เรขาคณิต (Geometry) เริ่มต้นจากแนวคิดพื้นฐานที่ไม่ต้องนิยามความหมายทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ แต่เราใช้ความเข้าใจร่วมกันเพื่อสร้างรูปทรงและทฤษฎีบทต่างๆ องค์ประกอบที่เป็นรากฐานสำคัญที่สุดของเรขาคณิตทั้งหมดประกอบด้วย จุด (Point), เส้นตรง (Line), ส่วนของเส้นตรง (Line Segment), รังสี (Ray), ระนาบ (Plane) และ มุม (Angle)
Geometry begins with undefined terms that form the foundation for building shapes and theorems. The most fundamental elements of all geometry consist of the Point, Line, Line Segment, Ray, Plane, and Angle.
📍 จุด / Point
จุด (Point) ใช้เพื่อ แสดงตำแหน่ง (Position) เท่านั้น จุดไม่มีขนาด ไม่มีความกว้าง ความยาว หรือความหนา เราใช้รอยจุดเล็กๆ แทนจุด และใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ตั้งชื่อจุด เช่น จุด $A$, จุด $B$
A Point is used only to indicate position. It has no size, width, length, or depth. We use a small dot to represent a point and name it using capital English letters, such as point $A$, point $B$.
การวาดจุดและการตั้งชื่อจุด $A$ และ $B$ บนระนาบ
Drawing and naming points $A$ and $B$ on a plane.
จุดสามารถใช้บอกพิกัดทางคณิตศาสตร์ได้ เช่น จุด $P$ อยู่ที่พิกัด $(3, 2)$
Points can denote mathematical coordinates, e.g., point $P$ at $(3, 2)$.
จุดตั้งแต่ 3 จุดขึ้นไปที่เรียงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า "จุดร่วมเส้นตรง"
Three or more points lying on the same line are "collinear points".
จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน สามารถสร้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมได้ เช่น รูปสามเหลี่ยม
Points not on the same line can form polygons, such as a triangle.
ตำแหน่งที่เส้นตรงสองเส้นตัดกันจะเกิดเป็น "จุด" เพียงจุดเดียว
The intersection of two lines creates exactly one "point".
จุดที่แบ่งระยะทางระหว่างสองจุดออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เรียกว่าจุดกึ่งกลาง (Midpoint)
A point that divides the distance between two points equally is the midpoint.
เส้นตรงที่แตะขอบวงกลม จะสัมผัสกันที่ 1 จุดพอดี เรียกว่า จุดสัมผัส
A line touching a circle intersects exactly at 1 point, called the point of tangency.
📏 เส้นตรง / Line
เส้นตรง (Line) มีความยาวไม่จำกัดและไม่มีจุดปลาย (ลูกศรสองหัวแสดงว่าลากต่อออกไปได้เรื่อยๆ) สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนเส้นตรงที่ผ่านจุด $A$ และ $B$ คือ $\overleftrightarrow{AB}$ หรือ $\overleftrightarrow{BA}$ สมบัติที่สำคัญคือ มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้
A Line extends infinitely in both directions with no endpoints (represented by double arrows). A line passing through points $A$ and $B$ is denoted as $\overleftrightarrow{AB}$ or $\overleftrightarrow{BA}$. A key axiom is: Through any two points, there is exactly one line.
เราสามารถเรียกเส้นตรงด้วยตัวอักษรเล็กตัวเดียว เช่น เส้นตรง $l$ (line $l$)
We can also name a line with a single lowercase letter, e.g., line $l$.
เส้นตรง $\overleftrightarrow{AB}$ หมายถึงเส้นตรงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุด $A$ และ $B$
The line $\overleftrightarrow{AB}$ represents the unique line passing through points $A$ and $B$.
เส้นตรง 2 เส้น ถ้าไม่ขนานกัน จะต้องตัดกันที่ 1 จุดเสมอ
Two lines, if not parallel, must intersect at exactly 1 point.
เส้นตรง 2 เส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน และไม่มีจุดตัดเลย (ระยะห่างเท่ากันเสมอ) เรียกว่า เส้นขนาน สัญลักษณ์คือ $\parallel$
Two coplanar lines that never intersect are parallel lines. The symbol is $\parallel$.
เส้นตรง 2 เส้นที่ตัดกันแล้วทำมุม $90^\circ$ (มุมฉาก) สัญลักษณ์คือ $\perp$
Two lines that intersect to form a $90^\circ$ angle (right angle). The symbol is $\perp$.
เส้นตรงตั้งแต่ 3 เส้นขึ้นไป ที่ตัดผ่าน "จุดๆ เดียวกัน"
Three or more lines that intersect at exactly the "same point".
จากจุด 1 จุด เราสามารถลากเส้นตรงให้ผ่านจุดนั้นได้จำนวน "อนันต์" เส้น
Through a single point, an "infinite" number of lines can be drawn.
📏 ส่วนของเส้นตรง / Line Segment
ส่วนของเส้นตรง (Line Segment) คือส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มี จุดปลาย (Endpoints) 2 จุด ทำให้มีความยาวที่จำกัดและสามารถวัดความยาวได้ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนส่วนของเส้นตรง $AB$ คือ $\overline{AB}$ หรือ $\overline{BA}$
A Line Segment is a part of a line bounded by two distinct endpoints, meaning it has a finite, measurable length. The symbol for a segment connecting points $A$ and $B$ is $\overline{AB}$ or $\overline{BA}$.
ถ้าพูดถึงรูปร่างใช้ $\overline{AB}$ แต่ถ้าพูดถึง "ความยาว" จะเขียน $AB$ (ไม่มีขีดด้านบน) หรือ $m(\overline{AB})$
For the figure, use $\overline{AB}$. For its "length", write $AB$ (no bar) or $m(\overline{AB})$.
ถ้าจุด $B$ อยู่ระหว่างจุด $A$ และ $C$ บนเส้นตรงเดียวกัน จะได้สมการความยาวดังนี้
If point $B$ is between points $A$ and $C$ on the same line, the Segment Addition Postulate applies:
ส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่มีความยาวเท่ากัน เรียกว่า "เท่ากันทุกประการ" ใช้สัญลักษณ์ $\cong$
Two line segments with the same length are "congruent". The symbol is $\cong$.
จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ ก็ต่อเมื่อ $M$ อยู่บน $\overline{AB}$ และทำให้ $AM = MB$
Point $M$ is the midpoint of $\overline{AB}$ if $M$ is on $\overline{AB}$ and $AM = MB$.
ส่วนของเส้นตรงนำมาต่อกันเพื่อสร้างเป็นรูปหลายเหลี่ยม (Polygons) เช่น รูปสามเหลี่ยม เกิดจากส่วนของเส้นตรง 3 เส้น
Line segments are joined to form Polygons. E.g., a triangle consists of 3 line segments.
เส้นตรง, รังสี, หรือส่วนของเส้นตรง ที่ลากผ่าน "จุดกึ่งกลาง" ของส่วนของเส้นตรงอื่น เรียกว่า เส้นแบ่งครึ่ง
A line, ray, or segment that passes through the "midpoint" of another segment is a Segment Bisector.
เส้นที่นอกจากจะลากผ่านจุดกึ่งกลางแล้ว ยังทำมุมฉาก ($90^\circ$) กับส่วนของเส้นตรงนั้นด้วย
A bisector that not only passes through the midpoint but also intersects at a right angle ($90^\circ$).
🔦 รังสี / Ray
รังสี (Ray) คือส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มี จุดปลายเพียง 1 จุด (จุดเริ่มต้น) และมีความยาวต่อไปในทิศทางเดียวอย่างไม่จำกัด สัญลักษณ์ที่ใช้แทนรังสีที่มีจุด $A$ เป็นจุดเริ่มต้นและผ่านจุด $B$ คือ $\overrightarrow{AB}$ (ลูกศรชี้ไปทาง B เสมอ)
A Ray is a part of a line that has exactly 1 endpoint (initial point) and extends infinitely in one direction. The symbol for a ray starting at $A$ and passing through $B$ is $\overrightarrow{AB}$ (arrow always points to B).
รังสี $\overrightarrow{AB}$ กับรังสี $\overrightarrow{BA}$ ไม่เหมือนกัน เพราะมีจุดเริ่มต้นคนละจุด และชี้ไปคนละทิศทาง
Ray $\overrightarrow{AB}$ and ray $\overrightarrow{BA}$ are not the same because they have different initial points and directions.
รังสี 2 เส้นที่มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน แต่ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม จะประกอบกันเป็น "เส้นตรง" 1 เส้น
Two rays with the same initial point but pointing in exactly opposite directions form a "line".
มุม (Angle) เกิดจากรังสี 2 เส้นที่มีจุดเริ่มต้น (จุดยอดมุม) ร่วมกัน
An angle is formed by 2 rays sharing the same initial point (vertex).
รังสีที่ลากจากจุดยอดมุม และแบ่งมุมออกเป็น 2 มุมที่เท่ากัน
A ray drawn from the vertex that divides an angle into 2 congruent angles.
แนวคิดของรังสี ถูกนำไปใช้เปรียบเทียบกับ "ลำแสง" เช่น แสงเลเซอร์ หรือ แสงจากไฟฉาย (มีจุดกำเนิดและพุ่งไปข้างหน้า)
The concept of a ray is analogous to a "beam of light", like a laser or flashlight (has a source and travels forward).
เช่นเดียวกับเส้นตรง จากจุดเริ่มต้นเพียง 1 จุด เราสามารถลากรังสีพุ่งออกไปรอบทิศทางได้เป็นจำนวน "อนันต์"
Similar to lines, from a single initial point, an "infinite" number of rays can be drawn in all directions.
รังสี 2 เส้นอาจตัดกันได้ 1 จุด, ไม่ตัดกันเลย, หรือทับซ้อนกันจนกลายเป็นรังสีเส้นเดียวกัน
Two rays can intersect at 1 point, not intersect at all, or overlap to form the same ray.
🔲 ระนาบ / Plane
ระนาบ (Plane) คือพื้นผิวที่แบนเรียบ 2 มิติ (มีความกว้างและความยาว แต่ ไม่มีความหนา) และแผ่ขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในทุกทิศทางของพื้นผิวนั้น ปกติเรามักวาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อใช้เป็นสัญลักษณ์แทนระนาบ 1 ระนาบ
A Plane is a flat, 2-dimensional surface (having width and length, but no thickness) that extends infinitely in all directions along its surface. We typically draw a parallelogram to visually represent a single plane.
ใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ตัวเดียวไว้ที่มุม (เช่น ระนาบ $P$) หรือใช้จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน 3 จุด (เช่น ระนาบ $ABC$)
Use a single capital letter at a corner (e.g., Plane $P$) or 3 non-collinear points (e.g., Plane $ABC$).
ระนาบเป็นพื้นที่เปิดกว้าง มี 2 มิติ คือแกน $x$ และแกน $y$ บนพื้นผิวของตัวมันเอง แต่ไม่สามารถบอกความหนาหรือความลึก (แกน $z$) ได้เลย
A plane has exactly 2 dimensions ($x$ and $y$ axes) spanning its surface, but it possesses absolutely no depth or thickness ($z$ axis).
จุดหลายๆ จุดที่อยู่หรือวางตัวอยู่บน "ระนาบเดียวกัน" พอดี (เช่น จุด $X, Y$) เรียกว่า จุดร่วมระนาบ ส่วนจุด $Z$ ลอยอยู่นอกระนาบ
Points that lie completely on the "same plane" (e.g., points $X, Y$) are Coplanar. Point $Z$ is non-coplanar because it hovers outside.
ถ้าจุด 2 จุดของเส้นตรงหนึ่งตั้งอยู่บนระนาบใดแล้ว "เส้นตรงทั้งเส้น" จะแนบชิดอยู่บนระนาบนั้นไปด้วยทั้งหมดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้
If any 2 points of a line lie in a plane, the "entire line" must inherently lie completely within that plane.
ถ้าระนาบ 2 ระนาบทำมุมตัดกัน รอยต่อที่เกิดจากการตัดกันนั้นจะเป็น "เส้นตรง (Line)" เสมอ
When 2 intersecting planes meet, their exact intersection will always form a single "line".
ระนาบ 2 ระนาบที่ไม่ตัดกันเลย (มีระยะห่างในแนวตั้งฉากเท่ากันตลอดเวลา) เรียกว่า ระนาบขนาน (เช่น พื้นห้อง กับ เพดานห้อง)
Two planes that never intersect (always equidistant in perpendicular distance) are called Parallel planes (like a room's floor and ceiling).
มีสิ่งเหล่านี้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง ก็สามารถกำหนดแผ่นระนาบได้ 1 ระนาบอย่างเฉพาะเจาะจงพอดี:
- 1) จุด 3 จุด ที่ไม่เรียงเป็นเส้นตรงเดียวกัน
- 2) เส้นตรง 2 เส้น ที่ตัดกัน
- 3) เส้นตรง 2 เส้น ที่ขนานกัน
- 4) เส้นตรง 1 เส้น กับจุด 1 จุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงนั้น
Any one of the following uniquely determines exactly 1 distinct plane:
- 1) 3 non-collinear points.
- 2) 2 intersecting lines.
- 3) 2 parallel lines.
- 4) 1 line and 1 point not on that line.
📐 มุม / Angle
มุม (Angle) เกิดจาก รังสี 2 เส้นที่มีจุดเริ่มต้นร่วมกัน โดยจุดเริ่มต้นนี้จะถูกเรียกว่า "จุดยอดมุม (Vertex)" และรังสีแต่ละเส้นเรียกว่า "แขนของมุม (Sides of an Angle)" มุมเป็นเครื่องมือสำคัญในการวัดความกว้างของการหมุนหรือการเปิดออกของเส้น 2 เส้น
An Angle is formed by two rays that share a common initial point. This common point is called the "Vertex", and each ray is called a "Side" of the angle. Angles are fundamental in measuring the extent of rotation or opening between two intersecting lines.
โครงสร้างของมุมประกอบด้วย 1 จุดยอดมุม และ 2 แขนของมุม
An angle's structure consists of 1 vertex and 2 sides.
การเรียกชื่อมุมใช้สัญลักษณ์ $\angle$ หรือใส่หมวก $\hat{}$ ไว้ตรงกลาง โดยตัวอักษรที่เป็น "จุดยอดมุม" ต้องอยู่ตรงกลางเสมอ
Angles are named using the symbol $\angle$ or a hat $\hat{}$ over the vertex. The "vertex" letter must always be in the middle.
ขนาดของมุมถูกวัดด้วยหน่วย "องศา (Degrees)" สัญลักษณ์คือ $^\circ$ โดยวงกลม 1 วงมีขนาด $360^\circ$
The size of an angle is measured in "Degrees", denoted by $^\circ$. A full circle is $360^\circ$.
มุมแบ่งตามขนาดได้ดังนี้: มุมแหลม (เล็กกว่า $90^\circ$), มุมฉาก (เท่ากับ $90^\circ$ พอดี), มุมป้าน (ใหญ่กว่า $90^\circ$ แต่ไม่ถึง $180^\circ$)
Angles classified by size: Acute (< $90^\circ$), Right (=$90^\circ$), Obtuse (> $90^\circ$ but < $180^\circ$).
มุมตรงกาง $180^\circ$ (แขนของมุมกางออกเป็นเส้นตรงพอดี) ส่วนมุมกลับกางมากกว่า $180^\circ$
A Straight angle measures $180^\circ$ (sides form a straight line), while a Reflex angle measures more than $180^\circ$.
มุม 2 มุมที่มี "จุดยอดมุมร่วมกัน" และมี "แขนของมุมร่วมกัน 1 ข้าง" โดยไม่ซ้อนทับกัน
Two angles that share a common vertex and a common side, but do not overlap inside.
รังสีที่ลากจากจุดยอดมุม และแบ่งมุมเดิมออกเป็นมุมย่อย 2 มุมที่มีขนาด "เท่ากันทุกประการ"
A ray drawn from the vertex that divides the original angle into 2 "congruent" smaller angles.
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Geometry | geo (earth) + metron (measure) | เรขาคณิต · สาขาคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยรูปร่าง ขนาด และตำแหน่ง |
| Point | punctus (pricked, a dot) | จุด · สิ่งที่ใช้บอกตำแหน่ง ไม่มีมิติหรือขนาด |
| Line | linea (linen thread, string) | เส้นตรง · ความยาวที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีความกว้าง |
| Segment | segmentum (a piece cut off) | ส่วนของเส้นตรง · ชิ้นส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายสองจุด |
| Ray | radius (staff, spoke of a wheel) | รังสี · เส้นที่มีจุดเริ่มต้นจุดเดียวและยาวไปในทิศทางเดียว |
| Collinear | com- (together) + linea (line) | ร่วมเส้นตรง · จุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน |
| Coplanar | com- (together) + planus (flat) | ร่วมระนาบ · จุดหรือเส้นตรงที่อยู่บนระนาบเดียวกัน |
| Plane | planus (flat, level) | ระนาบ · พื้นผิวแบนเรียบ 2 มิติที่แผ่ขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุด |
| Parallel | para- (beside) + allelon (one another) | ขนาน · เส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกันแต่ไม่เคยตัดกัน |
| Angle | angulus (corner, a bend) | มุม · รูปร่างที่เกิดจากรังสีสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นร่วมกัน |
| Vertex | vertere (to turn) | จุดยอดมุม · จุดศูนย์กลางร่วมที่รังสีหรือเส้นตรงมาบรรจบกัน |
| Degree | de- (down) + gradus (step) | องศา · หน่วยวัดมาตรฐานสำหรับการวัดมุม (1 รอบวงกลม = 360 องศา) |