อินเวอร์สของฟังก์ชัน

อินเวอร์สของฟังก์ชัน (Inverse of a Function) หรือ ฟังก์ชันผกผัน เขียนแทนด้วย $f^{-1}$ คือกระบวนการย้อนกลับการทำงานของฟังก์ชันเดิม กล่าวคือ หากฟังก์ชัน $f$ ทำหน้าที่ส่งค่าจาก $x$ ไปหา $y$ ฟังก์ชันอินเวอร์ส $f^{-1}$ จะทำหน้าที่ส่งค่าจาก $y$ กลับมาหา $x$ โดยการสลับที่ระหว่าง โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (Range) นั่นเอง

The Inverse of a Function, denoted as $f^{-1}$, is a process that reverses the action of the original function. If a function $f$ maps $x$ to $y$, its inverse $f^{-1}$ maps $y$ back to $x$. This is essentially done by swapping the Domain and Range.

📍 การหาอินเวอร์สจากคู่อันดับและกราฟ 📍 Finding Inverse from Ordered Pairs & Graphs

หลักการที่ง่ายที่สุดในการหาอินเวอร์สคือ "การสลับที่สมาชิก" ในแต่ละคู่อันดับจาก $(x, y)$ ให้กลายเป็น $(y, x)$
ส่วนในเชิงกราฟ กราฟของอินเวอร์สจะเกิดจาก การสะท้อน (Reflection) กราฟเดิมโดยมีเส้นตรง $y = x$ เป็นแกนสมมาตร

The simplest principle to find an inverse is "Swapping the elements" of each ordered pair from $(x, y)$ to $(y, x)$.
Graphically, the inverse graph is a Reflection of the original graph across the line $y = x$.

Example 1.1

กำหนดฟังก์ชันแบบแจกแจงสมาชิก $f = \{(1, 2), (3, 4), (5, 6)\}$ จงหา $f^{-1}$

สลับตำแหน่งสมาชิกตัวหน้าและตัวหลังในทุกคู่อันดับ

$$ f^{-1} = \{(2, 1), (4, 3), (6, 5)\} $$

Given the function $f = \{(1, 2), (3, 4), (5, 6)\}$, find $f^{-1}$.

Swap the first and second elements in every ordered pair.

$$ f^{-1} = \{(2, 1), (4, 3), (6, 5)\} $$

Example 1.2

กำหนดความสัมพันธ์ $r = \{(x, y) \mid y = 2x - 1\}$ จงหา $r^{-1}$ แบบบอกเงื่อนไข

สลับตัวแปร $x$ และ $y$ ในเงื่อนไขของเซต

$$ r^{-1} = \{(x, y) \mid x = 2y - 1\} $$

*หมายเหตุ: นิยมจัดรูปสมการใหม่ให้อยู่ในรูป $y = \dots$ (ดูต่อในหัวข้อที่ 2)

Given the relation $r = \{(x, y) \mid y = 2x - 1\}$, find $r^{-1}$ in set-builder notation.

Swap the variables $x$ and $y$ in the condition.

$$ r^{-1} = \{(x, y) \mid x = 2y - 1\} $$

*Note: It is customary to rearrange the equation to $y = \dots$ (See Section 2).

Example 1.3

ถ้าทราบว่ากราฟของฟังก์ชัน $f$ ผ่านจุด $(4, -7)$ จุดใดจะต้องอยู่บนกราฟของ $f^{-1}$ อย่างแน่นอน?

$$ \begin{aligned} \text{จากหลักการ } (x, y) \in f &\implies (y, x) \in f^{-1} \\ \text{ดังนั้นจุดที่อยู่บน } f^{-1} &\text{ คือ } (-7, 4) \end{aligned} $$

If the graph of function $f$ passes through the point $(4, -7)$, which point must be on the graph of $f^{-1}$?

$$ \begin{aligned} \text{From the rule } (x, y) \in f &\implies (y, x) \in f^{-1} \\ \text{Thus, the point on } f^{-1} &\text{ is } (-7, 4) \end{aligned} $$

Example 1.4

กำหนดฟังก์ชัน $f$ ซึ่ง $f(5) = 12$ จงหาค่าของ $f^{-1}(12)$

$$ \begin{aligned} \text{จาก } f(5) = 12 &\implies \text{คู่อันดับคือ } (5, 12) \in f \\ \text{สลับเป็นอินเวอร์สจะได้} &\implies (12, 5) \in f^{-1} \\ \text{นั่นคือ } f^{-1}(12) &= 5 \end{aligned} $$

Given a function $f$ where $f(5) = 12$, find the value of $f^{-1}(12)$.

$$ \begin{aligned} \text{From } f(5) = 12 &\implies \text{The ordered pair is } (5, 12) \in f \\ \text{Swapping for inverse gives} &\implies (12, 5) \in f^{-1} \\ \text{Therefore, } f^{-1}(12) &= 5 \end{aligned} $$

Example 1.5

กำหนดให้ $f = \{(-1, 3), (2, 3), (4, 5)\}$ จงหา $f^{-1}$ และตรวจสอบว่า $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันหรือไม่?

$$ \begin{aligned} f^{-1} &= \{(3, -1), (3, 2), (5, 4)\} \\ &\textbf{\color{#c62828}ไม่เป็นฟังก์ชัน} \\ &\text{เนื่องจากสมาชิกตัวหน้าคือ } 3 \text{ จับคู่กับตัวหลังมากกว่า 1 ตัว (คือ } -1 \text{ และ } 2\text{)} \end{aligned} $$

Given $f = \{(-1, 3), (2, 3), (4, 5)\}$, find $f^{-1}$ and determine if $f^{-1}$ is a function.

$$ \begin{aligned} f^{-1} &= \{(3, -1), (3, 2), (5, 4)\} \\ &\textbf{\color{#c62828}Not a function} \\ &\text{Because the first element } 3 \text{ is paired with more than one output (} -1 \text{ and } 2\text{).} \end{aligned} $$

Example 1.6

กำหนดความสัมพันธ์ $r = \{(1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17)\}$ จงหาโดเมนและเรนจ์ของ $r^{-1}$

$$ \begin{aligned} r^{-1} &= \{(2, 1), (5, 2), (10, 3), (17, 4)\} \\ D_{r^{-1}} &= \{2, 5, 10, 17\} \\ R_{r^{-1}} &= \{1, 2, 3, 4\} \end{aligned} $$

Given the relation $r = \{(1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17)\}$, find the domain and range of $r^{-1}$.

$$ \begin{aligned} r^{-1} &= \{(2, 1), (5, 2), (10, 3), (17, 4)\} \\ D_{r^{-1}} &= \{2, 5, 10, 17\} \\ R_{r^{-1}} &= \{1, 2, 3, 4\} \end{aligned} $$

Example 1.7

กำหนดจุด $(a, 3)$ อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน $f$ และจุด $(3, 5)$ อยู่บนกราฟของ $f^{-1}$ จงหาค่า $a$

$$ \begin{aligned} (3, 5) \in f^{-1} &\implies (5, 3) \in f \\ \text{เนื่องจาก } (a, 3) \in f &\text{ และ } f \text{ เป็นฟังก์ชัน} \\ \text{จะได้ } a &= 5 \end{aligned} $$

Given that the point $(a, 3)$ lies on the graph of function $f$ and $(3, 5)$ lies on the graph of $f^{-1}$, find the value of $a$.

$$ \begin{aligned} (3, 5) \in f^{-1} &\implies (5, 3) \in f \\ \text{Since } (a, 3) \in f &\text{ and } f \text{ is a function,} \\ \text{we must have } a &= 5 \end{aligned} $$

Example 1.8

กราฟของความสัมพันธ์ $r = \{(x, y) \mid y = x^2\}$ มีอินเวอร์สเป็นฟังก์ชันหรือไม่?

$$ \begin{aligned} &\text{สลับตัวแปรอินเวอร์สจะได้ } r^{-1} = \{(x, y) \mid x = y^2 \text{ หรือ } y = \pm\sqrt{x}\} \\ &\text{กราฟของ } r^{-1} \text{ จะเป็นพาราโบลาเปิดทางขวา} \\ &\text{เมื่อทดสอบด้วยเส้นแนวตั้ง (Vertical Line Test) จะตัดกราฟ 2 จุด} \\ &\textbf{\color{#c62828}ดังนั้น อินเวอร์สไม่เป็นฟังก์ชัน} \end{aligned} $$

Does the relation $r = \{(x, y) \mid y = x^2\}$ have an inverse that is a function?

$$ \begin{aligned} &\text{Swapping variables gives } r^{-1} = \{(x, y) \mid x = y^2 \text{ or } y = \pm\sqrt{x}\} \\ &\text{The graph of } r^{-1} \text{ is a horizontal parabola opening right.} \\ &\text{By the Vertical Line Test, a vertical line intersects it twice.} \\ &\textbf{\color{#c62828}Therefore, the inverse is not a function.} \end{aligned} $$

📝 การหาอินเวอร์สจากสมการ 📝 Finding Inverse from Equations

การหาอินเวอร์สจากฟังก์ชันที่อยู่ในรูปสมการ $y = f(x)$ มีขั้นตอนมาตรฐานดังนี้:

เปลี่ยนสัญลักษณ์ $f(x)$ ให้เป็น $y$ เพื่อความสะดวกในการคำนวณ
สลับตัวแปร: เปลี่ยน $x$ เป็น $y$ และเปลี่ยน $y$ เป็น $x$
จัดรูปสมการ: แก้สมการเพื่อจัดให้อยู่ในรูป $y$ ในเทอมของ $x$ ($y = \dots$)
เปลี่ยนสัญลักษณ์ $y$ ที่ได้ในขั้นตอนสุดท้ายเป็น $f^{-1}(x)$

Finding the inverse of a function given by an equation $y = f(x)$ involves these standard steps:

Replace $f(x)$ with $y$ for ease of calculation.
Swap variables: Replace $x$ with $y$ and replace $y$ with $x$.
Solve for y: Rearrange the equation to isolate $y$ in terms of $x$ ($y = \dots$).
Replace $y$ with $f^{-1}(x)$ in the final step.

Example 2.1

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f(x) = 3x - 4$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } y &= 3x - 4 \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= 3y - 4 \\ \text{แก้สมการหา } y \implies 3y &= x + 4 \\ y &= \frac{x + 4}{3} \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) &= \frac{x + 4}{3} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $f(x) = 3x - 4$.

$$ \begin{aligned} \text{Let } y &= 3x - 4 \\ \text{Swap } x, y \implies x &= 3y - 4 \\ \text{Solve for } y \implies 3y &= x + 4 \\ y &= \frac{x + 4}{3} \\ \text{Thus, } f^{-1}(x) &= \frac{x + 4}{3} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$

$$ \begin{aligned} y &= \frac{2x+1}{x-3} \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= \frac{2y+1}{y-3} \\ x(y-3) &= 2y+1 \quad \text{(คูณไขว้)} \\ xy - 3x &= 2y + 1 \\ xy - 2y &= 3x + 1 \quad \text{(ย้ายเทอมที่มี } y \text{ ไว้ฝั่งเดียวกัน)} \\ y(x - 2) &= 3x + 1 \quad \text{(ดึง } y \text{ เป็นตัวร่วม)} \\ y &= \frac{3x+1}{x-2} \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) &= \frac{3x+1}{x-2} \quad \text{(เมื่อ } x \neq 2\text{)} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$.

$$ \begin{aligned} y &= \frac{2x+1}{x-3} \\ \text{Swap } x, y \implies x &= \frac{2y+1}{y-3} \\ x(y-3) &= 2y+1 \quad \text{(Cross multiply)} \\ xy - 3x &= 2y + 1 \\ xy - 2y &= 3x + 1 \quad \text{(Group terms with } y\text{)} \\ y(x - 2) &= 3x + 1 \quad \text{(Factor out } y\text{)} \\ y &= \frac{3x+1}{x-2} \\ \text{Thus, } f^{-1}(x) &= \frac{3x+1}{x-2} \quad \text{(where } x \neq 2\text{)} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f(x) = 2x^3 + 5$

$$ \begin{aligned} y &= 2x^3 + 5 \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= 2y^3 + 5 \\ 2y^3 &= x - 5 \\ y^3 &= \frac{x - 5}{2} \\ y &= \sqrt[3]{\frac{x - 5}{2}} \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) &= \sqrt[3]{\frac{x - 5}{2}} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $f(x) = 2x^3 + 5$.

$$ \begin{aligned} y &= 2x^3 + 5 \\ \text{Swap } x, y \implies x &= 2y^3 + 5 \\ 2y^3 &= x - 5 \\ y^3 &= \frac{x - 5}{2} \\ y &= \sqrt[3]{\frac{x - 5}{2}} \\ \text{Thus, } f^{-1}(x) &= \sqrt[3]{\frac{x - 5}{2}} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{x-2} + 3$

ระวังโดเมนและเรนจ์: ฟังก์ชันเดิมมี $y \ge 3$ ดังนั้นอินเวอร์สจะต้องมี $x \ge 3$

$$ \begin{aligned} y &= \sqrt{x-2} + 3 \quad \text{(สังเกตว่า } y \ge 3\text{)} \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= \sqrt{y-2} + 3 \quad \text{(ซึ่งแปลว่า } x \ge 3\text{)} \\ x - 3 &= \sqrt{y-2} \\ (x - 3)^2 &= y - 2 \quad \text{(ยกกำลังสองทั้งสองข้าง)} \\ y &= (x - 3)^2 + 2 \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) &= (x - 3)^2 + 2 \quad \text{(เมื่อ } x \ge 3\text{)} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $f(x) = \sqrt{x-2} + 3$.

Watch the domain and range: Original has $y \ge 3$, so the inverse must have $x \ge 3$.

$$ \begin{aligned} y &= \sqrt{x-2} + 3 \quad \text{(Notice } y \ge 3\text{)} \\ \text{Swap } x, y \implies x &= \sqrt{y-2} + 3 \quad \text{(Meaning } x \ge 3\text{)} \\ x - 3 &= \sqrt{y-2} \\ (x - 3)^2 &= y - 2 \quad \text{(Square both sides)} \\ y &= (x - 3)^2 + 2 \\ \text{Thus, } f^{-1}(x) &= (x - 3)^2 + 2 \quad \text{(where } x \ge 3\text{)} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาอินเวอร์สของ $f(x) = x^2 - 4$ เมื่อกำหนดโดเมน $x \ge 0$

ฟังก์ชันกำลังสองจะเป็นฟังก์ชัน 1-1 ก็ต่อเมื่อมีการจำกัดโดเมน

$$ \begin{aligned} y &= x^2 - 4 \quad \text{(โดยที่ } x \ge 0\text{)} \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= y^2 - 4 \quad \text{(โดยที่ } y \ge 0\text{)} \\ y^2 &= x + 4 \\ y &= \pm\sqrt{x + 4} \end{aligned} $$

เนื่องจากมีเงื่อนไข $y \ge 0$ เราจึงเลือกเฉพาะค่าบวก

$$ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) = \sqrt{x + 4} \quad \text{(เมื่อ } x \ge -4\text{)} $$

Find the inverse of $f(x) = x^2 - 4$ given the domain $x \ge 0$.

A quadratic function is 1-to-1 only if its domain is restricted.

$$ \begin{aligned} y &= x^2 - 4 \quad \text{(where } x \ge 0\text{)} \\ \text{Swap } x, y \implies x &= y^2 - 4 \quad \text{(where } y \ge 0\text{)} \\ y^2 &= x + 4 \\ y &= \pm\sqrt{x + 4} \end{aligned} $$

Because of the condition $y \ge 0$, we only choose the positive root.

$$ \text{Thus, } f^{-1}(x) = \sqrt{x + 4} \quad \text{(where } x \ge -4\text{)} $$

Example 2.6

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $\displaystyle f(x) = \frac{4}{x-1}$ เมื่อ $x \neq 1$

$$ \begin{aligned} y &= \frac{4}{x-1} \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= \frac{4}{y-1} \\ x(y - 1) &= 4 \\ xy - x &= 4 \\ xy &= x + 4 \\ y &= \frac{x+4}{x} \quad \text{หรือ } y = 1 + \frac{4}{x} \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) &= \frac{x+4}{x} \quad \text{(เมื่อ } x \neq 0\text{)} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $\displaystyle f(x) = \frac{4}{x-1}$ where $x \neq 1$.

$$ \begin{aligned} y &= \frac{4}{x-1} \\ \text{Swap } x, y \implies x &= \frac{4}{y-1} \\ x(y - 1) &= 4 \\ xy - x &= 4 \\ xy &= x + 4 \\ y &= \frac{x+4}{x} \quad \text{or } y = 1 + \frac{4}{x} \\ \text{Thus, } f^{-1}(x) &= \frac{x+4}{x} \quad \text{(where } x \neq 0\text{)} \end{aligned} $$

Example 2.7

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt[5]{2x - 3}$

$$ \begin{aligned} y &= \sqrt[5]{2x - 3} \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= \sqrt[5]{2y - 3} \\ x^5 &= 2y - 3 \quad \text{(ยกกำลังห้าทั้งสองข้าง)} \\ 2y &= x^5 + 3 \\ y &= \frac{x^5 + 3}{2} \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) &= \frac{x^5 + 3}{2} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $f(x) = \sqrt[5]{2x - 3}$.

$$ \begin{aligned} y &= \sqrt[5]{2x - 3} \\ \text{Swap } x, y \implies x &= \sqrt[5]{2y - 3} \\ x^5 &= 2y - 3 \quad \text{(Raise both sides to the power of 5)} \\ 2y &= x^5 + 3 \\ y &= \frac{x^5 + 3}{2} \\ \text{Thus, } f^{-1}(x) &= \frac{x^5 + 3}{2} \end{aligned} $$

Example 2.8

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f(x) = -(x-2)^2 + 1$ เมื่อโดเมนคือ $x \le 2$

ระวังโดเมนและเรนจ์: จาก $x \le 2$ จะได้ $(x-2) \le 0$ และ $y \le 1$

$$ \begin{aligned} y &= -(x-2)^2 + 1 \quad \text{(โดยที่ } x \le 2, y \le 1\text{)} \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= -(y-2)^2 + 1 \quad \text{(โดยที่ } y \le 2, x \le 1\text{)} \\ (y-2)^2 &= 1 - x \\ y - 2 &= \pm\sqrt{1-x} \end{aligned} $$

เนื่องจากมีเงื่อนไข $y \le 2$ จะได้ $y-2 \le 0$ เราจึงเลือกค่ารากที่เป็นลบ

$$ \begin{aligned} y - 2 &= -\sqrt{1-x} \\ y &= 2 - \sqrt{1-x} \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) &= 2 - \sqrt{1-x} \quad \text{(เมื่อ } x \le 1\text{)} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $f(x) = -(x-2)^2 + 1$ when the domain is $x \le 2$.

Note domain and range: From $x \le 2$, we get $(x-2) \le 0$ and $y \le 1$.

$$ \begin{aligned} y &= -(x-2)^2 + 1 \quad \text{(where } x \le 2, y \le 1\text{)} \\ \text{Swap } x, y \implies x &= -(y-2)^2 + 1 \quad \text{(where } y \le 2, x \le 1\text{)} \\ (y-2)^2 &= 1 - x \\ y - 2 &= \pm\sqrt{1-x} \end{aligned} $$

Since $y \le 2$ implies $y-2 \le 0$, we choose the negative root.

$$ \begin{aligned} y - 2 &= -\sqrt{1-x} \\ y &= 2 - \sqrt{1-x} \\ \text{Thus, } f^{-1}(x) &= 2 - \sqrt{1-x} \quad \text{(where } x \le 1\text{)} \end{aligned} $$

Example 2.9

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 2}{5x + 4}$ เมื่อ $x \neq -\frac{4}{5}$

$$ \begin{aligned} y &= \frac{3x - 2}{5x + 4} \\ \text{สลับ } x, y \implies x &= \frac{3y - 2}{5y + 4} \\ x(5y + 4) &= 3y - 2 \\ 5xy + 4x &= 3y - 2 \\ 5xy - 3y &= -4x - 2 \\ y(5x - 3) &= -(4x + 2) \\ y &= \frac{-(4x + 2)}{5x - 3} \\&= \frac{4x + 2}{3 - 5x} \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(x) &= \frac{4x + 2}{3 - 5x} \quad \text{(เมื่อ } x \neq \frac{3}{5}\text{)} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 2}{5x + 4}$ where $x \neq -\frac{4}{5}$.

$$ \begin{aligned} y &= \frac{3x - 2}{5x + 4} \\ \text{Swap } x, y \implies x &= \frac{3y - 2}{5y + 4} \\ x(5y + 4) &= 3y - 2 \\ 5xy + 4x &= 3y - 2 \\ 5xy - 3y &= -4x - 2 \\ y(5x - 3) &= -(4x + 2) \\ y &= \frac{-(4x + 2)}{5x - 3} \\ y &= \frac{4x + 2}{3 - 5x} \\ \text{Thus, } f^{-1}(x) &= \frac{4x + 2}{3 - 5x} \quad \text{(where } x \neq \frac{3}{5}\text{)} \end{aligned} $$

Example 2.10

จงหาอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f(x) = x|x|$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

แยกพิจารณาตามเครื่องหมายของ $x$

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{ถ้า } x \ge 0 \quad (\implies y \ge 0) \\ -x^2 & \text{ถ้า } x < 0 \quad (\implies y < 0) \end{cases} $$

สลับตัวแปรและหาค่าอินเวอร์สทีละกรณี:

$$ \begin{aligned} \text{กรณี } x \ge 0 &\implies x = y^2 \implies y = \sqrt{x} \quad (\text{เนื่องจาก } y \ge 0) \\ \text{กรณี } x < 0 &\implies x=-y^2 \implies y^2=-x \implies y=-\sqrt{-x} \quad (\text{เนื่องจาก } y < 0) \\ \text{เขียนรวมกันจะได้ } f^{-1}(x) &=\begin{cases} \sqrt{x} & \text{ถ้า } x \ge 0 \\ -\sqrt{-x} & \text{ถ้า } x < 0 \end{cases} \end{aligned} $$

Find the inverse of the function $f(x) = x|x|$ for all real numbers $x$.

Analyze based on the sign of $x$.

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \ge 0 \quad (\implies y \ge 0) \\ -x^2 & \text{if } x < 0 \quad (\implies y < 0) \end{cases} $$

Swap variables and solve for $y$ in each case:

$$ \begin{aligned} \text{Case } x \ge 0 &\implies x = y^2 \implies y = \sqrt{x} \quad (\text{since } y \ge 0) \\ \text{Case } x < 0 &\implies x=-y^2 \implies y^2=-x \implies y=-\sqrt{-x} \quad (\text{since } y < 0) \\ \text{Combined: } f^{-1}(x) &=\begin{cases} \sqrt{x} & \text{if } x \ge 0 \\ -\sqrt{-x} & \text{if } x < 0 \end{cases} \end{aligned} $$

⚙️ สมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันอินเวอร์ส ⚙️ Important Properties of Inverse Functions

สมบัติเหล่านี้ช่วยในการตรวจสอบความถูกต้องและลดขั้นตอนการคำนวณที่ซับซ้อนได้:

การสลับโดเมนและเรนจ์: $D_{f^{-1}} = R_f$ และ $R_{f^{-1}} = D_f$
คุณสมบัติการหักล้าง (Composition): $f(f^{-1}(x)) = x$ และ $f^{-1}(f(x)) = x$ (ฟังก์ชันประกอบกับอินเวอร์สของตัวเอง จะได้ค่าเริ่มต้นกลับมาเสมอ)
อินเวอร์สซ้อนทับ: $(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)$
เงื่อนไขการมีอินเวอร์ส: ฟังก์ชัน $f$ จะมีอินเวอร์สที่เป็น "ฟังก์ชัน" ได้ ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็น ฟังก์ชัน 1-1 (One-to-One Function) เท่านั้น

These properties help verify answers and simplify complex calculations:

Domain/Range Swap: $D_{f^{-1}} = R_f$ and $R_{f^{-1}} = D_f$
Cancellation Property (Composition): $f(f^{-1}(x)) = x$ and $f^{-1}(f(x)) = x$ (A function composed with its inverse always yields the original input).
Double Inverse: $(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)$
Existence Condition: A function $f$ has an inverse that is a "function" if and only if $f$ is a One-to-One Function (1-1).

Example 3.1

ถ้าฟังก์ชัน $f$ มีโดเมนคือ $[-2, 5]$ และมีเรนจ์คือ $(0, \infty)$ จงหาโดเมนและเรนจ์ของ $f^{-1}$

$$ \begin{aligned} \text{จากสมบัติ } D_{f^{-1}} &= R_f \\ \text{ดังนั้น โดเมนของ } f^{-1} &\text{ คือ } (0, \infty) \\ \\ \text{จากสมบัติ } R_{f^{-1}} &= D_f \\ \text{ดังนั้น เรนจ์ของ } f^{-1} &\text{ คือ } [-2, 5] \end{aligned} $$

If function $f$ has domain $[-2, 5]$ and range $(0, \infty)$, find the domain and range of $f^{-1}$.

$$ \begin{aligned} \text{From property } D_{f^{-1}} &= R_f \\ \text{Thus, Domain of } f^{-1} &\text{ is } (0, \infty) \\ \\ \text{From property } R_{f^{-1}} &= D_f \\ \text{Thus, Range of } f^{-1} &\text{ is } [-2, 5] \end{aligned} $$

Example 3.2

กำหนดให้ $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{2}$ และ $\displaystyle f^{-1}(x) = 2x-1$ จงแสดงให้เห็นว่า $f(f^{-1}(x)) = x$

$$ \begin{aligned} f(f^{-1}(x)) &= f(2x - 1) \\ &= \frac{(2x - 1) + 1}{2} \quad \text{(แทน } 2x-1 \text{ ลงใน } x \text{ ของ } f\text{)} \\ &= \frac{2x}{2} \\ &= x \quad \text{(เป็นจริงตามสมบัติ)} \end{aligned} $$

Given $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{2}$ and $\displaystyle f^{-1}(x) = 2x-1$, show that $f(f^{-1}(x)) = x$.

$$ \begin{aligned} f(f^{-1}(x)) &= f(2x - 1) \\ &= \frac{(2x - 1) + 1}{2} \quad \text{(Substitute } 2x-1 \text{ into } x \text{ of } f\text{)} \\ &= \frac{2x}{2} \\ &= x \quad \text{(Verified property)} \end{aligned} $$

Example 3.3

กำหนดฟังก์ชัน $g(x) = x^3 + 5x^2 - 7x + 2$ จงหาค่าของ $g^{-1}(g(15))$

ใช้สมบัติหักล้าง ไม่จำเป็นต้องหาอินเวอร์สให้เสียเวลา!

$$ \begin{aligned} \text{จากสมบัติ } f^{-1}(f(x)) &= x \\ \text{ดังนั้น } g^{-1}(g(15)) &= 15 \end{aligned} $$

Given $g(x) = x^3 + 5x^2 - 7x + 2$, find the value of $g^{-1}(g(15))$.

Use the cancellation property. No need to actually find the inverse!

$$ \begin{aligned} \text{From property } f^{-1}(f(x)) &= x \\ \text{Thus, } g^{-1}(g(15)) &= 15 \end{aligned} $$

Example 3.4

กำหนดให้ $h(x) = x^3 + x$ จงหาค่าของ $h^{-1}(2)$

การหา $h^{-1}(2)$ หมายถึงการหาว่า $x$ มีค่าเท่าใด ที่ทำให้ $h(x) = 2$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } h(x) &= 2 \\ x^3 + x &= 2 \\ x^3 + x - 2 &= 0 \\ \text{ลองสุ่มแทนค่า (Trial & Error): ถ้า } x &= 1 \implies 1^3 + 1 = 2 \text{ พอดี} \\ \text{ดังนั้น } h(1) &= 2 \implies h^{-1}(2) = 1 \end{aligned} $$

Given $h(x) = x^3 + x$, find the value of $h^{-1}(2)$.

Finding $h^{-1}(2)$ means finding the $x$ that makes $h(x) = 2$.

$$ \begin{aligned} \text{Let } h(x) &= 2 \\ x^3 + x &= 2 \\ x^3 + x - 2 &= 0 \\ \text{By Trial & Error: if } x &= 1 \implies 1^3 + 1 = 2 \text{ (Perfect)} \\ \text{Thus, } h(1) &= 2 \implies h^{-1}(2) = 1 \end{aligned} $$

Example 3.5

พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = |x|$ ฟังก์ชันนี้มีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันหรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{ตรวจสอบฟังก์ชัน } f(x) &= |x| \\ \text{พบว่า } f(2) &= 2 \text{ และ } f(-2) = 2 \\ \text{แสดงว่า } f \text{ ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1} \\ &\textbf{\color{#ff6f00}ดังนั้น อินเวอร์สของ f จะไม่เป็นฟังก์ชัน} \end{aligned} $$

Consider the function $f(x) = |x|$. Does this function have an inverse that is a function?

$$ \begin{aligned} \text{Checking } f(x) &= |x| \\ \text{We see } f(2) &= 2 \text{ and } f(-2) = 2 \\ \text{This means } f \text{ is not a 1-1 function.} \\ &\textbf{\color{#ff6f00}Therefore, the inverse of f is not a function.} \end{aligned} $$

Example 3.6

กำหนดให้ $f(x) = 2x$ และ $g(x) = x + 3$ จงหาฟังก์ชัน $(f \circ g)^{-1}(x)$

ใช้สมบัติการสลับลำดับอินเวอร์สของฟังก์ชันประกอบ: $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$

$$ \begin{aligned} \text{หา } f^{-1}(x): y = 2x &\implies f^{-1}(x) = \frac{x}{2} \\ \text{หา } g^{-1}(x): y = x + 3 &\implies g^{-1}(x) = x - 3 \\ \text{หา } (f \circ g)^{-1}(x) &= (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ &= g^{-1}\left(f^{-1}(x)\right) \\ &= g^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \\ &= \frac{x}{2} - 3 \end{aligned} $$

Given $f(x) = 2x$ and $g(x) = x + 3$, find the function $(f \circ g)^{-1}(x)$.

Use the property of composite inverses: $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$.

$$ \begin{aligned} \text{Find } f^{-1}(x): y = 2x &\implies f^{-1}(x) = \frac{x}{2} \\ \text{Find } g^{-1}(x): y = x + 3 &\implies g^{-1}(x) = x - 3 \\ \text{Find } (f \circ g)^{-1}(x) &= (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ &= g^{-1}\left(f^{-1}(x)\right) \\ &= g^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \\ &= \frac{x}{2} - 3 \end{aligned} $$

Example 3.7

กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = 3x - 1$ และ $g(x) = x^3 + 2$ จงหาค่าของ $(g \circ f^{-1})(5)$

$$ \begin{aligned} \text{คำนวณหาค่า } f^{-1}(5) &\implies \text{ให้ } f(a) = 5 \\ 3a - 1 &= 5 \implies 3a = 6 \implies a = 2 \\ \text{ดังนั้น } f^{-1}(5) &= 2 \\ \\ \text{คำนวณหา } (g \circ f^{-1})(5) &= g(f^{-1}(5)) \\ &= g(2) \\ &= 2^3 + 2 \\ &= 10 \end{aligned} $$

Given the functions $f(x) = 3x - 1$ and $g(x) = x^3 + 2$, find the value of $(g \circ f^{-1})(5)$.

$$ \begin{aligned} \text{Evaluate } f^{-1}(5) &\implies \text{Let } f(a) = 5 \\ 3a - 1 &= 5 \implies 3a = 6 \implies a = 2 \\ \text{Thus, } f^{-1}(5) &= 2 \\ \\ \text{Evaluate } (g \circ f^{-1})(5) &= g(f^{-1}(5)) \\ &= g(2) \\ &= 2^3 + 2 \\ &= 10 \end{aligned} $$

Example 3.8

พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน $\displaystyle f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ เมื่อ $x \neq 1$ เป็นฟังก์ชันที่เป็นอินเวอร์สของตัวเองหรือไม่

ตรวจสอบโดยแสดงให้เห็นว่า $f(f(x)) = x$

$$ \begin{aligned} f(f(x)) &= f\left(\frac{x+2}{x-1}\right) \\ &= \frac{\left(\frac{x+2}{x-1}\right) + 2}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right) - 1} \\ &= \frac{\frac{x+2 + 2(x-1)}{x-1}}{\frac{x+2 - (x-1)}{x-1}} \\ &= \frac{x + 2 + 2x - 2}{x + 2 - x + 1} \\ &= \frac{3x}{3} \\ &= x \\ &\textbf{\color{#2e7d32}ดังนั้น f เป็นอินเวอร์สของตัวเอง (นั่นคือ } f^{-1}(x) = f(x)\textbf{)} \end{aligned} $$

Prove whether the function $\displaystyle f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ where $x \neq 1$ is a self-inverse function.

Verify by showing that $f(f(x)) = x$.

$$ \begin{aligned} f(f(x)) &= f\left(\frac{x+2}{x-1}\right) \\ &= \frac{\left(\frac{x+2}{x-1}\right) + 2}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right) - 1} \\ &= \frac{\frac{x+2 + 2(x-1)}{x-1}}{\frac{x+2 - (x-1)}{x-1}} \\ &= \frac{x + 2 + 2x - 2}{x + 2 - x + 1} \\ &= \frac{3x}{3} \\ &= x \\ &\textbf{\color{#2e7d32}Thus, f is a self-inverse function (meaning } f^{-1}(x) = f(x)\textbf{).} \end{aligned} $$

Example 3.9

กำหนดให้ $f(2x + 3) = 6x - 1$ จงหาค่าของ $f^{-1}(5)$

ใช้สมบัติ $f(A) = B \iff f^{-1}(B) = A$

$$ \begin{aligned} \text{จาก } f(2x + 3) &= 6x - 1 \\ \text{จะได้ } f^{-1}(6x - 1) &= 2x + 3 \\ \text{เราต้องการหา } f^{-1}(5) &\implies \text{ตั้งสมการให้ } 6x - 1 = 5 \\ 6x &= 6 \implies x = 1 \\ \text{แทนค่า } x = 1 \text{ ในสูตรอินเวอร์สจะได้:} \\ f^{-1}(5) &= 2(1) + 3 \\&= 5 \end{aligned} $$

Given $f(2x + 3) = 6x - 1$, find the value of $f^{-1}(5)$.

Use the property $f(A) = B \iff f^{-1}(B) = A$.

$$ \begin{aligned} \text{From } f(2x + 3) &= 6x - 1 \\ \text{We have } f^{-1}(6x - 1) &= 2x + 3 \\ \text{We want to find } f^{-1}(5) &\implies \text{Set } 6x - 1 = 5 \\ 6x &= 6 \implies x = 1 \\ \text{Substitute } x = 1 \text{ into the inverse formula:} \\ f^{-1}(5) &= 2(1) + 3 \\&= 5 \end{aligned} $$

Example 3.10

กำหนดฟังก์ชันเพิ่มอย่างเข้มงวด $f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x$ จงหาจุดตัดทั้งหมดของกราฟ $y = f(x)$ และ $y = f^{-1}(x)$

เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด จุดตัดทั้งหมดของ $f$ และ $f^{-1}$ จะเกิดบนเส้นตรง $y = x$ เสมอ

$$ \begin{aligned} \text{ตั้งสมการ } f(x) &= x \\ x^3 - 2x^2 + 2x &= x \\ x^3 - 2x^2 + x &= 0 \\ x(x^2 - 2x + 1) &= 0 \\ x(x - 1)^2 &= 0 \\ x &= 0 \text{ หรือ } x = 1 \\ \text{ดังนั้น จุดตัดคือ } &(0, 0) \text{ และ } (1, 1) \end{aligned} $$

Given the strictly increasing function $f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x$, find all intersection points of the graphs of $y = f(x)$ and $y = f^{-1}(x)$.

Since $f$ is strictly increasing, the intersection points must lie on the line $y = x$.

$$ \begin{aligned} \text{Set } f(x) &= x \\ x^3 - 2x^2 + 2x &= x \\ x^3 - 2x^2 + x &= 0 \\ x(x^2 - 2x + 1) &= 0 \\ x(x - 1)^2 &= 0 \\ x &= 0 \text{ or } x = 1 \\ \text{Therefore, the intersection points are } &(0, 0) \text{ and } (1, 1). \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้องกับเรื่องฟังก์ชัน

คำศัพท์	รากศัพท์ / Prefix	ความหมาย / Meaning
Inverse	in- (in, towards) + vertere (to turn)	อินเวอร์ส / ผกผัน · การกระทำย้อนกลับ การพลิกกลับด้าน
Function	functio (performance, execution)	ฟังก์ชัน · ความสัมพันธ์ที่สมาชิกโดเมนแต่ละตัว จับคู่กับเรนจ์ได้เพียงตัวเดียว
Domain	dominium (property, right of ownership)	โดเมน · เซตของสมาชิกตัวหน้า (ค่า x) ทั้งหมดของฟังก์ชัน
Range	renger (to put in a row)	เรนจ์ · เซตของสมาชิกตัวหลัง (ค่า y) ทั้งหมดของฟังก์ชัน
One-to-One (1-1)	-	ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง · ฟังก์ชันที่ค่า y แต่ละค่า มาจากค่า x เพียงค่าเดียวเท่านั้น