การบวกและการลบเศษส่วน

การบวกและการลบเศษส่วนใช้หลักการพื้นฐานคล้ายกับการบวกลบจำนวนเต็มทั่วไป แต่มีเงื่อนไขสำคัญที่ละเลยไม่ได้คือ "ต้องทำตัวส่วนให้เท่ากันก่อนเสมอ" จึงจะสามารถนำตัวเศษมาดำเนินการบวกหรือลบกันได้ โดยที่ตัวส่วนจะยังคงเดิม

Adding and subtracting fractions uses basic principles similar to integers, but with a crucial condition: "denominators must be made equal first" before numerators can be added or subtracted. The denominator remains unchanged in the result.

➕➖ หลักการพื้นฐาน / Basic Principles

หลักการ: ทำให้ตัวส่วนเท่ากัน โดยการหา ค.ร.น. (Least Common Multiple) ของตัวส่วนทั้งหมด จากนั้นคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนที่เหมาะสม นำตัวเศษมาบวก/ลบกัน โดยตัวส่วนคงเดิม

Principle: Make denominators equal by finding the LCM (Least Common Multiple) of all denominators. Multiply both numerator and denominator appropriately, then add/subtract the numerators while keeping the denominator the same.

Example 1.1 : ตัวส่วนเท่ากัน (บวก) / Same Denominators (Add)

เมื่อตัวส่วนเท่ากันอยู่แล้ว สามารถนำตัวเศษมาบวกกันได้ทันที

When denominators are already equal, simply add the numerators.

$$ \begin{aligned} \frac{2}{7} + \frac{3}{7} &= \frac{2 + 3}{7} \\ &= \frac{5}{7} \end{aligned} $$

Example 1.2 : ตัวส่วนเท่ากัน (ลบ) / Same Denominators (Subtract)

เช่นเดียวกับการบวก นำตัวเศษมาลบกัน และควรทอนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำเสมอ

Similar to addition, subtract the numerators and always simplify the result.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{9} - \frac{2}{9} &= \frac{5 - 2}{9} \\ &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Example 1.3 : ตัวส่วนเป็นพหุคูณ / Denominator is a multiple

ถ้าตัวส่วนตัวหนึ่งเป็นพหุคูณของอีกตัว ให้แปลงเฉพาะตัวที่น้อยกว่า

If one denominator is a multiple of the other, convert only the smaller one.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{4} + \frac{3}{8} &= \left(\frac{1 \times 2}{4 \times 2}\right) + \frac{3}{8} \\ &= \frac{2}{8} + \frac{3}{8} \\ &= \frac{5}{8} \end{aligned} $$

Example 1.4 : ตัวส่วนต่างกัน (หา ค.ร.น.) / Different Denominators (LCM)

ค.ร.น. ของ $6$ และ $4$ คือ $12$

The LCM of $6$ and $4$ is $12$.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{6} - \frac{1}{4} &= \left(\frac{5 \times 2}{6 \times 2}\right) - \left(\frac{1 \times 3}{4 \times 3}\right) \\ &= \frac{10}{12} - \frac{3}{12} \\ &= \frac{7}{12} \end{aligned} $$

Example 1.5 : ตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วม / Coprime Denominators

ค.ร.น. คือผลคูณของตัวส่วนทั้งสอง ($3 \times 5 = 15$) เสมือนการคูณไขว้

LCM is the product of both denominators ($3 \times 5 = 15$), similar to cross-multiplication.

$$ \begin{aligned} \frac{2}{3} + \frac{4}{5} &= \left(\frac{2 \times 5}{3 \times 5}\right) + \left(\frac{4 \times 3}{5 \times 3}\right) \\ &= \frac{10}{15} + \frac{12}{15} \\ &= \frac{22}{15} \\ &= 1\frac{7}{15} \end{aligned} $$

Example 1.6 : การลบที่เศษติดลบ (เกริ่นนำ) / Subtraction leading to negative

ถ้าตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบ ผลลัพธ์จะออกมาติดลบตามหลักจำนวนเต็ม (ค.ร.น. ของ $3$ และ $6$ คือ $6$)

If the minuend is smaller than the subtrahend, the result is negative based on integer rules.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3} - \frac{5}{6} &= \left(\frac{1 \times 2}{3 \times 2}\right) - \frac{5}{6} \\ &= \frac{2}{6} - \frac{5}{6} \\ &= \frac{2 - 5}{6} \\ &= \frac{-3}{6} \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 1.7 : บวก/ลบ หลายจำนวน / Multiple terms

หา ค.ร.น. ของตัวส่วนทั้งหมดรวดเดียว (ค.ร.น. ของ $2, 3, 4$ คือ $12$)

Find the LCM of all denominators at once (LCM of $2, 3, 4$ is $12$).

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} &= \left(\frac{1 \times 6}{2 \times 6}\right) + \left(\frac{2 \times 4}{3 \times 4}\right) - \left(\frac{1 \times 3}{4 \times 3}\right) \\ &= \frac{6}{12} + \frac{8}{12} - \frac{3}{12} \\ &= \frac{6 + 8 - 3}{12} \\ &= \frac{11}{12} \end{aligned} $$

📉 เศษส่วนที่เป็นจำนวนลบ / Negative Fractions

เมื่อมีเครื่องหมายลบเข้ามาเกี่ยวข้อง ให้ใช้หลักการเดียวกับจำนวนเต็ม:
• การบวกด้วยจำนวนลบ มีค่าเท่ากับการลบ: $\displaystyle \frac{a}{c} + \left(-\frac{b}{c}\right) = \frac{a-b}{c}$
• การลบ คือการบวกด้วยจำนวนตรงข้าม: $\displaystyle \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a}{c} + \left(-\frac{b}{c}\right)$ และลบเจอลบกลายเป็นบวก

When negative signs are involved, use integer rules:
• Adding a negative is subtraction: $\displaystyle \frac{a}{c} + \left(-\frac{b}{c}\right) = \frac{a-b}{c}$
• Subtraction is adding the opposite: $\displaystyle \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a}{c} + \left(-\frac{b}{c}\right)$, and subtracting a negative becomes positive.

Example 2.1 : บวกด้วยจำนวนลบ / Adding a negative

การบวกด้วยจำนวนลบมีค่าเท่ากับการนำมาลบกันตามปกติ

Adding a negative number is equivalent to normal subtraction.

$$ \begin{aligned} \frac{4}{5} + \left(-\frac{1}{5}\right) &= \frac{4 - 1}{5} \\ &= \frac{3}{5} \end{aligned} $$

Example 2.2 : ลบและลบ / Negative minus positive

ถ้านำจำนวนลบมาลบออกอีก ค่าจะยิ่งติดลบมากขึ้น (เหมือนการเป็นหนี้เพิ่ม)

Subtracting a positive from a negative makes the value more negative (like increasing debt).

$$ \begin{aligned} -\frac{2}{7} - \frac{3}{7} &= \frac{-2 - 3}{7} \\ &= \frac{-5}{7} \\ &= -\frac{5}{7} \end{aligned} $$

Example 2.3 : ลบด้วยจำนวนลบ / Subtracting a negative

เครื่องหมายลบซ้อนลบ จะเปลี่ยนเป็นการบวก

Double negatives turn into addition.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{4} - \left(-\frac{3}{4}\right) &= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \\ &= \frac{1 + 3}{4} \\ &= \frac{4}{4} \\ &= 1 \end{aligned} $$

Example 2.4 : จำนวนลบขึ้นต้น (ส่วนต่างกัน) / Negative starting term

ทำตัวส่วนให้เท่ากันตามปกติ โดย ค.ร.น. ของ $8$ และ $4$ คือ $8$

Make denominators equal as usual. The LCM of $8$ and $4$ is $8$.

$$ \begin{aligned} -\frac{5}{8} + \frac{1}{4} &= -\frac{5}{8} + \left(\frac{1 \times 2}{4 \times 2}\right) \\ &= \frac{-5 + 2}{8} \\ &= -\frac{3}{8} \end{aligned} $$

Example 2.5 : ลบด้วยลบ (ส่วนต่างกัน) / Negative minus negative

เครื่องหมายลบเจอลบเปลี่ยนเป็นการบวก จากนั้นทำตัวส่วนให้เท่ากัน (ค.ร.น. คือ $6$)

A double negative becomes positive. Then make denominators equal (LCM is $6$).

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{2} - \left(-\frac{2}{3}\right) &= -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \\ &= \left(\frac{-1 \times 3}{2 \times 3}\right) + \left(\frac{2 \times 2}{3 \times 2}\right) \\ &= \frac{-3}{6} + \frac{4}{6} \\ &= \frac{-3 + 4}{6} \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$

Example 2.6 : รวมหลายพจน์ / Multiple terms with negatives

สามารถรวมพจน์พร้อมกันทีเดียวโดยหา ค.ร.น. ของตัวส่วนทั้งหมด (ค.ร.น. ของ $5, 2, 10$ คือ $10$)

You can combine terms simultaneously by finding the LCM of all denominators (LCM of $5, 2, 10$ is $10$).

$$ \begin{aligned} \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{1}{2} - \frac{3}{10} &= \left(\frac{-3 \times 2}{5 \times 2}\right) + \left(\frac{1 \times 5}{2 \times 5}\right) - \frac{3}{10} \\ &= \frac{-6}{10} + \frac{5}{10} - \frac{3}{10} \\ &= \frac{-6 + 5 - 3}{10} \\ &= \frac{-4}{10} \\ &= -\frac{2}{5} \end{aligned} $$

Example 2.7 : การแทนค่าตัวแปร / Variable Substitution

กำหนดให้ $\displaystyle x = -\frac{1}{3}$ และ $\displaystyle y = -\frac{1}{4}$ จงหาค่าของ $x - y$

Given $\displaystyle x = -\frac{1}{3}$ and $\displaystyle y = -\frac{1}{4}$, find $x - y$.

$$ \begin{aligned} x - y &= \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{4}\right) \\ &= -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{-4}{12} + \frac{3}{12} \\ &= -\frac{1}{12} \end{aligned} $$

🔄 จำนวนคละ / Mixed Numbers

เพื่อป้องกันความสับสน (โดยเฉพาะเมื่อมีเครื่องหมายลบ หรือต้องยืมค่า) แนะนำให้แปลงจำนวนคละเป็นเศษเกิน (Improper Fraction) ก่อนเสมอ แล้วจึงคำนวณด้วยหลักการปกติ เมื่อได้คำตอบแล้วจึงแปลงกลับเป็นจำนวนคละหากต้องการ

To prevent confusion (especially with negative signs or borrowing), it is highly recommended to convert mixed numbers to improper fractions first. Calculate using standard rules, then convert the result back to a mixed number if needed.

Example 3.1 : บวกจำนวนคละ / Adding Mixed Numbers

แปลง $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ และ $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ ก่อนเริ่มคำนวณเสมอ

Always convert $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ and $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ before calculating.

$$ \begin{aligned} 1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{3} &= \frac{3}{2} + \frac{7}{3} \\ &= \left(\frac{3 \times 3}{2 \times 3}\right) + \left(\frac{7 \times 2}{3 \times 2}\right) \\ &= \frac{9}{6} + \frac{14}{6} \\ &= \frac{23}{6} \\ &= 3\frac{5}{6} \end{aligned} $$

Example 3.2 : ลบจำนวนคละ / Subtracting Mixed Numbers

การแปลงเป็นเศษเกินช่วยลดปัญหากรณีที่เศษของตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบ (ไม่ต้องยืมค่าจากจำนวนเต็ม)

Converting to improper fractions avoids the issue of borrowing when the minuend's fraction is smaller than the subtrahend's.

$$ \begin{aligned} 3\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4} &= \frac{13}{4} - \frac{7}{4} \\ &= \frac{13 - 7}{4} \\ &= \frac{6}{4} \\ &= \frac{3}{2} \\ &= 1\frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 3.3 : จำนวนเต็มลบด้วยจำนวนคละ / Integer minus Mixed Number

เขียนจำนวนเต็มในรูปเศษส่วนที่มีส่วนเป็น $1$ เพื่อให้ง่ายต่อการหา ค.ร.น.

Write the integer as a fraction with a denominator of $1$ to easily find the LCM.

$$ \begin{aligned} 2 - 1\frac{2}{5} &= \frac{2}{1} - \frac{7}{5} \\ &= \left(\frac{2 \times 5}{1 \times 5}\right) - \frac{7}{5} \\ &= \frac{10}{5} - \frac{7}{5} \\ &= \frac{3}{5} \end{aligned} $$

Example 3.4 : จำนวนคละติดลบ / Negative Mixed Numbers

ระวัง! $-2\frac{1}{3}$ หมายถึง $-\left(2 + \frac{1}{3}\right)$ ซึ่งก็คือ $-\frac{7}{3}$

Be careful! $-2\frac{1}{3}$ means $-\left(2 + \frac{1}{3}\right)$, which equals $-\frac{7}{3}$.

$$ \begin{aligned} -2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{6} &= -\frac{7}{3} + \frac{7}{6} \\ &= \left(\frac{-7 \times 2}{3 \times 2}\right) + \frac{7}{6} \\ &= \frac{-14}{6} + \frac{7}{6} \\ &= \frac{-7}{6} \\ &= -1\frac{1}{6} \end{aligned} $$

Example 3.5 : ลบด้วยจำนวนคละติดลบ / Subtracting negative mixed number

เปลี่ยนเครื่องหมายลบซ้อนลบเป็นการบวก แล้วจึงแปลงจำนวนคละเป็นเศษเกินทั้งหมด

Change the double negative to positive, then convert all mixed numbers to improper fractions.

$$ \begin{aligned} 4\frac{1}{5} - \left(-1\frac{1}{2}\right) &= \frac{21}{5} + 1\frac{1}{2} \\ &= \frac{21}{5} + \frac{3}{2} \\ &= \left(\frac{21 \times 2}{5 \times 2}\right) + \left(\frac{3 \times 5}{2 \times 5}\right) \\ &= \frac{42}{10} + \frac{15}{10} \\ &= \frac{57}{10} \\ &= 5\frac{7}{10} \end{aligned} $$

Example 3.6 : ลบทั้งคู่ / Both negative terms

เมื่อเป็นจำนวนลบทั้งคู่ ให้นำเศษเกินมาดำเนินการตามหลักการบวกลบจำนวนเต็มลบ

When both terms are negative, operate on their improper fractions following negative integer rules.

$$ \begin{aligned} -1\frac{3}{4} - 2\frac{1}{2} &= -\frac{7}{4} - \frac{5}{2} \\ &= -\frac{7}{4} - \left(\frac{5 \times 2}{2 \times 2}\right) \\ &= -\frac{7}{4} - \frac{10}{4} \\ &= \frac{-17}{4} \\ &= -4\frac{1}{4} \end{aligned} $$

Example 3.7 : ประยุกต์หลายพจน์ / Multiple Mixed Numbers

แปลงทุกพจน์เป็นเศษเกิน หา ค.ร.น. รวดเดียว แล้วบวกลบตัวเศษจากซ้ายไปขวา

Convert all terms to improper fractions, find a common denominator, and calculate the numerators from left to right.

$$ \begin{aligned} 2\frac{1}{6} - 3\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2} &= \frac{13}{6} - \frac{10}{3} + \frac{3}{2} \\ &= \frac{13}{6} - \left(\frac{10 \times 2}{3 \times 2}\right) + \left(\frac{3 \times 3}{2 \times 3}\right) \\ &= \frac{13}{6} - \frac{20}{6} + \frac{9}{6} \\ &= \frac{13 - 20 + 9}{6} \\ &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Fraction	fractus (broken)	เศษส่วน · ตัวเลขที่แสดงส่วนหนึ่งของทั้งหมด
Numerator	numerare (to count)	ตัวเศษ · ตัวเลขด้านบนที่บอกจำนวนส่วนที่สนใจ
Denominator	denominare (to name)	ตัวส่วน · ตัวเลขด้านล่างที่บอกจำนวนส่วนแบ่งทั้งหมด
LCM (Least Common Multiple)	multiplicare (to multiply)	ค.ร.น. · ผลคูณร่วมน้อยที่สุด ใช้ทำตัวส่วนให้เท่ากัน
Improper Fraction	im- (not) + proprius (proper)	เศษเกิน · เศษส่วนที่ตัวเศษมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน
Mixed Number	mixtus (mingled, combined)	จำนวนคละ · จำนวนที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกกับเศษส่วนแท้
Simplify	simplex (simple)	ทอนเป็นอย่างต่ำ · การหารเศษและส่วนด้วยตัวหารร่วมมาก