การลงจุดบนระบบพิกัดฉาก

ระบบพิกัดฉาก (Cartesian Coordinate System) ประกอบด้วยเส้นจำนวน 2 เส้นที่ตั้งฉากกัน คือ แกนแนวนอน (แกน X) และ แกนแนวตั้ง (แกน Y) ตัดกันที่จุดกำเนิด $(0,0)$ การระบุตำแหน่งบนระนาบนี้ จะใช้ คู่อันดับ $(x, y)$ (Ordered Pair) โดยตัวเลขแรกคือค่าพิกัดบนแกน X และตัวเลขที่สองคือค่าพิกัดบนแกน Y

The Cartesian Coordinate System consists of two perpendicular number lines: the horizontal axis (X-axis) and the vertical axis (Y-axis), intersecting at the origin $(0,0)$. Positions on this plane are defined by an Ordered Pair $(x, y)$, where the first number is the X-coordinate and the second is the Y-coordinate.

📍 การระบุตำแหน่ง / Locating Points

เมื่อกำหนดคู่อันดับ $(x, y)$ ให้ เราสามารถหาตำแหน่งบนกราฟได้โดยเริ่มต้นที่จุดกำเนิด $(0,0)$ จากนั้นเคลื่อนที่ไปทางซ้ายหรือขวาตามค่า $x$ และเคลื่อนที่ขึ้นหรือลงตามค่า $y$

Given an ordered pair $(x, y)$, we can locate its position on the graph by starting at the origin $(0,0)$, moving left or right according to the $x$-value, and moving up or down according to the $y$-value.

Example 1.1 : พิกัด (+, +)

จงลงจุด $A(3, 4)$

เริ่มจาก $(0,0)$ เลื่อนไปทางขวา 3 หน่วย และขึ้นบน 4 หน่วย (จตุภาคที่ 1)

Plot point $A(3, 4)$

Start at $(0,0)$, move right 3 units, then up 4 units (Quadrant 1).

Example 1.2 : พิกัด (-, +)

จงลงจุด $B(-2, 3)$

เริ่มจาก $(0,0)$ เลื่อนไปทางซ้าย 2 หน่วย และขึ้นบน 3 หน่วย (จตุภาคที่ 2)

Plot point $B(-2, 3)$

Start at $(0,0)$, move left 2 units, then up 3 units (Quadrant 2).

Example 1.3 : พิกัด (-, -)

จงลงจุด $C(-4, -1)$

เริ่มจาก $(0,0)$ เลื่อนไปทางซ้าย 4 หน่วย และลงล่าง 1 หน่วย (จตุภาคที่ 3)

Plot point $C(-4, -1)$

Start at $(0,0)$, move left 4 units, then down 1 unit (Quadrant 3).

Example 1.4 : พิกัด (+, -)

จงลงจุด $D(1, -3)$

เริ่มจาก $(0,0)$ เลื่อนไปทางขวา 1 หน่วย และลงล่าง 3 หน่วย (จตุภาคที่ 4)

Plot point $D(1, -3)$

Start at $(0,0)$, move right 1 unit, then down 3 units (Quadrant 4).

Example 1.5 : พิกัดทศนิยม / Decimals

จงลงจุด $P(2.5, 1.5)$

ค่าพิกัดไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม จุดนี้จะอยู่กึ่งกลางระหว่างช่องตาราง

Plot point $P(2.5, 1.5)$

Coordinates don't have to be integers. This point lies halfway between grid lines.

Example 1.6 : การสร้างรูปเรขาคณิต / Forming Shapes

จงลงจุด $M(-2, 2), N(3, 2), O(3, -1), P(-2, -1)$ แล้วลากเส้นเชื่อมตามลำดับ

การลงจุดหลายๆ จุดแล้วเชื่อมต่อกัน สามารถสร้างเป็นรูปเรขาคณิตได้ (ในกรณีนี้คือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

Plot points $M(-2, 2), N(3, 2), O(3, -1), P(-2, -1)$ and connect them in order.

Plotting multiple points and connecting them can form geometric shapes (in this case, a rectangle).

Example 1.7 : ทิศทางการอธิบาย / Step-by-Step Directions

สรุปทิศทางการเคลื่อนที่จาก $(0,0)$ เพื่อหาพิกัด $(x, y)$ ใดๆ

$$ \begin{aligned} \text{ถ้า } x > 0 &\implies \text{เลื่อนขวา} \\ \text{ถ้า } x < 0 &\implies \text{เลื่อนซ้าย} \\ \text{ถ้า } y> 0 &\implies \text{เลื่อนขึ้น} \\ \text{ถ้า } y < 0 &\implies \text{เลื่อนลง} \end{aligned} $$

Summary of movement directions from $(0,0)$ to locate any $(x, y)$

$$ \begin{aligned} \text{If } x > 0 &\implies \text{Move Right} \\ \text{If } x < 0 &\implies \text{Move Left} \\ \text{If } y> 0 &\implies \text{Move Up} \\ \text{If } y < 0 &\implies \text{Move Down} \end{aligned} $$

👁️ การอ่านพิกัด / Reading Coordinates

การพิจารณาจุดที่อยู่บนระบบพิกัดฉาก แล้วระบุว่าจุดนั้นตรงกับคู่อันดับใด ทำได้โดยลากเส้นตั้งฉากจากจุดนั้นไปตกลงบน แกน X (เพื่ออ่านค่า x) และ แกน Y (เพื่ออ่านค่า y)

To identify the ordered pair for a point already on the graph, draw perpendicular lines from the point to the X-axis (to read the x-value) and the Y-axis (to read the y-value).

Example 2.1 : อ่านค่าจากกราฟ / Read from Graph

จงอ่านพิกัดของจุด $S$

ลากเส้นลงมาตั้งฉากแกน X ได้ค่า $x = 2$ ลากไปตั้งฉากแกน Y ได้ค่า $y = 3$ ดังนั้นพิกัดคือ $(2, 3)$

Read the coordinates of point $S$

Drop a perpendicular to X-axis to get $x = 2$. Drop to Y-axis to get $y = 3$. Coordinates: $(2, 3)$

Example 2.2 : จุดใน Q2 / Point in Q2

พิกัดของจุด $T$ คืออะไร?

จากกราฟ จุด $T$ อยู่ในจตุภาคที่ 2 ค่า $x$ ติดลบ และค่า $y$ เป็นบวก

$$ T = (-3, 2) $$

What are the coordinates of point $T$?

From the graph, point $T$ is in Quadrant 2, meaning $x$ is negative and $y$ is positive.

$$ T = (-3, 2) $$

Example 2.3 : จุดใน Q3 / Point in Q3

พิกัดของจุด $U$ คืออะไร?

จุด $U$ เลื่อนไปทางซ้าย 1 หน่วย และลงล่าง 2 หน่วย

$$ U = (-1, -2) $$

What are the coordinates of point $U$?

Point $U$ is moved left 1 unit and down 2 units.

$$ U = (-1, -2) $$

Example 2.4 : จุดใน Q4 / Point in Q4

พิกัดของจุด $V$ คืออะไร?

จุด $V$ เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย และลงล่าง 1 หน่วย

$$ V = (2, -1) $$

What are the coordinates of point $V$?

Point $V$ is moved right 2 units and down 1 unit.

$$ V = (2, -1) $$

Example 2.5 : อ่านจุดยอดของรูปเรขาคณิต / Reading Vertices

จงอ่านพิกัดของจุดยอดสามเหลี่ยม $\Delta ABC$

$$ A = (-2, 2) , \quad B = (1, -1) , \quad C = (3, 3) $$

Read the coordinates of the vertices of triangle $\Delta ABC$

$$ A = (-2, 2) , \quad B = (1, -1) , \quad C = (3, 3) $$

Example 2.6 : ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย / Common Mistake

คู่อันดับ $(2, 4)$ ไม่เหมือนกับ $(4, 2)$ ลำดับของ $x$ และ $y$ มีความสำคัญมาก!

The ordered pair $(2, 4)$ is not the same as $(4, 2)$. The order of $x$ and $y$ strictly matters!

Example 2.7 : หาพิกัดที่ขาดหายไป / Missing Coordinate

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอด 3 จุดคือ $(0,0), (3,0), (0,3)$ จุดยอดที่ 4 คือพิกัดใด?

$$ \begin{aligned} \text{พิกัดที่ขาดหาย} &= (x, y) \\ &= (3, 3) \end{aligned} $$

If a square has 3 vertices at $(0,0), (3,0), (0,3)$, what is the coordinate of the 4th vertex?

$$ \begin{aligned} \text{Missing Coordinate} &= (x, y) \\ &= (3, 3) \end{aligned} $$

⚠️ จุดบนแกน X และ แกน Y / Points on Axes

มีกรณีพิเศษที่ต้องระวัง คือจุดที่ตกลงบนเส้นทึบของแกนพอดี:
• จุดที่อยู่บน แกน X จะมีค่า $y = 0$ เสมอ (ไม่ได้เลื่อนขึ้นหรือลง)
• จุดที่อยู่บน แกน Y จะมีค่า $x = 0$ เสมอ (ไม่ได้เลื่อนซ้ายหรือขวา)

Special cases to watch out for are points lying exactly on the axes:
• Points on the X-axis always have $y = 0$ (no vertical movement).
• Points on the Y-axis always have $x = 0$ (no horizontal movement).

Example 3.1 : จุดบนแกน X (บวก)

จงลงจุด $(4, 0)$

เลื่อนไปทางขวา 4 หน่วย และไม่เลื่อนขึ้นหรือลง จุดทับอยู่บนแกน X

Plot point $(4, 0)$

Move right 4 units, zero vertical movement. Point lies on the X-axis.

Example 3.2 : จุดบนแกน X (ลบ)

จงลงจุด $(-3, 0)$

เลื่อนไปทางซ้าย 3 หน่วย ทับอยู่บนแกน X ฝั่งลบ

Plot point $(-3, 0)$

Move left 3 units. Point lies on the negative X-axis.

Example 3.3 : จุดบนแกน Y (บวก)

จงลงจุด $(0, 3)$

ไม่เลื่อนซ้ายขวา เลื่อนขึ้น 3 หน่วย ทับอยู่บนแกน Y

Plot point $(0, 3)$

Zero horizontal movement, move up 3 units. Point lies on the Y-axis.

Example 3.4 : จุดบนแกน Y (ลบ)

จงลงจุด $(0, -2)$

ไม่เลื่อนซ้ายขวา เลื่อนลง 2 หน่วย ทับอยู่บนแกน Y ฝั่งลบ

Plot point $(0, -2)$

Zero horizontal movement, move down 2 units. Point lies on negative Y-axis.

Example 3.5 : จุดกำเนิด / The Origin

จุดศูนย์กลางที่แกน X และ Y ตัดกัน เรียกว่า จุดกำเนิด (Origin) มีพิกัดคือ $(0,0)$

The center point where X and Y axes intersect is called the Origin. Its coordinates are $(0,0)$.

Example 3.6 : วิเคราะห์โดยไม่ต้องวาด / Analyze without Graphing

จุดต่อไปนี้อยู่บนแกนใด?

$$ \begin{aligned} A(0, 15) &\implies \text{มี } x=0 \text{ จุดนี้อยู่บน } \textbf{แกน Y} \\ B(-12, 0) &\implies \text{มี } y=0 \text{ จุดนี้อยู่บน } \textbf{แกน X} \end{aligned} $$

On which axis do the following points lie?

$$ \begin{aligned} A(0, 15) &\implies x=0, \text{ so it lies on the } \textbf{Y-axis} \\ B(-12, 0) &\implies y=0, \text{ so it lies on the } \textbf{X-axis} \end{aligned} $$

Example 3.7 : ระยะห่างบนแกน / Distance along Axes

ระยะห่างระหว่างจุด $(3, 0)$ และ $(-2, 0)$ คือกี่หน่วย?

เนื่องจากทั้งสองจุดอยู่บนแกน X เหมือนกัน ให้นำค่า $x$ มาคำนวณหาผลต่าง

$$ \begin{aligned} \text{ระยะห่าง} &= |3 - (-2)| \\ &= |3 + 2| \\ &= 5 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

What is the distance between points $(3, 0)$ and $(-2, 0)$?

Since both are on the X-axis, calculate the difference of their x-values.

$$ \begin{aligned} \text{Distance} &= |3 - (-2)| \\ &= |3 + 2| \\ &= 5 \text{ units} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Coordinate	co- (together) + ordinare (to arrange)	พิกัด · ชุดของตัวเลขที่ระบุตำแหน่งบนกราฟ
Axis (พหูพจน์ Axes)	axis (axle, pivot)	แกน · เส้นตรงอ้างอิงหลักในระบบกราฟ (แกน X, แกน Y)
Origin	origo (beginning, source)	จุดกำเนิด · จุดเริ่มต้นที่แกน X และแกน Y ตัดกัน $(0,0)$
Quadrant	quadrans (a fourth part)	จตุภาค · พื้นที่ 1 ใน 4 ส่วนของระนาบที่ถูกแบ่งโดยแกน X และ Y
Plot	plot (piece of ground / mark on map)	ลงจุด · การทำเครื่องหมายเพื่อระบุตำแหน่งบนกราฟ
Ordered Pair	ordo (order) + par (equal, pair)	คู่อันดับ · ตัวเลขสองตัวที่เขียนในวงเล็บ $(x,y)$ โดยลำดับมีความสำคัญ
Abscissa	ab- (off) + scindere (to cut)	ค่าพิกัดตามแกนนอน · ค่าของ $x$ ในคู่อันดับ
Ordinate	ordinare (to arrange, set in order)	ค่าพิกัดตามแกนตั้ง · ค่าของ $y$ ในคู่อันดับ