aligned} $$

📦 เลขยกกำลังของผลคูณ / Power of a Product Rule

ทฤษฎี: สามารถ กระจาย เลขชี้กำลังเข้าไปในวงเล็บที่มีการคูณกันอยู่ได้ (กระจายให้ทุกตัวละคร)

$$ (ab)^n = a^n b^n $$

Rule: You can distribute the exponent to each factor of a product inside parentheses.

$$ (ab)^n = a^n b^n $$

Example 4.1 : การกระจายพื้นฐาน

จงกระจายและจัดรูป: $(2x)^3$

Expand and simplify: $(2x)^3$

$$ \begin{aligned} (2x)^3 &= 2^3 \cdot x^3 \\ &= 8x^3 \end{aligned} $$

Example 4.2 : สัมประสิทธิ์ติดลบ

จงกระจายและจัดรูป: $(-3y)^2$

Expand and simplify: $(-3y)^2$

$$ \begin{aligned} (-3y)^2 &= (-3)^2 \cdot y^2 \\ &= 9y^2 \end{aligned} $$

Example 4.3 : ใช้ร่วมกับสมบัติกำลังซ้อน

จงกระจายและจัดรูป: $(x^2 y^3)^4$

Expand and simplify: $(x^2 y^3)^4$

$$ \begin{aligned} (x^2 y^3)^4 &= (x^2)^4 \cdot (y^3)^4 \\ &= x^8 y^{12} \end{aligned} $$

Example 4.4 : เลขชี้กำลังหลากหลายในวงเล็บ

จงกระจายและจัดรูป: $(2a^3 b^{-2})^3$

Expand and simplify: $(2a^3 b^{-2})^3$

$$ \begin{aligned} (2a^3 b^{-2})^3 &= 2^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^{-2})^3 \\ &= 8a^9 b^{-6} \end{aligned} $$

Example 4.5 : สัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน

จงกระจายและจัดรูป: $(\frac{1}{2} x)^2$

Expand and simplify: $(\frac{1}{2} x)^2$

$$ \begin{aligned} (\frac{1}{2} x)^2 &= (\frac{1}{2})^2 \cdot x^2 \\ &= \frac{1}{4} x^2 \end{aligned} $$

Example 4.6 : กำลังคี่และเครื่องหมายลบ

จงกระจายและจัดรูป: $(-x^2 y)^3$

Expand and simplify: $(-x^2 y)^3$

$$ \begin{aligned} (-x^2 y)^3 &= (-1)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 \\ &= -1 \cdot x^6 \cdot y^3 \\ &= -x^6 y^3 \end{aligned} $$

Example 4.7 : กระจายเข้ารากที่สอง

จงกระจายและจัดรูป: $(\sqrt{2} x)^4$

Expand and simplify: $(\sqrt{2} x)^4$

$$ \begin{aligned} (\sqrt{2} x)^4 &= (\sqrt{2})^4 \cdot x^4 \\ &= (2^{\frac{1}{2}})^4 \cdot x^4 \\ &= 2^2 \cdot x^4 \\ &= 4x^4 \end{aligned} $$

📊 เลขยกกำลังของผลหาร / Power of a Quotient Rule

ทฤษฎี: สามารถ กระจาย เลขชี้กำลังเข้าไปในเศษส่วนได้ (กระจายให้ทั้งตัวเศษและตัวส่วน)

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{(เมื่อ } b \neq 0 \text{)} $$

Rule: You can distribute the exponent to both the numerator and denominator of a fraction.

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{(when } b \neq 0 \text{)} $$

Example 5.1 : การกระจายพื้นฐาน

จงกระจายและจัดรูป: $\displaystyle \left(\frac{x}{3}\right)^2$

Expand and simplify: $\displaystyle \left(\frac{x}{3}\right)^2$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{x}{3}\right)^2 &= \frac{x^2}{3^2} \\ &= \frac{x^2}{9} \end{aligned} $$

Example 5.2 : มีสัมประสิทธิ์ร่วมด้วย

จงกระจายและจัดรูป: $\displaystyle \left(\frac{2a}{b}\right)^3$

Expand and simplify: $\displaystyle \left(\frac{2a}{b}\right)^3$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2a}{b}\right)^3 &= \frac{(2a)^3}{b^3} \\ &= \frac{8a^3}{b^3} \end{aligned} $$

Example 5.3 : ใช้ร่วมกับสมบัติกำลังซ้อน

จงกระจายและจัดรูป: $\displaystyle \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^4$

Expand and simplify: $\displaystyle \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^4$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^4 &= \frac{(x^2)^4}{(y^3)^4} \\ &= \frac{x^8}{y^{12}} \end{aligned} $$

Example 5.4 : เศษส่วนติดลบ

จงกระจายและจัดรูป: $\displaystyle \left(\frac{-2}{x}\right)^3$

Expand and simplify: $\displaystyle \left(\frac{-2}{x}\right)^3$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{-2}{x}\right)^3 &= \frac{(-2)^3}{x^3} \\ &= \frac{-8}{x^3} \end{aligned} $$

Example 5.5 : เลขชี้กำลังด้านในติดลบ

จงกระจายและจัดรูป: $\displaystyle \left(\frac{a^{-2}}{b^3}\right)^2$

Expand and simplify: $\displaystyle \left(\frac{a^{-2}}{b^3}\right)^2$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{a^{-2}}{b^3}\right)^2 &= \frac{(a^{-2})^2}{(b^3)^2} \\ &= \frac{a^{-4}}{b^6} \end{aligned} $$

Example 5.6 : เลขชี้กำลังด้านนอกติดลบ

จงกระจายและจัดรูป: $\displaystyle \left(\frac{1}{x^2}\right)^{-1}$

Expand and simplify: $\displaystyle \left(\frac{1}{x^2}\right)^{-1}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{x^2}\right)^{-1} &= \frac{1^{-1}}{(x^2)^{-1}} \\ &= \frac{1}{x^{-2}} \\ &= x^2 \end{aligned} $$

Example 5.7 : การกระจายแบบซับซ้อน

จงกระจายและจัดรูป: $\displaystyle \left(\frac{3x^2}{2y^4}\right)^2$

Expand and simplify: $\displaystyle \left(\frac{3x^2}{2y^4}\right)^2$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{3x^2}{2y^4}\right)^2 &= \frac{(3x^2)^2}{(2y^4)^2} \\ &= \frac{3^2(x^2)^2}{2^2(y^4)^2} \\ &= \frac{9x^4}{4y^8} \end{aligned} $$

⭕ เลขชี้กำลังเป็นศูนย์ / Zero Exponent Rule

ทฤษฎี: จำนวนจริงใดๆ (ที่ไม่ใช่ศูนย์) เมื่อนำมายกกำลังศูนย์ จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ ไม่ว่าฐานจะซับซ้อนแค่ไหนก็ตาม

$$ a^0 = 1 \quad \text{(เมื่อ } a \neq 0 \text{)} $$

Rule: Any non-zero real number raised to the power of zero is always equal to 1, regardless of how complex the base is.

$$ a^0 = 1 \quad \text{(when } a \neq 0 \text{)} $$

Example 6.1 : จำนวนเต็มพื้นฐาน

จงหาค่าของ $7^0$

Evaluate $7^0$

$$ 7^0 = 1 $$

Example 6.2 : ตัวแปรหลายตัว

จงหาค่าของ $(xyz)^0$ เมื่อ $x,y,z \neq 0$

Evaluate $(xyz)^0$ where $x,y,z \neq 0$

$$ (xyz)^0 = 1 $$

Example 6.3 : ข้อควรระวังเรื่องเครื่องหมาย

จงหาค่าของ $-5^0$ และ $(-5)^0$

Evaluate $-5^0$ and $(-5)^0$

$$ \begin{aligned} -5^0 &= -(5^0) \\ &= -(1) \\ &= -1 \\ (-5)^0 &= 1 \end{aligned} $$

Example 6.4 : ฐานเป็นพหุนามขนาดใหญ่

จงหาค่าของ $(2x^2 + 3y - 5z)^0$ (สมมติให้ฐานไม่เป็น 0)

Evaluate $(2x^2 + 3y - 5z)^0$ (assuming base is not 0)

$$ (2x^2 + 3y - 5z)^0 = 1 $$

Example 6.5 : เลขศูนย์ครอบแค่ตัวแปร

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $3x^0$

Simplify: $3x^0$

$$ \begin{aligned} 3x^0 &= 3 \cdot (1) \\ &= 3 \end{aligned} $$

Example 6.6 : การยุบพจน์ในเศษส่วน

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $\displaystyle \frac{a^3 b^0}{c^2}$

Simplify: $\displaystyle \frac{a^3 b^0}{c^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{a^3 b^0}{c^2} &= \frac{a^3 (1)}{c^2} \\ &= \frac{a^3}{c^2} \end{aligned} $$

Example 6.7 : กรณีที่หาค่าไม่ได้ (Undefined)

จงพิจารณาค่าของ $(x-x)^0$

Evaluate $(x-x)^0$

$$ \begin{aligned} (x-x)^0 &= 0^0 \\ &\text{ไม่มีนิยาม (Undefined)} \end{aligned} $$

🔻 เลขชี้กำลังเป็นลบ / Negative Exponent Rule

ทฤษฎี: หากเลขชี้กำลังติดลบ ให้ กลับเศษเป็นส่วน (ย้ายบนลงล่าง หรือ ล่างขึ้นบน) เพื่อทำให้เลขชี้กำลังกลายเป็นบวก

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{(เมื่อ } a \neq 0 \text{)} $$

Rule: A negative exponent means taking the reciprocal of the base. Move it across the fraction bar to make the exponent positive.

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{(when } a \neq 0 \text{)} $$

Example 7.1 : ย้ายลงล่างพื้นฐาน

จงหาค่าของ $3^{-2}$

Evaluate $3^{-2}$

$$ \begin{aligned} 3^{-2} &= \frac{1}{3^2} \\ &= \frac{1}{9} \end{aligned} $$

Example 7.2 : ตัวแปรชี้กำลังติดลบ

จงเขียนให้อยู่ในรูปที่เลขชี้กำลังเป็นบวก: $x^{-5}$

Write with positive exponent: $x^{-5}$

$$ x^{-5} = \frac{1}{x^5} $$

Example 7.3 : ย้ายขึ้นบน

จงเขียนให้อยู่ในรูปที่เลขชี้กำลังเป็นบวก: $\displaystyle \frac{1}{y^{-3}}$

Write with positive exponent: $\displaystyle \frac{1}{y^{-3}}$

$$ \frac{1}{y^{-3}} = y^3 $$

Example 7.4 : เศษส่วนยกกำลังลบ (กลับเศษส่วน)

จงหาค่าของ $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$

Evaluate $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} &= \left(\frac{3}{2}\right)^2 \\ &= \frac{3^2}{2^2} \\ &= \frac{9}{4} \end{aligned} $$

Example 7.5 : ขอบเขตของเลขชี้กำลังติดลบ

เปรียบเทียบระหว่าง $2x^{-3}$ และ $(2x)^{-3}$

Compare $2x^{-3}$ and $(2x)^{-3}$

$$ \begin{aligned} 2x^{-3} &= 2 \cdot \frac{1}{x^3} \\&= \frac{2}{x^3} \\ (2x)^{-3} &= \frac{1}{(2x)^3} \\&= \frac{1}{8x^3} \end{aligned} $$

Example 7.6 : จัดรูปเศษส่วนผสม

จงจัดรูปให้ชี้กำลังเป็นบวก: $\displaystyle \frac{a^{-2} b^3}{c^{-4}}$

Write with positive exponents: $\displaystyle \frac{a^{-2} b^3}{c^{-4}}$

$$ \frac{a^{-2} b^3}{c^{-4}} = \frac{b^3 c^4}{a^2} $$

Example 7.7 : ข้อควรระวัง (พหุนามบวก/ลบ)

จงจัดรูปให้ชี้กำลังเป็นบวก: $(x^{-1} + y^{-1})^{-1}$

Write with positive exponents: $(x^{-1} + y^{-1})^{-1}$

$$ \begin{aligned} (x^{-1} + y^{-1})^{-1} &= \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)^{-1} \\ &= \left( \frac{y + x}{xy} \right)^{-1} \\ &= \frac{xy}{x + y} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Exponent	ex- (out) + ponere (to place)	เลขชี้กำลัง · ตัวเลขที่บ่งบอกถึงจำนวนครั้งที่นำฐานมาคูณซ้ำกัน
Base	basis (step, pedestal)	ฐาน · ตัวเลขหลักที่ถูกนำมาคูณซ้ำๆ กันตามเลขชี้กำลัง
Property	proprietas (special character)	สมบัติ · กฎหรือลักษณะเฉพาะทางคณิตศาสตร์ที่เป็นจริงเสมอ
Product	pro- (forward) + ducere (to lead)	ผลคูณ · ผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณตัวเลขเข้าด้วยกัน
Quotient	quotiens (how many times)	ผลหาร · ผลลัพธ์ที่ได้จากการตั้งหาร
Reciprocal	reciprocus (returning, alternating)	ส่วนกลับ · การสลับที่ระหว่างตัวเศษและตัวส่วน (เช่น 1/x คือส่วนกลับของ x)
Evaluate	ex- (out) + valere (be strong, worth)	ประเมินค่า / หาค่า · การคำนวณหานิพจน์ทางคณิตศาสตร์ให้เป็นผลลัพธ์สุดท้าย