เรขาคณิตของรูปสามเหลี่ยม

เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) ช่วยให้เราศึกษาคุณสมบัติของรูปเรขาคณิต เช่น รูปสามเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยม ผ่านระบบพิกัดฉาก (Coordinate System) ทำให้เราสามารถคำนวณหาพื้นที่ และหาตำแหน่งจุดศูนย์กลางที่สำคัญต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างแม่นยำด้วยสมการพีชคณิต

Analytic Geometry allows us to study the properties of geometric figures, such as triangles or polygons, using a coordinate system. This enables precise calculations of areas and the locations of important triangle centers using algebraic equations.

📐 การหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมในระบบพิกัดฉาก 📐 Area of Polygons in the Coordinate System

เราสามารถหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ได้ หากทราบพิกัดของจุดยอดทุกจุด โดยใช้ ระเบียบวิธีคูณไขว้ (วิธีล้อมผ้า) ซึ่งมีหลักการดังนี้:

นำพิกัดของจุดยอดมาเขียนเรียงคอลัมน์ ทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกาก็ได้
สำคัญ: ต้องนำพิกัดของจุดแรกมาเขียนซ้ำในบรรทัดสุดท้ายเสมอ เพื่อปิดรูปเหลี่ยม
คูณทะแยงลง (นำมาบวกกัน) และ คูณทะแยงขึ้น (นำมาลบออก)
หาค่าสัมบูรณ์ของผลลัพธ์แล้วหารด้วย 2

$$ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ \vdots & \vdots \\ x_1 & y_1 \end{matrix} \right| = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + \dots) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots) | $$

The area of any polygon can be calculated if the coordinates of all its vertices are known using the Shoelace Formula. The steps are:

List the vertex coordinates in a column, in either clockwise or counter-clockwise order.
Crucial: Repeat the first coordinate at the end to "close" the polygon.
Multiply diagonally downwards (add these products) and multiply diagonally upwards (subtract these products).
Take the absolute value of the result and divide by 2.

Example 1.1

จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดคือ $(0,0), (4,0)$ และ $(0,3)$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \\ 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} | \text{คูณลง} - \text{คูณขึ้น} | \\ &= \frac{1}{2} | (0+12+0) - (0+0+0) | \\ &= \frac{1}{2} | 12 | \\ &= 6 \text{ ตารางหน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of a triangle with vertices $(0,0), (4,0)$, and $(0,3)$.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \\ 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} | \text{Downwards} - \text{Upwards} | \\ &= \frac{1}{2} | (0+12+0) - (0+0+0) | \\ &= \frac{1}{2} | 12 | \\ &= 6 \text{ sq units} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีพิกัด $(-2,1), (3,4)$ และ $(5,-2)$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} | ((-2)(4) + (3)(-2) + (5)(1)) - ((1)(3) + (4)(5) + (-2)(-2)) | \\ &= \frac{1}{2} | (-8 - 6 + 5) - (3 + 20 + 4) | \\ &= \frac{1}{2} | (-9) - (27) | \\ &= \frac{1}{2} | -36 | \\ &= 18 \text{ ตารางหน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of the triangle with coordinates $(-2,1), (3,4)$, and $(5,-2)$.

Example 1.3

จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดเรียงตามลำดับคือ $(-1,-1), (2,-1), (3,2)$ และ $(-2,3)$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -1 & -1 \\ 2 & -1 \\ 3 & 2 \\ -2 & 3 \\ -1 & -1 \end{matrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} | (1 + 4 + 9 + 2) - (-2 - 3 - 4 - 3) | \\ &= \frac{1}{2} | (16) - (-12) | \\ &= \frac{1}{2} | 28 | \\ &= 14 \text{ ตารางหน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of the quadrilateral with ordered vertices $(-1,-1), (2,-1), (3,2)$, and $(-2,3)$.

Example 1.4

จงหาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(0,0), (2,0), (3,2), (1,4), (-1,2)$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} | (0 + 4 + 12 + 2 + 0) - (0 + 0 + 2 - 4 + 0) | \\ &= \frac{1}{2} | (18) - (-2) | \\ &= \frac{1}{2} (20) \\ &= 10 \text{ ตารางหน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of the pentagon with vertices $(0,0), (2,0), (3,2), (1,4), (-1,2)$.

Example 1.5

สามเหลี่ยมมีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย มีจุดยอดที่ $(0,0), (4,0)$ และ $(2,y)$ จงหาค่า $y$ ที่เป็นไปได้

$$ \begin{aligned} 10 &= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \\ 2 & y \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| \\ 10 &= \frac{1}{2} | (0 + 4y + 0) - (0 + 0 + 0) | \\ 20 &= | 4y | \\ | y | &= 5 \\ y &= 5 \text{ หรือ } y = -5 \end{aligned} $$

A triangle has an area of 10 sq units and vertices at $(0,0), (4,0)$, and $(2,y)$. Find the possible values of $y$.

Example 1.6

จงแสดงว่าจุด $(1,2), (2,4)$ และ $(3,6)$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

(คำใบ้: หากจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน พื้นที่สามเหลี่ยมที่เกิดจาก 3 จุดนี้จะต้องเท่ากับ 0)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} | (4 + 12 + 6) - (4 + 12 + 6) | \\ &= \frac{1}{2} | 22 - 22 | \\ &= 0 \quad \text{จุดทั้งสามอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน} \end{aligned} $$

Show that the points $(1,2), (2,4)$, and $(3,6)$ are collinear.

(Hint: If points are collinear, the area of the triangle formed by them is 0).

Example 1.7

จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมที่มีพิกัดเป็นเศษส่วน $\displaystyle (\frac{1}{2}, 1), (3, \frac{5}{2})$ และ $(-1, -1)$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1/2 & 1 \\ 3 & 5/2 \\ -1 & -1 \\ 1/2 & 1 \end{matrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \left(\frac{5}{4} - 3 - 1\right) - \left(3 - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\right) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \left(\frac{5}{4} - 4\right) - \left(3 - 3\right) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{5 - 16}{4} - 0 \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| -\frac{11}{4} \right| \\ &= \frac{11}{8} \text{ ตารางหน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of the triangle with fractional coordinates $\displaystyle (\frac{1}{2}, 1), (3, \frac{5}{2})$, and $(-1, -1)$.

🎯 จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมที่สำคัญ 🎯 Important Centers of a Triangle

Centroid & Orthocenter

ในรูปสามเหลี่ยม มีจุดศูนย์กลางที่น่าสนใจหลายจุด แต่ในเรขาคณิตวิเคราะห์ระดับ ม.ปลาย เราจะเน้น 2 จุดหลัก ได้แก่:

จุดเซนทรอยด์ (Centroid): คือ จุดตัดของเส้นมัธยฐาน (Medians) เปรียบเสมือนจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม หาได้จากการหาค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ และ $y$ ของจุดยอดทั้งสาม
$$ \text{Centroid } (C) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) $$
จุดออร์โธเซนเตอร์ (Orthocenter): คือ จุดตัดของส่วนสูง (Altitudes) ของรูปสามเหลี่ยม การหาจุดนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกัน ($m_1 \cdot m_2 = -1$) สร้างสมการเส้นส่วนสูงสองเส้น แล้วแก้ระบบสมการเพื่อหาจุดตัด

There are several interesting centers in a triangle, but high school analytic geometry focuses mainly on two:

Centroid: The intersection of the medians. It acts as the center of gravity. It is found by averaging the $x$ and $y$ coordinates of the three vertices.
$$ \text{Centroid } (C) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) $$
Orthocenter: The intersection of the altitudes. Finding it involves using perpendicular slopes ($m_1 \cdot m_2 = -1$) to find the equations of two altitudes, then solving the system of equations for their intersection.

Example 2.1

จงหาจุดเซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมที่มีพิกัดจุดยอดคือ $(1,2), (4,6)$ และ $(7,1)$

$$ \begin{aligned} \text{Centroid} &= \left( \frac{1 + 4 + 7}{3}, \frac{2 + 6 + 1}{3} \right) \\ &= \left( \frac{12}{3}, \frac{9}{3} \right) \\ &= (4, 3) \end{aligned} $$

Find the centroid of the triangle with vertices $(1,2), (4,6)$, and $(7,1)$.

$$ \begin{aligned} \text{Centroid} &= \left( \frac{1 + 4 + 7}{3}, \frac{2 + 6 + 1}{3} \right) \\ &= \left( \frac{12}{3}, \frac{9}{3} \right) \\ &= (4, 3) \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาพิกัดจุดเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(-3, 4), (2, -1)$ และ $(5, 5)$

$$ \begin{aligned} \text{Centroid} &= \left( \frac{-3 + 2 + 5}{3}, \frac{4 + (-1) + 5}{3} \right) \\ &= \left( \frac{4}{3}, \frac{8}{3} \right) \end{aligned} $$

Find the coordinates of the centroid for a triangle with vertices $(-3, 4), (2, -1)$, and $(5, 5)$.

$$ \begin{aligned} \text{Centroid} &= \left( \frac{-3 + 2 + 5}{3}, \frac{4 + (-1) + 5}{3} \right) \\ &= \left( \frac{4}{3}, \frac{8}{3} \right) \end{aligned} $$

Example 2.3

สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีจุดเซนทรอยด์อยู่ที่ $(2,2)$ หากทราบพิกัดจุดยอดสองจุดคือ $(0,0)$ และ $(4,1)$ จงหาพิกัดของจุดยอดที่สาม $(x,y)$

$$ \begin{aligned} \text{จากสูตรพิกัด } x \text{:} \quad \frac{0 + 4 + x}{3} &= 2 \\ 4 + x &= 6 \\ x &= 2 \\ \text{จากสูตรพิกัด } y \text{:} \quad \frac{0 + 1 + y}{3} &= 2 \\ 1 + y &= 6 \\ y &= 5 \\ \text{จุดยอดที่สามคือ } (2, 5) \end{aligned} $$

A triangle has its centroid at $(2,2)$. If two of its vertices are $(0,0)$ and $(4,1)$, find the coordinates of the third vertex $(x,y)$.

$$ \begin{aligned} \text{From } x \text{-coordinate formula:} \quad \frac{0 + 4 + x}{3} &= 2 \\ 4 + x &= 6 \\ x &= 2 \\ \text{From } y \text{-coordinate formula:} \quad \frac{0 + 1 + y}{3} &= 2 \\ 1 + y &= 6 \\ y &= 5 \\ \text{The third vertex is } (2, 5) \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาจุดออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $A(0,0), B(4,0), C(0,3)$

ข้อสังเกต: นี่คือรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุมฉากที่จุดกำเนิด (A) จุดส่วนสูงจะตัดกันที่มุมฉากเสมอ

$$ \text{จุดออร์โธเซนเตอร์คือ } (0,0) $$

Find the orthocenter of the triangle with vertices $A(0,0), B(4,0), C(0,3)$.

Observation: This is a right triangle with the right angle at the origin (A). The orthocenter of a right triangle is always at the right-angled vertex.

$$ \text{The orthocenter is } (0,0) $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Analytic Geometry	analysis (breaking up) + geometria (earth measuring)	เรขาคณิตวิเคราะห์ · การศึกษาเรขาคณิตโดยใช้ระบบพิกัดและหลักการพีชคณิต
Determinant	determinare (to bound/limit)	ดีเทอร์มิแนนต์ · ค่าคงตัวที่คำนวณได้จากเมทริกซ์จัตุรัส ใช้ในการหาพื้นที่วิธีคูณไขว้
Centroid	centrum (center) + -oid (like/resembling)	เซนทรอยด์ · จุดศูนย์ถ่วง หรือจุดตัดของเส้นมัธยฐานในรูปสามเหลี่ยม
Orthocenter	orthos (straight/right) + centrum (center)	ออร์โธเซนเตอร์ · จุดตัดของเส้นส่วนสูง (Altitudes) ที่ลากมาตั้งฉากกับฐาน
Median	medianus (middle)	เส้นมัธยฐาน · เส้นตรงที่ลากจากจุดยอดไปยังจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม
Collinear	co- (together) + linea (line)	ร่วมเส้นตรงเดียวกัน · จุดตั้งแต่ 3 จุดขึ้นไปที่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกันพอดี (ทำให้พื้นที่สามเหลี่ยม = 0)