อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

อสมการเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Inequality) คือ อสมการที่มีตัวแปรปรากฏอยู่ที่ตำแหน่งของ เลขชี้กำลัง หลักการแก้อสมการนั้นคล้ายคลึงกับการแก้สมการ คือต้องพยายามจัดฐานให้เท่ากัน แต่สิ่งที่ต้องระวังเป็นพิเศษคือ "ค่าของฐาน ($a$)" เพราะจะเป็นตัวกำหนดว่าเราต้องคงเครื่องหมายอสมการไว้แบบเดิม หรือต้องสลับด้านเครื่องหมาย

An Exponential Inequality is an inequality where variables appear in the exponent. Solving it is similar to solving equations: we try to make the bases equal. However, we must pay special attention to the "value of the base ($a$)", as it determines whether we keep the inequality sign the same or flip it.

📈 สมบัติของฟังก์ชันเพิ่ม ($a > 1$) 📈 Increasing Function Property ($a > 1$)

เมื่อฐานมีค่ามากกว่า 1 ($a > 1$) ฟังก์ชันจะเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม หมายความว่าเมื่อเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น ค่าของฟังก์ชันก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย ดังนั้นเมื่อตัดฐานทิ้ง เครื่องหมายอสมการจะคงเดิม

$$ \text{ถ้า } a^x > a^y \implies x > y $$ $$ \text{ถ้า } a^x < a^y \implies x < y $$

When the base is greater than 1 ($a > 1$), it is an increasing function. This means as the exponent increases, the function's value also increases. Therefore, when equating the exponents, the inequality sign remains the same.

$$ \text{If } a^x > a^y \implies x > y $$ $$ \text{If } a^x < a^y \implies x < y $$

Example 1.1

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $2^{x+3} > 32$

จัดฐานให้เท่ากันคือ 2 ซึ่งเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ($2 > 1$)

$$ \begin{aligned} 2^{x+3} &> 2^5 \\ x+3 &> 5 \quad \text{(\color{#2e7d32}คงเครื่องหมายเดิมไว้)} \\ x &> 5 - 3 \\ x &> 2 \end{aligned} $$

Find the solution set for $2^{x+3} > 32$

Make the bases equal to 2, which is an increasing function ($2 > 1$).

$$ \begin{aligned} 2^{x+3} &> 2^5 \\ x+3 &> 5 \quad \text{(\color{#2e7d32}Keep the same sign)} \\ x &> 5 - 3 \\ x &> 2 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $3^{2x-1} \le 27$

$$ \begin{aligned} 3^{2x-1} &\le 3^3 \\ 2x-1 &\le 3 \quad \text{(ฐาน } 3 > 1 \text{ \color{#2e7d32}คงเครื่องหมาย)} \\ 2x &\le 4 \\ x &\le 2 \end{aligned} $$

Find the solution set for $3^{2x-1} \le 27$

$$ \begin{aligned} 3^{2x-1} &\le 3^3 \\ 2x-1 &\le 3 \quad \text{(Base } 3 > 1\text{, \color{#2e7d32}keep sign)} \\ 2x &\le 4 \\ x &\le 2 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x-1} \ge \frac{25}{4}$

ถึงแม้ฐานจะเป็นเศษส่วน แต่ $\frac{5}{2} = 2.5$ ซึ่งมากกว่า 1 จึงเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{2}\right)^{x-1} &\ge \left(\frac{5}{2}\right)^2 \\ x-1 &\ge 2 \quad \text{(\color{#2e7d32}คงเครื่องหมายเดิมไว้)} \\ x &\ge 3 \end{aligned} $$

Find the solution set for $\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x-1} \ge \frac{25}{4}$

Although the base is a fraction, $\frac{5}{2} = 2.5$, which is > 1. Thus, it's an increasing function.

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{2}\right)^{x-1} &\ge \left(\frac{5}{2}\right)^2 \\ x-1 &\ge 2 \quad \text{(\color{#2e7d32}Keep the same sign)} \\ x &\ge 3 \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $10^{x^2 - x} > 100$

$$ \begin{aligned} 10^{x^2 - x} &> 10^2 \\ x^2 - x &> 2 \quad \text{(ฐาน } 10 > 1 \text{ \color{#2e7d32}คงเครื่องหมาย)} \\ x^2 - x - 2 &> 0 \\ (x - 2)(x + 1) &> 0 \end{aligned} $$

วาดเส้นจำนวนหาช่วงคำตอบ จะได้ $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$

Find the solution set for $10^{x^2 - x} > 100$

$$ \begin{aligned} 10^{x^2 - x} &> 10^2 \\ x^2 - x &> 2 \quad \text{(Base } 10 > 1\text{, \color{#2e7d32}keep sign)} \\ x^2 - x - 2 &> 0 \\ (x - 2)(x + 1) &> 0 \end{aligned} $$

Using a number line to find the intervals, we get $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

📉 สมบัติของฟังก์ชันลด ($0 < a < 1$) 📉 Decreasing Function Property ($0 < a < 1$)

เมื่อฐานมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ($0 < a < 1$) ฟังก์ชันจะเป็น ฟังก์ชันลด หมายความว่าเมื่อเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น ค่าของฟังก์ชันกลับจะลดลง ดังนั้นเมื่อตัดฐานทิ้ง ต้องสลับเครื่องหมายอสมการเป็นตรงกันข้ามเสมอ!

$$ \text{ถ้า } a^x > a^y \implies x < y $$ $$ \text{ถ้า } a^x < a^y \implies x> y $$

When the base is between 0 and 1 ($0 < a < 1$), it is a decreasing function. This means as the exponent increases, the function's value decreases. Therefore, when equating the exponents, you MUST reverse/flip the inequality sign!

$$ \text{If } a^x > a^y \implies x < y $$ $$ \text{If } a^x < a^y \implies x> y $$

Example 2.1

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{8}$

จัดฐานให้เป็น $\frac{1}{2}$ ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 1 (เป็นฟังก์ชันลด)

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^x &> \left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ x &< 3 \quad \text{(\color{#c62828}สลับเครื่องหมายอสมการ!)} \end{aligned} $$

Find the solution set for $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{8}$

Set the base to $\frac{1}{2}$, which is less than 1 (decreasing function).

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^x &> \left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ x &< 3 \quad \text{(\color{#c62828}Flip the inequality sign!)} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $(0.3)^{2x+1} \le 0.09$

$$ \begin{aligned} (0.3)^{2x+1} &\le (0.3)^2 \\ 2x+1 &\ge 2 \quad \text{(ฐาน } 0.3 < 1 \text{ \color{#c62828}สลับเครื่องหมาย!)} \\ 2x &\ge 1 \\ x &\ge \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Find the solution set for $(0.3)^{2x+1} \le 0.09$

$$ \begin{aligned} (0.3)^{2x+1} &\le (0.3)^2 \\ 2x+1 &\ge 2 \quad \text{(Base } 0.3 < 1\text{, \color{#c62828}flip sign!)} \\ 2x &\ge 1 \\ x &\ge \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} < \frac{27}{8}$

สังเกตว่า $\frac{27}{8}$ คือ $\left(\frac{3}{2}\right)^3$ หากต้องการฐาน $\frac{2}{3}$ ต้องพลิกเศษเป็นส่วนและให้เลขชี้กำลังติดลบ

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} &< \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} &< \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \\ x - 2 &> -3 \quad \text{(\color{#c62828}ฐาน < 1 ต้องสลับเครื่องหมาย)} \\ x &> -1 \end{aligned} $$

Find the solution set for $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} < \frac{27}{8}$

Note that $\frac{27}{8}$ is $\left(\frac{3}{2}\right)^3$. To get a base of $\frac{2}{3}$, flip the fraction and negate the exponent.

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} &< \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} &< \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \\ x - 2 &> -3 \quad \text{(\color{#c62828}Base < 1, flip the sign)} \\ x &> -1 \end{aligned} $$

Example 2.4

ทางเลือกที่ 2 ของ Example 2.3 (แปลงฐานให้เป็นฟังก์ชันเพิ่ม)

หากไม่ชอบสลับเครื่องหมาย เราสามารถแปลงฐานให้ $> 1$ ตั้งแต่แรกได้ โดยแปลง $\frac{2}{3}$ ให้เป็น $\frac{3}{2}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} &< \frac{27}{8} \\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-(x-2)} &< \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-x+2} &< \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ -x + 2 &< 3 \quad \text{(ฐาน } \frac{3}{2}> 1 \text{ \color{#2e7d32}คงเครื่องหมายเดิม)} \\ -x &< 1 \\ x &> -1 \quad \text{(ตอนคูณด้วย } -1 \text{ ต้องสลับเครื่องหมายอสมการตามกฎปกติ)} \end{aligned} $$

Alternative method for Example 2.3 (Convert to an increasing function)

If you prefer not to flip the sign due to the base, you can convert the base to $> 1$ initially by flipping $\frac{2}{3}$ to $\frac{3}{2}$.

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} &< \frac{27}{8} \\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-(x-2)} &< \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-x+2} &< \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ -x + 2 &< 3 \quad \text{(Base } \frac{3}{2}> 1\text{, \color{#2e7d32}keep original sign)} \\ -x &< 1 \\ x &> -1 \quad \text{(Multiplying by } -1 \text{ requires flipping the sign as per usual inequality rules)} \end{aligned} $$

🧩 อสมการในรูปพหุนาม (การสมมติตัวแปร) 🧩 Quadratic Form Inequalities (Substitution)

ในบางกรณี อสมการอาจอยู่ในรูปที่สามารถแยกตัวประกอบได้ (คล้ายพหุนามกำลังสอง) เราจะใช้วิธีสมมติตัวแปร $A = a^x$ เพื่อแก้หาช่วงคำตอบของ $A$ ก่อน แล้วจึงนำกลับมาแก้หาค่า $x$ ในภายหลัง ข้อควรระวัง: $A = a^x > 0$ เสมอ

In some cases, inequalities can be factored like quadratic polynomials. We substitute $A = a^x$ to find the solution interval for $A$ first, then substitute back to find $x$. Warning: $A = a^x > 0$ always.

Example 3.1

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $4^x - 5(2^x) + 4 < 0$

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 5(2^x) + 4 &< 0 \\ \text{ให้ } A &=2^x \\ A^2 - 5A + 4 &< 0 \\ (A - 4)(A - 1) &< 0 \end{aligned} $$

จากการแก้พหุนาม จะได้ช่วงคำตอบคือ $1 < A < 4$
นำ $A = 2^x$ แทนค่ากลับเข้าไป:

$$ \begin{aligned} 1 &< 2^x < 4 \\ 2^0 &< 2^x < 2^2 \\ 0 &< x < 2 \quad \text{(\color{#2e7d32}ฐาน } 2> 1 \text{ เครื่องหมายคงเดิม)} \end{aligned} $$

เซตคำตอบคือ $(0, 2)$

Find the solution set for $4^x - 5(2^x) + 4 < 0$

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 5(2^x) + 4 &< 0 \\ \text{Let } A &=2^x \\ A^2 - 5A + 4 &< 0 \\ (A - 4)(A - 1) &< 0 \end{aligned} $$

Solving the polynomial inequality gives $1 < A < 4$.
Substitute back $A = 2^x$:

$$ \begin{aligned} 1 &< 2^x < 4 \\ 2^0 &< 2^x < 2^2 \\ 0 &< x < 2 \quad \text{(\color{#2e7d32}Base } 2> 1\text{, keep sign)} \end{aligned} $$

The solution set is $(0, 2)$.

Example 3.2

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $9^x - 8(3^x) - 9 \ge 0$

$$ \begin{aligned} (3^x)^2 - 8(3^x) - 9 &\ge 0 \\ \text{ให้ } A &= 3^x \\ A^2 - 8A - 9 &\ge 0 \\ (A - 9)(A + 1) &\ge 0 \end{aligned} $$

แก้สมการจะได้ $A \le -1$ หรือ $A \ge 9$
แต่เนื่องจาก $A = 3^x > 0$ เสมอ ดังนั้นกรณี $A \le -1$ จึงเป็นไปไม่ได้

$$ \begin{aligned} \text{พิจารณาแค่กรณี: } A &\ge 9 \\ 3^x &\ge 3^2 \\ x &\ge 2 \quad \text{(\color{#2e7d32}ฐาน } 3 > 1 \text{ เครื่องหมายคงเดิม)} \end{aligned} $$

เซตคำตอบคือ $[2, \infty)$

Find the solution set for $9^x - 8(3^x) - 9 \ge 0$

$$ \begin{aligned} (3^x)^2 - 8(3^x) - 9 &\ge 0 \\ \text{Let } A &= 3^x \\ A^2 - 8A - 9 &\ge 0 \\ (A - 9)(A + 1) &\ge 0 \end{aligned} $$

The polynomial yields $A \le -1$ or $A \ge 9$.
Since $A = 3^x > 0$ always, the case $A \le -1$ is impossible.

$$ \begin{aligned} \text{Consider only: } A &\ge 9 \\ 3^x &\ge 3^2 \\ x &\ge 2 \quad \text{(\color{#2e7d32}Base } 3 > 1\text{, keep sign)} \end{aligned} $$

The solution set is $[2, \infty)$.

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Inequality	in- (not) + aequalis (equal)	อสมการ · ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความไม่เท่ากัน (เช่น >, <, ≥, ≤)
Increasing Function	in- (into) + crescere (to grow)	ฟังก์ชันเพิ่ม · ฟังก์ชันที่ค่า y เพิ่มขึ้นเมื่อค่า x เพิ่มขึ้น (สำหรับเอกซ์โพเนนเชียลเกิดเมื่อฐาน a > 1)
Decreasing Function	de- (down) + crescere (to grow)	ฟังก์ชันลด · ฟังก์ชันที่ค่า y ลดลงเมื่อค่า x เพิ่มขึ้น (สำหรับเอกซ์โพเนนเชียลเกิดเมื่อฐาน 0 < a < 1)
Reverse / Flip	re- (back) + vertere (to turn)	สลับด้าน / พลิกกลับ · การเปลี่ยนทิศทางของเครื่องหมายอสมการ (เช่น จาก < เปลี่ยนเป็น>)
Interval	inter- (between) + vallum (wall)	ช่วงคำตอบ · เซตของตัวเลขจริงทั้งหมดที่อยู่ระหว่างจุดสองจุดบนเส้นจำนวน