การดำเนินการของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันสามารถนำมาเชื่อมต่อหรือกระทำกันได้เหมือนกับตัวเลขทั่วไป ไม่ว่าจะเป็นการบวก ลบ คูณ หรือหาร ซึ่งเรียกว่า พีชคณิตของฟังก์ชัน (Algebra of Functions)

Functions can be combined or operated on just like regular numbers through addition, subtraction, multiplication, or division, known as the Algebra of Functions.

➕ พีชคณิตของฟังก์ชัน / Algebra of Functions

ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือ $D_f$ และ $D_g$ ตามลำดับ การดำเนินการพื้นฐานมีนิยามดังนี้:

Let $f$ and $g$ be functions with domains $D_f$ and $D_g$ respectively. The basic operations are defined as:

$$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) \\ (f - g)(x) &= f(x) - g(x) \\ (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x) \\ \left(\frac{f}{g}\right)(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \quad \text{โดยที่ } g(x) \neq 0 \end{aligned} $$

📌 เงื่อนไขของโดเมน: โดเมนของฟังก์ชันผลลัพธ์คือส่วนที่ซ้อนทับกัน (Intersection) ของโดเมนเดิม
$D_{f+g} = D_{f-g} = D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$
สำหรับการหาร: $D_{f/g} = D_f \cap D_g$ โดยตัดค่า $x$ ที่ทำให้ $g(x) = 0$ ออกไป

📌 Domain Condition: The domain of the resulting function is the intersection of the original domains.
$D_{f+g} = D_{f-g} = D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$
For division: $D_{f/g} = D_f \cap D_g$, excluding any $x$ where $g(x) = 0$.

Example 1.1

กำหนดให้ $f(x) = 2x + 3$ และ $g(x) = x^2 - 1$ จงหา $(f+g)(x)$

Given $f(x) = 2x + 3$ and $g(x) = x^2 - 1$, find $(f+g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= (2x + 3) + (x^2 - 1) \\ &= x^2 + 2x + 2 \end{aligned} $$

Example 1.2

จากฟังก์ชันในตัวอย่าง 1.1 จงหาค่าของ $(f-g)(2)$

From the functions in Example 1.1, evaluate $(f-g)(2)$

$$ \begin{aligned} (f-g)(x) &= f(x) - g(x) \\ &= (2x + 3) - (x^2 - 1) \\ &= -x^2 + 2x + 4 \\ \text{แทนค่า } x = 2: \quad (f-g)(2) &= -(2)^2 + 2(2) + 4 \\ &= -4 + 4 + 4 \\ &= 4 \end{aligned} $$

Example 1.3

กำหนด $f(x) = \sqrt{x}$ และ $g(x) = 3x$ จงหา $(f \cdot g)(x)$

Given $f(x) = \sqrt{x}$ and $g(x) = 3x$, find $(f \cdot g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x) \\ &= (\sqrt{x}) \cdot (3x) \\ &= 3x\sqrt{x} \quad \text{ หรือ } \quad 3x^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

Example 1.4

กำหนด $f(x) = x^2 - 4$ และ $g(x) = x - 2$ จงหา $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ และโดเมนของผลลัพธ์

Given $f(x) = x^2 - 4$ and $g(x) = x - 2$, find $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ and its domain.

$$ \begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)(x) &= \frac{x^2 - 4}{x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \\ &= x + 2 \end{aligned} $$

ข้อควรระวัง: แม้ว่าสมการผลลัพธ์จะเป็นเส้นตรง $x+2$ แต่จากนิยามการหาร ตัวส่วน $g(x)$ ต้องไม่เท่ากับศูนย์
ดังนั้น $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
โดเมนคือ $D_{f/g} = \mathbb{R} - \{2\}$

Caution: Even though the simplified result is $x+2$, by division definition, the denominator $g(x)$ cannot be zero.
Thus, $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
The domain is $D_{f/g} = \mathbb{R} - \{2\}$

Example 1.5

กำหนด $f = \{(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)\}$
และ $g = \{(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)\}$
จงหา $f + g$

Given $f = \{(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)\}$
and $g = \{(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)\}$
Find $f + g$

ขั้นแรก หาโดเมนที่ซ้ำกัน (Intersection) ของทั้งสองฟังก์ชัน:
$D_f = \{1, 2, 3, 4\}$ และ $D_g = \{0, 1, 2, 3\}$
$D_{f+g} = D_f \cap D_g = \{1, 2, 3\}$

First, find the intersecting domain of both functions:
$D_f = \{1, 2, 3, 4\}$ and $D_g = \{0, 1, 2, 3\}$
$D_{f+g} = D_f \cap D_g = \{1, 2, 3\}$

$$ \begin{aligned} f + g &= \{(x, f(x) + g(x)) \mid x \in \{1, 2, 3\}\} \\ &= \{(1, 5+3), (2, 7+4), (3, 9+5)\} \\ &= \{(1, 8), (2, 11), (3, 14)\} \end{aligned} $$

Example 1.6

กำหนดให้ $f(x) = x^3$ และ $g(x) = 2x^2 - x$ จงหา $(f+g)(x)$

Given $f(x) = x^3$ and $g(x) = 2x^2 - x$, find $(f+g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= (x^3) + (2x^2 - x) \\ &= x^3 + 2x^2 - x \end{aligned} $$

Example 1.7

กำหนด $f(x) = |x|$ และ $g(x) = x - 2$ จงหาค่าของ $(f-g)(-3)$

Given $f(x) = |x|$ and $g(x) = x - 2$, evaluate $(f-g)(-3)$

$$ \begin{aligned} (f-g)(-3) &= f(-3) - g(-3) \\ &= |-3| - (-3 - 2) \\ &= 3 - (-5) \\ &= 3 + 5 \\ &= 8 \end{aligned} $$

Example 1.8

กำหนด $f(x) = x - 3$ และ $g(x) = x + 3$ จงหา $(f \cdot g)(x)$

Given $f(x) = x - 3$ and $g(x) = x + 3$, find $(f \cdot g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x) \\ &= (x - 3)(x + 3) \\ &= x^2 - 9 \quad (\text{ผลต่างกำลังสอง}) \end{aligned} $$

Example 1.9

กำหนด $f(x) = 3x$ และ $g(x) = x - 1$ จงหา $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ และโดเมน

Given $f(x) = 3x$ and $g(x) = x - 1$, find $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ and its domain.

$$ \begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \\ &= \frac{3x}{x - 1} \end{aligned} $$

หาโดเมน: ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ $\implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
ดังนั้น $D_{f/g} = \mathbb{R} - \{1\}$

Domain: Denominator cannot be zero $\implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
Thus, $D_{f/g} = \mathbb{R} - \{1\}$

Example 1.10

กำหนด $f(x) = 3\sqrt{x}$ และ $g(x) = 2\sqrt{x}$ จงหา $(f-g)(x)$

Given $f(x) = 3\sqrt{x}$ and $g(x) = 2\sqrt{x}$, find $(f-g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f-g)(x) &= f(x) - g(x) \\ &= 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} \\ &= \sqrt{x} \end{aligned} $$

Example 1.11

กำหนด $f(x) = \frac{1}{x}$ และ $g(x) = \frac{2}{x^2}$ จงหา $(f+g)(x)$

Given $f(x) = \frac{1}{x}$ and $g(x) = \frac{2}{x^2}$, find $(f+g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \\ &= \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2} \\ &= \frac{x + 2}{x^2} \end{aligned} $$

Example 1.12

กำหนด $f(x) = 2^x$ และ $g(x) = 2^{x+1}$ จงหา $(f \cdot g)(x)$

Given $f(x) = 2^x$ and $g(x) = 2^{x+1}$, find $(f \cdot g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x) \\ &= (2^x) \cdot (2^{x+1}) \\ &= 2^{x + (x+1)} \\ &= 2^{2x+1} \end{aligned} $$

Example 1.13

กำหนด $f(x) = x^2 + 1$ และ $g(x) = 2x$ จงหาค่าของ $(f \cdot g)(3)$

Given $f(x) = x^2 + 1$ and $g(x) = 2x$, evaluate $(f \cdot g)(3)$

เราสามารถหาค่าฟังก์ชันแต่ละตัวที่ $x=3$ ก่อน แล้วนำมาคูณกัน

We can evaluate each function at $x=3$ first, then multiply.

$$ \begin{aligned} f(3) &= (3)^2 + 1 = 10 \\ g(3) &= 2(3) = 6 \\ (f \cdot g)(3) &= f(3) \cdot g(3) \\ &= 10 \cdot 6 \\ &= 60 \end{aligned} $$

Example 1.14

กำหนด $f(x) = x^3$ และ $g(x) = x^2 + 1$ จงหาค่าของ $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(2)$

Given $f(x) = x^3$ and $g(x) = x^2 + 1$, evaluate $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(2)$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)(2) &= \frac{f(2)}{g(2)} \\ &= \frac{(2)^3}{(2)^2 + 1} \\ &= \frac{8}{4 + 1} \\ &= \frac{8}{5} \end{aligned} $$

Example 1.15

กำหนด $f = \{(1, 5), (2, 4), (3, 7)\}$ และ $g = \{(1, 2), (2, 2), (4, 8)\}$
จงหา $f - g$

Given $f = \{(1, 5), (2, 4), (3, 7)\}$ and $g = \{(1, 2), (2, 2), (4, 8)\}$
Find $f - g$

โดเมนที่ซ้ำกัน $D_f \cap D_g = \{1, 2\}$

Intersecting domain $D_f \cap D_g = \{1, 2\}$

$$ \begin{aligned} f - g &= \{(1, 5 - 2), (2, 4 - 2)\} \\ &= \{(1, 3), (2, 2)\} \end{aligned} $$

Example 1.16

จากฟังก์ชันในตัวอย่าง 1.15 จงหา $f \cdot g$

From the functions in Example 1.15, find $f \cdot g$

$$ \begin{aligned} f \cdot g &= \{(1, 5 \cdot 2), (2, 4 \cdot 2)\} \\ &= \{(1, 10), (2, 8)\} \end{aligned} $$

Example 1.17

กำหนด $f(x) = \sqrt{x+4}$ และ $g(x) = \sqrt{x-2}$ จงหาโดเมนของ $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$

Given $f(x) = \sqrt{x+4}$ and $g(x) = \sqrt{x-2}$, find the domain of $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)$

1. โดเมนของ $f$: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$
2. โดเมนของ $g$: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
โดเมนที่ซ้อนทับกัน ($D_f \cap D_g$) คือ $x \ge 2$ หรือ $[2, \infty)$
3. ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์: $g(x) \neq 0 \implies \sqrt{x-2} \neq 0 \implies x \neq 2$

1. Domain of $f$: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$
2. Domain of $g$: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
Intersecting domain ($D_f \cap D_g$) is $x \ge 2$ or $[2, \infty)$
3. Denominator cannot be zero: $g(x) \neq 0 \implies \sqrt{x-2} \neq 0 \implies x \neq 2$

$$ \text{ดังนั้น } D_{f/g} = (2, \infty) \text{ หรือ } x > 2 $$

Example 1.18

กำหนด $f(x) = 5$ (ฟังก์ชันคงตัว) และ $g(x) = 2x + 1$ จงหา $(f+g)(x)$

Given $f(x) = 5$ (Constant function) and $g(x) = 2x + 1$, find $(f+g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= 5 + (2x + 1) \\ &= 2x + 6 \end{aligned} $$

Example 1.19

กำหนด $f(x) = 3x + 5$ และ $g(x) = 3x - 2$ จงหา $(f-g)(x)$

Given $f(x) = 3x + 5$ and $g(x) = 3x - 2$, find $(f-g)(x)$

$$ \begin{aligned} (f-g)(x) &= f(x) - g(x) \\ &= (3x + 5) - (3x - 2) \\ &= 3x + 5 - 3x + 2 \\ &= 7 \end{aligned} $$

Example 1.20

กำหนด $f(x) = \sqrt{x} - 1$ และ $g(x) = \sqrt{x} + 1$ จงหา $(f \cdot g)(x)$ และโดเมน

Given $f(x) = \sqrt{x} - 1$ and $g(x) = \sqrt{x} + 1$, find $(f \cdot g)(x)$ and its domain.

$$ \begin{aligned} (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x) \\ &= (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \\ &= (\sqrt{x})^2 - 1^2 \\ &= x - 1 \end{aligned} $$

แม้สมการผลลัพธ์เป็นพหุนาม แต่โดเมนต้องพิจารณาจากฟังก์ชันเดิมด้วย
ทั้ง $f$ และ $g$ ติดรากที่สอง ดังนั้น $x \ge 0$
$D_{f \cdot g} = [0, \infty)$

Even though the result is a polynomial, the domain depends on the original functions.
Both $f$ and $g$ have square roots, so $x \ge 0$
$D_{f \cdot g} = [0, \infty)$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Operation	operatio (action, performance)	การดำเนินการ · การกระทำทางคณิตศาสตร์ เช่น การบวก ลบ คูณ หาร
Algebra	al-jabr (reunion of broken parts)	พีชคณิต · สาขาคณิตศาสตร์ที่ใช้สัญลักษณ์และตัวอักษรแทนตัวเลขในสมการ
Intersection	inter- (between) + secare (to cut)	อินเตอร์เซกชัน · ส่วนที่ซ้อนทับกัน หรือสมาชิกที่มีร่วมกันระหว่างเซต
Evaluate	ex- (out) + valoir (to be worth)	การหาค่า · การแทนค่าตัวเลขลงในตัวแปรเพื่อคำนวณหาผลลัพธ์สุดท้าย