ฟังก์ชันคอมโพสิท

ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite Function) เปรียบเสมือนการนำเครื่องจักรสองเครื่องมาต่อกันเป็นสายพานการผลิต โดยนำ "ผลลัพธ์ (Output)" จากเครื่องจักรแรก ไปใช้เป็น "วัตถุดิบตั้งต้น (Input)" ให้กับเครื่องจักรที่สอง เพื่อสร้างผลลัพธ์สุดท้ายออกมาในขั้นตอนเดียว

A Composite Function is like connecting two machines on an assembly line. It takes the Output of the first function and uses it directly as the Input for the second function, producing the final result in a single process.

🔄 นิยามและสัญลักษณ์ / Definition & Notation

ถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน ฟังก์ชันประกอบของ $f$ และ $g$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $f \circ g$ (อ่านว่า เอฟ โอ จี หรือ เอฟ คอมโพสิท จี)

นิยามโดย:

If $f$ and $g$ are functions, the composite function of $f$ and $g$ is denoted by $f \circ g$ (read as "f composed with g" or "f of g").

It is defined by:

$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

⚠️ เงื่อนไขการเกิดฟังก์ชัน: ฟังก์ชัน $f \circ g$ จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของ $g$ ต้องอินเตอร์เซกตกับโดเมนของ $f$ ไม่เป็นเซตว่าง นั่นคือ $R_g \cap D_f \neq \emptyset$

📝 การสร้างสมการฟังก์ชันคอมโพสิท / Forming Equations

หลักการง่ายๆ ในการหา $(f \circ g)(x)$ คือการนำก้อนสมการของ $g(x)$ ทั้งก้อน ไปแทนที่ตัวแปร $x$ ทุกตัว ที่อยู่ในสมการของฟังก์ชัน $f(x)$

The basic principle to find $(f \circ g)(x)$ is to take the entire expression of $g(x)$ and substitute it into every variable $x$ found in the function $f(x)$.

Example 2.1

เชิงเส้น (Linear): กำหนดให้ $f(x) = 2x + 3$ และ $g(x) = x - 1$ จงหา $(f \circ g)(x)$

Linear: Given $f(x) = 2x + 3$ and $g(x) = x - 1$, find $(f \circ g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\textcolor{#2e7d32}{x - 1}) \quad \text{แทน } g(x) \text{ ลงใน } f \\ &= 2(\textcolor{#2e7d32}{x - 1}) + 3 \\ &= 2x - 2 + 3 \\ &= 2x + 1 \end{aligned} $$

Example 2.2

กำลังสอง (Quadratic): กำหนดให้ $f(x) = x^2 - 5$ และ $g(x) = 3x + 2$ จงหา $(f \circ g)(x)$

Quadratic: Given $f(x) = x^2 - 5$ and $g(x) = 3x + 2$, find $(f \circ g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\textcolor{#2e7d32}{3x + 2}) \\ &= (\textcolor{#2e7d32}{3x + 2})^2 - 5 \quad \text{ใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์} \\ &= (9x^2 + 12x + 4) - 5 \\ &= 9x^2 + 12x - 1 \end{aligned} $$

Example 2.3

เศษส่วนพหุนาม (Rational): กำหนดให้ $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ และ $g(x) = x + 5$ จงหา $(f \circ g)(x)$

Rational: Given $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ and $g(x) = x + 5$, find $(f \circ g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\textcolor{#2e7d32}{x + 5}) \\ &= \frac{1}{\textcolor{#2e7d32}{x + 5}} \end{aligned} $$

$\text{โดยมีเงื่อนไขว่า } x \neq -5 \text{ (ส่วนห้ามเป็นศูนย์)}$

Example 2.4

เครื่องหมายกรณฑ์ (Radical): กำหนดให้ $f(x) = \sqrt{x}$ และ $g(x) = x^2 - 4$ จงหา $(f \circ g)(x)$

Radical: Given $f(x) = \sqrt{x}$ and $g(x) = x^2 - 4$, find $(f \circ g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\textcolor{#2e7d32}{x^2 - 4}) \\ &= \sqrt{\textcolor{#2e7d32}{x^2 - 4}} \end{aligned} $$

Example 2.5

สมบัติการสลับที่ (Commutativity Check): จากตัวอย่าง 2.1 ที่ $f(x) = 2x + 3$ และ $g(x) = x - 1$ จงหา $(g \circ f)(x)$

Commutativity Check: From Ex 2.1 where $f(x) = 2x + 3$ and $g(x) = x - 1$, find $(g \circ f)(x)$

$$ \begin{aligned} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(\textcolor{#3949ab}{2x + 3}) \quad \text{นำ } f(x) \text{ ไปแทนใน } g \\ &= (\textcolor{#3949ab}{2x + 3}) - 1 \\ &= 2x + 2 \end{aligned} $$

$\text{จาก Ex 2.1 ได้ } (f \circ g)(x) = 2x + 1$
$\text{สรุปได้ว่า } (f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x) \text{ ฟังก์ชันคอมโพสิทไม่มีสมบัติการสลับที่}$

Example 2.6

การกระจายพหุนาม: กำหนดให้ $f(x) = x^2 + 2x$ และ $g(x) = x - 3$ จงหา $(f \circ g)(x)$

Polynomial Expansion: Given $f(x) = x^2 + 2x$ and $g(x) = x - 3$, find $(f \circ g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\textcolor{#2e7d32}{x - 3}) \\ &= (\textcolor{#2e7d32}{x - 3})^2 + 2(\textcolor{#2e7d32}{x - 3}) \\ &= (x^2 - 6x + 9) + (2x - 6) \\ &= x^2 - 4x + 3 \end{aligned} $$

Example 2.7

เศษส่วนซ้อนเชิงเส้น: กำหนดให้ $f(x) = 4x - 1$ และ $\displaystyle g(x) = \frac{2}{x}$ จงหา $(f \circ g)(x)$

Rational inside Linear: Given $f(x) = 4x - 1$ and $\displaystyle g(x) = \frac{2}{x}$, find $(f \circ g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f\left(\textcolor{#2e7d32}{\frac{2}{x}}\right) \\ &= 4\left(\textcolor{#2e7d32}{\frac{2}{x}}\right) - 1 \\ &= \frac{8}{x} - 1 \end{aligned} $$

Example 2.8

กรณฑ์ซ้อนกำลังสอง: กำหนดให้ $f(x) = x^2 + 5$ และ $g(x) = \sqrt{x - 2}$ จงหา $(f \circ g)(x)$

Radical inside Quadratic: Given $f(x) = x^2 + 5$ and $g(x) = \sqrt{x - 2}$, find $(f \circ g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\textcolor{#2e7d32}{\sqrt{x - 2}}) \\ &= (\textcolor{#2e7d32}{\sqrt{x - 2}})^2 + 5 \\ &= (x - 2) + 5 \\ &= x + 3 \end{aligned} $$

$\text{โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นจากโดเมนของ } g \text{ คือ } x \ge 2$

Example 2.9

ฟังก์ชันประกอบสามชั้นแบบสมการ: กำหนด $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 1$ และ $h(x) = x^2$ จงหา $(f \circ g \circ h)(x)$

Triple Composite Equation: Given $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 1$, and $h(x) = x^2$, find $(f \circ g \circ h)(x)$

วิธีทำคือให้หาประกอบจากด้านในสุดออกมา

$$ \begin{aligned} (f \circ g \circ h)(x) &= f(g(h(x))) \\ &= f(g(\textcolor{#3949ab}{x^2})) \quad \text{แทน } h(x) \\ &= f(\textcolor{#3949ab}{x^2} + 1) \quad \text{ฟังก์ชัน } g \text{ คือการบวก } 1 \\ &= 2(\textcolor{#2e7d32}{x^2 + 1}) \quad \text{ฟังก์ชัน } f \text{ คือการคูณ } 2 \\ &= 2x^2 + 2 \end{aligned} $$

Example 2.10

การหาฟังก์ชันด้านใน: กำหนด $f(x) = 2x + 1$ และ $(f \circ g)(x) = 4x + 5$ จงหาสมการของ $g(x)$

Finding Inner Function: Given $f(x) = 2x + 1$ and $(f \circ g)(x) = 4x + 5$, find $g(x)$

$$ \begin{aligned} f(g(x)) &= 4x + 5 \\ 2(g(x)) + 1 &= 4x + 5 \quad \text{แทน } x \text{ ใน } f \text{ ด้วย } g(x) \\ 2(g(x)) &= 4x + 5 - 1 \\ 2(g(x)) &= 4x + 4 \\ g(x) &= \frac{4x + 4}{2} \\ g(x) &= 2x + 2 \end{aligned} $$

🎯 การหาค่าฟังก์ชัน ณ จุดกำหนด / Evaluating Functions

หากต้องการหาค่าตัวเลข เช่น $(f \circ g)(2)$ เราไม่จำเป็นต้องสร้างสมการเต็มรูปแบบก่อน สามารถหาค่า $g(2)$ ให้เป็นตัวเลขก่อน แล้วนำตัวเลขนั้นไปแทนใน $f$ ได้เลย ซึ่งจะช่วยลดข้อผิดพลาดในการคำนวณพหุนาม

To evaluate a specific number, e.g., $(f \circ g)(2)$, we don't need to form the algebraic equation first. We can evaluate the inner function $g(2)$ into a number, and plug that number into $f$. This reduces algebraic errors.

Example 3.1

การแทนค่าตัวเลขเบื้องต้น: กำหนดให้ $f(x) = 3x$ และ $g(x) = x^2 + 1$ จงหา $(f \circ g)(2)$

Basic Eval: Given $f(x) = 3x$ and $g(x) = x^2 + 1$, find $(f \circ g)(2)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(2) &= f(g(2)) \\ \text{หา } g(2) \text{ ก่อน:} \quad g(2) &= (2)^2 + 1 = 4 + 1 = \textcolor{#ff6f00}{5} \\ \text{นำค่าที่ได้ไปแทนใน } f: \quad f(\textcolor{#ff6f00}{5}) &= 3(\textcolor{#ff6f00}{5}) \\ &= 15 \end{aligned} $$

Example 3.2

ฟังก์ชันซ้อนสามชั้น: กำหนด $f(x) = 2x$, $g(x) = x - 1$, $h(x) = x^2$ จงหา $(f \circ g \circ h)(3)$

Triple Composition: Given $f(x) = 2x$, $g(x) = x - 1$, $h(x) = x^2$, find $(f \circ g \circ h)(3)$

ทำจากด้านในสุดออกมาด้านนอก: $f(g(h(3)))$

$$ \begin{aligned} \text{ขั้นที่ 1:} \quad h(3) &= 3^2 = \textcolor{#c62828}{9} \\ \text{ขั้นที่ 2:} \quad g(\textcolor{#c62828}{9}) &= (\textcolor{#c62828}{9}) - 1 = \textcolor{#ff6f00}{8} \\ \text{ขั้นที่ 3:} \quad f(\textcolor{#ff6f00}{8}) &= 2(\textcolor{#ff6f00}{8}) = 16 \\ \text{ดังนั้น } (f \circ g \circ h)(3) &= 16 \end{aligned} $$

Example 3.3

จากเซตคู่อันดับ: กำหนด $f = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$ และ $g = \{(0, 1), (1, 2), (4, 3)\}$ จงหา $(f \circ g)(0)$

From Ordered Pairs: Given $f = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$ and $g = \{(0, 1), (1, 2), (4, 3)\}$, find $(f \circ g)(0)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(0) &= f(g(0)) \\ \text{จาก } g \text{ ดูที่ } x = 0 \text{ จะได้ } g(0) &= \textcolor{#ff6f00}{1} \quad \text{จากคู่อันดับ } (0, 1) \\ \text{ต่อมาหา } f(\textcolor{#ff6f00}{1}): \text{ ดูที่ } f \text{ เมื่อ } x = \textcolor{#ff6f00}{1} \text{ จะได้ } f(\textcolor{#ff6f00}{1}) &= 2 \quad \text{จากคู่อันดับ } (1, 2) \\ \text{ดังนั้น } (f \circ g)(0) &= 2 \end{aligned} $$

Example 3.4

คอมโพสิทตัวเอง: กำหนด $f(x) = 2x - 1$ จงหา $(f \circ f)(4)$

Self-Composition: Given $f(x) = 2x - 1$, find $(f \circ f)(4)$

$$ \begin{aligned} (f \circ f)(4) &= f(f(4)) \\ \text{หา } f(4) \text{ ก่อน:} \quad f(4) &= 2(4) - 1 = 8 - 1 = \textcolor{#ff6f00}{7} \\ \text{นำค่ากลับไปแทนใน } f \text{ อีกครั้ง:} \quad f(\textcolor{#ff6f00}{7}) &= 2(\textcolor{#ff6f00}{7}) - 1 \\ &= 14 - 1 \\ &= 13 \end{aligned} $$

Example 3.5

การแก้สมการย้อนกลับ: กำหนด $f(x) = x + 2$ และ $g(x) = 3x$ ถ้า $(f \circ g)(x) = 11$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าใด?

Solving Backwards: Given $f(x) = x + 2$ and $g(x) = 3x$. If $(f \circ g)(x) = 11$, what is the value of $x$?

$$ \begin{aligned} f(g(x)) &= 11 \\ f(\textcolor{#2e7d32}{3x}) &= 11 \quad \text{แทน } g(x) \\ (\textcolor{#2e7d32}{3x}) + 2 &= 11 \quad \text{เข้าสู่ฟังก์ชัน } f \\ 3x &= 11 - 2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \end{aligned} $$

Example 3.6

ค่าสัมบูรณ์: กำหนด $f(x) = |x - 5|$ และ $g(x) = 2x$ จงหา $(f \circ g)(1)$

Absolute Value: Given $f(x) = |x - 5|$ and $g(x) = 2x$, find $(f \circ g)(1)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(1) &= f(g(1)) \\ \text{หา } g(1): \quad g(1) &= 2(1) = \textcolor{#ff6f00}{2} \\ \text{นำไปแทนใน } f: \quad f(\textcolor{#ff6f00}{2}) &= |\textcolor{#ff6f00}{2} - 5| \\ &= |-3| \\ &= 3 \end{aligned} $$

Example 3.7

ฟังก์ชันแบบมีเงื่อนไข (Piecewise): กำหนด $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x+1, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ และ $g(x)=x^2 - 4$ จงหา $(f \circ g)(1)$

Piecewise Function: Given $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x+1, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ and $g(x)=x^2 - 4$, find $(f \circ g)(1)$

$$ \begin{aligned} \text{หา } g(1): \quad g(1) &= (1)^2 - 4 = 1 - 4 = \textcolor{#ff6f00}{-3} \\ \text{นำไปแทนใน } f: \quad f(\textcolor{#ff6f00}{-3}) &= ? \end{aligned} $$

เนื่องจาก $-3 < 0$ จึงต้องเลือกใช้เงื่อนไขล่าง คือ $f(x)=-x$

$$ \begin{aligned} f(\textcolor{#ff6f00}{-3}) &= -(\textcolor{#ff6f00}{-3}) \\ &= 3 \end{aligned} $$

Example 3.8

เศษส่วนซ้อนเศษส่วน: กำหนด $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ และ $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ จงหา $(f \circ g)(2)$

Rational Evaluation: Given $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ and $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$, find $(f \circ g)(2)$

$$ \begin{aligned} \text{หา } g(2): \quad g(2) &= \textcolor{#ff6f00}{\frac{1}{2}} \\ \text{นำไปแทนใน } f: \quad f\left(\textcolor{#ff6f00}{\frac{1}{2}}\right) &= \frac{\textcolor{#ff6f00}{\frac{1}{2}} + 1}{\textcolor{#ff6f00}{\frac{1}{2}} - 1} \\ &= \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} \\ &= \left(\frac{3}{2}\right) \times \left(-\frac{2}{1}\right) \\ &= -3 \end{aligned} $$

Example 3.9

การแก้สมการกำลังสองย้อนกลับ: กำหนด $f(x) = x^2$ และ $g(x) = x - 2$ ถ้า $(f \circ g)(x) = 9$ จงหาค่า $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

Solving Quadratic Backwards: Given $f(x) = x^2$ and $g(x) = x - 2$. If $(f \circ g)(x) = 9$, find all possible values of $x$.

$$ \begin{aligned} f(g(x)) &= 9 \\ f(x - 2) &= 9 \\ (x - 2)^2 &= 9 \quad \text{ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง จะได้ค่า } \pm \\ x - 2 &= \pm 3 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} x &= 3 + 2 \quad \text{หรือ} \quad x = -3 + 2 \\ x &= 5 \quad \text{หรือ} \quad x = -1 \end{aligned} $$

Example 3.10

ประเมินค่าจากการกำหนดคู่: กำหนดค่าของฟังก์ชันดังนี้ $f(1)=3, f(2)=5, g(3)=1, g(4)=2$ จงหา $(f \circ g)(4)$

Evaluation from Mapping: Given function values $f(1)=3, f(2)=5, g(3)=1, g(4)=2$, find $(f \circ g)(4)$

$$ \begin{aligned} (f \circ g)(4) &= f(g(4)) \\ \text{จากที่โจทย์กำหนดให้ } g(4) &= \textcolor{#ff6f00}{2} \\ \text{แทนค่าลงไป จะได้ } f(\textcolor{#ff6f00}{2}) &= ? \\ \text{และจากที่โจทย์กำหนดให้ } f(2) &= 5 \\ \text{ดังนั้น } (f \circ g)(4) &= 5 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Composite Function	componere (put together)	ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิท · การสร้างฟังก์ชันใหม่โดยนำผลลัพธ์ของฟังก์ชันหนึ่งไปเป็นค่าตั้งต้นของอีกฟังก์ชันหนึ่ง
Inner Function	internus (inward)	ฟังก์ชันด้านใน · ฟังก์ชันที่ถูกประเมินค่าเป็นอันดับแรก (เช่น $g(x)$ ใน $f(g(x))$)
Outer Function	exterus (outside)	ฟังก์ชันด้านนอก · ฟังก์ชันที่รับค่าที่คำนวณได้จากฟังก์ชันด้านในมาประมวลผลต่อ (เช่น $f(x)$ ใน $f(g(x))$)
Intersection	inter- (between) + secare (cut)	อินเตอร์เซกชัน (ส่วนตัด) · เซตที่เกิดจากสมาชิกร่วมกัน เป็นเงื่อนไขสำคัญที่ทำให้เกิดฟังก์ชันประกอบ ($R_g \cap D_f$)
Evaluate	ex- (out) + valere (be strong, value)	การหาค่า / การประเมินค่า · การแทนค่าตัวแปรด้วยตัวเลขเพื่อคำนวณหาผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์