การเปรียบเทียบและเรียงลำดับเศษส่วน

การเปรียบเทียบเศษส่วน คือการพิจารณาว่าเศษส่วนใดมีค่ามากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากัน หลักการสำคัญคือเราต้องทำให้ ตัวส่วน (Denominator) เท่ากันเสียก่อน จึงจะสามารถนำ ตัวเศษ (Numerator) มาเปรียบเทียบกันได้อย่างถูกต้องเหมือนการเปรียบเทียบจำนวนเต็มปกติ

Comparing fractions means determining which fraction is greater, lesser, or if they are equal. The key principle is that we must make the Denominators equal first; then, we can accurately compare the Numerators just like regular integers.

🟢 เมื่อตัวส่วนเท่ากัน / Equal Denominators

ถ้าเศษส่วนมี ตัวส่วนเท่ากัน อยู่แล้ว ให้พิจารณาที่ ตัวเศษ (เลขด้านบน) ได้เลย ตัวเศษมากแสดงว่าเศษส่วนนั้นมีค่ามาก ตัวเศษน้อยแสดงว่าเศษส่วนนั้นมีค่าน้อย

If fractions already have Equal Denominators, you can directly compare the Numerators (top numbers). A larger numerator means a larger fraction value.

Example 1.1 : เปรียบเทียบพื้นฐาน / Basic Comparison

เปรียบเทียบระหว่าง $\displaystyle \frac{3}{7}$ และ $\displaystyle \frac{5}{7}$ เนื่องจากตัวส่วนคือ $7$ เท่ากัน จึงเทียบตัวเศษคือ $3$ กับ $5$

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } 3 &< 5 \\ \therefore \frac{3}{7} &< \frac{5}{7} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle \frac{3}{7}$ and $\displaystyle \frac{5}{7}$. Since the denominators are both $7$, compare the numerators $3$ and $5$.

$$ \begin{aligned} \text{Since } 3 &< 5 \\ \therefore \frac{3}{7} &< \frac{5}{7} \end{aligned} $$

Example 1.2 : ภาพประกอบ / Visualizing

การเปรียบเทียบ $\displaystyle \frac{2}{5}$ กับ $\displaystyle \frac{4}{5}$ ผ่านภาพ

Visual comparison of $\displaystyle \frac{2}{5}$ and $\displaystyle \frac{4}{5}$.

Example 1.3 : เปรียบเทียบเศษเกิน / Improper Fractions

เปรียบเทียบ $\displaystyle \frac{11}{8}$ และ $\displaystyle \frac{9}{8}$ แม้ตัวเศษจะมากกว่าตัวส่วน หลักการก็ยังคงเดิม

Compare $\displaystyle \frac{11}{8}$ and $\displaystyle \frac{9}{8}$. The principle remains the same even for improper fractions.

$$ \frac{11}{8} > \frac{9}{8} $$

Example 1.4 : เรียงลำดับจากน้อยไปมาก / Ascending Order

จงเรียงลำดับเศษส่วนต่อไปนี้จากน้อยไปมาก: $\displaystyle \frac{5}{12}, \frac{1}{12}, \frac{11}{12}, \frac{7}{12}$

$$ \begin{aligned} \text{เรียงตัวเศษ: } 1 &< 5 < 7 < 11 \\ \text{คำตอบ: } \frac{1}{12} &< \frac{5}{12} < \frac{7}{12} < \frac{11}{12} \end{aligned} $$

Order the following fractions from least to greatest: $\displaystyle \frac{5}{12}, \frac{1}{12}, \frac{11}{12}, \frac{7}{12}$

$$ \begin{aligned} \text{Order numerators: } 1 &< 5 < 7 < 11 \\ \text{Answer: } \frac{1}{12} &< \frac{5}{12} < \frac{7}{12} < \frac{11}{12} \end{aligned} $$

Example 1.5 : เรียงลำดับจากมากไปน้อย / Descending Order

จงเรียงลำดับจากมากไปน้อย: $\displaystyle \frac{4}{15}, \frac{14}{15}, \frac{8}{15}, \frac{2}{15}$

$$ \begin{aligned} \text{เรียงตัวเศษ: } 14 &> 8 > 4 > 2 \\ \text{คำตอบ: } \frac{14}{15} &> \frac{8}{15} > \frac{4}{15} > \frac{2}{15} \end{aligned} $$

Order from greatest to least: $\displaystyle \frac{4}{15}, \frac{14}{15}, \frac{8}{15}, \frac{2}{15}$

$$ \begin{aligned} \text{Order numerators: } 14 &> 8 > 4 > 2 \\ \text{Answer: } \frac{14}{15} &> \frac{8}{15} > \frac{4}{15} > \frac{2}{15} \end{aligned} $$

Example 1.6 : การหาตัวแปร / Finding a Variable

ถ้า $\displaystyle \frac{x}{9} < \frac{5}{9}$ และ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $x$

$$ \begin{aligned} \text{ส่วนเท่ากัน จะได้ } x &< 5 \\ \therefore x &=1, 2, 3, 4 \end{aligned} $$

If $\displaystyle \frac{x}{9} < \frac{5}{9}$ and $x$ is a positive integer, find the possible values of $x$.

$$ \begin{aligned} \text{Equal denominators, so } x &< 5 \\ \therefore x &=1, 2, 3, 4 \end{aligned} $$

Example 1.7 : โจทย์ปัญหา / Word Problem

แอนกินพิซซ่าไป $\displaystyle \frac{3}{8}$ ถาด บอยกินไป $\displaystyle \frac{2}{8}$ ถาด ใครกินมากกว่ากัน?

$$ \begin{aligned} \text{เปรียบเทียบ } \frac{3}{8} &\text{ และ } \frac{2}{8} \\ 3 &> 2 \implies \frac{3}{8} > \frac{2}{8} \\ \therefore &\text{ แอนกินมากกว่า} \end{aligned} $$

Ann ate $\displaystyle \frac{3}{8}$ of a pizza, Boy ate $\displaystyle \frac{2}{8}$. Who ate more?

$$ \begin{aligned} \text{Compare } \frac{3}{8} &\text{ and } \frac{2}{8} \\ 3 &> 2 \implies \frac{3}{8} > \frac{2}{8} \\ \therefore &\text{ Ann ate more} \end{aligned} $$

🟠 เมื่อตัวส่วนไม่เท่ากัน / Unequal Denominators

ถ้า ตัวส่วนไม่เท่ากัน เราต้องทำให้ตัวส่วนเท่ากันก่อน จึงจะเปรียบเทียบได้ โดยใช้วิธี หา ค.ร.น. (LCM) ของตัวส่วนเพื่อนำไปคูณขยายเศษส่วน หรือใช้วิธี การคูณไขว้ (Cross-Multiplication) ซึ่งรวดเร็วมากเมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนทีละ 2 จำนวน

If Denominators are unequal, we must make them equal first. We can do this by finding the LCM of the denominators, or by using Cross-Multiplication (which is very fast when comparing exactly 2 fractions).

Example 2.1 : การคูณไขว้ / Cross-Multiplication

เปรียบเทียบ $\displaystyle \frac{3}{4}$ กับ $\displaystyle \frac{4}{5}$ นำตัวส่วนไขว้ไปคูณกับตัวเศษอีกฝั่ง

$$ \begin{aligned} (3 \times 5) &\text{ เปรียบเทียบกับ } (4 \times 4) \\ 15 &< 16 \\ \therefore \frac{3}{4} &< \frac{4}{5} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle \frac{3}{4}$ and $\displaystyle \frac{4}{5}$. Multiply the denominator of each fraction by the numerator of the other.

$$ \begin{aligned} (3 \times 5) &\text{ compared to } (4 \times 4) \\ 15 &< 16 \\ \therefore \frac{3}{4} &< \frac{4}{5} \end{aligned} $$

Example 2.2 : การคูณไขว้ (ต่อ) / Cross-Multiplication (Cont.)

เปรียบเทียบ $\displaystyle \frac{5}{6}$ กับ $\displaystyle \frac{7}{8}$ ให้เอาส่วนตัวล่างคูณทะแยงขึ้นบนเสมอ

$$ \begin{aligned} (5 \times 8) &\text{ กับ } (7 \times 6) \\ 40 &< 42 \\ \therefore \frac{5}{6} &< \frac{7}{8} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle \frac{5}{6}$ and $\displaystyle \frac{7}{8}$. Always multiply upwards diagonally.

$$ \begin{aligned} (5 \times 8) &\text{ and } (7 \times 6) \\ 40 &< 42 \\ \therefore \frac{5}{6} &< \frac{7}{8} \end{aligned} $$

Example 2.3 : การหา ค.ร.น. / Using LCM

เปรียบเทียบ $\displaystyle \frac{2}{3}$ กับ $\displaystyle \frac{5}{12}$ โดยทำส่วนให้เท่ากัน (ค.ร.น. ของ $3$ และ $12$ คือ $12$)

$$ \begin{aligned} \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} &= \frac{8}{12} \\ \text{เปรียบเทียบ } \frac{8}{12} &\text{ กับ } \frac{5}{12} \\ \text{เนื่องจาก } 8 &> 5 \\ \therefore \frac{2}{3} &> \frac{5}{12} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle \frac{2}{3}$ and $\displaystyle \frac{5}{12}$ by equalizing denominators (LCM of $3$ and $12$ is $12$).

$$ \begin{aligned} \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} &= \frac{8}{12} \\ \text{Compare } \frac{8}{12} &\text{ and } \frac{5}{12} \\ \text{Since } 8 &> 5 \\ \therefore \frac{2}{3} &> \frac{5}{12} \end{aligned} $$

Example 2.4 : เรียง 3 จำนวนด้วย ค.ร.น. / Ordering 3 fractions

เรียงลำดับจากน้อยไปมาก: $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ (ค.ร.น. ของ $2, 3, 4$ คือ $12$)

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} &= \frac{6}{12} \\ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} &= \frac{8}{12} \\ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} &= \frac{9}{12} \\ \text{เนื่องจาก } 6 < 8 &< 9 \\ \therefore \frac{1}{2} < \frac{2}{3} &< \frac{3}{4} \end{aligned} $$

Order ascending: $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ (LCM of $2, 3, 4$ is $12$).

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} &= \frac{6}{12} \\ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} &= \frac{8}{12} \\ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} &= \frac{9}{12} \\ \text{Since } 6 < 8 &< 9 \\ \therefore \frac{1}{2} < \frac{2}{3} &< \frac{3}{4} \end{aligned} $$

Example 2.5 : เรียง 4 จำนวนด้วย ค.ร.น. / Ordering 4 fractions

เรียงลำดับจากมากไปน้อย: $\displaystyle \frac{5}{6}, \frac{3}{4}, \frac{7}{12}, \frac{2}{3}$ (ค.ร.น. คือ $12$)

$$ \begin{aligned} \frac{5}{6} &= \frac{10}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{7}{12} = \frac{7}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \\ \text{เรียงเศษ: } 10 &> 9 > 8 > 7 \\ \therefore \frac{5}{6} &> \frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{7}{12} \end{aligned} $$

Order descending: $\displaystyle \frac{5}{6}, \frac{3}{4}, \frac{7}{12}, \frac{2}{3}$ (LCM is $12$).

$$ \begin{aligned} \frac{5}{6} &= \frac{10}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{7}{12} = \frac{7}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \\ \text{Order numerators: } 10 &> 9 > 8 > 7 \\ \therefore \frac{5}{6} &> \frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{7}{12} \end{aligned} $$

Example 2.6 : เทียบจำนวนคละ / Mixed Numbers

เปรียบเทียบ $\displaystyle 1\frac{1}{4}$ กับ $\displaystyle \frac{7}{5}$ ให้แปลงเป็นเศษเกินก่อน

$$ \begin{aligned} 1\frac{1}{4} &= \frac{5}{4} \\ \text{คูณไขว้: } (5 \times 5) &\text{ กับ } (7 \times 4) \\ 25 &< 28 \\ \therefore 1\frac{1}{4} &< \frac{7}{5} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle 1\frac{1}{4}$ and $\displaystyle \frac{7}{5}$. Convert to improper fractions first.

$$ \begin{aligned} 1\frac{1}{4} &= \frac{5}{4} \\ \text{Cross-multiply: } (5 \times 5) &\text{ and } (7 \times 4) \\ 25 &< 28 \\ \therefore 1\frac{1}{4} &< \frac{7}{5} \end{aligned} $$

Example 2.7 : ทริคพิเศษ ตัวเศษเท่ากัน / Trick: Equal Numerators

หาก "ตัวเศษเท่ากัน" เศษส่วนที่มี ตัวส่วนน้อยกว่า จะมีค่ามากกว่า (เพราะถูกแบ่งน้อยชิ้นกว่า)

$$ \begin{aligned} \text{เปรียบเทียบ } \frac{5}{7} &\text{ และ } \frac{5}{9} \\ \text{ส่วน } 7 < \text{ส่วน } 9 &\implies \text{แบ่งน้อยชิ้น ชิ้นจะใหญ่กว่า} \\ \therefore \frac{5}{7} &> \frac{5}{9} \end{aligned} $$

If "Numerators are equal", the fraction with the smaller denominator is greater (because it's divided into fewer pieces).

$$ \begin{aligned} \text{Compare } \frac{5}{7} &\text{ and } \frac{5}{9} \\ \text{Denom } 7 < \text{Denom } 9 &\implies \text{Fewer pieces, larger size} \\ \therefore \frac{5}{7} &> \frac{5}{9} \end{aligned} $$

🟣 เศษส่วนบวกและลบ / Positive & Negative

เศษส่วนบวกย่อมมีค่ามากกว่าเศษส่วนลบเสมอ แต่ในกรณีที่ ติดลบทั้งคู่ ให้พิจารณาว่า เศษส่วนที่หน้าตาเหมือนมีตัวเลขมากกว่า กลับจะมีค่า "น้อยกว่า" (ยิ่งติดลบมาก ค่ายิ่งน้อยลง)

Positive fractions are always greater than negative fractions. If both are negative, the fraction with the larger absolute value is actually "smaller" in real value (the more negative, the smaller).

Example 3.1 : บวก vs ลบ / Positive vs Negative

เปรียบเทียบ $\displaystyle \frac{1}{100}$ กับ $\displaystyle -\frac{99}{100}$

$$ \begin{aligned} \text{บวก } &> \text{ ลบ เสมอ} \\ \therefore \frac{1}{100} &> -\frac{99}{100} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle \frac{1}{100}$ and $\displaystyle -\frac{99}{100}$

$$ \begin{aligned} \text{Positive } &> \text{ Negative always} \\ \therefore \frac{1}{100} &> -\frac{99}{100} \end{aligned} $$

Example 3.2 : เส้นจำนวน / Number Line

การมองเศษส่วนลบผ่านเส้นจำนวน ค่ายิ่งไปทางซ้ายยิ่งน้อย

Visualizing negative fractions on a number line. Further left means smaller.

Example 3.3 : ลบ vs ลบ (ส่วนเท่า) / Negative vs Negative (Eq. Denom)

เปรียบเทียบ $\displaystyle -\frac{4}{5}$ กับ $\displaystyle -\frac{1}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{เปรียบเทียบ } -4 &\text{ กับ } -1 \\ -4 &< -1 \\ \therefore -\frac{4}{5} &< -\frac{1}{5} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle -\frac{4}{5}$ and $\displaystyle -\frac{1}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{Compare } -4 &\text{ and } -1 \\ -4 &< -1 \\ \therefore -\frac{4}{5} &< -\frac{1}{5} \end{aligned} $$

Example 3.4 : ลบ vs ลบ (ส่วนไม่เท่า) / Negative vs Negative (Uneq. Denom)

เปรียบเทียบ $\displaystyle -\frac{3}{4}$ กับ $\displaystyle -\frac{5}{6}$ (คูณไขว้แบบเอาลบติดเศษไว้)

$$ \begin{aligned} (-3 \times 6) &\text{ กับ } (-5 \times 4) \\ -18 &> -20 \\ \therefore -\frac{3}{4} &> -\frac{5}{6} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle -\frac{3}{4}$ and $\displaystyle -\frac{5}{6}$ (Cross-multiply, keeping the negative sign with the numerator).

$$ \begin{aligned} (-3 \times 6) &\text{ and } (-5 \times 4) \\ -18 &> -20 \\ \therefore -\frac{3}{4} &> -\frac{5}{6} \end{aligned} $$

Example 3.5 : ตำแหน่งของเครื่องหมายลบ / Sign Placement

ระวัง! เครื่องหมายลบสามารถอยู่ตรงไหนก็ได้ ค่าจะออกมาเท่ากันเสมอ

Warning! The negative sign can be placed anywhere, the value remains the same.

$$ -\frac{2}{3} = \frac{-2}{3} = \frac{2}{-3} $$

Example 3.6 : เรียงลำดับคละเครื่องหมาย / Ordering Mixed Signs

เรียงลำดับจากน้อยไปมาก: $\displaystyle \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{3}{4}, -\frac{5}{6}$ (แยกบวกลบออกจากกันก่อน)

$$ \begin{aligned} \text{ฝั่งลบ: } -\frac{1}{3}, -\frac{5}{6} &\implies \frac{-2}{6}, \frac{-5}{6} \implies -\frac{5}{6} < -\frac{1}{3} \\ \text{ฝั่งบวก: } \frac{1}{2}, \frac{3}{4} &\implies \frac{2}{4}, \frac{3}{4} \implies \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \\ \text{รวมคำตอบ: } &-\frac{5}{6} < -\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \end{aligned} $$

Order ascending: $\displaystyle \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{3}{4}, -\frac{5}{6}$ (Separate positive and negative first).

$$ \begin{aligned} \text{Negative side: } -\frac{1}{3}, -\frac{5}{6} &\implies \frac{-2}{6}, \frac{-5}{6} \implies -\frac{5}{6} < -\frac{1}{3} \\ \text{Positive side: } \frac{1}{2}, \frac{3}{4} &\implies \frac{2}{4}, \frac{3}{4} \implies \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \\ \text{ } &-\frac{5}{6} < -\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \end{aligned} $$

Example 3.7 : เศษเกินแบบติดลบ / Negative Improper Fractions

เปรียบเทียบ $\displaystyle -\frac{10}{3}$ กับ $\displaystyle -\frac{15}{4}$ (ใช้คูณไขว้)

$$ \begin{aligned} (-10 \times 4) &\text{ กับ } (-15 \times 3) \\ -40 &> -45 \\ \therefore -\frac{10}{3} &> -\frac{15}{4} \end{aligned} $$

Compare $\displaystyle -\frac{10}{3}$ and $\displaystyle -\frac{15}{4}$ (Using cross-multiplication).

$$ \begin{aligned} (-10 \times 4) &\text{ and } (-15 \times 3) \\ -40 &> -45 \\ \therefore -\frac{10}{3} &> -\frac{15}{4} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Fraction	fractus (broken)	เศษส่วน · จำนวนที่แสดงส่วนหนึ่งของทั้งหมด
Numerator	numerare (to number/count)	ตัวเศษ · ตัวเลขด้านบน บอกจำนวนส่วนที่เราสนใจ
Denominator	denominare (to name)	ตัวส่วน · ตัวเลขด้านล่าง บอกจำนวนส่วนที่ถูกแบ่งเท่าๆ กัน
Compare	com- (with) + par (equal)	เปรียบเทียบ · การพิจารณาความเหมือนหรือความต่างของค่า
Order	ordo (row, rank, series)	เรียงลำดับ · การจัดตำแหน่งจากค่าน้อยไปมาก หรือมากไปน้อย
Cross-Multiplication	crux (cross) + multiplex (manifold)	การคูณไขว้ · วิธีลัดในการเปรียบเทียบเศษส่วนสองจำนวน
Least Common Multiple (LCM)	-	คูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) · จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วยเลขเหล่านั้นลงตัว
Positive	positivus (settled)	จำนวนบวก · ค่าที่มีมากกว่าศูนย์
Negative	negare (to deny)	จำนวนลบ · ค่าที่มีน้อยกว่าศูนย์