ความสัมพันธ์ระหว่างเศษส่วนและทศนิยม

ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วน (Fractions) และ ทศนิยม (Decimals) เป็นเพียงการเขียนตัวเลขในรูปแบบที่ต่างกัน แต่สามารถแสดงถึงปริมาณที่มีค่าเท่ากันได้เสมอ เราสามารถแปลงเศษส่วนให้เป็นทศนิยมได้ด้วยวิธีการหาร และในทางกลับกัน เราก็สามารถแปลงทศนิยม (ทั้งแบบรู้จบและไม่รู้จบแบบซ้ำ) กลับมาเป็นเศษส่วนได้เช่นกัน

In mathematics, Fractions and Decimals are just different ways of writing numbers, but they represent the same numerical value. We can convert fractions to decimals using division, and conversely, we can convert decimals (both terminating and repeating) back into fractions.

➗ การเปลี่ยนเศษส่วนเป็นทศนิยม / Fraction to Decimal

เราสามารถเปลี่ยนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้โดยการ นำตัวส่วนไปหารตัวเศษ (ตั้งหารยาว) ถ้าหารลงตัวพอดี จะได้ "ทศนิยมรู้จบ" แต่ถ้าหารไม่ลงตัวและมีเศษซ้ำไปเรื่อยๆ จะเรียกว่า "ทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ"

We can convert a fraction to a decimal by dividing the numerator by the denominator (using long division). If it divides evenly, we get a "terminating decimal". If it doesn't divide evenly and the remainder repeats, it is a "repeating decimal".

Example 1.1 : หารลงตัว (Terminating)

ตัวอย่างการแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมที่หารลงตัวพอดี

Example of converting a fraction to a terminating decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} &= 1 \div 2 \\ &= 0.5 \end{aligned} $$

Example 1.2 : หารลงตัว (Terminating)

การหารลงตัวทำให้ได้ทศนิยมแบบรู้จบ

Exact division results in a terminating decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{3}{4} &= 3 \div 4 \\ &= 0.75 \end{aligned} $$

Example 1.3 : หารลงตัว (Terminating)

สามารถหาคำตอบได้จากการตั้งหารยาว

The answer can be found using long division.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{8} &= 5 \div 8 \\ &= 0.625 \end{aligned} $$

Example 1.4 : หารลงตัว (Terminating)

นำตัวส่วนไปหารตัวเศษเพื่อให้ได้ค่าทศนิยม

Divide the numerator by the denominator to get the decimal value.

$$ \begin{aligned} \frac{17}{20} &= 17 \div 20 \\ &= 0.85 \end{aligned} $$

Example 1.5 : หารไม่ลงตัว (Repeating)

ตัวอย่างการหารที่ไม่ลงตัว จะเกิดเป็นทศนิยมซ้ำไปเรื่อยๆ

Example of division that does not terminate, resulting in a repeating decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3} &= 1 \div 3 \\ &= 0.3333... \end{aligned} $$

Example 1.6 : หารไม่ลงตัว (Repeating)

ตัวเลขชุดหลังจะซ้ำกันไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

The latter digits will repeat infinitely.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{6} &= 5 \div 6 \\ &= 0.83333... \end{aligned} $$

Example 1.7 : หารไม่ลงตัว (Repeating)

ทศนิยมบางตัวอาจมีชุดตัวเลขที่ซ้ำกันมากกว่า 1 หลัก

Some decimals may have a repeating sequence of more than 1 digit.

$$ \begin{aligned} \frac{2}{11} &= 2 \div 11 \\ &= 0.181818... \end{aligned} $$

🔄 ทศนิยมซ้ำ / Repeating Decimals

ความจริงแล้ว เศษส่วนทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำได้ สำหรับทศนิยมรู้จบ (เช่น $0.5$) ถือว่าเป็นทศนิยมที่ "ซ้ำศูนย์" ($0.5000...$) สัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนการซ้ำคือการเขียนจุดบนตัวเลขที่ซ้ำ หรือขีดเส้นบนชุดตัวเลขที่ซ้ำ (ในที่นี้จะใช้จุด $\dot{x}$ บนตัวแรกและตัวสุดท้ายที่ซ้ำ)

In fact, every fraction can be written as a repeating decimal. Terminating decimals (like $0.5$) are considered to be "repeating zero" ($0.5000...$). The common notation for repeating is placing a dot over the repeating digit(s) or a bar over the sequence.

Example 2.1 : ซ้ำศูนย์ / Repeating 0

ทศนิยมรู้จบ สามารถมองว่าเป็นการซ้ำตัวเลขศูนย์ไปเรื่อยๆ ได้

Terminating decimals can be seen as repeating the number zero infinitely.

$$ \begin{aligned} 0.5 &= 0.5000... \\ &= 0.5\dot{0} \end{aligned} $$

Example 2.2 : ซ้ำ 1 ตัว / 1 Repeating Digit

ตัวเลข $3$ ซ้ำกันไปเรื่อยๆ

The number $3$ repeats indefinitely.

$$ \begin{aligned} 0.3333... &= 0.\dot{3} \end{aligned} $$

Example 2.3 : ซ้ำ 2 ตัว / 2 Repeating Digits

มีตัวเลขซ้ำกันเป็นชุด $2$ ตัว คือ $1$ และ $8$

There is a repeating sequence of $2$ digits, which are $1$ and $8$.

$$ \begin{aligned} 0.181818... &= 0.\dot{1}\dot{8} \end{aligned} $$

Example 2.4 : ซ้ำตัวหลัง / Repeating Last Digit

ทศนิยมสามารถมีตัวเลขไม่ซ้ำอยู่ด้านหน้าตัวเลขซ้ำได้

Decimals can have non-repeating digits before the repeating ones.

$$ \begin{aligned} 0.83333... &= 0.8\dot{3} \end{aligned} $$

Example 2.5 : ซ้ำชุดยาว / Long Sequence

ชุดตัวเลขที่ซ้ำอาจมีความยาวหลายหลัก

The repeating sequence of digits can be several digits long.

$$ \begin{aligned} 0.142857142857... &= 0.\dot{1}4285\dot{7} \end{aligned} $$

Example 2.6 : มีจำนวนเต็มหน้าจุด / Integer Part

จำนวนเต็มที่อยู่หน้าจุดทศนิยมจะไม่เกี่ยวกับการซ้ำ

The integer before the decimal point is not part of the repeating sequence.

$$ \begin{aligned} 2.454545... &= 2.\dot{4}\dot{5} \end{aligned} $$

Example 2.7 : ซ้ำศูนย์แบบข้ามตัว / Jumping Digits

ในชุดตัวเลขที่ซ้ำอาจมีเลขศูนย์รวมอยู่ด้วย

The repeating sequence can include the number zero.

$$ \begin{aligned} 1.201201... &= 1.\dot{2}0\dot{1} \end{aligned} $$

🔄 แปลงทศนิยมรู้จบเป็นเศษส่วน / Terminating to Fraction

การเปลี่ยนทศนิยมรู้จบ (หรือทศนิยมซ้ำศูนย์) เป็นเศษส่วน ทำได้โดยเขียนทศนิยมนั้นเป็นจำนวนเต็ม แล้วหารด้วย $10^n$ (โดยที่ $n$ คือจำนวนตำแหน่งทศนิยม) จากนั้นทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

To convert a terminating decimal to a fraction, write the decimal as an integer and divide it by $10^n$ (where $n$ is the number of decimal places), then simplify the fraction.

Example 3.1 : ทศนิยม 1 ตำแหน่ง / 1 Decimal Place

เมื่อมีทศนิยม 1 ตำแหน่ง ให้นำตัวเลขทั้งหมดหารด้วย $10$ แล้วตัดทอนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

For 1 decimal place, divide the entire number by $10$ and simplify.

$$ \begin{aligned} 0.5 &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 3.2 : ทศนิยม 2 ตำแหน่ง / 2 Decimal Places

ทศนิยม $2$ ตำแหน่ง ให้หารด้วย $100$ แล้วทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

For $2$ decimal places, divide by $100$ and simplify to the lowest terms.

$$ \begin{aligned} 0.25 &= \frac{25}{100} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned} $$

Example 3.3 : ทศนิยม 3 ตำแหน่ง / 3 Decimal Places

ทศนิยม $3$ ตำแหน่ง ให้หารด้วย $1,000$

For $3$ decimal places, divide by $1,000$.

$$ \begin{aligned} 0.125 &= \frac{125}{1000} \\ &= \frac{1}{8} \end{aligned} $$

Example 3.4 : มีจำนวนเต็มข้างหน้า / With Integer

สามารถเขียนจำนวนเต็มแยกไว้ หรือรวมเป็นเศษเกินก็ได้

You can keep the integer separate or combine it into an improper fraction.

$$ \begin{aligned} 1.2 &= \frac{12}{10} \\ &= \frac{6}{5} \end{aligned} $$

Example 3.5 : ทศนิยม 2 ตำแหน่ง / 2 Decimal Places

เลขศูนย์หลังจุดทศนิยมมีผลต่อจำนวนหลักที่ต้องหาร

Leading zeros after the decimal point affect the divisor ($10^n$).

$$ \begin{aligned} 0.04 &= \frac{4}{100} \\ &= \frac{1}{25} \end{aligned} $$

Example 3.6 : มีจำนวนเต็มและทศนิยม 2 ตำแหน่ง

แปลงทศนิยมทั้งหมดเป็นเศษเกินก่อนตัดทอน

Convert the entire decimal into an improper fraction before simplifying.

$$ \begin{aligned} 3.75 &= \frac{375}{100} \\ &= \frac{15}{4} \end{aligned} $$

Example 3.7 : ทศนิยม 3 ตำแหน่ง / 3 Decimal Places

ใช้หลักการเดียวกันเสมอไม่ว่าจะมีเลขศูนย์กี่ตัว

Apply the same principle regardless of how many zeros there are.

$$ \begin{aligned} 0.005 &= \frac{5}{1000} \\ &= \frac{1}{200} \end{aligned} $$

🔁 แปลงทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำเป็นเศษส่วน / Repeating to Fraction

การแปลงทศนิยมซ้ำที่ไม่ใช่ซ้ำศูนย์ สามารถทำได้โดยการตั้งสมการคณิตศาสตร์ หรือใช้ "สูตรลัด" ในการคำนวณได้อย่างรวดเร็ว

Converting non-zero repeating decimals can be done using algebraic equations or by using a "Shortcut Formula" for quick calculation.

Shortcut Formula : สูตรลัดการแปลงทศนิยมซ้ำ

นำตัวเลขหลังจุดทั้งหมด ลบด้วย ตัวเลขที่ไม่ซ้ำ จากนั้นเติม $9$ ที่ตัวส่วนให้เท่ากับจำนวนตัวที่ซ้ำ และเติม $0$ ให้เท่ากับจำนวนตัวที่ไม่ซ้ำ

Subtract the non-repeating part from the entire number after the decimal point. For the denominator, add a $9$ for each repeating digit, followed by a $0$ for each non-repeating digit.

$$ \begin{aligned} \text{เศษส่วน} &= \frac{(\text{ตัวเลขหลังจุดทั้งหมด}) - (\text{ตัวเลขที่ไม่ซ้ำ})}{\text{เลข } 9 \text{ (ตามตัวที่ซ้ำ) เติม } 0 \text{ (ตามตัวที่ไม่ซ้ำ)}} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{Fraction} &= \frac{(\text{All digits after decimal}) - (\text{Non-repeating digits})}{\text{9s (for repeating digits) then 0s (for non-repeating digits)}} \end{aligned} $$

Example 4.1 : วิธีตั้งสมการ / Equation Method

จงแปลง $0.\dot{3}$ เป็นเศษส่วน โดยการสมมติตัวแปร $N$

Convert $0.\dot{3}$ to a fraction by assuming variable $N$.

$$ \begin{aligned} N &= 0.333... \quad \text{--- (1)} \\ 10N &= 3.333... \quad \text{--- (2)} \\ \text{นำ (2)} - \text{(1)} \Rightarrow 9N &= 3 \\ N &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Example 4.2 : สูตรลัด ซ้ำ 1 ตัว / 1 Repeating

ซ้ำ $1$ ตัว ให้ตัวส่วนเป็นเลข $9$ จำนวน $1$ ตัว

For $1$ repeating digit, the denominator is a single $9$.

$$ \begin{aligned} 0.\dot{7} &= \frac{7 - 0}{9} \\ &= \frac{7}{9} \end{aligned} $$

Example 4.3 : สูตรลัด ซ้ำ 2 ตัว / 2 Repeating

ซ้ำ $2$ ตัว ให้ตัวส่วนเป็นเลข $99$

For $2$ repeating digits, the denominator is $99$.

$$ \begin{aligned} 0.\dot{4}\dot{5} &= \frac{45 - 0}{99} \\ &= \frac{45}{99} \\ &= \frac{5}{11} \end{aligned} $$

Example 4.4 : สูตรลัด มีตัวไม่ซ้ำหน้าตัวซ้ำ

ไม่ซ้ำ $1$ ตัว ซ้ำ $1$ ตัว ส่วนจะเป็น $90$

$1$ non-repeating and $1$ repeating digit results in a denominator of $90$.

$$ \begin{aligned} 0.1\dot{6} &= \frac{16 - 1}{90} \\ &= \frac{15}{90} \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$

Example 4.5 : สูตรลัด มีตัวไม่ซ้ำหน้าตัวซ้ำ

นำตัวเลขทั้งหมดลบด้วยตัวเลขที่ไม่ซ้ำด้านหน้า

Subtract the non-repeating front digits from the entire number.

$$ \begin{aligned} 0.8\dot{3} &= \frac{83 - 8}{90} \\ &= \frac{75}{90} \\ &= \frac{5}{6} \end{aligned} $$

Example 4.6 : สูตรลัด ซ้ำ 2 ตัว ไม่ซ้ำ 1 ตัว

ซ้ำ $2$ ตัว ไม่ซ้ำ $1$ ตัว ให้ส่วนเป็น $990$

$2$ repeating and $1$ non-repeating digit makes the denominator $990$.

$$ \begin{aligned} 0.1\dot{2}\dot{3} &= \frac{123 - 1}{990} \\ &= \frac{122}{990} \\ &= \frac{61}{495} \end{aligned} $$

Example 4.7 : สูตรลัด มีจำนวนเต็มข้างหน้า

ให้แยกจำนวนเต็มออกก่อน หรือรวมเป็นตัวเลขทั้งหมดในการคำนวณก็ได้

Separate the integer first, or include it entirely in the calculation.

$$ \begin{aligned} 1.\dot{2} &= 1 + 0.\dot{2} \\ &= 1 + \frac{2}{9} \\ &= \frac{9 + 2}{9} \\ &= \frac{11}{9} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Fraction	fractio (a breaking)	เศษส่วน · ตัวเลขที่แสดงถึงส่วนหนึ่งของทั้งหมด
Decimal	decimus (tenth)	ทศนิยม · ตัวเลขที่ใช้ระบบฐานสิบ มีจุดทศนิยม
Numerator	numerare (to count)	ตัวเศษ · ตัวเลขที่อยู่ด้านบนของเศษส่วน
Denominator	denominare (to name)	ตัวส่วน · ตัวเลขที่อยู่ด้านล่างของเศษส่วน
Terminating Decimal	terminus (end, limit)	ทศนิยมรู้จบ · ทศนิยมที่มีจำนวนตำแหน่งจำกัด (หรือซ้ำศูนย์)
Repeating Decimal	re- (again) + petere (to seek)	ทศนิยมซ้ำ · ทศนิยมที่มีตัวเลขชุดหนึ่งซ้ำไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด
Convert	convertere (turn around)	การแปลงค่า · การเปลี่ยนรูปแบบจากเศษส่วนเป็นทศนิยม หรือสลับกัน