กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

อนุพันธ์อันดับสูง
Higher-Order Derivatives

การหาอนุพันธ์ของอนุพันธ์ และการประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง

1

📋 บทนิยามและสัญลักษณ์ / Definition and Notations

อนุพันธ์อันดับสูง (Higher-Order Derivatives) คือผลลัพธ์ที่ได้จากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันย้อนซ้ำกันหลายครั้ง

  • หากเราหาอนุพันธ์ของ \( f(x) \) หนึ่งครั้ง จะได้ อนุพันธ์อันดับที่ 1 (\( f'(x) \))
  • หากเราหาอนุพันธ์ของ \( f'(x) \) อีกครั้ง จะได้ อนุพันธ์อันดับที่ 2 (\( f''(x) \))
  • เราสามารถหาต่อไปเรื่อยๆ จนถึงอันดับที่ \( n \)

Higher-Order Derivatives are the result of differentiating a function multiple times in succession.

  • Differentiating \( f(x) \) once gives the first derivative (\( f'(x) \)).
  • Differentiating \( f'(x) \) again gives the second derivative (\( f''(x) \)).
  • This process can continue until the \(n\)-th derivative is reached.
สัญลักษณ์ที่ควรทราบ / Notations
อันดับ / Order สัญลักษณ์ \( f(x) \) สัญลักษณ์ Leibniz สัญลักษณ์ \( y \)
1st Derivative \( f'(x) \) \( \frac{dy}{dx} \) \( y' \)
2nd Derivative \( f''(x) \) \( \frac{d^2y}{dx^2} \) \( y'' \)
3rd Derivative \( f'''(x) \) \( \frac{d^3y}{dx^3} \) \( y''' \)
\( n \)-th Derivative \( f^{(n)}(x) \) \( \frac{d^ny}{dx^n} \) \( y^{(n)} \)
2

📝 ตัวอย่างโจทย์ / Practice Examples

ตัวอย่างที่ 1: การหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 และ 3

กำหนดให้ \( f(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 10 \) จงหา \( f''(x) \) และ \( f'''(x) \)

Example 1: 2nd and 3rd Derivatives

Given \( f(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 10 \), find \( f''(x) \) and \( f'''(x) \).

\[\begin{align} f'(x) &= 4x^3 - 9x^2 + 10x - 7 \\ f''(x) &= 12x^2 - 18x + 10 \\ f'''(x) &= \mathbf{24x - 18} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 - 9x^2 + 10x - 7 \\ f''(x) &= 12x^2 - 18x + 10 \\ f'''(x) &= \mathbf{24x - 18} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 2: ฟังก์ชันเศษส่วน

กำหนดให้ \( y = \frac{1}{x} \) จงหา \( y'' \)

Example 2: Rational Function

Given \( y = \frac{1}{x} \), find \( y'' \).

จัดรูปให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง \(x^n\):
\[ y = x^{-1} \]
Rewrite in power form \(x^n\):
\[ y = x^{-1} \]
\[\begin{aligned} y' &= (-1)x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \\[0.8em] y'' &= (-1)(-2)x^{-3} \\ &= 2x^{-3} \\ &= \mathbf{\frac{2}{x^3}} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} y' &= (-1)x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \\[0.8em] y'' &= (-1)(-2)x^{-3} \\ &= 2x^{-3} \\ &= \mathbf{\frac{2}{x^3}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 3: พหุนามขั้นสูง (อันดับที่ 4)

กำหนดให้ \( f(x) = x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2 + x \) จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 4 \( f^{(4)}(x) \)

Example 3: High‑order Polynomial (4th Derivative)

Given \( f(x) = x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2 + x \), find the 4th derivative \( f^{(4)}(x) \).

\[\begin{aligned} f'(x) &= 5x^4 - 16x^3 + 18x^2 - 8x + 1 \\ f''(x) &= 20x^3 - 48x^2 + 36x - 8 \\ f'''(x) &= 60x^2 - 96x + 36 \\ f^{(4)}(x) &= 120x - 96 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f'(x) &= 5x^4 - 16x^3 + 18x^2 - 8x + 1 \\ f''(x) &= 20x^3 - 48x^2 + 36x - 8 \\ f'''(x) &= 60x^2 - 96x + 36 \\ f^{(4)}(x) &= 120x - 96 \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4: ฟังก์ชันเศษส่วน (อันดับที่ 2)

กำหนดให้ \( y = \frac{x^2+1}{x} \) จงหา \( y'' \)

Example 4: Rational Function (2nd Derivative)

Given \( y = \frac{x^2+1}{x} \), find \( y'' \).

\[\begin{aligned} y' &= \frac{(2x)\cdot x - (x^2+1)\cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{x^2-1}{x^2} \\ y'' &= \frac{(2x)\cdot x^2 - (x^2-1)\cdot 2x}{x^4} \\ &= \frac{2x^3 - 2x^3 + 2x}{x^4}\\ &= \frac{2}{x^3} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} y' &= \frac{(2x)\cdot x - (x^2+1)\cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{x^2-1}{x^2} \\ y'' &= \frac{(2x)\cdot x^2 - (x^2-1)\cdot 2x}{x^4} \\ &= \frac{2x^3 - 2x^3 + 2x}{x^4}\\ &= \frac{2}{x^3} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5: กฎผลคูณ (พหุนาม × ฟังก์ชันตรีโกณมิติ)

กำหนดให้ \( f(x) = (x^3+2x)\sin x \) จงหา \( f'(x) \)

Example 5: Product Rule (Polynomial × Trig)

Given \( f(x) = (x^3+2x)\sin x \), find \( f'(x) \).

\[\begin{aligned} f'(x) &= (3x^2+2)\sin x + (x^3+2x)\cos x \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f'(x) &= (3x^2+2)\sin x + (x^3+2x)\cos x \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 6: กฎผลหาร (เอ็กซ์โพเนนเชียล)

กำหนดให้ \( f(x) = \frac{e^x}{x^2+1} \) จงหา \( f'(x) \)

Example 6: Quotient Rule (Exponential)

Given \( f(x) = \frac{e^x}{x^2+1} \), find \( f'(x) \).

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(x^2+1)e^x - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{e^x(x^2+1-2x)}{(x^2+1)^2} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(x^2+1)e^x - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{e^x(x^2+1-2x)}{(x^2+1)^2} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 7: กฎลูกโซ่ (รากกำลังสอง)

กำหนดให้ \( f(x) = \sqrt{3x^2+5} \) จงหา \( f'(x) \)

Example 7: Chain Rule (Square Root)

Given \( f(x) = \sqrt{3x^2+5} \), find \( f'(x) \).

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{3x^2+5}} \cdot 6x \\ &= \frac{3x}{\sqrt{3x^2+5}} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{3x^2+5}} \cdot 6x \\ &= \frac{3x}{\sqrt{3x^2+5}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 8: ฟังก์ชันลอการิทึม

กำหนดให้ \( f(x) = \ln(x^2+4) \) จงหา \( f'(x) \)

Example 8: Logarithmic Function

Given \( f(x) = \ln(x^2+4) \), find \( f'(x) \).

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x}{x^2+4} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x}{x^2+4} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 9: ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล (ผลคูณ)

กำหนดให้ \( f(x) = x^2 e^{3x} \) จงหา \( f'(x) \)

Example 9: Exponential Product

Given \( f(x) = x^2 e^{3x} \), find \( f'(x) \).

\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x e^{3x} + x^2 \cdot 3 e^{3x} \\ &= e^{3x}(2x + 3x^2) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f'(x) &= 2x e^{3x} + x^2 \cdot 3 e^{3x} \\ &= e^{3x}(2x + 3x^2) \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 10: ฟังก์ชันผสม (ส่วนหารและราก)

กำหนดให้ \( f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{x+1}} \) จงหา \( f'(x) \)

Example 10: Mixed Rational‑Root

Given \( f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{x+1}} \), find \( f'(x) \).

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{3x^2\sqrt{x+1} - x^3\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} \\ &= \frac{6x^2(x+1) - x^3}{2(x+1)^{3/2}} \\ &= \frac{6x^3 + 6x^2 - x^3}{2(x+1)^{3/2}} \\ &= \frac{5x^3 + 6x^2}{2(x+1)^{3/2}} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{3x^2\sqrt{x+1} - x^3\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} \\ &= \frac{6x^2(x+1) - x^3}{2(x+1)^{3/2}} \\ &= \frac{6x^3 + 6x^2 - x^3}{2(x+1)^{3/2}} \\ &= \frac{5x^3 + 6x^2}{2(x+1)^{3/2}} \end{aligned}\]

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับสูง

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Successive Differentiation successivus (following after) การหาอนุพันธ์ต่อเนื่องกันหลายครั้ง
Higher-Order ordo (rank, order) อันดับที่สูงขึ้น (มากกว่าอันดับที่ 1)
Second Derivative secundus (following, second) อนุพันธ์อันดับที่ 2