ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน (Function) เป็นเครื่องมือพื้นฐานที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองชนิด โดยที่ผลลัพธ์หนึ่งจะขึ้นอยู่กับปัจจัยตั้งต้นเพียงปัจจัยเดียว การทำความเข้าใจฟังก์ชันต้องเริ่มจากการศึกษา ผลคูณคาร์ทีเซียน และ ความสัมพันธ์ ซึ่งเป็นรากฐานของโครงสร้างคู่อันดับ

In mathematics, a Function is a fundamental tool used to describe the relationship between two quantities, where one outcome strictly depends on one initial factor. Understanding functions requires foundational knowledge of the Cartesian Product and Relations, which form the basis of ordered pair structures.

📦 ผลคูณคาร์ทีเซียน 📦 Cartesian Product

ผลคูณคาร์ทีเซียน ของเซต $A$ และ $B$ (เขียนแทนด้วย $A \times B$) คือเซตของ คู่อันดับ $(a, b)$ ทั้งหมด โดยที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต $A$ และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต $B$

$$A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A \text{ และ } b \in B \}$$

The Cartesian Product of sets $A$ and $B$ (denoted as $A \times B$) is the set of all ordered pairs $(a, b)$ where the first element is from $A$ and the second is from $B$.

$$A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A \text{ and } b \in B \}$$

Example 1.1

กำหนด $A = \{1, 2\}$ และ $B = \{x, y\}$

$$A \times B = \{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)\}$$

Given $A = \{1, 2\}$ and $B = \{x, y\}$

$$A \times B = \{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)\}$$

Example 1.2

การสลับที่: จากตัวอย่าง 1.1 จงหา $B \times A$

$$B \times A = \{(x,1), (x,2), (y,1), (y,2)\}$$

$\text{สังเกตว่า } A \times B \neq B \times A$

Commutativity: From Ex 1.1, find $B \times A$

$$B \times A = \{(x,1), (x,2), (y,1), (y,2)\}$$

$\text{Note that } A \times B \neq B \times A$

Example 1.3

ผลคูณกับตัวเอง: $A = \{a, b\}$

$$A \times A = \{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)\}$$

Self-product: $A = \{a, b\}$

$$A \times A = \{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)\}$$

Example 1.4

จำนวนสมาชิก: $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$

$\text{ถ้า } n(A) = 3 \text{ และ } n(B) = 4$

$$n(A \times B) = 3 \times 4 = 12 \text{ คู่}$$

Number of elements: $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$

$\text{If } n(A) = 3 \text{ and } n(B) = 4$

$$n(A \times B) = 3 \times 4 = 12 \text{ pairs}$$

Example 1.5

ผลคูณกับเซตว่าง: $A = \{1, 2\}$ และ $B = \emptyset$

$$A \times \emptyset = \emptyset$$

$\text{ไม่สามารถจับคู่ได้ จึงเป็นเซตว่าง}$

Product with empty set: $A = \{1, 2\}$ and $B = \emptyset$

$$A \times \emptyset = \emptyset$$

$\text{Cannot form pairs, thus an empty set}$

🔗 ความสัมพันธ์ 🔗 Relations

ความสัมพันธ์ (Relation) $r$ จากเซต $A$ ไปยังเซต $B$ คือ สับเซตของ $A \times B$

นั่นคือ ความสัมพันธ์จะเป็นการเลือกคู่อันดับจากผลคูณคาร์ทีเซียนมาเฉพาะคู่ที่เข้าเงื่อนไขบางอย่าง

A Relation $r$ from set $A$ to set $B$ is a subset of $A \times B$.

Essentially, a relation selects only the ordered pairs from the Cartesian product that satisfy a specific condition.

Example 2.1

ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า": $A = \{1, 3\}$, $B = \{2, 4\}$

$$ \begin{aligned} A \times B &= \{(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)\} \\ r &= \{(x,y) \in A \times B \mid x < y\} \\ r &=\{(1,2), (1,4), (3,4)\} \end{aligned} $$

"Less than" relation: $A = \{1, 3\}$, $B = \{2, 4\}$

$$ \begin{aligned} A \times B &= \{(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)\} \\ r &= \{(x,y) \in A \times B \mid x < y\} \\ r &=\{(1,2), (1,4), (3,4)\} \end{aligned} $$

Example 2.2

ความสัมพันธ์ "เท่ากับ" บนเซต $A = \{1, 2, 3\}$

$$ \begin{aligned} r &= \{(x,y) \in A \times A \mid x = y\} \\ r &= \{(1,1), (2,2), (3,3)\} \end{aligned} $$

"Equals" relation on set $A = \{1, 2, 3\}$

$$ \begin{aligned} r &= \{(x,y) \in A \times A \mid x = y\} \\ r &= \{(1,1), (2,2), (3,3)\} \end{aligned} $$

Example 2.3

ความสัมพันธ์แบบแจกแจงสมาชิก

$$r = \{(1, a), (1, b), (2, c)\}$$

$\text{1 ตัวหน้า สามารถจับคู่ได้มากกว่า 1 ตัวหลัง}$

Relation by set of pairs

$$r = \{(1, a), (1, b), (2, c)\}$$

$\text{1 first element can map to more than 1 second element}$

Example 2.4

ความสัมพันธ์ผกผัน (Inverse) $r^{-1}$

$\text{สลับ } x \text{ และ } y \text{ จาก } r$

$$ \begin{aligned} r &= \{(1, 5), (2, 6)\} \\ r^{-1} &= \{(5, 1), (6, 2)\} \end{aligned} $$

Inverse Relation $r^{-1}$

$\text{Swap } x \text{ and } y \text{ from } r$

$$ \begin{aligned} r &= \{(1, 5), (2, 6)\} \\ r^{-1} &= \{(5, 1), (6, 2)\} \end{aligned} $$

Example 2.5

ความสัมพันธ์ที่เป็นสมการ: บน $\mathbb{R}$

$$r = \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid x^2 + y^2 = 25\}$$

$\text{กราฟคือวงกลมรัศมี } 5$

Relation as an equation: On $\mathbb{R}$

$$r = \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid x^2 + y^2 = 25\}$$

$\text{The graph is a circle of radius } 5$

🎯 นิยามของฟังก์ชัน 🎯 Functions Definition

ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์ที่ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับแต่ละตัว จับคู่กับสมาชิกตัวหลังได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น

นิยามทางคณิตศาสตร์: ถ้า $(x, y) \in f$ และ $(x, z) \in f$ แล้ว $y = z$

(จำง่ายๆ: $x$ ตัวเดียวกัน ห้ามมี $y$ หลายค่า / ห้ามใจเหลาะแหละ)

A Function is a relation in which each element of the domain (first element) maps to exactly one element of the range (second element).

Math definition: If $(x, y) \in f$ and $(x, z) \in f$, then $y = z$.

(Simply put: the same $x$ cannot have multiple $y$'s.)

Example 3.1

แบบแจกแจงสมาชิก (เป็นฟังก์ชัน)

$$f_1 = \{(1, 2), (2, 4), (3, 4)\}$$

$\text{เป็นฟังก์ชัน: ไม่มี } x \text{ ซ้ำกัน (} y \text{ ซ้ำกันได้)}$

Set of pairs (Is a Function)

$$f_1 = \{(1, 2), (2, 4), (3, 4)\}$$

$\text{Is function: No repeated } x \text{ (repeated } y \text{ is fine).}$

Example 3.2

แบบแจกแจงสมาชิก (ไม่เป็นฟังก์ชัน)

$$r_1 = \{(\textcolor{red}{1}, 2), (\textcolor{red}{1}, 3), (2, 4)\}$$

$\text{ไม่เป็นฟังก์ชัน: } x=1 \text{ จับคู่ทั้ง } 2 \text{ และ } 3$

Set of pairs (Not a Function)

$$r_1 = \{(\textcolor{red}{1}, 2), (\textcolor{red}{1}, 3), (2, 4)\}$$

$\text{Not a function: } x=1 \text{ maps to both } 2 \text{ and } 3.$

Example 3.3

แบบสมการ: $y = x^2$ (เป็นฟังก์ชัน)

$\text{แทน } x \text{ หนึ่งค่า ได้ } y \text{ ค่าเดียวเสมอ}$

Equation: $y = x^2$ (Is a Function)

$\text{One } x \text{ yields exactly one } y.$

Example 3.4

แบบสมการ: $x = y^2$ (ไม่เป็นฟังก์ชัน)

$\text{สมการได้ } y = \pm\sqrt{x} \text{ (ได้ } y \text{ 2 ค่า)}$

Equation: $x = y^2$ (Not a Function)

$\text{Yields } y = \pm\sqrt{x} \text{ (2 values of } y).$

Example 3.5

การทดสอบเส้นตรงแนวดิ่ง (Vertical Line Test)

ลากเส้นขนานแกน $Y$ หากตัดกราฟเกิน 1 จุด = ไม่เป็นฟังก์ชัน (ดัง Ex 3.4)

$$ x^2 + y^2 = 4 \implies \text{กราฟวงกลม}$$

$\text{เส้นดิ่งตัด 2 จุด = ไม่เป็นฟังก์ชัน}$

Vertical Line Test

Draw a line parallel to the $Y$-axis. If it cuts the graph at more than 1 point = Not a function (like Ex 3.4)

$$ x^2 + y^2 = 4 \implies \text{Circle graph}$$

$\text{Vertical line cuts at 2 points = Not a function}$

📏 โดเมนและเรนจ์ 📏 Domain and Range

โดเมน (Domain, $D_f$): เซตของสมาชิกตัวหน้า ($x$) ทั้งหมดที่เป็นไปได้ในความสัมพันธ์หรือฟังก์ชัน

เรนจ์ (Range, $R_f$): เซตของสมาชิกตัวหลัง ($y$) ทั้งหมดที่เป็นไปได้ในความสัมพันธ์หรือฟังก์ชัน

หลักการหา $D_f$: จัดรูป $y = \text{เทอมของ } x$ แล้วดูว่า $x$ ห้ามเป็นอะไร

หลักการหา $R_f$: จัดรูป $x = \text{เทอมของ } y$ แล้วดูว่า $y$ ห้ามเป็นอะไร

Domain ($D_f$): The set of all possible first elements ($x$) in the relation/function.

Range ($R_f$): The set of all possible second elements ($y$) in the relation/function.

To find $D_f$: Isolate $y = f(x)$, find restrictions on $x$.

To find $R_f$: Isolate $x = f(y)$, find restrictions on $y$.

Example 4.1

จากเซตคู่อันดับ

$$f = \{(-1, 3), (0, 4), (1, 5)\}$$

$$ \begin{aligned} D_f &= \{-1, 0, 1\} \\ R_f &= \{3, 4, 5\} \end{aligned} $$

From set of ordered pairs

$$f = \{(-1, 3), (0, 4), (1, 5)\}$$

$$ \begin{aligned} D_f &= \{-1, 0, 1\} \\ R_f &= \{3, 4, 5\} \end{aligned} $$

Example 4.2

ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear): $y = 3x - 2$

ไม่มีเศษส่วน ไม่มีรากที่สอง แทน $x$ และ $y$ ได้ทุกจำนวนจริง

$$ \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \\ R_f &= \mathbb{R} \end{aligned} $$

Linear function: $y = 3x - 2$

No fractions, no square roots. $x, y$ can be any real number.

$$ \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \\ R_f &= \mathbb{R} \end{aligned} $$

Example 4.3

ฟังก์ชันเศษส่วน: $\displaystyle y = \frac{5}{x - 2}$

หา $D_f$: ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

$$ \begin{aligned} x - 2 &\neq 0 \\ x &\neq 2 \implies D_f = \mathbb{R} - \{2\} \end{aligned} $$

Rational function: $\displaystyle y = \frac{5}{x - 2}$

Find $D_f$: Denominator cannot be zero.

$$ \begin{aligned} x - 2 &\neq 0 \\ x &\neq 2 \implies D_f = \mathbb{R} - \{2\} \end{aligned} $$

Example 4.4

ฟังก์ชันติดราก: $y = \sqrt{x - 3}$

หา $D_f$: ในรากคู่ต้อง $\ge 0$

$$ \begin{aligned} x - 3 &\ge 0 \\ x &\ge 3 \implies D_f = [3, \infty) \end{aligned} $$

หา $R_f$: รากที่สองเป็นบวกเสมอ $y \ge 0$

Radical function: $y = \sqrt{x - 3}$

Find $D_f$: Inside even root $\ge 0$.

$$ \begin{aligned} x - 3 &\ge 0 \\ x &\ge 3 \implies D_f = [3, \infty) \end{aligned} $$

Find $R_f$: Square root is always positive $y \ge 0$.

Example 4.5

หา $R_f$ จากการจัดรูปสมการ: $\displaystyle y = \frac{2x}{x - 1}$

จัดรูป $x = \text{เทอมของ } y$:

$$ \begin{aligned} y(x - 1) &= 2x \\ yx - y &= 2x \\ yx - 2x &= y \\ x(y - 2) &= y \\ x &= \frac{y}{y - 2} \end{aligned} $$

$\text{ตัวส่วน } y - 2 \neq 0 \implies R_f = \mathbb{R} - \{2\}$

Find $R_f$ by rearranging: $\displaystyle y = \frac{2x}{x - 1}$

Isolate $x$ in terms of $y$:

$$ \begin{aligned} y(x - 1) &= 2x \\ yx - y &= 2x \\ yx - 2x &= y \\ x(y - 2) &= y \\ x &= \frac{y}{y - 2} \end{aligned} $$

$\text{Denominator } y - 2 \neq 0 \implies R_f = \mathbb{R} - \{2\}$

Example 4.6

ฟังก์ชันกำลังสอง (Quadratic): $y = x^2 + 2x - 3$

หา $D_f$: ไม่มีข้อจำกัดทางคณิตศาสตร์ แทนค่า $x$ ได้ทุกจำนวนจริง

หา $R_f$: จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เพื่อหาค่าต่ำสุด

$$ \begin{aligned} y &= (x^2 + 2x + 1) - 4 \\ y &= (x + 1)^2 - 4 \end{aligned} $$

เนื่องจาก $(x + 1)^2 \ge 0$ จะได้ $y \ge -4$

$$ \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \\ R_f &= [-4, \infty) \end{aligned} $$

Quadratic function: $y = x^2 + 2x - 3$

Find $D_f$: No restrictions on $x$. $x$ can be any real number.

Find $R_f$: Complete the square to find the minimum value.

$$ \begin{aligned} y &= (x^2 + 2x + 1) - 4 \\ y &= (x + 1)^2 - 4 \end{aligned} $$

Since $(x + 1)^2 \ge 0$, we have $y \ge -4$.

$$ \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \\ R_f &= [-4, \infty) \end{aligned} $$

Example 4.7

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value): $y = |x - 1| + 2$

หา $D_f$: แทน $x$ ได้ทุกจำนวนจริง

หา $R_f$: พิจารณาจากสมบัติของค่าสัมบูรณ์

เนื่องจาก $|x - 1| \ge 0$ เสมอ

บวก 2 ทั้งสองข้าง: $|x - 1| + 2 \ge 2 \implies y \ge 2$

$$ \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \\ R_f &= [2, \infty) \end{aligned} $$

Absolute value function: $y = |x - 1| + 2$

Find $D_f$: $x$ can be any real number.

Find $R_f$: Consider the property of absolute values.

Since $|x - 1| \ge 0$ always,

Add 2 to both sides: $|x - 1| + 2 \ge 2 \implies y \ge 2$.

$$ \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \\ R_f &= [2, \infty) \end{aligned} $$

Example 4.8

ฟังก์ชันเศษส่วนที่มีรากเป็นตัวส่วน: $\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

หา $D_f$: ตัวเลขใต้รากคู่ต้องมากกว่าศูนย์ (ห้ามเป็นลบ และห้ามเป็นศูนย์เพราะเป็นตัวส่วน)

$$ \begin{aligned} x - 2 &> 0 \\ x &> 2 \implies D_f = (2, \infty) \end{aligned} $$

หา $R_f$: เนื่องจากเศษเป็นบวก และส่วนเป็นบวกเสมอ

ทำให้ $y$ มีค่ามากกว่า 0 เสมอ

$$ R_f = (0, \infty) $$

Rational function with radical denominator: $\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Find $D_f$: The expression inside the root must be strictly positive (cannot be negative, and cannot be zero since it is in the denominator).

$$ \begin{aligned} x - 2 &> 0 \\ x &> 2 \implies D_f = (2, \infty) \end{aligned} $$

Find $R_f$: Since the numerator is positive and the denominator is always positive,

$y$ must be strictly greater than 0.

$$ R_f = (0, \infty) $$

Example 4.9

ฟังก์ชันครึ่งวงกลม (Semi-circle): $y = \sqrt{9 - x^2}$

หา $D_f$: ค่าในรากที่สองต้องไม่ติดลบ

$$ \begin{aligned} 9 - x^2 &\ge 0 \\ x^2 &\le 9 \\ -3 \le x &\le 3 \implies D_f = [-3, 3] \end{aligned} $$

หา $R_f$: เนื่องจากรากที่สองเป็นบวกเสมอ และค่าสูงสุดของรากคือเมื่อ $x = 0$

$$ \begin{aligned} y_{min} &= \sqrt{9 - 3^2} = 0 \\ y_{max} &= \sqrt{9 - 0^2} = 3 \implies R_f = [0, 3] \end{aligned} $$

Semi-circle function: $y = \sqrt{9 - x^2}$

Find $D_f$: The expression inside the square root must be non-negative.

$$ \begin{aligned} 9 - x^2 &\ge 0 \\ x^2 &\le 9 \\ -3 \le x &\le 3 \implies D_f = [-3, 3] \end{aligned} $$

Find $R_f$: Since the square root is non-negative and its maximum occurs when $x = 0$:

$$ \begin{aligned} y_{min} &= \sqrt{9 - 3^2} = 0 \\ y_{max} &= \sqrt{9 - 0^2} = 3 \implies R_f = [0, 3] \end{aligned} $$

Example 4.10

ฟังก์ชันเศษส่วนที่มีกำลังสอง: $\displaystyle y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$

หา $D_f$: เนื่องจาก $x^2 + 1 \ge 1$ ไม่มีทางเป็นศูนย์ แทน $x$ ได้ทุกจำนวนจริง

หา $R_f$: จัดรูป $x = \text{เทอมของ } y$

$$ \begin{aligned} y(x^2 + 1) &= x^2 \\ yx^2 + y &= x^2 \\ yx^2 - x^2 &= -y \\ x^2(y - 1) &= -y \\ x^2 &= \frac{y}{1 - y} \end{aligned} $$

เนื่องจาก $x^2 \ge 0$ จะได้ $\frac{y}{1 - y} \ge 0$ (โดยที่ $y \neq 1$)

$$ \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \\ R_f &= [0, 1) \end{aligned} $$

Rational function with squared terms: $\displaystyle y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$

Find $D_f$: Since $x^2 + 1 \ge 1$, the denominator is never zero. $x$ can be any real number.

Find $R_f$: Isolate $x$ in terms of $y$.

$$ \begin{aligned} y(x^2 + 1) &= x^2 \\ yx^2 + y &= x^2 \\ yx^2 - x^2 &= -y \\ x^2(y - 1) &= -y \\ x^2 &= \frac{y}{1 - y} \end{aligned} $$

Since $x^2 \ge 0$, we have $\frac{y}{1 - y} \ge 0$ (where $y \neq 1$).

$$ \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \\ R_f &= [0, 1) \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Relation	relatus (carried back)	ความสัมพันธ์ · ชุดของคู่อันดับที่เป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน
Function	functio (performance)	ฟังก์ชัน · ความสัมพันธ์ที่ตัวแปรต้น (x) 1 ค่า จะให้ค่าตัวแปรตาม (y) เพียงค่าเดียวเท่านั้น
Cartesian Product	Cartesius (René Descartes)	ผลคูณคาร์ทีเซียน · เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้จากการนำสมาชิกเซตมาจับคู่กัน
Domain	dominium (property)	โดเมน · เซตของสมาชิกตัวหน้า (x) ทั้งหมดในความสัมพันธ์
Range	rang (row, line)	เรนจ์ · เซตของสมาชิกตัวหลัง (y) ทั้งหมดในความสัมพันธ์
Ordered Pair	ordo (order) + par (equal)	คู่อันดับ · สัญลักษณ์ $(a,b)$ บ่งบอกถึงตำแหน่งที่มีความสำคัญในการจับคู่ สลับที่ไม่ได้