1
📈 กฎการหาอนุพันธ์ขั้นพื้นฐาน / Basic Differentiation Rules
สูตรหลักที่ต้องจดจำสำหรับการเริ่มต้นการดิฟ
1. ดิฟค่าคงตัว (Constant Rule)
อนุพันธ์ของค่าคงตัวมีค่าเท่ากับ 0 เสมอ
\[ \frac{d}{dx}(c) = 0 \]
1. Constant Rule
The derivative of a constant is always 0.
\[ \frac{d}{dx}(c) = 0 \]
2. กฎพหุนาม (Power Rule)
ตบเลขชี้กำลังลงมาคูณ แล้วเลขชี้กำลังลดลง 1
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]
2. Power Rule
Bring the exponent down and subtract one from it.
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]
3. การดึงค่าคงตัว (Constant Multiple)
ค่าคงตัวที่คูณอยู่สามารถดึงออกมาหน้าดิฟได้
\[ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x) \]
3. Constant Multiple Rule
Constants can be factored out of the derivative.
\[ [cf(x)]' = c f'(x) \]
4. กฎการบวกและลบ (Sum/Diff)
สามารถกระจายดิฟเข้าไปในผลบวกและผลลบได้
\[ (f \pm g)' = f' \pm g' \]
4. Sum and Difference Rules
The derivative of a sum is the sum of the derivatives.
\[ \frac{d}{dx}[f \pm g] = f' \pm g' \]
ตัวอย่างพื้นฐาน: พหุนาม
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 9 \)
Basic Example: Polynomial
Find the derivative of \( f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 9 \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}(5x^3 - 4x^2 + 7x - 9) \\
&= \frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(7x) - \frac{d}{dx}(9) \\
&= 15x^2 - 8x + 7
\end{aligned}\]
Find derivative:
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}(5x^3 - 4x^2 + 7x - 9) \\
&= \frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(7x) - \frac{d}{dx}(9) \\
&= 15x^2 - 8x + 7
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 2: กฎการคูณด้วยค่าคงตัว
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = 8x^5 \)
Example 2: Constant Multiple Rule
Find the derivative of \( f(x) = 8x^5 \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}(8x^5) \\
&= 8 \cdot \frac{d}{dx}(x^5) \\
&= 8 \cdot (5x^4) \\
&= \mathbf{40x^4}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}(8x^5) \\
&= 8 \cdot \frac{d}{dx}(x^5) \\
&= 8 \cdot (5x^4) \\
&= \mathbf{40x^4}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 3: กฎการบวกและลบ
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = 2x^3 - 6x + 7 \)
Example 3: Sum and Difference Rule
Find the derivative of \( f(x) = 2x^3 - 6x + 7 \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 7) \\
&= \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(7) \\
&= 2(3x^2) - 6(1) + 0 \\
&= \mathbf{6x^2 - 6}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 7) \\
&= \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(7) \\
&= 2(3x^2) - 6(1) + 0 \\
&= \mathbf{6x^2 - 6}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4: เลขชี้กำลังติดลบและเศษส่วน
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt[3]{x} \)
Example 4: Negative & Fractional Exponents
Find the derivative of \( f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt[3]{x} \).
จัดรูปให้อยู่ในรูปเลขชี้กำลัง \(x^n\):
\[ f(x) = x^{-1} + x^{1/3} \]
Rewrite in power form \(x^n\):
\[ f(x) = x^{-1} + x^{1/3} \]
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}\left(x^{-1} + x^{1/3}\right) \\
&= \frac{d}{dx}(x^{-1}) + \frac{d}{dx}(x^{1/3}) \\
&= (-1)x^{-2} + \frac{1}{3}x^{-2/3} \\
&= \mathbf{-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}\left(x^{-1} + x^{1/3}\right) \\
&= \frac{d}{dx}(x^{-1}) + \frac{d}{dx}(x^{1/3}) \\
&= (-1)x^{-2} + \frac{1}{3}x^{-2/3} \\
&= \mathbf{-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5: พหุนามแบบผสมที่มีค่าคงตัวพิเศษ
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \frac{3}{4}x^4 - \frac{2}{x^3} + \pi \)
Example 5: Mixed Polynomial with \(\pi\)
Find the derivative of \( f(x) = \frac{3}{4}x^4 - \frac{2}{x^3} + \pi \).
จัดรูปพจน์กลางเป็น \( -2x^{-3} \) และจำว่า \(\pi\) คือค่าคงตัว:
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}x^4 - 2x^{-3} + \pi\right) \\
&= \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}x^4\right) - \frac{d}{dx}(2x^{-3}) + \frac{d}{dx}(\pi)
\\
&= 3x^3 + 6x^{-4} + 0 \\
&= \mathbf{3x^3 + \frac{6}{x^4}}
\end{aligned}\]
Differentiate using power rule and constant rule:
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}x^4 - 2x^{-3} + \pi\right) \\
&= \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}x^4\right) - \frac{d}{dx}(2x^{-3}) + \frac{d}{dx}(\pi)
\\
&= 3x^3 + 6x^{-4} + 0 \\
&= \mathbf{3x^3 + \frac{6}{x^4}}
\end{aligned}\]
2
✖️ กฎผลคูณและผลหาร / Product and Quotient Rules
เมื่อฟังก์ชันคูณหรือหารกัน
กฎผลคูณ (Product Rule)
"หน้า ดิฟหลัง + หลัง ดิฟหน้า"
\[ (uv)' = uv' + vu' \]
Product Rule
"First D-Second + Second D-First"
\[ (uv)' = u v' + v u' \]
กฎผลหาร (Quotient Rule)
"(ล่าง ดิบบน - บน ดิฟล่าง) / ล่าง²"
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{v u' - u v'}{v^2} \]
Quotient Rule
"(Bottom D-Top - Top D-Bottom) / Bottom²"
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{v u' - u v'}{v^2} \]
ตัวอย่างกฎผลคูณ
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = (x^2+1)(x-3) \)
Example: Product Rule
Find the derivative of \( f(x) = (x^2+1)(x-3) \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}[(x^2+1)(x-3)] \\
&= (x^2+1)\frac{d}{dx}(x-3) + (x-3)\frac{d}{dx}(x^2+1) \\
&= (x^2+1)(1) + (x-3)(2x) \\
&= \mathbf{3x^2-6x+1}
\end{aligned}\]
Find derivative using the Product Rule:
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}[(x^2+1)(x-3)] \\
&= (x^2+1)\frac{d}{dx}(x-3) + (x-3)\frac{d}{dx}(x^2+1) \\
&= (x^2+1)(1) + (x-3)(2x) \\
&= \mathbf{3x^2-6x+1}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 2: กฎผลคูณ (พหุนาม)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = (2x+5)(4x^2) \)
Example 2: Product Rule (Polynomial)
Find the derivative of \( f(x) = (2x+5)(4x^2) \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}[(2x+5)(4x^2)] \\
&= (2x+5)\frac{d}{dx}(4x^2) + (4x^2)\frac{d}{dx}(2x+5) \\
&= (2x+5)(8x) + (4x^2)(2) \\
&= 16x^2 + 40x + 8x^2 \\
&= \mathbf{24x^2 + 40x}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}[(2x+5)(4x^2)] \\
&= (2x+5)\frac{d}{dx}(4x^2) + (4x^2)\frac{d}{dx}(2x+5) \\
&= (2x+5)(8x) + (4x^2)(2) \\
&= 16x^2 + 40x + 8x^2 \\
&= \mathbf{24x^2 + 40x}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 3: กฎผลคูณ (เลขชี้กำลังติดลบ)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = (x^2+2)(x^{-1}+1) \)
Example 3: Product Rule (Negative Exponents)
Find the derivative of \( f(x) = (x^2+2)(x^{-1}+1) \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= (x^2+2)\frac{d}{dx}(x^{-1}+1) + (x^{-1}+1)\frac{d}{dx}(x^2+2) \\
&= (x^2+2)(-x^{-2}) + (x^{-1}+1)(2x) \\
&= -1 - 2x^{-2} + 2 + 2x \\
&= \mathbf{1 + 2x - \frac{2}{x^2}}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= (x^2+2)\frac{d}{dx}(x^{-1}+1) + (x^{-1}+1)\frac{d}{dx}(x^2+2)
\\
&= (x^2+2)(-x^{-2}) + (x^{-1}+1)(2x) \\
&= -1 - 2x^{-2} + 2 + 2x \\
&= \mathbf{1 + 2x - \frac{2}{x^2}}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4: กฎผลหาร (Linear/Linear)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \frac{x+1}{x-1} \)
Example 4: Quotient Rule (Linear/Linear)
Find the derivative of \( f(x) = \frac{x+1}{x-1} \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{(x-1)\frac{d}{dx}(x+1) - (x+1)\frac{d}{dx}(x-1)}{(x-1)^2} \\
&= \frac{(x-1)(1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} \\
&= \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} \\
&= \mathbf{-\frac{2}{(x-1)^2}}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{(x-1)\frac{d}{dx}(x+1) - (x+1)\frac{d}{dx}(x-1)}{(x-1)^2}
\\
&= \frac{(x-1)(1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} \\
&= \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} \\
&= \mathbf{-\frac{2}{(x-1)^2}}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5: กฎผลหาร (Quadratic/Linear)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \frac{x^2+3}{2x} \)
Example 5: Quotient Rule (Quadratic/Linear)
Find the derivative of \( f(x) = \frac{x^2+3}{2x} \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{(2x)\frac{d}{dx}(x^2+3) - (x^2+3)\frac{d}{dx}(2x)}{(2x)^2} \\
&= \frac{(2x)(2x) - (x^2+3)(2)}{4x^2} \\
&= \frac{4x^2 - 2x^2 - 6}{4x^2} \\
&= \mathbf{\frac{x^2-3}{2x^2}}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{(2x)\frac{d}{dx}(x^2+3) -
(x^2+3)\frac{d}{dx}(2x)}{(2x)^2} \\
&= \frac{(2x)(2x) - (x^2+3)(2)}{4x^2} \\
&= \frac{4x^2 - 2x^2 - 6}{4x^2} \\
&= \mathbf{\frac{x^2-3}{2x^2}}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 6: กฎผลหาร (Constant/Quadratic)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \frac{5}{x^2+1} \)
Example 6: Quotient Rule (Constant/Quadratic)
Find the derivative of \( f(x) = \frac{5}{x^2+1} \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{(x^2+1)\frac{d}{dx}(5) - (5)\frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2} \\
&= \frac{(x^2+1)(0) - (5)(2x)}{(x^2+1)^2} \\
&= \mathbf{-\frac{10x}{(x^2+1)^2}}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{(x^2+1)\frac{d}{dx}(5) -
(5)\frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2} \\
&= \frac{(x^2+1)(0) - (5)(2x)}{(x^2+1)^2} \\
&= \mathbf{-\frac{10x}{(x^2+1)^2}}
\end{aligned}\]
3
🔗 กฎลูกโซ่ / The Chain Rule
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิท (ซ้อนฟังก์ชัน)
ใช้สำหรับฟังก์ชันที่ซ้อนกัน โดยเราจะ "ดิฟนอก แล้วคูณ ดิฟใน"
Used for nested functions: Differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside.
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{or} \quad [f(g(x))]' = f'(g(x))
\cdot g'(x) \]
ตัวอย่างกฎลูกโซ่
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = (3x^2 - 5)^4 \)
Example: Chain Rule
Find the derivative of \( f(x) = (3x^2 - 5)^4 \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}[(3x^2 - 5)^4] \\
&= 4(3x^2-5)^3 \cdot \frac{d}{dx}(3x^2-5) \\
&= 4(3x^2-5)^3 \cdot (6x) \\
&= \mathbf{24x(3x^2-5)^3}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}[(3x^2 - 5)^4] \\
&= 4(3x^2-5)^3 \cdot \frac{d}{dx}(3x^2-5) \\
&= 4(3x^2-5)^3 \cdot (6x) \\
&= \mathbf{24x(3x^2-5)^3}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 2: กฎลูกโซ่ (ฟังก์ชันติดราก)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)
Example 2: Chain Rule (Square Root)
Find the derivative of \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \).
จัดให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง: \( (x^2 + 1)^{1/2} \)
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (2x) \\
&= \mathbf{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}
\end{aligned}\]
Express in power form: \( (x^2 + 1)^{1/2} \)
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (2x) \\
&= \mathbf{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 3: กฎลูกโซ่ (ตรีโกณมิติ)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \sin(4x - 2) \)
Example 3: Chain Rule (Trigonometry)
Find the derivative of \( f(x) = \sin(4x - 2) \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \cos(4x-2) \cdot \frac{d}{dx}(4x-2) \\
&= \cos(4x-2) \cdot (4) \\
&= \mathbf{4\cos(4x-2)}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \cos(4x-2) \cdot \frac{d}{dx}(4x-2) \\
&= \cos(4x-2) \cdot (4) \\
&= \mathbf{4\cos(4x-2)}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4: กฎลูกโซ่ (กำลังของผลหาร)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \left(\frac{x}{x+1}\right)^3 \)
Example 4: Chain Rule (Power of Quotient)
Find the derivative of \( f(x) = \left(\frac{x}{x+1}\right)^3 \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= 3\left(\frac{x}{x+1}\right)^2 \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1}\right) \\
&= 3\left(\frac{x}{x+1}\right)^2 \cdot \frac{(x+1)(1) - x(1)}{(x+1)^2} \\
&= 3\left(\frac{x^2}{(x+1)^2}\right) \cdot \frac{1}{(x+1)^2} \\
&= \mathbf{\frac{3x^2}{(x+1)^4}}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= 3\left(\frac{x}{x+1}\right)^2 \cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1}\right) \\
&= 3\left(\frac{x}{x+1}\right)^2 \cdot \frac{(x+1)(1) - x(1)}{(x+1)^2} \\
&= 3\left(\frac{x^2}{(x+1)^2}\right) \cdot \frac{1}{(x+1)^2} \\
&= \mathbf{\frac{3x^2}{(x+1)^4}}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5: กฎลูกโซ่ (เลขชี้กำลัง)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = e^{x^2 + 5x} \)
Example 5: Chain Rule (Exponential)
Find the derivative of \( f(x) = e^{x^2 + 5x} \).
\[\begin{aligned}
f'(x) &= e^{x^2+5x} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+5x) \\
&= e^{x^2+5x} \cdot (2x+5) \\
&= \mathbf{(2x+5)e^{x^2+5x}}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= e^{x^2+5x} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+5x) \\
&= e^{x^2+5x} \cdot (2x+5) \\
&= \mathbf{(2x+5)e^{x^2+5x}}
\end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 6: กฎลูกโซ่ซ้อน (Root of Trig)
จงหาอนุพันธ์ของ \( f(x) = \sqrt{\sin x} \)
Example 6: Chain Rule (Root of Trig)
Find the derivative of \( f(x) = \sqrt{\sin x} \).
จัดให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง: \( (\sin x)^{1/2} \)
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{d}{dx}[(\sin x)^{1/2}] \\
&= \frac{1}{2}(\sin x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) \\
&= \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x \\
&= \mathbf{\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}
\end{aligned}\]
Express in power form: \( (\sin x)^{1/2} \)
\[\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} = f'(x) &= \frac{d}{dx}[(\sin x)^{1/2}] \\
&= \frac{1}{2}(\sin x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) \\
&= \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x \\
&= \mathbf{\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}
\end{aligned}\]
4
📐 ตรีโกณมิติ และลอการิทึม / Trig, Exp, and Log
สูตรอนุพันธ์อื่นๆ ที่สำคัญ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dx}(\sin x) &= \cos x \\
\frac{d}{dx}(\cos x) &= -\sin x \\
\frac{d}{dx}(\tan x) &= \sec^2 x
\end{aligned}\]
Trigonometric
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dx}(\sin x) &= \cos x \\
\frac{d}{dx}(\cos x) &= -\sin x \\
\frac{d}{dx}(\tan x) &= \sec^2 x
\end{aligned}\]
Exp & Log
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dx}(e^x) &= e^x \\
\frac{d}{dx}(a^x) &= a^x \ln a \\
\frac{d}{dx}(\ln x) &= \frac{1}{x}
\end{aligned}\]
Exp & Log
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dx}(e^x) &= e^x \\
\frac{d}{dx}(a^x) &= a^x \ln a \\
\frac{d}{dx}(\ln x) &= \frac{1}{x}
\end{aligned}\]
5
📝 โจทย์ปัญหาและการแทนค่า / Practice Problems
ตัวอย่างการหาอนุพันธ์พร้อมการแทนค่าตัวแปร \(x\) ทั้งกฎลูกโซ่ ตรีโกณมิติ และลอการิทึม
ข้อ 1: กฎพหุนามพื้นฐาน
กำหนดให้ \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \) จงหาค่าของ \( f'(2) \)
Problem 1: Basic Power Rule
Given \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \), find \( f'(2) \).
หาอนุพันธ์:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{d}{dx}(3x^2 - 5x + 2) \\ &= 6x - 5 \end{aligned}\]
Find derivative:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{d}{dx}(3x^2 - 5x + 2) \\ &= 6x - 5 \end{aligned}\]
แทนค่า \( x = 2 \):
\[\begin{aligned} f'(2) &= 6(2) - 5 \\ &=
12 - 5 \\ &= \mathbf{7} \end{aligned}\]
Substitute \( x = 2 \):
\[\begin{aligned} f'(2) &= 6(2) - 5 \\ &=
12 - 5 \\ &= \mathbf{7} \end{aligned}\]
ข้อ 2: เลขชี้กำลังติดลบและเศษส่วน
กำหนดให้ \( f(x) = \frac{16}{x^2} + \sqrt{x} \) จงหาค่าของ \( f'(4) \)
Problem 2: Negative/Fractional Powers
Given \( f(x) = \frac{16}{x^2} + \sqrt{x} \), find \( f'(4) \).
จัดรูปและหาอนุพันธ์:
\[\begin{aligned} f(x) &= 16x^{-2} +
x^{1/2} \\ \frac{dy}{dx} = f'(x) &= -32x^{-3} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \\ &=
-\frac{32}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned}\]
Rearrange and differentiate:
\[\begin{aligned} f(x) &= 16x^{-2} +
x^{1/2} \\ \frac{dy}{dx} = f'(x) &= -32x^{-3} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \\ &=
-\frac{32}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned}\]
แทนค่า \(x = 4\):
\[\begin{aligned} f'(4) &=
-\frac{32}{(4)^3} + \frac{1}{2\sqrt{4}} \\ &= -\frac{32}{64} + \frac{1}{2(2)} \\ &=
-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\ &= \mathbf{-\frac{1}{4}} \end{aligned}\]
Substitute \(x = 4\):
\[\begin{aligned} f'(4) &=
-\frac{32}{(4)^3} + \frac{1}{2\sqrt{4}} \\ &= -\frac{32}{64} + \frac{1}{2(2)} \\ &=
-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\ &= \mathbf{-\frac{1}{4}} \end{aligned}\]
ข้อ 3: กฎผลคูณ (Product Rule)
กำหนดให้ \( f(x) = (2x+1)(x^2-3) \) จงหาค่าของ \( f'(1) \)
Problem 3: Product Rule
Given \( f(x) = (2x+1)(x^2-3) \), find \( f'(1) \).
ใช้กฎผลคูณ (หน้าดิฟหลัง + หลังดิฟหน้า):
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
(2x+1)\frac{d}{dx}(x^2-3) + (x^2-3)\frac{d}{dx}(2x+1) \\ &= (2x+1)(2x) + (x^2-3)(2)
\end{aligned}\]
Apply the Product Rule:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
(2x+1)\frac{d}{dx}(x^2-3) + (x^2-3)\frac{d}{dx}(2x+1) \\ &= (2x+1)(2x) + (x^2-3)(2)
\end{aligned}\]
แทนค่า \(x = 1\) ทันทีเพื่อความรวดเร็ว:
\[\begin{aligned} f'(1) &= [2(1)+1][2(1)]
+ [(1)^2-3][2] \\ &= (3)(2) + (-2)(2) \\ &= 6 - 4 \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
Substitute \(x = 1\) directly for efficiency:
\[\begin{aligned} f'(1) &= [2(1)+1][2(1)]
+ [(1)^2-3][2] \\ &= (3)(2) + (-2)(2) \\ &= 6 - 4 \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
ข้อ 4: กฎผลหาร (Quotient Rule)
กำหนดให้ \( f(x) = \frac{x+2}{x-1} \) จงหาค่าของ \( f'(2) \)
Problem 4: Quotient Rule
Given \( f(x) = \frac{x+2}{x-1} \), find \( f'(2) \).
ใช้กฎผลหาร (ล่างดิฟบน - บนดิฟล่าง) / ล่าง²:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{(x-1)\frac{d}{dx}(x+2) - (x+2)\frac{d}{dx}(x-1)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{(x-1)(1) -
(x+2)(1)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-3}{(x-1)^2}
\end{aligned}\]
Apply the Quotient Rule:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{(x-1)\frac{d}{dx}(x+2) - (x+2)\frac{d}{dx}(x-1)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{(x-1)(1) -
(x+2)(1)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-3}{(x-1)^2}
\end{aligned}\]
แทนค่า \( x = 2 \):
\[\begin{aligned} f'(2) &=
\frac{-3}{(2-1)^2} \\ &= \frac{-3}{(1)^2} \\ &= \mathbf{-3} \end{aligned}\]
Substitute \( x = 2 \):
\[\begin{aligned} f'(2) &=
\frac{-3}{(2-1)^2} \\ &= \frac{-3}{(1)^2} \\ &= \mathbf{-3} \end{aligned}\]
ข้อ 5: กฎลูกโซ่ (Chain Rule)
กำหนดให้ \( f(x) = (3x^2-1)^4 \) จงหาค่าของ \( f'(1) \)
Problem 5: Chain Rule
Given \( f(x) = (3x^2-1)^4 \), find \( f'(1) \).
ดิฟนอก คูณ ดิฟใน:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
4(3x^2-1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(3x^2-1) \\ &= 4(3x^2-1)^3(6x) \\ &= 24x(3x^2-1)^3
\end{aligned}\]
Differentiate outside, then multiply by inner derivative:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
4(3x^2-1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(3x^2-1) \\ &= 4(3x^2-1)^3(6x) \\ &= 24x(3x^2-1)^3
\end{aligned}\]
แทนค่า \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} f'(1) &=
24(1)\left(3(1)^2-1\right)^3 \\ &= 24(2)^3 \\ &= 24(8) \\ &= \mathbf{192}
\end{aligned}\]
Substitute \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} f'(1) &=
24(1)\left(3(1)^2-1\right)^3 \\ &= 24(2)^3 \\ &= 24(8) \\ &= \mathbf{192}
\end{aligned}\]
ข้อ 6: กฎผลคูณผสมตรีโกณมิติ
กำหนดให้ \( f(x) = x \sin(x) \) จงหาค่าของ \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \)
Problem 6: Product Rule with Trigonometry
Given \( f(x) = x \sin(x) \), find \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \).
ใช้กฎผลคูณ:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
(x)\frac{d}{dx}(\sin x) + (\sin x)\frac{d}{dx}(x) \\ &= x(\cos x) + (\sin x)(1) \\ &= x
\cos x + \sin x \end{aligned}\]
Apply the Product Rule:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
(x)\frac{d}{dx}(\sin x) + (\sin x)\frac{d}{dx}(x) \\ &= x(\cos x) + (\sin x)(1) \\ &= x
\cos x + \sin x \end{aligned}\]
แทนค่า \( x = \frac{\pi}{2} \):
\[\begin{aligned}
f'\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)
+ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \left(\frac{\pi}{2}\right)(0) + 1 \\ &=
\mathbf{1} \end{aligned}\]
Substitute \( x = \frac{\pi}{2} \):
\[\begin{aligned}
f'\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)
+ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \left(\frac{\pi}{2}\right)(0) + 1 \\ &=
\mathbf{1} \end{aligned}\]
ข้อ 7: ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม
กำหนดให้ \( f(x) = e^{2x} + 2\ln(x) \) จงหาค่าของ \( f'(1) \)
Problem 7: Exponential and Logarithmic Functions
Given \( f(x) = e^{2x} + 2\ln(x) \), find \( f'(1) \).
ดิฟทีละพจน์ (ระวังกฎลูกโซ่ตอนดิฟ \(e\) ด้วย):
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{d}{dx}(e^{2x}) + \frac{d}{dx}(2\ln(x)) \\ &= e^{2x}(2) + 2\left(\frac{1}{x}\right)
\\ &= 2e^{2x} + \frac{2}{x} \end{aligned}\]
Differentiate term by term (mind the chain rule for \(e\)):
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{d}{dx}(e^{2x}) + \frac{d}{dx}(2\ln(x)) \\ &= e^{2x}(2) + 2\left(\frac{1}{x}\right)
\\ &= 2e^{2x} + \frac{2}{x} \end{aligned}\]
แทนค่า \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} f'(1) &= 2e^{2(1)} +
\frac{2}{1} \\ &= \mathbf{2e^2 + 2} \end{aligned}\]
Substitute \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} f'(1) &= 2e^{2(1)} +
\frac{2}{1} \\ &= \mathbf{2e^2 + 2} \end{aligned}\]
ข้อ 8: กฎผลหารผสมตรีโกณมิติ
กำหนดให้ \( f(x) = \frac{\cos x}{x} \) จงหาค่าของ \( f'(\pi) \)
Problem 8: Quotient Rule with Trigonometry
Given \( f(x) = \frac{\cos x}{x} \), find \( f'(\pi) \).
ใช้กฎผลหาร:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{(x)\frac{d}{dx}(\cos x) - (\cos x)\frac{d}{dx}(x)}{x^2} \\ &= \frac{(x)(-\sin x) -
(\cos x)(1)}{x^2} \\ &= \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} \end{aligned}\]
Apply the Quotient Rule:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{(x)\frac{d}{dx}(\cos x) - (\cos x)\frac{d}{dx}(x)}{x^2} \\ &= \frac{(x)(-\sin x) -
(\cos x)(1)}{x^2} \\ &= \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} \end{aligned}\]
แทนค่า \( x = \pi \):
\[\begin{aligned} f'(\pi) &=
\frac{-\pi\sin(\pi) - \cos(\pi)}{\pi^2} \\ &= \frac{-\pi(0) - (-1)}{\pi^2} \\ &= \frac{0
+ 1}{\pi^2} \\ &= \mathbf{\frac{1}{\pi^2}} \end{aligned}\]
Substitute \( x = \pi \):
\[\begin{aligned} f'(\pi) &=
\frac{-\pi\sin(\pi) - \cos(\pi)}{\pi^2} \\ &= \frac{-\pi(0) - (-1)}{\pi^2} \\ &= \frac{0
+ 1}{\pi^2} \\ &= \mathbf{\frac{1}{\pi^2}} \end{aligned}\]
ข้อ 9: กฎลูกโซ่แบบมีราก
กำหนดให้ \( f(x) = \sqrt{4x+1} \) จงหาค่าของ \( f'(2) \)
Problem 9: Chain Rule with Square Root
Given \( f(x) = \sqrt{4x+1} \), find \( f'(2) \).
จัดรูปส่วนของรากให้เป็นยกกำลัง \( (4x+1)^{1/2} \) และหาอนุพันธ์:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{1}{2}(4x+1)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(4x+1) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{4x+1}}(4) \\ &=
\frac{2}{\sqrt{4x+1}} \end{aligned}\]
Express the root as a power \( (4x+1)^{1/2} \) and differentiate:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{1}{2}(4x+1)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(4x+1) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{4x+1}}(4) \\ &=
\frac{2}{\sqrt{4x+1}} \end{aligned}\]
แทนค่า \( x = 2 \):
\[\begin{aligned} f'(2) &=
\frac{2}{\sqrt{4(2)+1}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{8+1}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{9}} \\ &=
\mathbf{\frac{2}{3}} \end{aligned}\]
Substitute \( x = 2 \):
\[\begin{aligned} f'(2) &=
\frac{2}{\sqrt{4(2)+1}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{8+1}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{9}} \\ &=
\mathbf{\frac{2}{3}} \end{aligned}\]
ข้อ 10: กฎลูกโซ่ขั้นซ้อน (ลอการิทึมและพหุนาม)
กำหนดให้ \( f(x) = \ln(x^2+3) \) จงหาค่าของ \( f'(1) \)
Problem 10: Nested Chain Rule (Log and Polynomial)
Given \( f(x) = \ln(x^2+3) \), find \( f'(1) \).
ดิฟลอกการิทึม คูณด้วยดิฟพหุนาม:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{1}{(x^2+3)} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+3) \\ &= \left(\frac{1}{x^2+3}\right)(2x) \\ &=
\frac{2x}{x^2+3} \end{aligned}\]
Differentiate the logarithm, multiply by derivative of polynomial:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f'(x) &=
\frac{1}{(x^2+3)} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+3) \\ &= \left(\frac{1}{x^2+3}\right)(2x) \\ &=
\frac{2x}{x^2+3} \end{aligned}\]
แทนค่า \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} f'(1) &=
\frac{2(1)}{(1)^2+3} \\ &= \frac{2}{1+3} \\ &= \frac{2}{4} \\ &= \mathbf{\frac{1}{2}}
\end{aligned}\]
Substitute \( x = 1 \):
\[\begin{aligned} f'(1) &=
\frac{2(1)}{(1)^2+3} \\ &= \frac{2}{1+3} \\ &= \frac{2}{4} \\ &= \mathbf{\frac{1}{2}}
\end{aligned}\]
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
รวมศัพท์เฉพาะทางและที่มาของชื่อสูตรอนุพันธ์ต่างๆ
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Differentiate | differentia (difference) | หาอนุพันธ์ · กระบวนการคำนวณหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน |
| Power Rule | potentia (power) | กฎเลขยกกำลัง · วิธีหาอนุพันธ์ของ \(x^n\) ("ตบกำลังลงมา กำลังลบหนึ่ง") |
| Product Rule | productum (produced) | กฎผลคูณ · ใช้หาอนุพันธ์เมื่อฟังก์ชันสองตัวคูณกัน (หน้าดิฟหลัง + หลังดิฟหน้า) |
| Quotient Rule | quotiens (how many times) | กฎผลหาร · ใช้หาอนุพันธ์ในรูปเศษส่วน ("ล่างดิบบน - บนดิฟล่าง / ล่าง²") |
| Chain Rule | catena (chain) | กฎลูกโซ่ · ใช้ดิฟฟังก์ชันคอมโพสิทหรือฟังก์ชันซ้อน ("ดิฟนอก คูณ ดิฟใน") |
| Constant | constare (to stand firm) | ค่าคงตัว · ตัวเลขที่ไม่มีตัวแปรประกอบ เมื่อดิฟแล้วจะได้ศูนย์เสมอ |