กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
Rational Exponents

ความสัมพันธ์ระหว่างเลขยกกำลังเศษส่วนและรากที่ n

TH

โดยปกติเราคุ้นเคยกับเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม (เช่น $x^2, y^{-3}$) แต่ในทางคณิตศาสตร์ เลขชี้กำลังสามารถเป็นจำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) ได้ ซึ่งมีความสัมพันธ์โดยตรงกับ รากที่ $n$ (n-th root) การทำความเข้าใจหลักการนี้จะช่วยให้เราแก้สมการที่ซับซ้อนและจัดการกับเครื่องหมายกรณฑ์ (Radicals) ได้ง่ายขึ้น

EN

We are familiar with integer exponents (e.g., $x^2, y^{-3}$). However, in mathematics, exponents can be rational numbers (fractions), which are directly related to the n-th root. Understanding this concept allows us to solve complex equations and manipulate radicals easily.

1

📖 บทนิยามของ $a^{\frac{1}{n}}$
Definition of a^(1/n)

TH

เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า $1$ ถ้า $a$ มีรากที่ $n$ จะได้ว่า:

$$ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $$

หมายเหตุ: ตัวส่วนของเศษส่วนคืออันดับของราก (Index of the root)

EN

Let $a$ be a real number and $n$ be an integer greater than $1$. If the n-th root of $a$ exists, then:

$$ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $$

Note: The denominator of the fraction is the index of the root.

Example 1.1 : รากที่สองพื้นฐาน

จงหาค่าของ $9^{\frac{1}{2}}$

$$ \begin{aligned} 9^{\frac{1}{2}} &= \sqrt[2]{9} \quad \text{(รากที่สองมักไม่เขียนเลข } 2\text{)} \\ &= \sqrt{3^2} \\ &= 3 \end{aligned} $$

Evaluate $9^{\frac{1}{2}}$

$$ \begin{aligned} 9^{\frac{1}{2}} &= \sqrt[2]{9} \quad \text{(The index 2 is usually omitted)} \\ &= \sqrt{3^2} \\ &= 3 \end{aligned} $$
Example 1.2 : รากที่สาม

จงหาค่าของ $64^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} 64^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{64} \\ &= \sqrt[3]{4^3} \\ &= 4 \end{aligned} $$

Evaluate $64^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} 64^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{64} \\ &= \sqrt[3]{4^3} \\ &= 4 \end{aligned} $$
Example 1.3 : ฐานเป็นค่าติดลบ (รากคี่)

จงหาค่าของ $(-32)^{\frac{1}{5}}$

รากที่ $n$ เป็นจำนวนคี่ ฐานสามารถติดลบได้

$$ \begin{aligned} (-32)^{\frac{1}{5}} &= \sqrt[5]{-32} \\ &= \sqrt[5]{(-2)^5} \\ &= -2 \end{aligned} $$

Evaluate $(-32)^{\frac{1}{5}}$

For an odd root, the base can be negative.

$$ \begin{aligned} (-32)^{\frac{1}{5}} &= \sqrt[5]{-32} \\ &= \sqrt[5]{(-2)^5} \\ &= -2 \end{aligned} $$
Example 1.4 : ฐานเป็นเศษส่วน

จงหาค่าของ $\displaystyle \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} &= \sqrt[4]{\frac{1}{16}} \\ &= \sqrt[4]{\left(\frac{1}{2}\right)^4} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} &= \sqrt[4]{\frac{1}{16}} \\ &= \sqrt[4]{\left(\frac{1}{2}\right)^4} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$
Example 1.5 : ฐานเป็นทศนิยม

จงหาค่าของ $(0.027)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} (0.027)^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{0.027} \\ &= \sqrt[3]{(0.3)^3} \\ &= 0.3 \end{aligned} $$

Evaluate $(0.027)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} (0.027)^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{0.027} \\ &= \sqrt[3]{(0.3)^3} \\ &= 0.3 \end{aligned} $$
Example 1.6 : ฐานเป็นค่าติดลบ (รากคู่) - ข้อควรระวัง

พิจารณาค่าของ $(-16)^{\frac{1}{4}}$

$$ \begin{aligned} (-16)^{\frac{1}{4}} &= \sqrt[4]{-16} \\ &\text{เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกำลัง } 4 \text{ แล้วได้ } -16 \\ &\text{ดังนั้น } \sqrt[4]{-16} \text{ } \textbf{\color{#c62828}ไม่เป็นจำนวนจริง} \end{aligned} $$

Consider the value of $(-16)^{\frac{1}{4}}$

$$ \begin{aligned} (-16)^{\frac{1}{4}} &= \sqrt[4]{-16} \\ &\text{Since no real number to the } 4^{th} \text{ power equals } -16\text{,} \\ &\text{therefore } \sqrt[4]{-16} \text{ is } \textbf{\color{#c62828}not a real number}. \end{aligned} $$
Example 1.7 : การเปลี่ยนรูปนิพจน์พหุนาม

จงเขียน $x^2 \sqrt[3]{y}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

$$ \begin{aligned} x^2 \sqrt[3]{y} &= x^2 \cdot y^{\frac{1}{3}} \\ &= x^2 y^{\frac{1}{3}} \end{aligned} $$

Write $x^2 \sqrt[3]{y}$ using rational exponents.

$$ \begin{aligned} x^2 \sqrt[3]{y} &= x^2 \cdot y^{\frac{1}{3}} \\ &= x^2 y^{\frac{1}{3}} \end{aligned} $$
2

📖 บทนิยามของ $a^{\frac{m}{n}}$
Definition of a^(m/n)

TH

เมื่อนำหลักการยกกำลังมาผสมกัน หากเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน $\displaystyle \frac{m}{n}$ จะหมายถึง การหาเศษส่วนในส่วนของราก (ตัวส่วน $n$) แล้วค่อยนำผลลัพธ์ไปยกกำลัง (ตัวเศษ $m$) ซึ่งสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบที่มีค่าเท่ากัน (เมื่อ $\sqrt[n]{a}$ เป็นจำนวนจริง):

$$ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $$

** นิยมทำรากที่ $n$ ก่อน แล้วค่อยยกกำลัง $m$ เพราะตัวเลขจะน้อยและคำนวณง่ายกว่า **

EN

When the exponent is a fraction $\displaystyle \frac{m}{n}$, the denominator $n$ represents the root, and the numerator $m$ represents the power. It can be written in 2 equivalent forms (provided $\sqrt[n]{a}$ is a real number):

$$ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $$

** It is usually easier to evaluate the n-th root first, then apply the m-th power. **

Example 2.1 : เลขชี้กำลังเศษส่วนทั่วไป

จงหาค่าของ $8^{\frac{2}{3}}$

$$ \begin{aligned} 8^{\frac{2}{3}} &= (\sqrt[3]{8})^2 \\ &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned} $$

Evaluate $8^{\frac{2}{3}}$

$$ \begin{aligned} 8^{\frac{2}{3}} &= (\sqrt[3]{8})^2 \\ &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned} $$
Example 2.2 : ฐานตัวเลขที่มากขึ้น

จงหาค่าของ $81^{\frac{3}{4}}$

$$ \begin{aligned} 81^{\frac{3}{4}} &= (\sqrt[4]{81})^3 \\ &= (3)^3 \\ &= 27 \end{aligned} $$

Evaluate $81^{\frac{3}{4}}$

$$ \begin{aligned} 81^{\frac{3}{4}} &= (\sqrt[4]{81})^3 \\ &= (3)^3 \\ &= 27 \end{aligned} $$
Example 2.3 : เลขชี้กำลังเศษส่วนติดลบ

จงหาค่าของ $27^{-\frac{2}{3}}$

จำได้ไหมว่า $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$$ \begin{aligned} 27^{-\frac{2}{3}} &= \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} \\ &= \frac{1}{3^2} \\ &= \frac{1}{9} \end{aligned} $$

Evaluate $27^{-\frac{2}{3}}$

Recall that $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$$ \begin{aligned} 27^{-\frac{2}{3}} &= \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} \\ &= \frac{1}{3^2} \\ &= \frac{1}{9} \end{aligned} $$
Example 2.4 : ฐานติดลบและยกกำลังคู่

จงหาค่าของ $(-8)^{\frac{4}{3}}$

$$ \begin{aligned} (-8)^{\frac{4}{3}} &= (\sqrt[3]{-8})^4 \\ &= (-2)^4 \\ &= 16 \quad \text{(กำลังคู่ทำให้ค่าลบกลายเป็นบวก)} \end{aligned} $$

Evaluate $(-8)^{\frac{4}{3}}$

$$ \begin{aligned} (-8)^{\frac{4}{3}} &= (\sqrt[3]{-8})^4 \\ &= (-2)^4 \\ &= 16 \quad \text{(Even power turns negative to positive)} \end{aligned} $$
Example 2.5 : เลขชี้กำลังเป็นทศนิยม

จงหาค่าของ $4^{1.5}$

แปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนก่อนเสมอ

$$ \begin{aligned} 4^{1.5} &= 4^{\frac{15}{10}} \\ &= 4^{\frac{3}{2}} \\ &= (\sqrt{4})^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$

Evaluate $4^{1.5}$

Always convert the decimal to a fraction first.

$$ \begin{aligned} 4^{1.5} &= 4^{\frac{15}{10}} \\ &= 4^{\frac{3}{2}} \\ &= (\sqrt{4})^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$
Example 2.6 : ฐานเศษส่วนและกำลังติดลบ

จงหาค่าของ $\displaystyle \left(\frac{16}{25}\right)^{-\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{16}{25}\right)^{-\frac{3}{2}} &= \left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \quad \text{(กลับเศษส่วนเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายกำลัง)} \\ &= \left(\sqrt{\frac{25}{16}}\right)^3 \\ &= \left(\frac{5}{4}\right)^3 \\ &= \frac{125}{64} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \left(\frac{16}{25}\right)^{-\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{16}{25}\right)^{-\frac{3}{2}} &= \left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \quad \text{(Flip fraction to change exponent sign)} \\ &= \left(\sqrt{\frac{25}{16}}\right)^3 \\ &= \left(\frac{5}{4}\right)^3 \\ &= \frac{125}{64} \end{aligned} $$
Example 2.7 : การเปลี่ยนรูปกลับเป็นกรณฑ์

จงเขียนนิพจน์ $x^{\frac{5}{7}}$ ให้อยู่ในรูปกรณฑ์ (Radical form)

$$ \begin{aligned} x^{\frac{5}{7}} &= \sqrt[7]{x^5} \\ &\text{หรือ } (\sqrt[7]{x})^5 \end{aligned} $$

Write the expression $x^{\frac{5}{7}}$ in radical form.

$$ \begin{aligned} x^{\frac{5}{7}} &= \sqrt[7]{x^5} \\ &\text{or } (\sqrt[7]{x})^5 \end{aligned} $$
3

⚙️ สมบัติของเลขยกกำลัง
Properties of Exponents

TH

สมบัติพื้นฐานของเลขยกกำลังที่เราเคยเรียนตอน ม.ต้น ยังคงใช้งานได้ปกติทุกประการแม้ว่าเลขชี้กำลังจะเป็นเศษส่วนก็ตาม ตัวอย่างสมบัติที่สำคัญ:

  • การคูณฐานเหมือนกัน: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  • การหารฐานเหมือนกัน: $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  • กำลังซ้อน: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
  • การกระจายกำลัง (การคูณ): $(ab)^n = a^n b^n$
  • การกระจายกำลัง (การหาร): $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ เมื่อ $b \neq 0$
EN

The standard laws of exponents we learned earlier still apply perfectly even when the exponents are rational numbers (fractions). Important properties include:

  • Product Rule: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  • Quotient Rule: $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  • Power of a Power: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
  • Power of a Product: $(ab)^n = a^n b^n$
  • Power of a Quotient: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ where $b \neq 0$
Example 3.1 : การคูณฐานเหมือนกัน

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} &= 2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \\ &= 2^{\frac{4}{2}} \\ &= 2^2 \\ &= 4 \end{aligned} $$

Simplify: $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} &= 2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \\ &= 2^{\frac{4}{2}} \\ &= 2^2 \\ &= 4 \end{aligned} $$
Example 3.2 : การหารฐานเหมือนกัน

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\displaystyle \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$

$$ \begin{aligned} \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}} &= 5^{\frac{7}{3} - \frac{1}{3}} \\ &= 5^{\frac{6}{3}} \\ &= 5^2 \\ &= 25 \end{aligned} $$

Simplify: $\displaystyle \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$

$$ \begin{aligned} \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}} &= 5^{\frac{7}{3} - \frac{1}{3}} \\ &= 5^{\frac{6}{3}} \\ &= 5^2 \\ &= 25 \end{aligned} $$
Example 3.3 : กำลังซ้อน (Power of a Power)

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $(x^{\frac{2}{3}})^6$

$$ \begin{aligned} (x^{\frac{2}{3}})^6 &= x^{\frac{2}{3} \cdot 6} \\ &= x^{\frac{12}{3}} \\ &= x^4 \end{aligned} $$

Simplify: $(x^{\frac{2}{3}})^6$

$$ \begin{aligned} (x^{\frac{2}{3}})^6 &= x^{\frac{2}{3} \cdot 6} \\ &= x^{\frac{12}{3}} \\ &= x^4 \end{aligned} $$
Example 3.4 : การกระจายเลขชี้กำลัง

จงหาผลสำเร็จของ: $(8x^6y^9)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} (8x^6y^9)^{\frac{1}{3}} &= 8^{\frac{1}{3}} \cdot (x^6)^{\frac{1}{3}} \cdot (y^9)^{\frac{1}{3}} \\ &= \sqrt[3]{8} \cdot x^{\frac{6}{3}} \cdot y^{\frac{9}{3}} \\ &= 2x^2y^3 \end{aligned} $$

Simplify: $(8x^6y^9)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} (8x^6y^9)^{\frac{1}{3}} &= 8^{\frac{1}{3}} \cdot (x^6)^{\frac{1}{3}} \cdot (y^9)^{\frac{1}{3}} \\ &= \sqrt[3]{8} \cdot x^{\frac{6}{3}} \cdot y^{\frac{9}{3}} \\ &= 2x^2y^3 \end{aligned} $$
Example 3.5 : การกระจายกำลัง (การหาร)

จงหาผลสำเร็จของ: $\displaystyle \left( \frac{27x^3}{y^6} \right)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} \left( \frac{27x^3}{y^6} \right)^{\frac{1}{3}} &= \frac{27^{\frac{1}{3}} \cdot (x^3)^{\frac{1}{3}}}{(y^6)^{\frac{1}{3}}} \\ &= \frac{\sqrt[3]{27} \cdot x^{\frac{3}{3}}}{y^{\frac{6}{3}}} \\ &= \frac{3x}{y^2} \end{aligned} $$

Simplify: $\displaystyle \left( \frac{27x^3}{y^6} \right)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} \left( \frac{27x^3}{y^6} \right)^{\frac{1}{3}} &= \frac{27^{\frac{1}{3}} \cdot (x^3)^{\frac{1}{3}}}{(y^6)^{\frac{1}{3}}} \\ &= \frac{\sqrt[3]{27} \cdot x^{\frac{3}{3}}}{y^{\frac{6}{3}}} \\ &= \frac{3x}{y^2} \end{aligned} $$
Example 3.6 : การคูณรากที่มีอันดับต่างกัน

จงเขียน $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังอย่างง่าย

แปลงเครื่องหมายกรณฑ์เป็นเศษส่วนก่อนเพื่อให้บวกกันได้

$$ \begin{aligned} \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} &= x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} \quad \text{(ทำส่วนให้เท่ากัน)} \\ &= x^{\frac{5}{6}} \end{aligned} $$

Write $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$ as a single expression with a rational exponent.

Convert radicals to fractions first so they can be added.

$$ \begin{aligned} \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} &= x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} \quad \text{(Find common denominator)} \\ &= x^{\frac{5}{6}} \end{aligned} $$
Example 3.7 : นิพจน์ซับซ้อนและกำลังติดลบ

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและเลขชี้กำลังเป็นบวก: $\displaystyle \left( \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} \right)^{-6}$

$$ \begin{aligned} \left( \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} \right)^{-6} &= \frac{x^{(-\frac{2}{3})(-6)}}{y^{(\frac{1}{2})(-6)}} \\ &= \frac{x^4}{y^{-3}} \\ &= x^4 y^3 \quad \text{(ย้าย } y^{-3} \text{ ขึ้นไปด้านบน)} \end{aligned} $$

Simplify and express with positive exponents: $\displaystyle \left( \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} \right)^{-6}$

$$ \begin{aligned} \left( \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} \right)^{-6} &= \frac{x^{(-\frac{2}{3})(-6)}}{y^{(\frac{1}{2})(-6)}} \\ &= \frac{x^4}{y^{-3}} \\ &= x^4 y^3 \quad \text{(Move } y^{-3} \text{ to the numerator)} \end{aligned} $$
Example 3.8 : กรณฑ์ซ้อนกรณฑ์ (Nested Radicals)

จงเขียน $\sqrt{x \sqrt{x}}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังอย่างง่าย

เริ่มทำจากด้านในสุดออกไปด้านนอก

$$ \begin{aligned} \sqrt{x \sqrt{x}} &= \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \\ &= \sqrt{x^{1 + \frac{1}{2}}} \\ &= \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} \\ &= (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \\ &= x^{\frac{3}{4}} \end{aligned} $$

Write $\sqrt{x \sqrt{x}}$ as a single rational exponent.

Start from the innermost radical and work outward.

$$ \begin{aligned} \sqrt{x \sqrt{x}} &= \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \\ &= \sqrt{x^{1 + \frac{1}{2}}} \\ &= \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} \\ &= (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \\ &= x^{\frac{3}{4}} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Exponent ex- (out) + ponere (to place) เลขชี้กำลัง · ตัวเลขที่บอกว่าต้องนำฐานมาคูณตัวเองกี่ครั้ง
Rational Number ratio (reason, calculation) จำนวนตรรกยะ · จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน $\frac{a}{b}$ ได้ (เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \ne 0$)
Radical radix (root) กรณฑ์ · เครื่องหมายราก ($\sqrt{\ \ }$) หรือนิพจน์ที่ติดเครื่องหมายราก
Index indicare (to point out) อันดับของราก · ตัวเลขเล็กๆ บนเครื่องหมายกรณฑ์ (เช่น เลข 3 ใน $\sqrt[3]{x}$) บ่งบอกว่าเป็นรากที่เท่าใด
Base basis (foundation) ฐาน · ตัวเลขหลักที่ถูกยกกำลัง (เช่น $x$ ใน $x^n$)