กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

สมการเอกซ์โพเนนเชียล
Exponential Equations

การแก้สมการโดยทำฐานให้เท่ากัน และการเปลี่ยนตัวแปร

TH

สมการเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Equations) คือสมการที่มีตัวแปรปรากฏอยู่ที่ตำแหน่งของ เลขชี้กำลัง (Exponent) ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย เราจะเน้นเทคนิคการแก้สมการ 2 รูปแบบหลัก ได้แก่ การจัดรูปทำฐานให้เท่ากัน และ การสมมติตัวแปร (Substitution) เพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปสมการพหุนามกำลังสอง

EN

Exponential Equations are equations in which variables occur as exponents. In high school mathematics, we focus on two primary solving techniques: equating the bases and using substitution to transform the equation into a quadratic polynomial form.

1

การทำฐานให้เท่ากัน Equating the Bases

TH

หลักการพื้นฐานที่สุดคือความพยายามจัดรูปให้ทั้งสองข้างของสมการมี ฐาน (Base) ที่เท่ากัน โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ทฤษฎีบทว่า:

$$ \text{ถ้า } a^x = a^y \text{ แล้ว } x = y $$

(เงื่อนไข: $a > 0$ และ $a \neq 1$)

EN

The most fundamental principle is to express both sides of the equation with the same base. Based on the one-to-one property of exponential functions, we have the theorem:

$$ \text{If } a^x = a^y \text{ then } x = y $$

(Condition: $a > 0$ and $a \neq 1$)

Example 1.1

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle 2^{x-3} = 16$

วิธีทำ: แปลง 16 ให้เป็นฐาน 2

$$ \begin{aligned} 2^{x-3} &= 2^4 \\ x - 3 &= 4 \quad \text{(ตัดฐาน 2 ทิ้ง นำชี้กำลังมาเท่ากัน)} \\ x &= 4 + 3 \\ x &= 7 \end{aligned} $$

Solve for $x$: $\displaystyle 2^{x-3} = 16$

Solution: Convert 16 to base 2

$$ \begin{aligned} 2^{x-3} &= 2^4 \\ x - 3 &= 4 \quad \text{(Drop base 2, equate exponents)} \\ x &= 4 + 3 \\ x &= 7 \end{aligned} $$
Example 1.2

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle 3^{2x+1} = \frac{1}{27}$

วิธีทำ: ใช้สมบัติเลขชี้กำลังติดลบ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$$ \begin{aligned} 3^{2x+1} &= \frac{1}{3^3} \\ 3^{2x+1} &= 3^{-3} \\ 2x + 1 &= -3 \\ 2x &= -4 \\ x &= -2 \end{aligned} $$

Solve for $x$: $\displaystyle 3^{2x+1} = \frac{1}{27}$

Solution: Use negative exponent property $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$$ \begin{aligned} 3^{2x+1} &= \frac{1}{3^3} \\ 3^{2x+1} &= 3^{-3} \\ 2x + 1 &= -3 \\ 2x &= -4 \\ x &= -2 \end{aligned} $$
Example 1.3

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle 4^{x+1} = 8^{x-1}$

วิธีทำ: แปลงทั้งสองข้างให้เป็นฐาน 2 เหมือนกัน

$$ \begin{aligned} (2^2)^{x+1} &= (2^3)^{x-1} \\ 2^{2(x+1)} &= 2^{3(x-1)} \quad \text{(สมบัติกำลังซ้อน นำเลขชี้กำลังคูณกัน)} \\ 2(x+1) &= 3(x-1) \\ 2x + 2 &= 3x - 3 \\ 2 + 3 &= 3x - 2x \\ 5 &= x \end{aligned} $$

Solve for $x$: $\displaystyle 4^{x+1} = 8^{x-1}$

Solution: Convert both sides to the common base 2

$$ \begin{aligned} (2^2)^{x+1} &= (2^3)^{x-1} \\ 2^{2(x+1)} &= 2^{3(x-1)} \quad \text{(Power of a power rule)} \\ 2(x+1) &= 3(x-1) \\ 2x + 2 &= 3x - 3 \\ 2 + 3 &= 3x - 2x \\ 5 &= x \end{aligned} $$
Example 1.4

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle (\sqrt{5})^x = 125$

วิธีทำ: เปลี่ยนรากที่สองให้อยู่ในรูปเลขชี้กำลังเศษส่วน

$$ \begin{aligned} \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^x &= 5^3 \\ 5^{\frac{x}{2}} &= 5^3 \\ \frac{x}{2} &= 3 \\ x &= 6 \end{aligned} $$

Solve for $x$: $\displaystyle (\sqrt{5})^x = 125$

Solution: Convert the square root to a fractional exponent

$$ \begin{aligned} \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^x &= 5^3 \\ 5^{\frac{x}{2}} &= 5^3 \\ \frac{x}{2} &= 3 \\ x &= 6 \end{aligned} $$
Example 1.5

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle 7^{x^2 - 4x} = 1$

วิธีทำ: จำไว้ว่า $a^0 = 1$ เสมอ (เมื่อ $a \neq 0$)

$$ \begin{aligned} 7^{x^2 - 4x} &= 7^0 \\ x^2 - 4x &= 0 \quad \text{(ดึงตัวร่วม } x \text{ ออก)} \\ x(x - 4) &= 0 \\ x &= 0 \text{ หรือ } x = 4 \end{aligned} $$

Solve for $x$: $\displaystyle 7^{x^2 - 4x} = 1$

Solution: Remember that $a^0 = 1$ always (when $a \neq 0$)

$$ \begin{aligned} 7^{x^2 - 4x} &= 7^0 \\ x^2 - 4x &= 0 \quad \text{(Factor out } x \text{)} \\ x(x - 4) &= 0 \\ x &= 0 \text{ or } x = 4 \end{aligned} $$
2

การสมมติตัวแปร (สมการกำลังสอง) Substitution Method (Quadratic Form)

TH

เมื่อสมการมีพจน์ที่บวกลบกันอยู่ และไม่สามารถรวบฐานให้เหลือฝั่งซ้ายและขวาอย่างละตัวได้ เราจะใช้ การสมมติตัวแปร (Substitution) เพื่อแปลงให้เป็น สมการพหุนามดีกรีสอง

  • กำหนดตัวแปรใหม่ เช่น ให้ $A = a^x$
  • แก้สมการพหุนาม $Ax^2 + Bx + C = 0$ เพื่อหาค่า $A$
  • ** กฎเหล็ก: ค่าของ $A$ (ซึ่งก็คือ $a^x$) ต้องมีค่ามากกว่า 0 เสมอ ($A > 0$) หากได้ค่า $A$ ติดลบหรือเป็นศูนย์ ต้องตัดคำตอบนั้นทิ้ง!
EN

When the equation contains multiple terms added or subtracted, and bases cannot be simply equated, we use the Substitution Method to transform it into a quadratic polynomial equation.

  • Define a new variable, e.g., let $A = a^x$
  • Solve the quadratic equation $Ax^2 + Bx + C = 0$ for $A$
  • ** Golden Rule: The value of $A$ (which is $a^x$) must always be greater than 0 ($A > 0$). Reject any negative or zero values for $A$!
Example 2.1

จงหาเซตคำตอบของสมการ $\displaystyle 2^{2x} - 5(2^x) + 4 = 0$

วิธีทำ: สังเกตว่า $2^{2x} = (2^x)^2$

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 5(2^x) + 4 &= 0 \\ \text{ให้ } A &= 2^x \quad \text{(โดยที่ } A > 0\text{)} \\ A^2 - 5A + 4 &= 0 \\ (A - 4)(A - 1) &= 0 \\ A &= 4 \text{ หรือ } A = 1 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับเพื่อหา $x$:

กรณี $A = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow$ $x = 2$

กรณี $A = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow$ $x = 0$

เซตคำตอบคือ $\{0, 2\}$

Find the solution set for $\displaystyle 2^{2x} - 5(2^x) + 4 = 0$

Solution: Notice that $2^{2x} = (2^x)^2$

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 5(2^x) + 4 &= 0 \\ \text{Let } A &= 2^x \quad \text{(where } A > 0\text{)} \\ A^2 - 5A + 4 &= 0 \\ (A - 4)(A - 1) &= 0 \\ A &= 4 \text{ or } A = 1 \end{aligned} $$

Substitute back to find $x$:

Case $A = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow$ $x = 2$

Case $A = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow$ $x = 0$

Solution set is $\{0, 2\}$

Example 2.2

จงหาเซตคำตอบของสมการ $\displaystyle 3^{2x+1} - 10(3^x) + 3 = 0$

วิธีทำ: แยก $3^{2x+1}$ เป็น $3^{2x} \cdot 3^1$ ก่อน

$$ \begin{aligned} 3 \cdot (3^x)^2 - 10(3^x) + 3 &= 0 \\ \text{ให้ } A &= 3^x \quad \text{(โดยที่ } A > 0\text{)} \\ 3A^2 - 10A + 3 &= 0 \\ (3A - 1)(A - 3) &= 0 \\ A &= \frac{1}{3} \text{ หรือ } A = 3 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับเพื่อหา $x$:

กรณี $A = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \Rightarrow$ $x = -1$

กรณี $A = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow$ $x = 1$

เซตคำตอบคือ $\{-1, 1\}$

Find the solution set for $\displaystyle 3^{2x+1} - 10(3^x) + 3 = 0$

Solution: Split $3^{2x+1}$ into $3^{2x} \cdot 3^1$ first

$$ \begin{aligned} 3 \cdot (3^x)^2 - 10(3^x) + 3 &= 0 \\ \text{Let } A &= 3^x \quad \text{(where } A > 0\text{)} \\ 3A^2 - 10A + 3 &= 0 \\ (3A - 1)(A - 3) &= 0 \\ A &= \frac{1}{3} \text{ or } A = 3 \end{aligned} $$

Substitute back to find $x$:

Case $A = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \Rightarrow$ $x = -1$

Case $A = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow$ $x = 1$

Solution set is $\{-1, 1\}$

Example 2.3

จงหาเซตคำตอบของสมการ $\displaystyle 9^x + 8(3^x) - 9 = 0$

วิธีทำ: สังเกตว่า $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$

$$ \begin{aligned} (3^x)^2 + 8(3^x) - 9 &= 0 \\ \text{ให้ } A &= 3^x \quad \text{(โดยที่ } A > 0\text{)} \\ A^2 + 8A - 9 &= 0 \\ (A + 9)(A - 1) &= 0 \\ A &= -9 \text{ หรือ } A = 1 \end{aligned} $$

วิเคราะห์ค่า $A$:

กรณี $A = -9 \Rightarrow 3^x = -9$ เป็นไปไม่ได้ (Reject) เพราะ $3^x > 0$ เสมอ

กรณี $A = 1 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow$ $x = 0$

เซตคำตอบคือ $\{0\}$

Find the solution set for $\displaystyle 9^x + 8(3^x) - 9 = 0$

Solution: Notice that $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$

$$ \begin{aligned} (3^x)^2 + 8(3^x) - 9 &= 0 \\ \text{Let } A &= 3^x \quad \text{(where } A > 0\text{)} \\ A^2 + 8A - 9 &= 0 \\ (A + 9)(A - 1) &= 0 \\ A &= -9 \text{ or } A = 1 \end{aligned} $$

Analyze $A$:

Case $A = -9 \Rightarrow 3^x = -9$ is impossible (Reject) because $3^x > 0$ always.

Case $A = 1 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow$ $x = 0$

Solution set is $\{0\}$

Example 2.4

จงหาเซตคำตอบของสมการ $\displaystyle 4^x - 12(2^x) + 32 = 0$

วิธีทำ: $4^x$ สามารถเปลี่ยนเป็น $(2^2)^x$ หรือ $(2^x)^2$ ได้

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 12(2^x) + 32 &= 0 \\ \text{ให้ } A &= 2^x \quad \text{(โดยที่ } A > 0\text{)} \\ A^2 - 12A + 32 &= 0 \\ (A - 8)(A - 4) &= 0 \\ A &= 8 \text{ หรือ } A = 4 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับเพื่อหา $x$:

กรณี $A = 8 \Rightarrow 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow$ $x = 3$

กรณี $A = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow$ $x = 2$

เซตคำตอบคือ $\{2, 3\}$

Find the solution set for $\displaystyle 4^x - 12(2^x) + 32 = 0$

Solution: $4^x$ can be changed to $(2^2)^x$ or $(2^x)^2$

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 12(2^x) + 32 &= 0 \\ \text{Let } A &= 2^x \quad \text{(where } A > 0\text{)} \\ A^2 - 12A + 32 &= 0 \\ (A - 8)(A - 4) &= 0 \\ A &= 8 \text{ or } A = 4 \end{aligned} $$

Substitute back to find $x$:

Case $A = 8 \Rightarrow 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow$ $x = 3$

Case $A = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow$ $x = 2$

Solution set is $\{2, 3\}$

Example 2.5

จงหาเซตคำตอบของสมการ $\displaystyle 5^x + 5^{-x} = 2$

วิธีทำ: เปลี่ยน $5^{-x}$ เป็น $\frac{1}{5^x}$ แล้วสมมติตัวแปร

$$ \begin{aligned} 5^x + \frac{1}{5^x} &= 2 \\ \text{ให้ } A &= 5^x \quad \text{(โดยที่ } A > 0\text{)} \\ A + \frac{1}{A} &= 2 \\ \text{นำ } A \text{ คูณตลอดทั้งสมการจะได้:} \\ A^2 + 1 &= 2A \\ A^2 - 2A + 1 &= 0 \\ (A - 1)^2 &= 0 \\ A &= 1 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับเพื่อหา $x$:

กรณี $A = 1 \Rightarrow 5^x = 1 \Rightarrow 5^x = 5^0 \Rightarrow$ $x = 0$

เซตคำตอบคือ $\{0\}$

Find the solution set for $\displaystyle 5^x + 5^{-x} = 2$

Solution: Change $5^{-x}$ to $\frac{1}{5^x}$ and substitute

$$ \begin{aligned} 5^x + \frac{1}{5^x} &= 2 \\ \text{Let } A &= 5^x \quad \text{(where } A > 0\text{)} \\ A + \frac{1}{A} &= 2 \\ \text{Multiply the entire equation by } A\text{:} \\ A^2 + 1 &= 2A \\ A^2 - 2A + 1 &= 0 \\ (A - 1)^2 &= 0 \\ A &= 1 \end{aligned} $$

Substitute back to find $x$:

Case $A = 1 \Rightarrow 5^x = 1 \Rightarrow 5^x = 5^0 \Rightarrow$ $x = 0$

Solution set is $\{0\}$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Exponential Equation ex- (out) + ponere (to place) + aequare (make equal) สมการเอกซ์โพเนนเชียล · สมการที่มีตัวแปรอยู่ที่ตำแหน่งของเลขชี้กำลัง
Equate aequare (make equal) ทำให้เท่ากัน · กระบวนการจัดรูปฐานของทั้งสองฝั่งให้เป็นตัวเลขเดียวกัน
Substitution sub- (in place of) + statuere (set up) การแทนที่ / การสมมติตัวแปร · การกำหนดตัวแปรใหม่ (เช่น $A$) ขึ้นมาแทนกลุ่มพจน์เดิมเพื่อลดความซับซ้อน
Quadratic Polynomial quadratus (made square) + poly (many) พหุนามกำลังสอง · สมการที่มีดีกรีสูงสุดเป็น 2 อยู่ในรูปแบบ $Ax^2+Bx+C=0$
Extraneous Root / Reject extra- (outside) / re- (back) + jacere (to throw) คำตอบแปลกปลอม / ตัดทิ้ง · คำตอบที่ได้จากการคำนวณแต่ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขของสมการเดิม (เช่น การที่ฐานเอกซ์โพเนนเชียลติดลบ)