ฟังก์ชันสามารถนำมาเชื่อมต่อหรือกระทำกันได้เหมือนกับตัวเลขทั่วไป ไม่ว่าจะเป็นการบวก ลบ คูณ หรือหาร ซึ่งเรียกว่า พีชคณิตของฟังก์ชัน (Algebra of Functions)
Functions can be combined or operated on just like regular numbers through addition, subtraction, multiplication, or division, known as the Algebra of Functions.
➕ พีชคณิตของฟังก์ชัน ➕ Algebra of Functions
ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือ $D_f$ และ $D_g$ ตามลำดับ การดำเนินการพื้นฐานมีนิยามดังนี้:
Let $f$ and $g$ be functions with domains $D_f$ and $D_g$ respectively. The basic operations are defined as:
📌 เงื่อนไขของโดเมน:
โดเมนของฟังก์ชันผลลัพธ์คือส่วนที่ซ้อนทับกัน (Intersection) ของโดเมนเดิม
$D_{f+g} = D_{f-g} = D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$
สำหรับการหาร: $D_{f/g} = D_f \cap D_g$ โดยตัดค่า $x$ ที่ทำให้ $g(x) = 0$ ออกไป
📌 Domain Condition: The
domain of the resulting function is the intersection of the original domains.
$D_{f+g} = D_{f-g} = D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$
For division: $D_{f/g} = D_f \cap D_g$, excluding any $x$ where $g(x) = 0$.
กำหนดให้ $f(x) = 2x + 3$ และ $g(x) = x^2 - 1$ จงหา $(f+g)(x)$
Given $f(x) = 2x + 3$ and $g(x) = x^2 - 1$, find $(f+g)(x)$
จากฟังก์ชันในตัวอย่าง 1.1 จงหาค่าของ $(f-g)(2)$
From the functions in Example 1.1, evaluate $(f-g)(2)$
กำหนด $f(x) = \sqrt{x}$ และ $g(x) = 3x$ จงหา $(f \cdot g)(x)$
Given $f(x) = \sqrt{x}$ and $g(x) = 3x$, find $(f \cdot g)(x)$
กำหนด $f(x) = x^2 - 4$ และ $g(x) = x - 2$ จงหา $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ และโดเมนของผลลัพธ์
ข้อควรระวัง:
แม้ว่าสมการผลลัพธ์จะเป็นเส้นตรง $x+2$ แต่จากนิยามการหาร ตัวส่วน $g(x)$
ต้องไม่เท่ากับศูนย์
ดังนั้น $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
โดเมนคือ $D_{f/g} = \mathbb{R} - \{2\}$
Given $f(x) = x^2 - 4$ and $g(x) = x - 2$, find $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ and its domain.
Caution: Even though the
simplified result is $x+2$, by division definition, the denominator $g(x)$ cannot be
zero.
Thus, $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
The domain is $D_{f/g} = \mathbb{R} - \{2\}$
กำหนด $f = \{(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)\}$
และ $g = \{(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)\}$
จงหา $f + g$
Given $f = \{(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)\}$
and $g = \{(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)\}$
Find $f + g$
กำหนดให้ $f(x) = x^3$ และ $g(x) = 2x^2 - x$ จงหา $(f+g)(x)$
Given $f(x) = x^3$ and $g(x) = 2x^2 - x$, find $(f+g)(x)$
กำหนด $f(x) = |x|$ และ $g(x) = x - 2$ จงหาค่าของ $(f-g)(-3)$
Given $f(x) = |x|$ and $g(x) = x - 2$, evaluate $(f-g)(-3)$
กำหนด $f(x) = x - 3$ และ $g(x) = x + 3$ จงหา $(f \cdot g)(x)$
Given $f(x) = x - 3$ and $g(x) = x + 3$, find $(f \cdot g)(x)$
กำหนด $f(x) = 3x$ และ $g(x) = x - 1$ จงหา $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ และโดเมน
หาโดเมน: ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ $\implies x - 1 \neq 0
\implies x \neq 1$
ดังนั้น $D_{f/g} = \mathbb{R} - \{1\}$
Given $f(x) = 3x$ and $g(x) = x - 1$, find $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ and its domain.
Domain: Denominator cannot be zero $\implies x - 1 \neq 0
\implies x \neq 1$
Thus, $D_{f/g} = \mathbb{R} - \{1\}$
กำหนด $f(x) = 3\sqrt{x}$ และ $g(x) = 2\sqrt{x}$ จงหา $(f-g)(x)$
Given $f(x) = 3\sqrt{x}$ and $g(x) = 2\sqrt{x}$, find $(f-g)(x)$
กำหนด $f(x) = \frac{1}{x}$ และ $g(x) = \frac{2}{x^2}$ จงหา $(f+g)(x)$
Given $f(x) = \frac{1}{x}$ and $g(x) = \frac{2}{x^2}$, find $(f+g)(x)$
กำหนด $f(x) = 2^x$ และ $g(x) = 2^{x+1}$ จงหา $(f \cdot g)(x)$
Given $f(x) = 2^x$ and $g(x) = 2^{x+1}$, find $(f \cdot g)(x)$
กำหนด $f(x) = x^2 + 1$ และ $g(x) = 2x$ จงหาค่าของ $(f \cdot g)(3)$
Given $f(x) = x^2 + 1$ and $g(x) = 2x$, evaluate $(f \cdot g)(3)$
กำหนด $f(x) = x^3$ และ $g(x) = x^2 + 1$ จงหาค่าของ $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(2)$
Given $f(x) = x^3$ and $g(x) = x^2 + 1$, evaluate $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(2)$
กำหนด $f = \{(1, 5), (2, 4), (3, 7)\}$ และ $g = \{(1, 2), (2, 2), (4, 8)\}$
จงหา $f -
g$
Given $f = \{(1, 5), (2, 4), (3, 7)\}$ and $g = \{(1, 2), (2, 2), (4, 8)\}$
Find $f -
g$
จากฟังก์ชันในตัวอย่าง 1.15 จงหา $f \cdot g$
From the functions in Example 1.15, find $f \cdot g$
กำหนด $f(x) = \sqrt{x+4}$ และ $g(x) = \sqrt{x-2}$ จงหาโดเมนของ $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$
Given $f(x) = \sqrt{x+4}$ and $g(x) = \sqrt{x-2}$, find the domain of $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$
กำหนด $f(x) = 5$ (ฟังก์ชันคงตัว) และ $g(x) = 2x + 1$ จงหา $(f+g)(x)$
Given $f(x) = 5$ (Constant function) and $g(x) = 2x + 1$, find $(f+g)(x)$
กำหนด $f(x) = 3x + 5$ และ $g(x) = 3x - 2$ จงหา $(f-g)(x)$
Given $f(x) = 3x + 5$ and $g(x) = 3x - 2$, find $(f-g)(x)$
กำหนด $f(x) = \sqrt{x} - 1$ และ $g(x) = \sqrt{x} + 1$ จงหา $(f \cdot g)(x)$ และโดเมน
แม้สมการผลลัพธ์เป็นพหุนาม
แต่โดเมนต้องพิจารณาจากฟังก์ชันเดิมด้วย
ทั้ง $f$ และ $g$ ติดรากที่สอง ดังนั้น $x \ge 0$
$D_{f \cdot g} = [0, \infty)$
Given $f(x) = \sqrt{x} - 1$ and $g(x) = \sqrt{x} + 1$, find $(f \cdot g)(x)$ and its domain.
Even though the result is a polynomial, the domain depends on
the original functions.
Both $f$ and $g$ have square roots, so $x \ge 0$
$D_{f \cdot g} = [0, \infty)$
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Operation | operatio (action, performance) | การดำเนินการ · การกระทำทางคณิตศาสตร์ เช่น การบวก ลบ คูณ หาร |
| Algebra | al-jabr (reunion of broken parts) | พีชคณิต · สาขาคณิตศาสตร์ที่ใช้สัญลักษณ์และตัวอักษรแทนตัวเลขในสมการ |
| Intersection | inter- (between) + secare (to cut) | อินเตอร์เซกชัน · ส่วนที่ซ้อนทับกัน หรือสมาชิกที่มีร่วมกันระหว่างเซต |
| Evaluate | ex- (out) + valoir (to be worth) | การหาค่า · การแทนค่าตัวเลขลงในตัวแปรเพื่อคำนวณหาผลลัพธ์สุดท้าย |