การประยุกต์ใช้อนุพันธ์

📈 เส้นสัมผัสเส้นโค้ง / Tangent Lines

การใช้ความชันเพื่อหาสมการของเส้นสัมผัส

ความชัน (slope) ของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $y = f(x)$ ที่จุด $x = a$ คือค่าของอนุพันธ์ที่จุดนั้น

The slope of the tangent line to the curve $y = f(x)$ at $x = a$ is the derivative evaluated at that point.

\[\begin{aligned} m &= f'(a) \end{aligned}\]
สมการเส้นสัมผัส (Tangent Line Eq.): \[\begin{aligned} y - y_1 &= m(x - x_1) \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 1: การหาสมการเส้นสัมผัส

จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ ที่จุด $ x = 3 $

Example 1: Tangent Equation

Find the equation of the tangent line to $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ at $ x = 3 $.

หาจุดสัมผัส $ (x_1, y_1) $: เมื่อ $ x = 3 $

\[\begin{aligned} f(3) &= (3)^2 - 4(3) + 3 \\ &= 9 - 12 + 3 \\ &= 0 \end{aligned}\]

จุดสัมผัสคือ $ (3, 0) $

Find the point of tangency $ (x_1, y_1) $: At $ x = 3 $

\[\begin{aligned} f(3) &= (3)^2 - 4(3) + 3 \\ &= 9 - 12 + 3 \\ &= 0 \end{aligned}\]

The point is $ (3, 0) $

หาความชัน $ m = y' $ และสร้างสมการ:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \\ m &= 2(3) - 4 \\ &= 2 \\ y - 0 &= 2(x - 3) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 2x - 6} \end{aligned}\]

Find slope $ m = y' $ and form equation:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \\ m &= 2(3) - 4 \\ &= 2 \\ y - 0 &= 2(x - 3) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 2x - 6} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 2: ฟังก์ชันกำลังสาม

จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $ f(x) = x^3 - 4x + 1 $ ที่จุด $ x = 2 $

Example 2: Cubic Function

Find the equation of the tangent line to $ f(x) = x^3 - 4x + 1 $ at $ x = 2 $.

หาจุดสัมผัส:

\[\begin{aligned} f(2) &= (2)^3 - 4(2) + 1 \\ &= 1 \end{aligned}\]

จุดคือ $ (2, 1) $
หาความชัน:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 4 \end{aligned}\]

Find point:

\[\begin{aligned} f(2) &= (2)^3 - 4(2) + 1 \\ &= 1 \end{aligned}\]

Point is $ (2, 1) $
Find slope:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 4 \end{aligned}\]

แทนค่า $ x = 2 $ เพื่อหา $ m $ และสร้างสมการ:

\[\begin{aligned} m &= 3(2)^2 - 4 \\ &= 8 \\ y - 1 &= 8(x - 2) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 8x - 15} \end{aligned}\]

Substitute $ x = 2 $ for $ m $ and form equation:

\[\begin{aligned} m &= 3(2)^2 - 4 \\ &= 8 \\ y - 1 &= 8(x - 2) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 8x - 15} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 3: พิกัดติดลบ

จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $ f(x) = 2x^2 + x - 5 $ ที่จุด $ x = -1 $

Example 3: Negative Coordinates

Find the equation of the tangent line to $ f(x) = 2x^2 + x - 5 $ at $ x = -1 $.

หาจุดสัมผัส:

\[\begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 + (-1) - 5 \\ &= -4 \end{aligned}\]

จุดคือ $ (-1, -4) $
หาความชัน:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 4x + 1 \end{aligned}\]

Find point:

\[\begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 + (-1) - 5 \\ &= -4 \end{aligned}\]

Point is $ (-1, -4) $
Find slope:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 4x + 1 \end{aligned}\]

แทนค่าหา $ m $ และสร้างสมการ:

\[\begin{aligned} m &= 4(-1) + 1 \\ &= -3 \\ y - (-4) &= -3(x - (-1)) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= -3x - 7} \end{aligned}\]

Substitute to find $ m $ and form equation:

\[\begin{aligned} m &= 4(-1) + 1 \\ &= -3 \\ y - (-4) &= -3(x - (-1)) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= -3x - 7} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 4: ฟังก์ชันเศษส่วน

จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $ f(x) = \frac{4}{x} $ ที่จุด $ x = 2 $

Example 4: Rational Function

Find the equation of the tangent line to $ f(x) = \frac{4}{x} $ at $ x = 2 $.

หาจุดสัมผัส:

\[\begin{aligned} f(2) &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \end{aligned}\]

จุดคือ $ (2, 2) $
หาความชัน:

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}(4x^{-1}) \\ &= -4x^{-2} \\ &= -\frac{4}{x^2} \end{aligned}\]

Find point:

\[\begin{aligned} f(2) &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \end{aligned}\]

Point is $ (2, 2) $
Find slope:

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}(4x^{-1}) \\ &= -4x^{-2} \\ &= -\frac{4}{x^2} \end{aligned}\]

แทนค่าหา $ m $ และสร้างสมการ:

\[\begin{aligned} m &= -\frac{4}{2^2} \\ &= -1 \\ y - 2 &= -1(x - 2) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= -x + 4} \end{aligned}\]

Substitute to find $ m $ and form equation:

\[\begin{aligned} m &= -\frac{4}{2^2} \\ &= -1 \\ y - 2 &= -1(x - 2) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= -x + 4} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 5: ฟังก์ชันติดราก

จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $ f(x) = \sqrt{x+1} $ ที่จุด $ x = 3 $

Example 5: Radical Function

Find the equation of the tangent line to $ f(x) = \sqrt{x+1} $ at $ x = 3 $.

หาจุดสัมผัส:

\[\begin{aligned} f(3) &= \sqrt{3+1} \\ &= 2 \end{aligned}\]

จุดคือ $ (3, 2) $
หาความชัน:

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \end{aligned}\]

Find point:

\[\begin{aligned} f(3) &= \sqrt{3+1} \\ &= 2 \end{aligned}\]

Point is $ (3, 2) $
Find slope:

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \end{aligned}\]

แทนค่าหา $ m $ และสร้างสมการ:

\[\begin{aligned} m &= \frac{1}{2\sqrt{3+1}} \\ &= \frac{1}{4} \\ y - 2 &= \frac{1}{4}(x - 3) \\ \mathbf{4y} &\mathbf{= x + 5} \end{aligned}\]

Substitute to find $ m $ and form equation:

\[\begin{aligned} m &= \frac{1}{2\sqrt{3+1}} \\ &= \frac{1}{4} \\ y - 2 &= \frac{1}{4}(x - 3) \\ \mathbf{4y} &\mathbf{= x + 5} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 6: ฟังก์ชันคอมโพสิท

จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $ f(x) = (3x-1)^2 $ ที่จุด $ x = 1 $

Example 6: Composite Function

Find the equation of the tangent line to $ f(x) = (3x-1)^2 $ at $ x = 1 $.

หาจุดสัมผัส:

\[\begin{aligned} f(1) &= (3(1)-1)^2 \\ &= 4 \end{aligned}\]

จุดคือ $ (1, 4) $
หาความชัน (ใช้กฎลูกโซ่):

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2(3x-1) \cdot 3 \\ &= 6(3x-1) \end{aligned}\]

Find point:

\[\begin{aligned} f(1) &= (3(1)-1)^2 \\ &= 4 \end{aligned}\]

Point is $ (1, 4) $
Find slope (Chain Rule):

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2(3x-1) \cdot 3 \\ &= 6(3x-1) \end{aligned}\]

แทนค่าหา $ m $ และสร้างสมการ:

\[\begin{aligned} m &= 6(3(1)-1) \\ &= 12 \\ y - 4 &= 12(x - 1) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 12x - 8} \end{aligned}\]

Substitute to find $ m $ and form equation:

\[\begin{aligned} m &= 6(3(1)-1) \\ &= 12 \\ y - 4 &= 12(x - 1) \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 12x - 8} \end{aligned}\]

📈 ฟังก์ชันเพิ่มและลด / Increasing & Decreasing Functions

การใช้อนุพันธ์เพื่อตรวจสอบพฤติกรรมกราฟ

ฟังก์ชันเพิ่ม (Increasing)

ความชันกราฟเป็นบวก กราฟชี้ขึ้น

\[\begin{aligned} f'(x) &> 0 \end{aligned}\]

Increasing Function

Positive slope, graph goes up.

\[\begin{aligned} f'(x) &> 0 \end{aligned}\]

ฟังก์ชันลด (Decreasing)

ความชันกราฟเป็นลบ กราฟชี้ลง

\[\begin{aligned} f'(x) &< 0 \end{aligned}\]

Decreasing Function

Negative slope, graph goes down.

\[\begin{aligned} f'(x) &< 0 \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 1: ฟังก์ชันพหุนามดีกรีสอง (Quadratic)

จงหาช่วงที่ฟังก์ชัน $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ เป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด

Example 1: Quadratic Function

Find the intervals where $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ is strictly increasing or decreasing.

หาอนุพันธ์:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \end{aligned}\]

หาจุดวิกฤต (Critical Points) โดยให้ $ f'(x) = 0 $:

\[\begin{aligned} 2x - 4 &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

Find derivative:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \end{aligned}\]

Find critical points by setting $ f'(x) = 0 $:

\[\begin{aligned} 2x - 4 &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

ตรวจสอบช่วง:

ช่วง $ (-\infty, 2) $: $ f'(0) = -4 < 0 $ (ฟังก์ชันลด)
ช่วง $ (2, \infty) $: $ f'(3) = 2 > 0 $ (ฟังก์ชันเพิ่ม)

Test intervals:

Interval $ (-\infty, 2) $: $ f'(0) = -4 < 0 $ (Decreasing)
Interval $ (2, \infty) $: $ f'(3) = 2 > 0 $ (Increasing)

ตัวอย่างที่ 2: ฟังก์ชันพหุนามดีกรีสาม (Cubic)

จงหาช่วงที่ $ f(x) = x^3 - 3x^2 $ เป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด

Example 2: Cubic Function

Find the intervals of increase and decrease for $ f(x) = x^3 - 3x^2 $.

หาอนุพันธ์และจุดวิกฤต:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ 3x(x - 2) &= 0 \\ x &= 0, 2 \end{aligned}\]

Find derivative and critical points:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ 3x(x - 2) &= 0 \\ x &= 0, 2 \end{aligned}\]

ตรวจสอบเครื่องหมายของ $ f'(x) $:

ช่วง $ (-\infty, 0) $: $ f'(-1) = 9 > 0 $ (ฟังก์ชันเพิ่ม)
ช่วง $ (0, 2) $: $ f'(1) = -3 < 0 $ (ฟังก์ชันลด)
ช่วง $ (2, \infty) $: $ f'(3) = 9 > 0 $ (ฟังก์ชันเพิ่ม)

Test signs of $ f'(x) $:

Interval $ (-\infty, 0) $: $ f'(-1) = 9 > 0 $ (Increasing)
Interval $ (0, 2) $: $ f'(1) = -3 < 0 $ (Decreasing)
Interval $ (2, \infty) $: $ f'(3) = 9 > 0 $ (Increasing)

ตัวอย่างที่ 3: ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นตลอด (Always Increasing)

จงแสดงว่า $ f(x) = x^3 + 3x $ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนเซตของจำนวนจริง

Example 3: Always Increasing

Show that $ f(x) = x^3 + 3x $ is an increasing function on the real line.

หาอนุพันธ์:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 + 3 \end{aligned}\]

เนื่องจาก $ x^2 \geq 0 $ เสมอ ดังนั้น $ 3x^2 + 3 > 0 $ สำหรับทุกจำนวนจริง $ x $
ดังนั้น $ f(x) $ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $ (-\infty, \infty) $

Find derivative:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 + 3 \end{aligned}\]

Since $ x^2 \geq 0 $ always, $ 3x^2 + 3 > 0 $ for all real numbers $ x $.
Therefore, $ f(x) $ is strictly increasing on $ (-\infty, \infty) $.

ตัวอย่างที่ 4: ฟังก์ชันเศษส่วน (Rational Function)

จงหาช่วงฟังก์ชันเพิ่ม/ลด ของ $ f(x) = x + \frac{4}{x} $

Example 4: Rational Function

Find the intervals of increase and decrease for $ f(x) = x + \frac{4}{x} $.

หาอนุพันธ์และจุดวิกฤต:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 1 - \frac{4}{x^2} \\ &= \frac{x^2 - 4}{x^2} \end{aligned}\]

ให้ $ f'(x) = 0 $ จะได้ $ x^2 - 4 = 0 \implies x = -2, 2 $
(จำกัดโดเมน: ฟังก์ชันไม่มีนิยามที่ $ x = 0 $)

Find derivative and critical points:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 1 - \frac{4}{x^2} \\ &= \frac{x^2 - 4}{x^2} \end{aligned}\]

Setting $ f'(x) = 0 $ gives $ x^2 - 4 = 0 \implies x = -2, 2 $
(Domain note: undefined at $ x = 0 $)

แบ่งช่วงด้วยจุด $ -2, 0, 2 $ และตรวจสอบ:

ช่วง $ (-\infty, -2) $: $ f'(-3) > 0 $ (ฟังก์ชันเพิ่ม)
ช่วง $ (-2, 0) $ และ $ (0, 2) $: $ f'(\pm 1) < 0 $ (ฟังก์ชันลด)
ช่วง $ (2, \infty) $: $ f'(3) > 0 $ (ฟังก์ชันเพิ่ม)

Test intervals defined by $ -2, 0, 2 $:

Interval $ (-\infty, -2) $: $ f'(-3) > 0 $ (Increasing)
Intervals $ (-2, 0) $ and $ (0, 2) $: $ f'(\pm 1) < 0 $ (Decreasing)
Interval $ (2, \infty) $: $ f'(3) > 0 $ (Increasing)

ตัวอย่างที่ 5: กฎผลหาร (Quotient Rule)

จงหาช่วงฟังก์ชันเพิ่ม/ลด ของ $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $

Example 5: Quotient Rule

Find the intervals of increase and decrease for $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $.

หาอนุพันธ์โดยใช้กฎผลหาร (Quotient Rule):

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} \end{aligned}\]

จุดวิกฤตเกิดเมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์: $ 1 - x^2 = 0 \implies x = -1, 1 $

Find derivative using Quotient Rule:

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} \end{aligned}\]

Critical points occur when numerator is zero: $ 1 - x^2 = 0 \implies x = -1, 1 $

ตรวจสอบตัวเศษ $ 1 - x^2 $ (ส่วนเป็นบวกเสมอ $ (x^2+1)^2 > 0 $):

ช่วง $ (-\infty, -1) $ และ $ (1, \infty) $: $ f'(x) < 0 $ (ฟังก์ชันลด)
ช่วง $ (-1, 1) $: $ f'(x) > 0 $ (ฟังก์ชันเพิ่ม)

Test the numerator $ 1 - x^2 $ (denominator $ (x^2+1)^2 > 0 $ always):

Intervals $ (-\infty, -1) $ and $ (1, \infty) $: $ f'(x) < 0 $ (Decreasing)
Interval $ (-1, 1) $: $ f'(x) > 0 $ (Increasing)

🗻 ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด / Maxima and Minima

การหาจุดวิกฤต (Critical Points) และตรวจสอบค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์

จุดวิกฤต (Critical Point) คือจุดที่ความชันเป็นศูนย์ (หรือหาค่าไม่ได้)

Critical Points occur where the derivative is zero (or undefined).

\[\begin{aligned} f'(c) &= 0 \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 1: ค่าต่ำสุดพหุนามดีกรีสอง (Quadratic)

จงหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $ f(x) = x^2 - 6x + 5 $

Example 1: Quadratic Relative Minimum

Find the relative extrema of $ f(x) = x^2 - 6x + 5 $.

หาอนุพันธ์ จับเท่ากับศูนย์เพื่อหาจุดวิกฤต:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x - 6 \\ 2x - 6 &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned}\]

Differentiate and set to zero to find critical points:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x - 6 \\ 2x - 6 &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned}\]

ตรวจสอบและหาค่าฟังก์ชัน:

จุดทดสอบรอบ $ x=3 $: $ f'(2)=-2 < 0 $, $ f'(4)=2> 0 $ (พบค่าต่ำสุด)

\[\begin{aligned} f(3) &= 3^2 - 6(3) + 5 \\ &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4 \end{aligned}\]

ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ $ -4 $ ที่ $ x = 3 $

Test and find function value:

Test points around $ x=3 $: $ f'(2)=-2 < 0 $, $ f'(4)=2> 0 $ (Minimum found)

\[\begin{aligned} f(3) &= 3^2 - 6(3) + 5 \\ &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4 \end{aligned}\]

The relative minimum is $ -4 $ at $ x = 3 $.

ตัวอย่างที่ 2: ฟังก์ชันพหุนามดีกรีสาม (Cubic)

จงหาค่าจุดสูงสุดและต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $

Example 2: Cubic Function

Find the relative maxima and minima of $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $.

หาอนุพันธ์และจุดวิกฤต:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ 3x(x - 2) &= 0 \\ x &= 0, 2 \end{aligned}\]

Differentiate and find critical points:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ 3x(x - 2) &= 0 \\ x &= 0, 2 \end{aligned}\]

ที่ $ x = 0 $: ความชันเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ (ค่าสูงสุดสัมพัทธ์)

\[\begin{aligned} f(0) &= 0^3 - 3(0)^2 + 2 \\ &= 2 \end{aligned}\]

ที่ $ x = 2 $: ความชันเปลี่ยนจากลบเป็นบวก (ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์)

\[\begin{aligned} f(2) &= 2^3 - 3(2)^2 + 2 \\ &= -2 \end{aligned}\]

At $ x = 0 $: Slope changes from + to - (Relative Max)

\[\begin{aligned} f(0) &= 0^3 - 3(0)^2 + 2 \\ &= 2 \end{aligned}\]

At $ x = 2 $: Slope changes from - to + (Relative Min)

\[\begin{aligned} f(2) &= 2^3 - 3(2)^2 + 2 \\ &= -2 \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 3: กรณีไม่มีค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์

จงหาจุดวิกฤตและค่าสุดวิสัยของ $ f(x) = x^3 $

Example 3: No Relative Extrema

Find the critical points and extrema of $ f(x) = x^3 $.

หาอนุพันธ์:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 \\ 3x^2 &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned}\]

ตรวจสอบค่าซ้ายและขวาของ $ x = 0 $:
$ f'(-1) = 3 > 0 $ และ $ f'(1) = 3 > 0 $
เนื่องจากความชันไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย จึงไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ที่จุดนี้

Find derivative:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 \\ 3x^2 &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned}\]

Check sides around $ x = 0 $:
$ f'(-1) = 3 > 0 $ and $ f'(1) = 3 > 0 $
Since the slope sign doesn't change, there are no relative extrema here.

ตัวอย่างที่ 4: พหุนามดีกรีสูง (Higher Degree Polynomial)

จงหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $ f(x) = x^4 - 4x^3 $

Example 4: Higher Degree Polynomial

Find the relative extrema of $ f(x) = x^4 - 4x^3 $.

หาอนุพันธ์และจุดวิกฤต:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 - 12x^2 \\ 4x^2(x - 3) &= 0 \\ x &= 0, 3 \end{aligned}\]

Differentiate and find critical points:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 - 12x^2 \\ 4x^2(x - 3) &= 0 \\ x &= 0, 3 \end{aligned}\]

ตรวจสอบเครื่องหมาย:

ที่ $ x = 0 $: ความชันเป็น - แล้วไป - (ไม่มีค่าสุดวิสัย)
ที่ $ x = 3 $: ความชันเปลี่ยนจาก - ไป + (มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์)

\[\begin{aligned} f(3) &= (3)^4 - 4(3)^3 \\ &= 81 - 108 \\ &= -27 \end{aligned}\]

ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ $ -27 $

Check signs:

At $ x = 0 $: Slope goes from - to - (No extremum)
At $ x = 3 $: Slope changes from - to + (Relative minimum)

\[\begin{aligned} f(3) &= (3)^4 - 4(3)^3 \\ &= 81 - 108 \\ &= -27 \end{aligned}\]

Relative minimum is $ -27 $.

ตัวอย่างที่ 5: ฟังก์ชันเศษส่วน (Rational Function)

จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $ f(x) = x + \frac{1}{x} $

Example 5: Rational Function

Find the relative extrema of $ f(x) = x + \frac{1}{x} $.

หาอนุพันธ์และจุดวิกฤต:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 1 - \frac{1}{x^2} \\ 1 - \frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x &= -1, 1 \end{aligned}\]

Differentiate and find critical points:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 1 - \frac{1}{x^2} \\ 1 - \frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x &= -1, 1 \end{aligned}\]

ที่ $ x = -1 $: ค่าเปลี่ยนจากเพิ่มเป็นลด (ค่าสูงสุด)

\[\begin{aligned} f(-1) &= -1 + \frac{1}{-1} \\ &= -2 \end{aligned}\]

ที่ $ x = 1 $: ค่าเปลี่ยนจากลดเป็นเพิ่ม (ค่าต่ำสุด)

\[\begin{aligned} f(1) &= 1 + \frac{1}{1} \\ &= 2 \end{aligned}\]

(ข้อสังเกต: ในข้อนี้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์กลับมีค่ามากกว่าค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ซึ่งเป็นลักษณะที่พบได้ในกรณีกราฟแยกส่วน)

Check slope sign changes:

At $ x = -1 $: Changes from increasing to decreasing (Maximum)
\[\begin{aligned} f(-1) &= -2 \end{aligned}\]
At $ x = 1 $: Changes from decreasing to increasing (Minimum)
\[\begin{aligned} f(1) &= 2 \end{aligned}\]

(Note: Here, the relative minimum value is paradoxically greater than the relative maximum, a valid trait in disconnected domains.)

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมข้อตกลงและศัพท์เฉพาะทางในการประยุกต์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Tangent	tangere (to touch)	เส้นสัมผัส · เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่งพอดี โดยมีความชันเท่ากับอนุพันธ์ที่จุดนั้น
Slope / Gradient	gradi (to step, walk)	ความชัน · อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ซึ่งหาได้จากอนุพันธ์ $f'(x)$
Increasing	increscere (to grow)	ฟังก์ชันเพิ่ม · ฟังก์ชันที่มีค่าความชันเป็นบวก $(f'(x) > 0)$ ในช่วงที่พิจารณา
Decreasing	decrescere (to grow less)	ฟังก์ชันลด · ฟังก์ชันที่มีค่าความชันเป็นลบ $(f'(x) < 0)$ ในช่วงที่พิจารณา
Critical Point	krínein (to decide)	จุดวิกฤต · จุดบนกราฟที่อนุพันธ์มีค่าเป็นศูนย์ $(f'(c) = 0)$ หรือหาค่าไม่ได้
Stationary Point	stationarius (standing)	จุดคงตัว · จุดจุดวิกฤตที่ได้จาก $f'(c) = 0$ ซึ่งกราฟจะขนานกับแกน $x$ ชั่วขณะ
Relative Extrema	extremus (outermost)	ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ · ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ในบริเวณใกล้เคียงของช่วงนั้นๆ
Interval	intervallum (space)	ช่วง · เซตของจำนวนจริงที่อยู่ระหว่างค่าสองค่า ซึ่งใช้ระบุขอบเขตของพฤติกรรมกราฟ