คู่อันดับ

ในชีวิตประจำวัน เรามักพบสิ่งที่มีความเกี่ยวข้องกันเป็นคู่ๆ เสมอ เช่น หมายเลขที่นั่งกับแถวในโรงภาพยนตร์, สินค้ากับราคา, หรือพิกัดบนแผนที่ ในทางคณิตศาสตร์ เราใช้ คู่อันดับ (Ordered Pairs) เพื่อแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณหรือสิ่งของสองสิ่ง โดยให้ความสำคัญกับ "ลำดับ" ก่อน-หลัง อย่างเคร่งครัด

In daily life, we often encounter things related in pairs, such as a seat number and row in a cinema, an item and its price, or coordinates on a map. In mathematics, we use Ordered Pairs to represent the relationship between two quantities or objects, strictly emphasizing the "order" of the elements.

🔗 ความหมายและส่วนประกอบ / Meaning & Components

คู่อันดับ คือการจับคู่สิ่งสองสิ่งที่มีความหมายสัมพันธ์กัน ภายใต้อันดับที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน เขียนแทนด้วยวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (Comma) ในรูปแบบ $(x, y)$ โดยประกอบด้วย:

$x$ เรียกว่า สมาชิกตัวหน้า (First member / First coordinate)
$y$ เรียกว่า สมาชิกตัวหลัง (Second member / Second coordinate)

An Ordered Pair is a pairing of two related objects under a strictly defined order. It is written inside parentheses separated by a comma in the format $(x, y)$, consisting of:

$x$ is called the First member (or First coordinate).
$y$ is called the Second member (or Second coordinate).

Example 1.1 : การอ่านสัญลักษณ์ / Reading the Symbol

สัญลักษณ์ $(3, 5)$ อ่านว่า "คู่อันดับ สาม ห้า"

$\text{สมาชิกตัวหน้าคือ } 3 \quad \text{และ} \quad \text{สมาชิกตัวหลังคือ } 5$

The symbol $(3, 5)$ is read as "ordered pair three comma five".

$\text{The first member is } 3 \quad \text{and} \quad \text{the second member is } 5$

Example 1.2 : ลำดับมีความสำคัญ / Order Matters

คู่อันดับ $(3, 5)$ ไม่เหมือนกับคู่อันดับ $(5, 3)$ เพราะตำแหน่งสลับกัน ความหมายก็เปลี่ยนไป

$$ (3, 5) \neq (5, 3) $$

The ordered pair $(3, 5)$ is not the same as $(5, 3)$. Because the order is swapped, the meaning changes.

$$ (3, 5) \neq (5, 3) $$

Example 1.3 : ความสัมพันธ์ในชีวิตจริง / Real-life Relationship

กำหนดความสัมพันธ์คือ (ชื่อคน, อายุ)
ถ้าเขียนว่า $(\text{สมชาย}, 14)$ หมายความว่า สมชายอายุ $14$ ปี

Given the relationship: (Person's Name, Age)
Writing $(\text{Somchai}, 14)$ means Somchai is $14$ years old.

สมาชิกตัวหน้า (ชื่อ) First member (Name)	สมาชิกตัวหลัง (อายุ) Second member (Age)	คู่อันดับที่ได้ Resulting Ordered Pair
สมชาย Somchai	14	(สมชาย, 14) (Somchai, 14)
สมหญิง Somying	13	(สมหญิง, 13) (Somying, 13)

Example 1.4 : พิกัดที่นั่ง / Seating Coordinates

ในโรงภาพยนตร์ ที่นั่งมักระบุเป็น (แถว, หมายเลข) เช่น $(D, 12)$
สมาชิกตัวหน้าคือ แถว $D$ และ สมาชิกตัวหลังคือ ที่นั่งเบอร์ $12$

In a cinema, seats are indicated as (Row, Number), e.g., $(D, 12)$.
The first member is Row $D$, and the second member is Seat number $12$.

Example 1.5 : พิกัดจุดกำเนิด / The Origin

ในระบบกราฟ คู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าและตัวหลังเป็นศูนย์ เรียกว่า "จุดกำเนิด"

In a graphing system, the ordered pair where both members are zero is called the "Origin".

$$ (0, 0) $$

Example 1.6 : สมาชิกเป็นจำนวนลบ / Negative Members

สมาชิกในคู่อันดับสามารถเป็นจำนวนลบ เศษส่วน หรือทศนิยมได้ เช่น $(-2, 4.5)$

$\text{สมาชิกตัวหน้าคือ } -2 \quad \text{สมาชิกตัวหลังคือ } 4.5$

Members can be negative numbers, fractions, or decimals, e.g., $(-2, 4.5)$.

$\text{First member is } -2 \quad \text{Second member is } 4.5$

Example 1.7 : การจับคู่จากสองกลุ่ม / Mapping from Sets

ถ้ากลุ่ม A คือ $\{1, 2\}$ และกลุ่ม B คือ $\{a, b\}$ การจับคู่ (สมาชิกจาก A, สมาชิกจาก B) จะได้:

If Set A is $\{1, 2\}$ and Set B is $\{a, b\}$, mapping (element from A, element from B) gives:

Example 1.8 : จากตารางสู่คู่อันดับ / From Table to Ordered Pairs

จากตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนลูกอมและราคาที่กำหนดให้ เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่และคู่อันดับระหว่างจำนวนลูกอมกับราคาลูกอม

From the table showing the relationship between the number of candies and the given price, write a mapping diagram and ordered pairs between the number of candies and the candy price.

จำนวนลูกอม (เม็ด) Number of candies (pcs)	2	4	6	8	10
ราคา (บาท) Price (Baht)	1	2	3	4	5

เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่ระหว่างจำนวนลูกอม (เม็ด) และราคา (บาท) ได้ดังนี้

The mapping diagram between the number of candies (pcs) and the price (Baht) can be drawn as follows:

เขียนคู่อันดับได้ ดังนี้

$(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)$ และ $(10, 5)$

The ordered pairs can be written as follows:

$(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)$ and $(10, 5)$

⚖️ สมบัติการเท่ากันของคู่อันดับ / Equality of Ordered Pairs

คู่อันดับสองคู่อันดับจะ "เท่ากัน" ก็ต่อเมื่อ สมาชิกตัวหน้าต้องเท่ากับสมาชิกตัวหน้า และ สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากับสมาชิกตัวหลัง อย่างสมบูรณ์

$$ \text{บทนิยาม: } \quad (a, b) = (c, d) \quad \text{ก็ต่อเมื่อ} \quad a = c \quad \text{และ} \quad b = d $$

แนวทางการทำโจทย์: เราสามารถตั้งสมการแยกกัน 2 สมการ (สมการตัวหน้า และสมการตัวหลัง) เพื่อแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวหาค่าที่หายไปได้

Two ordered pairs are "equal" if and only if their first members are equal and their second members are equal.

$$ \text{Definition: } \quad (a, b) = (c, d) \quad \text{if and only if} \quad a = c \quad \text{and} \quad b = d $$

Problem Solving Approach: We can set up 2 separate equations (one for the first members, one for the second) to solve linear equations for missing variables.

Example 2.1 : การเทียบตัวแปรพื้นฐาน / Basic Matching

กำหนดให้ $\displaystyle (x, y) = (4, 9)$ จงหาค่าของ $x$ และ $y$

วิธีทำ: จากสมบัติการเท่ากัน จับคู่ตำแหน่งที่ตรงกันจะได้ทันที

$$ \begin{aligned} \text{ตัวหน้า : } \quad x &= 4 \\ \text{ตัวหลัง : } \quad y &= 9 \end{aligned} $$

Given $\displaystyle (x, y) = (4, 9)$, find the values of $x$ and $y$.

Solution: From the equality property, match corresponding positions:

$$ \begin{aligned} \text{First member : } \quad x &= 4 \\ \text{Second member : } \quad y &= 9 \end{aligned} $$

Example 2.2 : สมการเชิงเส้นขั้นต้น / Basic Linear Equation

กำหนดให้ $\displaystyle (x + 2, 5) = (7, y - 1)$ จงหาค่า $x$ และ $y$

วิธีทำ: แยกคิดทีละตำแหน่ง

• พิจารณาสมาชิกตัวหน้า:

$$ \begin{aligned} x + 2 &= 7 \\ x &= 7 - 2 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

• พิจารณาสมาชิกตัวหลัง:

$$ \begin{aligned} 5 &= y - 1 \\ 5 + 1 &= y \\ y &= 6 \end{aligned} $$

Given $\displaystyle (x + 2, 5) = (7, y - 1)$, find $x$ and $y$.

Solution: Separate the equations by position.

• Consider the first member:

$$ \begin{aligned} x + 2 &= 7 \\ x &= 7 - 2 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

• Consider the second member:

$$ \begin{aligned} 5 &= y - 1 \\ 5 + 1 &= y \\ y &= 6 \end{aligned} $$

Example 2.3 : สมการการคูณ / Multiplication Equation

ถ้า $\displaystyle (2x, 15) = (10, 3y)$ จงหาค่าของ $x$ และ $y$

• สมาชิกตัวหน้า:

$$ \begin{aligned} 2x &= 10 \\ x &= \frac{10}{2} \\ x &= 5 \end{aligned} $$

• สมาชิกตัวหลัง:

$$ \begin{aligned} 15 &= 3y \\ \frac{15}{3} &= y \\ y &= 5 \end{aligned} $$

If $\displaystyle (2x, 15) = (10, 3y)$, find the values of $x$ and $y$.

• First member:

$$ \begin{aligned} 2x &= 10 \\ x &= \frac{10}{2} \\ x &= 5 \end{aligned} $$

• Second member:

$$ \begin{aligned} 15 &= 3y \\ \frac{15}{3} &= y \\ y &= 5 \end{aligned} $$

Example 2.4 : จำนวนลบและเศษส่วน / Negatives & Fractions

กำหนดให้ $\displaystyle (\frac{x}{3}, -8) = (-4, y + 2)$ จงหาค่า $x, y$

• สมาชิกตัวหน้า:

$$ \begin{aligned} \frac{x}{3} &= -4 \\ x &= -4 \times 3 \\ x &= -12 \end{aligned} $$

• สมาชิกตัวหลัง:

$$ \begin{aligned} -8 &= y + 2 \\ -8 - 2 &= y \\ y &= -10 \end{aligned} $$

Given $\displaystyle (\frac{x}{3}, -8) = (-4, y + 2)$, find $x, y$.

• First member:

$$ \begin{aligned} \frac{x}{3} &= -4 \\ x &= -4 \times 3 \\ x &= -12 \end{aligned} $$

• Second member:

$$ \begin{aligned} -8 &= y + 2 \\ -8 - 2 &= y \\ y &= -10 \end{aligned} $$

Example 2.5 : สมบัติการแจกแจง / Distributive Property

จงหาค่า $x$ และ $y$ จากสมการคู่อันดับ $\displaystyle (3(x - 1), 20) = (12, 4(y + 1))$

• สมาชิกตัวหน้า:

$$ \begin{aligned} 3(x - 1) &= 12 \\ x - 1 &= \frac{12}{3} \\ x - 1 &= 4 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

• สมาชิกตัวหลัง:

$$ \begin{aligned} 20 &= 4(y + 1) \\ \frac{20}{4} &= y + 1 \\ 5 &= y + 1 \\ y &= 4 \end{aligned} $$

Find $x$ and $y$ from the ordered pair equation $\displaystyle (3(x - 1), 20) = (12, 4(y + 1))$.

• First member:

$$ \begin{aligned} 3(x - 1) &= 12 \\ x - 1 &= \frac{12}{3} \\ x - 1 &= 4 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

• Second member:

$$ \begin{aligned} 20 &= 4(y + 1) \\ \frac{20}{4} &= y + 1 \\ 5 &= y + 1 \\ y &= 4 \end{aligned} $$

Example 2.6 : ตัวแปรสองฝั่งในสมาชิกเดียว / Variables on Both Sides

กำหนดให้ $\displaystyle (5x - 2, 8) = (3x + 10, 8)$ จงหาค่า $x$

สังเกตว่าสมาชิกตัวหลังคือ $8=8$ เป็นจริงอยู่แล้ว จึงแก้สมการแค่ตัวหน้า

• สมาชิกตัวหน้า:

$$ \begin{aligned} 5x - 2 &= 3x + 10 \\ 5x - 3x &= 10 + 2 \\ 2x &= 12 \\ x &= 6 \end{aligned} $$

Given $\displaystyle (5x - 2, 8) = (3x + 10, 8)$, find $x$.

Notice the second members are $8=8$ (already true), so only solve the first member.

• First member:

$$ \begin{aligned} 5x - 2 &= 3x + 10 \\ 5x - 3x &= 10 + 2 \\ 2x &= 12 \\ x &= 6 \end{aligned} $$

Example 2.7 : ตัวแปรมีความสัมพันธ์กัน / Interdependent Variables

ถ้า $\displaystyle (x + 3, x + y) = (10, 15)$ จงหาค่าของ $x$ และ $y$

วิธีทำ: ต้องหาค่า $x$ จากสมาชิกตัวหน้าก่อน แล้วนำไปแทนค่าเพื่อหา $y$ ในสมาชิกตัวหลัง

• ขั้นที่ 1 (หา $x$ จากตัวหน้า):

$$ \begin{aligned} x + 3 &= 10 \\ x &= 10 - 3 \\ x &= 7 \end{aligned} $$

• ขั้นที่ 2 (หา $y$ จากตัวหลัง โดยแทน $x = 7$):

$$ \begin{aligned} x + y &= 15 \\ 7 + y &= 15 \\ y &= 15 - 7 \\ y &= 8 \end{aligned} $$

If $\displaystyle (x + 3, x + y) = (10, 15)$, find $x$ and $y$.

Solution: We must find $x$ from the first member, then substitute it to find $y$ in the second member.

• Step 1 (Find $x$ from the first member):

$$ \begin{aligned} x + 3 &= 10 \\ x &= 10 - 3 \\ x &= 7 \end{aligned} $$

• Step 2 (Find $y$ from the second member by substituting $x = 7$):

$$ \begin{aligned} x + y &= 15 \\ 7 + y &= 15 \\ y &= 15 - 7 \\ y &= 8 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Ordered Pair	ordo (arrangement) + paria (equal things)	คู่อันดับ · การจับคู่ของสิ่งสองสิ่งโดยที่ลำดับก่อนหลังมีความสำคัญ
Coordinate	co- (together) + ordinare (to arrange)	พิกัด / สมาชิก · ตัวเลขที่ใช้ระบุตำแหน่งในระบบกราฟ
First member	English: First + member	สมาชิกตัวหน้า · ค่าของ $x$ ในคู่อันดับ $(x,y)$
Second member	English: Second + member	สมาชิกตัวหลัง · ค่าของ $y$ ในคู่อันดับ $(x,y)$
Equality	aequalis (uniform, identical)	สมบัติการเท่ากัน · ภาวะที่ปริมาณทั้งสองฝั่งมีค่าเหมือนกันทุกประการ
Equation	aequare (make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ ($=$)
Variable	variare (to change)	ตัวแปร · สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าที่ยังไม่ทราบ หรือค่าที่เปลี่ยนแปลงได้ (เช่น $x, y$)