อินเวอร์สของฟังก์ชัน

อินเวอร์สของฟังก์ชัน (Inverse of a Function) เขียนแทนด้วย $f^{-1}$ คือกระบวนการ "ย้อนกลับ" การทำงานของฟังก์ชันเดิม โดยการสลับบทบาทกันระหว่าง สมาชิกตัวหน้า (Domain) และ สมาชิกตัวหลัง (Range) อย่างไรก็ตาม อินเวอร์สของฟังก์ชันจะยังคงเป็นฟังก์ชันได้ก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชันตั้งต้นนั้นเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-One Function) เท่านั้น

The Inverse of a Function, denoted as $f^{-1}$, is the process of "reversing" the original function by swapping the roles of the first elements (Domain) and second elements (Range). However, the inverse of a function is only guaranteed to be a function itself if the original function is a One-to-One Function.

f = \{(x, y) \mid y = f(x)\} \implies f^{-1} = \{(y, x) \mid y = f(x)\}

🔄 การหาอินเวอร์สจากคู่อันดับและกราฟ / Finding Inverse from Ordered Pairs and Graphs

หลักการพื้นฐานที่สุดในการหาอินเวอร์สคือ การสลับตำแหน่งระหว่าง $x$ และ $y$ หากแสดงบนกราฟ กราฟของ $f^{-1}$ จะเกิดจากการสะท้อนกราฟของ $f$ โดยมีเส้นตรง $y = x$ เป็นเส้นสะท้อน

The most fundamental principle for finding an inverse is swapping the positions of $x$ and $y$. Geometrically, the graph of $f^{-1}$ is the reflection of the graph of $f$ across the line $y = x$.

Example 1.1

สลับสมาชิกในเซตแบบแจกแจงสมาชิก

Swapping elements in a roster set

\begin{aligned} f &= \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\} \\ f^{-1} &= \{(4, 1), (5, 2), (6, 3)\} \end{aligned}

$f^{-1}$ เป็นฟังก์ชัน เพราะไม่มี $x$ ตัวใดซ้ำกัน

Example 1.2

เมื่ออินเวอร์ส ไม่เป็น ฟังก์ชัน

When the inverse is NOT a function

\begin{aligned} g &= \{(-2, 4), (0, 0), (2, 4)\} \quad \text{(เป็นฟังก์ชัน)} \\ g^{-1} &= \{(4, -2), (0, 0), (4, 2)\} \quad \text{(ไม่เป็นฟังก์ชัน)} \end{aligned}

$g^{-1}$ ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ $x=4$ จับคู่กับทั้ง $-2$ และ $2$ (แสดงว่า $g$ ไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1)

$g^{-1}$ is not a function because $x=4$ maps to both $-2$ and $2$ (implies $g$ is not 1-1).

Example 1.3

การหาอินเวอร์สจากเซตแบบบอกเงื่อนไข

Finding inverse from set-builder notation

\begin{aligned} f &= \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid y = 3x - 1\} \\ f^{-1} &= \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid x = 3y - 1\} \end{aligned}

$\text{เพียงแค่เปลี่ยนตัวแปร } x \text{ เป็น } y \text{ และ } y \text{ เป็น } x$

Example 1.4

การสะท้อนกราฟเส้นตรงผ่านแกน $y = x$

Reflecting a linear graph across $y = x$

$\text{จุด } (a, b) \text{ บนกราฟ } f \text{ จะกลายเป็นจุด } (b, a) \text{ บนกราฟ } f^{-1}$

Example 1.5

การสะท้อนกราฟเส้นโค้งผ่านแกน $y = x$

Reflecting a curved graph across $y = x$

$\text{กราฟพาราโบลาซีกขวา สะท้อนเป็นกราฟรากที่สอง}$

✍️ การหาอินเวอร์สจากสมการ / Finding Inverse Algebraically

ขั้นตอนการหาฟังก์ชันอินเวอร์ส $f^{-1}(x)$ จากสมการ มี 4 ขั้นตอนดังนี้:

เปลี่ยนสัญลักษณ์ $f(x)$ ให้เป็น $y$
สลับที่ ระหว่างตัวแปร $x$ และ $y$ ทุกจุดในสมการ
จัดรูปสมการใหม่เพื่อให้ เหลือ $y$ เพียงตัวเดียว ในฝั่งใดฝั่งหนึ่ง
เปลี่ยน $y$ กลับเป็น $f^{-1}(x)$

The 4-step process to find the inverse function $f^{-1}(x)$ algebraically:

Replace $f(x)$ with $y$.
Swap every $x$ and $y$ in the equation.
Solve the new equation to isolate $y$ on one side.
Replace $y$ with $f^{-1}(x)$.

Example 2.1

ฟังก์ชันเชิงเส้น: จงหา $f^{-1}(x)$ เมื่อ $f(x) = 2x - 5$

Linear Function: Find $f^{-1}(x)$ if $f(x) = 2x - 5$

\begin{aligned} y &= 2x - 5 \quad &\text{(เปลี่ยน } f(x) \text{ เป็น } y \text{)} \\ x &= 2y - 5 \quad &\text{(สลับ } x \text{ กับ } y \text{)} \\ x + 5 &= 2y \quad &\text{(ย้าย 5 ไปบวก)} \\ y &= \frac{x + 5}{2} \quad &\text{(ย้าย 2 ไปหาร)} \\ f^{-1}(x) &= \frac{x + 5}{2} \end{aligned}

Example 2.2

ฟังก์ชันตรรกยะ (เศษส่วน): จงหา $f^{-1}(x)$ เมื่อ $\displaystyle f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$

Rational Function: Find $f^{-1}(x)$ if $\displaystyle f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$

\begin{aligned} y &= \frac{x + 3}{x - 2} \\ x &= \frac{y + 3}{y - 2} \quad &\text{(สลับ } x, y \text{)} \\ x(y - 2) &= y + 3 \quad &\text{(คูณไขว้)} \\ xy - 2x &= y + 3 \\ xy - y &= 2x + 3 \quad &\text{(ย้ายพจน์ที่มี } y \text{ ไว้ฝั่งเดียวกัน)} \\ y(x - 1) &= 2x + 3 \quad &\text{(ดึงตัวร่วม } y \text{)} \\ y &= \frac{2x + 3}{x - 1} \\ f^{-1}(x) &= \frac{2x + 3}{x - 1} \quad &(x \neq 1) \end{aligned}

Example 2.3

ฟังก์ชันพหุนามกำลังสาม: จงหา $f^{-1}(x)$ เมื่อ $f(x) = x^3 + 4$

Cubic Function: Find $f^{-1}(x)$ if $f(x) = x^3 + 4$

\begin{aligned} y &= x^3 + 4 \\ x &= y^3 + 4 \\ y^3 &= x - 4 \\ y &= \sqrt[3]{x - 4} \quad &\text{(ถอดรากที่ 3)} \\ f^{-1}(x) &= \sqrt[3]{x - 4} \end{aligned}

Example 2.4

ฟังก์ชันติดกรณฑ์ (รากที่สอง): จงหา $f^{-1}(x)$ เมื่อ $f(x) = \sqrt{x - 1}$

Radical Function: Find $f^{-1}(x)$ if $f(x) = \sqrt{x - 1}$

$\text{สังเกตว่า } R_f \text{ คือ } y \ge 0 \text{ ดังนั้น } D_{f^{-1}} \text{ จะต้องเป็น } x \ge 0$

\begin{aligned} y &= \sqrt{x - 1} \\ x &= \sqrt{y - 1} \\ x^2 &= y - 1 \quad &\text{(ยกกำลังสองทั้งสองข้าง)} \\ y &= x^2 + 1 \\ f^{-1}(x) &= x^2 + 1 \quad &(x \ge 0) \end{aligned}

Example 2.5

ฟังก์ชันกำลังสอง (ที่มีการจำกัดโดเมน): จงหา $f^{-1}(x)$ เมื่อ $f(x) = x^2 - 3, \text{ เมื่อ } x \le 0$

Quadratic Function (restricted domain): Find $f^{-1}(x)$ if $f(x) = x^2 - 3, \text{ for } x \le 0$

$\text{เนื่องจาก } x \le 0 \text{ ในตอนแรก เมื่อสลับตัวแปร จะได้เงื่อนไข } y \le 0 \text{ ติดมาด้วย}$

\begin{aligned} y &= x^2 - 3 \\ x &= y^2 - 3 \\ y^2 &= x + 3 \\ y &= \pm\sqrt{x + 3} \end{aligned}

$\text{แต่เนื่องจาก } y \le 0 \text{ เราจึงต้องเลือกค่าลบเพียงค่าเดียว}$

f^{-1}(x) = -\sqrt{x + 3}

✨ สมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันอินเวอร์ส / Properties of Inverse Functions

ฟังก์ชันอินเวอร์สมีสมบัติพิเศษที่ช่วยให้เราตรวจสอบความถูกต้องและนำไปประยุกต์ใช้ทำโจทย์ได้อย่างรวดเร็ว โดยมีสมบัติหลักๆ ดังนี้:

Inverse functions possess special properties that help us verify correctness and solve problems quickly. The main properties are:

Property 1: Domain & Range Swap

โดเมนของ $f^{-1}$ คือเรนจ์ของ $f$ และเรนจ์ของ $f^{-1}$ คือโดเมนของ $f$

The domain of $f^{-1}$ is the range of $f$, and the range of $f^{-1}$ is the domain of $f$.

D_{f^{-1}} = R_f \quad \text{และ} \quad R_{f^{-1}} = D_f

$\text{ตัวอย่าง: ถ้า } D_f = [2, \infty) \text{ และ } R_f = [0, \infty) \text{ จะได้ว่า } D_{f^{-1}} = [0, \infty) \text{ และ } R_{f^{-1}} = [2, \infty)$

Property 2: Cancellation Property

การนำ $f$ มาคอมโพสิตกับ $f^{-1}$ จะหักล้างกันเหลือเพียง $x$ (เสมือนฟังก์ชันเอกลักษณ์)

Composing $f$ with $f^{-1}$ cancels out, leaving only $x$ (Identity function behavior).

\begin{aligned} f(f^{-1}(x)) &= x \quad \text{สำหรับทุก } x \in D_{f^{-1}} \\ f^{-1}(f(x)) &= x \quad \text{สำหรับทุก } x \in D_f \end{aligned}

$\text{ตัวอย่าง: ถ้า } f(x) = 2x \text{ และ } f^{-1}(x) = \frac{x}{2} \implies f(f^{-1}(x)) = 2\left(\frac{x}{2}\right) = x$

Property 3: Inverse of an Inverse

อินเวอร์สของฟังก์ชันอินเวอร์ส จะกลับมาเป็นฟังก์ชันตั้งต้น

The inverse of an inverse function returns to the original function.

(f^{-1})^{-1} = f

$\text{การสลับ } x, y \text{ สองครั้ง จะทำให้กลับมาอยู่ที่เดิม}$

Property 4: Inverse of a Composition

อินเวอร์สของฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) จะกระจายเข้าไปและ สลับลำดับ

The inverse of a composite function distributes and reverses the order.

(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)

$\text{เปรียบเสมือนการใส่ถุงเท้า (g) แล้วใส่รองเท้า (f) เวลาย้อนกลับต้องถอดรองเท้า } (f^{-1}) \text{ ก่อนถอดถุงเท้า } (g^{-1})$

Property 5: Intersection on y = x

หากกราฟของ $f(x)$ และ $f^{-1}(x)$ ตัดกัน จุดตัดเหล่านั้นมักจะอยู่บนเส้นตรง $y = x$

If the graphs of $f(x)$ and $f^{-1}(x)$ intersect, the intersection points typically lie on the line $y = x$.

\text{แก้สมการ } f(x) = f^{-1}(x) \text{ สามารถทำได้ง่ายๆ โดยการแก้สมการ } f(x) = x

$\text{ตัวอย่าง: แทนที่จะแก้ } x^3 = \sqrt[3]{x} \text{ ให้แก้ } x^3 = x \text{ แทน จะได้ } x = -1, 0, 1$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Inverse	inversus (turned upside down)	อินเวอร์ส, ผกผัน · การย้อนกลับหรือสลับตำแหน่ง (โดเมนเป็นเรนจ์)
One-to-One	Injection / Injective	ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง · ฟังก์ชันที่ค่า $y$ แต่ละค่า มาจากค่า $x$ เพียงค่าเดียวเท่านั้น
Reflection	reflectere (bend back)	การสะท้อน · การพลิกภาพข้ามแกน (ในกรณีนี้คือแกนสมมาตร $y=x$)
Identity Function	idem (same)	ฟังก์ชันเอกลักษณ์ · ฟังก์ชันที่ให้ค่าผลลัพธ์เท่ากับค่าที่ใส่เข้าไป ($f(x) = x$)
Composition	componere (put together)	ฟังก์ชันประกอบ · การนำผลลัพธ์ของฟังก์ชันหนึ่งไปใส่เป็นตัวแปรต้นของอีกฟังก์ชันหนึ่ง