กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

เส้นสัมผัสเส้นโค้ง
Tangent to a Curve

ความหมาย ความชัน และการสร้างสมการเส้นสัมผัส

1

📈 ความหมายและกราฟ / Meaning and Graph

เส้นสัมผัสเส้นโค้ง (Tangent Line) คือเส้นตรงที่ "แตะ" กราฟของฟังก์ชันจำนวนจริงแบบแนบชิด ณ จุดสัมผัสเพียงจุดเดียว โดยไม่มีการตัดข้ามกราฟในบริเวณจุดสั้นๆ รอบจุดสัมผัส

แนวคิดนี้เป็นหัวใจของอนุพันธ์ เพราะเส้นสัมผัสคือสิ่งที่บอกเราถึงทิศทางอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง

A Tangent Line is a straight line that locally "touches" a curve at exactly one point, known as the point of tangency, without immediately crossing it.

This concept is the heart of derivatives, as the tangent line indicates the instantaneous rate of change and direction of the function at that point.

กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งและเส้นสัมผัส
x y y = f(x) (a, f(a)) a f(a) Tangent Line
2

📐 ความชันของเส้นโค้งและเส้นสัมผัส / Slope Concepts

ความชัน (Slope)

ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \( y = f(x) \) ณ จุดใดๆ \((x, y)\) จะมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้น (\(m = f'(x)\))

\[ m = \frac{dy}{dx} = f'(x) \]
Slope Concept

The slope of the tangent line to the curve \( y = f(x) \) at any point \((x, y)\) is equal to the derivative of the function at that specific point.

\[ m = \frac{dy}{dx} = f'(x) \]
สมการเส้นสัมผัส (Equation)

เมื่อทราบความชัน \( m \) และพิกัดจุดสัมผัส \( (x_1, y_1) \) เราสามารถสร้าง สมการเส้นสัมผัส ได้จากสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
Equation Concept

Once you acquire the slope \( m \) and the tangent point coordinates \( (x_1, y_1) \), you can build the tangent line equation using analytic geometry:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
3

📝 ตะลุยโจทย์ 10 รูปแบบ / 10 Practice Examples

ข้อ 1: หาความชันที่ให้ค่า x

จงหาความชันของเส้นสมผัสกราฟ \( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) ที่จุด \( x = 3 \)

Problem 1: Slope at a given x

Find the slope of the tangent line to the curve \( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) at \( x = 3 \).

หาอนุพันธ์เพื่อสร้างสมการความชัน:
\[\begin{aligned} m = f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 7) \\ &= 2x - 4 \end{aligned}\]
Differentiate to find the slope equation:
\[\begin{aligned} m = f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 7) \\ &= 2x - 4 \end{aligned}\]
แทนค่า \( x = 3 \):
\[\begin{aligned} m = f'(3) &= 2(3) - 4 \\ &= 6 - 4 \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
Substitute \( x = 3 \):
\[\begin{aligned} m = f'(3) &= 2(3) - 4 \\ &= 6 - 4 \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
ข้อ 2: หาความชันที่ให้มาเป็นพิกัดจุด

จงหาความชันของกราฟ \( y = x^3 - 3x^2 + 5x \) ที่จุด \( (1, 3) \)

Problem 2: Slope given a coordinate

Find the slope of \( y = x^3 - 3x^2 + 5x \) at the point \( (1, 3) \).

หา \( \frac{dy}{dx} \):
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= 3x^2 - 6x + 5 \end{aligned}\]
Compute \( \frac{dy}{dx} \):
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= 3x^2 - 6x + 5 \end{aligned}\]
ที่จุด \( (1,3) \) เราแทนเฉพาะ \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} m = f'(1) &= 3(1)^2 - 6(1) + 5 \\ &= 3 - 6 + 5 \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
At point \( (1,3) \), substitute \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} m = f'(1) &= 3(1)^2 - 6(1) + 5 \\ &= 3 - 6 + 5 \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
ข้อ 3: หาสมการเส้นสัมผัสเมื่อกำหนดค่า x

จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \( y = 2x^2 - 3x + 1 \) ณ จุดที่ \( x = 2 \)

Problem 3: Equation given x

Find the equation of the tangent line to \( y = 2x^2 - 3x + 1 \) at \( x = 2 \).

หาค่า \( y \) และความชัน \( m \):
\[\begin{aligned} y = f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \quad \rightarrow (2, 3) \\ m = y' &= 4x - 3 \\ &= 4(2) - 3 \\ &= 5 \end{aligned}\]
Find the \(y\)-value and the slope \( m \):
\[\begin{aligned} y = f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \quad \rightarrow (2, 3) \\ m = y' &= 4x - 3 \\ &= 4(2) - 3 \\ &= 5 \end{aligned}\]
แทนในสมการเส้นตรง \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
\[\begin{aligned} y - 3 &= 5(x - 2) \\ y - 3 &= 5x - 10 \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 5x - 7} \end{aligned}\]
Substitute into \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
\[\begin{aligned} y - 3 &= 5(x - 2) \\ y - 3 &= 5x - 10 \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 5x - 7} \end{aligned}\]
ข้อ 4: หาสมการเส้นสัมผัสเมื่อกำหนดจุดพิกัดมาให้

จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \( y = x^3 - 4x \) ที่จุด \( (1, -3) \)

Problem 4: Equation given a coordinate

Find the equation of the tangent line to \( y = x^3 - 4x \) at the point \( (1, -3) \).

หาความชัน \( m \) โดยแทน \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} m = f'(1) &= 3(1)^2 - 4 \\ &= -1 \end{aligned}\]
Find slope \( m \) by substituting \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} m = f'(1) &= 3(1)^2 - 4 \\ &= -1 \end{aligned}\]
นำจุด \( (1, -3) \) และความชันไปสร้างสมการ:
\[\begin{aligned} y - (-3) &= -1(x - 1) \\ y + 3 &= -x + 1 \\ \mathbf{x + y + 2} &\mathbf{= 0} \end{aligned}\]
Use the point \( (1, -3) \) and slope to form the equation:
\[\begin{aligned} y - (-3) &= -1(x - 1) \\ y + 3 &= -x + 1 \\ \mathbf{x + y + 2} &\mathbf{= 0} \end{aligned}\]
ข้อ 5: เส้นสัมผัสขนานกับแกน X (เส้นสัมผัสแนวนอน)

จงหาจุดบนเส้นโค้ง \( y = x^3 - 3x^2 \) ที่เส้นสัมผัสขนานกับแกน \(X\)

Problem 5: Horizontal Tangent

Find the points on \( y = x^3 - 3x^2 \) where the tangent line is parallel to the X-axis.

ขนานแกน X แปลว่า ความชันเป็น 0:
\[\begin{aligned} y' = f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) \\ &= 3x^2 - 6x \\ \text{ให้ } y' = 0: \quad 0 &= 3x^2 - 6x \\ 0 &= 3x(x - 2) \\ x &= 0, 2 \end{aligned}\]
Parallel to the X-axis means slope is 0:
\[\begin{aligned} y' = f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) \\ &= 3x^2 - 6x \\ \text{Set } y' = 0: \quad 0 &= 3x^2 - 6x \\ 0 &= 3x(x - 2) \\ x &= 0, 2 \end{aligned}\]
แทนค่าหาพิกัด \( y \):
\[\begin{aligned} y = f(0) &= 0^3-3(0)^2 \\ &= 0 \\ y = f(2) &= 2^3-3(2)^2 \\ &= -4 \end{aligned}\]
ตอบ: จุด (0, 0) และ (2, -4)
Substitute back to find \( y \) coordinates:
\[\begin{aligned} y = f(0) &= 0^3-3(0)^2 \\ &= 0 \\ y = f(2) &= 2^3-3(2)^2 \\ &= -4 \end{aligned}\]
Answer: Points (0, 0) and (2, -4).
ข้อ 6: หาจุดที่ทำให้ได้ความชันตามที่กำหนด

จงหาพิกัดจุดบนเส้นโค้ง \( y = x^2 + 4x - 1 \) ที่ทำให้ความชันเส้นสัมผัสมีค่าเท่ากับ \(6\)

Problem 6: Find point for a given slope

Find the point on the curve \( y = x^2 + 4x - 1 \) where the tangent line slope is \(6\).

จับอนุพันธ์เท่ากับ \( 6 \) เพื่อหาค่า \(x\):
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^2 + 4x - 1) \\ &= 2x + 4 \\ \text{แทน } f'(x) = 6: \quad 6 &= 2x + 4 \\ 2x &= 6 - 4 \\ 2x &= 2 \\ x &= 1 \end{aligned}\]
Set derivative equal to \( 6 \) to find \(x\):
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^2 + 4x - 1) \\ &= 2x + 4 \\ \text{Substitute } f'(x) = 6: \quad 6 &= 2x + 4 \\ 2x &= 6 - 4 \\ 2x &= 2 \\ x &= 1 \end{aligned}\]
แทน \( x = 1 \) เพื่อหา \( y \):
\[\begin{aligned} y = f(1) &= (1)^2 + 4(1) - 1 \\ &= 1 + 4 - 1 \\ &= 4 \end{aligned}\]
จุดนั้นคือ (1, 4)
Substitute \( x = 1 \) to find \( y \):
\[\begin{aligned} y = f(1) &= (1)^2 + 4(1) - 1 \\ &= 1 + 4 - 1 \\ &= 4 \end{aligned}\]
The point is (1, 4).
ข้อ 7: เส้นสัมผัสที่ขนานกับสมการเส้นตรงอื่น

จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \( y = x^2 - 2x + 5 \) ที่ขนานกับเส้นตรง \( y = 4x + 1 \)

Problem 7: Tangent parallel to another line

Find the equation of the tangent line to \( y = x^2 - 2x + 5 \) that is parallel to \( y = 4x + 1 \).

เส้นที่ขนานกันต้องมีความชันเท่ากัน \( m = 4 \):
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 5) \\ &= 2x - 2 \\ \text{ขนานกัน } \rightarrow f'(x) &= 4 \\ 2x - 2 &= 4 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \end{aligned}\]
หา \(y\): \( y = f(3) = (3)^2 - 2(3) + 5 = 8 \) ดังนั้นจุดคือ \((3, 8)\)
Parallel lines must have equal slopes, \( m = 4 \):
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 5) \\ &= 2x - 2 \\ \text{Parallel } \rightarrow f'(x) &= 4 \\ 2x - 2 &= 4 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \end{aligned}\]
Find \(y\): \( y = f(3) = (3)^2 - 2(3) + 5 = 8 \), so point is \((3, 8)\).
สร้างสมการ:
\[\begin{aligned} y - 8 &= 4(x - 3) \\ y - 8 &= 4x - 12 \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 4x - 4} \end{aligned}\]
Form the equation:
\[\begin{aligned} y - 8 &= 4(x - 3) \\ y - 8 &= 4x - 12 \\ \mathbf{y} &\mathbf{= 4x - 4} \end{aligned}\]
ข้อ 8: เส้นสัมผัสที่ตั้งฉากกับสมการเส้นตรงอื่น

จงหาสมการเส้นสัมผัสโค้ง \( y = x^2 + 1 \) ที่ตั้งฉากกับเส้นตรง \( x + 2y - 6 = 0 \)

Problem 8: Tangent perpendicular to another line

Find the equation of tangent line to \( y = x^2 + 1 \) that is perpendicular to \( x + 2y - 6 = 0 \).

หาความชันตั้งฉาก (\( m_1 m_2 = -1 \)):
\[\begin{aligned} x + 2y - 6 &= 0 \\ 2y &= -x + 6 \\ y &= -\frac{1}{2}x + 3 \\ m_{ref} &= -\frac{1}{2} \\ \text{ดังนั้น } m_{tangent} &= 2 \quad (\because m_1 m_2 = -1) \\ f'(x) &= 2x \quad \rightarrow 2x = 2 \\ x &= 1 \\ y = f(1) &= (1)^2 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}\]
Find perpendicular slope (\( m_1 m_2 = -1 \)):
\[\begin{aligned} x + 2y - 6 &= 0 \\ 2y &= -x + 6 \\ y &= -\frac{1}{2}x + 3 \\ m_{ref} &= -\frac{1}{2} \\ \text{So } m_{tangent} &= 2 \quad (\because m_1 \cdot m_2 = -1) \\ f'(x) &= 2x \quad \rightarrow 2x = 2 \\ x &= 1 \\ y = f(1) &= (1)^2 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}\]
สร้างสมการจากจุด \((1, 2)\) และ \(m = 2\):
\[\begin{aligned} y - 2 &= 2(x - 1) \\ y - 2 &= 2x - 2 \\ y &= 2x - 2 + 2 \\ y &= 2x \end{aligned}\]
Form equation from point \((1, 2)\) and \(m = 2\):
\[\begin{aligned} y - 2 &= 2(x - 1) \\ y - 2 &= 2x - 2 \\ y &= 2x - 2 + 2 \\ y &= 2x \end{aligned}\]
ข้อ 9: สมการเส้นสัมผัสฟังก์ชันติดราก

จงหาสมการเส้นสัมผัสของฟังก์ชัน \( f(x) = \sqrt{x+5} \) ณ จุดที่ \( x = 4 \)

Problem 9: Tangent to a radical function

Find the equation of the tangent to \( f(x) = \sqrt{x+5} \) at \( x = 4 \).

หา \( y \) และ \( m \):
\[\begin{aligned} y &= f(4) \\ &= \sqrt{4+5} = 3 \quad \rightarrow (4, 3) \\ f'(x) &= \frac{d}{dx}(x+5)^{1/2} \\ &= \frac{1}{2}(x+5)^{-1/2} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x+5}} \\ m = f'(4) &= \frac{1}{2\sqrt{4+5}} \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned}\]
Find \( y \) and \( m \):
\[\begin{aligned} y &= f(4) \\ &= \sqrt{4+5} = 3 \quad \rightarrow (4, 3) \\ f'(x) &= \frac{d}{dx}(x+5)^{1/2} \\ &= \frac{1}{2}(x+5)^{-1/2} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x+5}} \\ m = f'(4) &= \frac{1}{2\sqrt{4+5}} \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned}\]
สร้างสมการ:
\[\begin{aligned} y - 3 &= \frac{1}{6}(x - 4) \\ 6y - 18 &= x - 4 \\ \mathbf{x - 6y + 14} &\mathbf{= 0} \end{aligned}\]
Form the equation:
\[\begin{aligned} y - 3 &= \frac{1}{6}(x - 4) \\ 6y - 18 &= x - 4 \\ \mathbf{x - 6y + 14} &\mathbf{= 0} \end{aligned}\]
ข้อ 10: สมการเส้นสัมผัสฟังก์ชันตรรกยะ (เศษส่วน)

จงหาสมการเส้นสัมผัสของฟังก์ชัน \( y = \frac{x+2}{x-1} \) ณ จุดที่ \( x = 2 \)

Problem 10: Tangent to a rational function

Find the equation of the tangent to \( y = \frac{x+2}{x-1} \) at \( x = 2 \).

หาจุดสัมผัสและความชัน:
\[\begin{aligned} y &= f(2) = \frac{2+2}{2-1} \\ &= 4 \quad \rightarrow (2, 4) \\ f'(x) &= \frac{(x-1)(1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-3}{(x-1)^2} \\ m = f'(2) &= \frac{-3}{(2-1)^2} \\ &= -3 \end{aligned}\]
Find the tangent point and slope:
\[\begin{aligned} y &= f(2) = \frac{2+2}{2-1} \\ &= 4 \quad \rightarrow (2, 4) \\ f'(x) &= \frac{(x-1)(1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-3}{(x-1)^2} \\ m = f'(2) &= \frac{-3}{(2-1)^2} \\ &= -3 \end{aligned}\]
สร้างสมการ:
\[\begin{aligned} y - 4 &= -3(x - 2) \\ y - 4 &= -3x + 6 \\ \mathbf{3x + y - 10} &\mathbf{= 0} \end{aligned}\]
Form the equation:
\[\begin{aligned} y - 4 &= -3(x - 2) \\ y - 4 &= -3x + 6 \\ \mathbf{3x + y - 10} &\mathbf{= 0} \end{aligned}\]

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางเรื่องเส้นสัมผัสและความลาดชัน

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Tangent Line tangere (to touch) เส้นสัมผัส · เส้นตรงที่แตะกราฟ ณ จุดหนึ่งโดยแนบชิดตามความชันของฟังก์ชัน
Point of Tangency punctum (point) จุดสัมผัส · พิกัด \((x,y)\) บนเส้นโค้งที่เส้นตรงมาสัมผัสพอดี
Slope slupan (to slip) ความชัน · อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ \(x\) หรือ \(m = f'(a)\)
Parallel para (beside) + allelos (each other) ขนาน · เส้นตรงสองเส้นที่มีความชันเท่ากัน (\(m_1 = m_2\))
Perpendicular perpendiculum (plumb line) ตั้งฉาก · เส้นตรงที่ตัดกันเป็นมุม 90° โดยผลคูณความชันเท่ากับ \(-1\)
Analytic Geometry analyein (unloose) + geometria เรขาคณิตวิเคราะห์ · การใช้สมการพีชคณิตในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต