ระยะห่างระหว่างจุด เส้นตรง และเส้นคู่ขนาน

ในบทเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์ระดับมัธยมปลาย การหาระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่าง "จุดกับเส้นตรง" และระหว่าง "เส้นตรงที่ขนานกัน" ถือเป็นรากฐานสำคัญที่นำไปสู่การแก้โจทย์ปัญหาภาคตัดกรวยและฟิสิกส์ประยุกต์ โดยอาศัยสมการในรูปมาตรฐาน $Ax + By + C = 0$

In high school analytic geometry, finding the shortest distance between a "point and a line" and between "parallel lines" is fundamental for solving conic sections and applied physics problems. This relies on the standard equation form $Ax + By + C = 0$.

📍 ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง 📍 Distance from a Point to a Line

สูตรการหาระยะทางที่สั้นที่สุด (ตั้งฉาก) จากจุด $P(x_1, y_1)$ ไปยังเส้นตรง $L$ ที่มีสมการ $Ax + By + C = 0$ คือ:

$$ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

ข้อควรระวัง: สมการเส้นตรงต้องถูกจัดให้อยู่ในรูป $Ax + By + C = 0$ เสมอก่อนนำมาแทนค่าในสูตร และค่า $d$ ต้องเป็นบวกเสมอจึงต้องใส่ค่าสัมบูรณ์

The formula for the shortest (perpendicular) distance from point $P(x_1, y_1)$ to the line $L$ with equation $Ax + By + C = 0$ is:

$$ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Caution: The line equation must always be rearranged into the standard form $Ax + By + C = 0$ before substituting values. Distance $d$ is always positive, hence the absolute value.

Example 1.1

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $(1, 2)$ กับเส้นตรง $3x + 4y - 1 = 0$

(จุด $x_1=1, y_1=2$ และ $A=3, B=4, C=-1$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|3(1) + 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ &= \frac{|3 + 8 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} \\ &= \frac{|10|}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the point $(1, 2)$ and the line $3x + 4y - 1 = 0$.

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|3(1) + 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ &= \frac{|3 + 8 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} \\ &= \frac{|10|}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาระยะห่างจากจุดกำเนิด $(0, 0)$ ไปยังเส้นตรง $5x - 12y + 26 = 0$

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|5(0) - 12(0) + 26|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \\ &= \frac{|26|}{\sqrt{25 + 144}} \\ &= \frac{26}{\sqrt{169}} \\ &= \frac{26}{13} \\ &= 2 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance from the origin $(0, 0)$ to the line $5x - 12y + 26 = 0$.

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|5(0) - 12(0) + 26|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \\ &= \frac{|26|}{\sqrt{25 + 144}} \\ &= \frac{26}{\sqrt{169}} \\ &= \frac{26}{13} \\ &= 2 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $(2, -1)$ กับเส้นตรง $y = 2x - 3$

(จัดรูปสมการใหม่เป็น $2x - y - 3 = 0$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|2(2) - 1(-1) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \\ &= \frac{|4 + 1 - 3|}{\sqrt{4 + 1}} \\ &= \frac{|2|}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{2\sqrt{5}}{5} \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the point $(2, -1)$ and the line $y = 2x - 3$.

(Rearrange the equation to $2x - y - 3 = 0$)

Example 1.4

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $(4, 5)$ กับเส้นตรง $x - 2 = 0$

(เส้นตรงแนวตั้ง $A=1, B=0$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|1(4) + 0(5) - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} \\ &= \frac{|4 - 2|}{\sqrt{1}} \\ &= \frac{2}{1} \\ &= 2 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the point $(4, 5)$ and the line $x - 2 = 0$.

(Vertical line, $A=1, B=0$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|1(4) + 0(5) - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} \\ &= \frac{|4 - 2|}{\sqrt{1}} \\ &= \frac{2}{1} \\ &= 2 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $(-3, -4)$ กับเส้นตรง $-2x + y + 5 = 0$

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-2(-3) + 1(-4) + 5|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} \\ &= \frac{|6 - 4 + 5|}{\sqrt{4 + 1}} \\ &= \frac{|7|}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{7\sqrt{5}}{5} \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the point $(-3, -4)$ and the line $-2x + y + 5 = 0$.

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-2(-3) + 1(-4) + 5|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} \\ &= \frac{|6 - 4 + 5|}{\sqrt{4 + 1}} \\ &= \frac{|7|}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{7\sqrt{5}}{5} \text{ units} \end{aligned} $$

Example 1.6

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $\displaystyle (\frac{1}{2}, 1)$ กับเส้นตรง $6x + 8y - 11 = 0$

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|6(\frac{1}{2}) + 8(1) - 11|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} \\ &= \frac{|3 + 8 - 11|}{\sqrt{36 + 64}} \\ &= \frac{|0|}{\sqrt{100}} \\ &= 0 \text{ หน่วย} \quad \text{\color{#ff6f00}(จุดอยู่บนเส้นตรงพอดี)} \end{aligned} $$

Find the distance between the point $\displaystyle (\frac{1}{2}, 1)$ and the line $6x + 8y - 11 = 0$.

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|6(\frac{1}{2}) + 8(1) - 11|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} \\ &= \frac{|3 + 8 - 11|}{\sqrt{36 + 64}} \\ &= \frac{|0|}{\sqrt{100}} \\ &= 0 \text{ units} \quad \text{\color{#ff6f00}(The point lies exactly on the line)} \end{aligned} $$

Example 1.7

เรือลำหนึ่งอยู่ที่พิกัด $(3, 4)$ และชายฝั่งเป็นแนวเส้นตรงสมการ $4x - 3y + 10 = 0$ เรืออยู่ห่างจากชายฝั่งเท่าใด?

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|4(3) - 3(4) + 10|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \\ &= \frac{|12 - 12 + 10|}{\sqrt{16 + 9}} \\ &= \frac{|10|}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

A ship is at coordinates $(3, 4)$ and the coastline follows the line $4x - 3y + 10 = 0$. How far is the ship from the coast?

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|4(3) - 3(4) + 10|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \\ &= \frac{|12 - 12 + 10|}{\sqrt{16 + 9}} \\ &= \frac{|10|}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2 \text{ units} \end{aligned} $$

📏 ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน 📏 Distance between Parallel Lines

เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อมีความชันเท่ากัน ดังนั้นสมการของเส้นคู่ขนานสามารถจัดให้อยู่ในรูปที่มีสัมประสิทธิ์ $A$ และ $B$ เหมือนกันทุกประการได้ คือ $Ax + By + C_1 = 0$ และ $Ax + By + C_2 = 0$

สูตรการหาระยะทางระหว่างเส้นคู่ขนาน:

$$ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

จุดสำคัญ: หากสมการเส้นตรงทั้งสองมี $A$ และ $B$ ไม่เท่ากัน ต้องนำตัวเลขมาคูณหรือหารสมการใดสมการหนึ่งให้ $A, B$ ตรงกันก่อนเสมอ จึงจะใช้สูตรนี้ได้

Two lines are parallel if they have the same slope. Thus, their equations can be arranged to have identical coefficients $A$ and $B$, such as $Ax + By + C_1 = 0$ and $Ax + By + C_2 = 0$.

The formula for the distance between parallel lines is:

$$ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Crucial Point: If the equations have different $A$ and $B$ values, you must multiply or divide one of the equations so their $A$ and $B$ coefficients match before using the formula.

Example 2.1

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง $3x + 4y - 5 = 0$ และ $3x + 4y + 5 = 0$

(สัมประสิทธิ์ $A=3, B=4$ เท่ากันแล้ว สามารถใช้สูตรได้เลย)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-5 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ &= \frac{|-10|}{\sqrt{9 + 16}} \\ &= \frac{10}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the lines $3x + 4y - 5 = 0$ and $3x + 4y + 5 = 0$.

(Coefficients $A=3, B=4$ match, formula can be applied directly)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-5 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ &= \frac{|-10|}{\sqrt{9 + 16}} \\ &= \frac{10}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง $5x - 12y = 0$ และ $5x - 12y + 39 = 0$

(เส้นแรกมี $C_1 = 0$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|0 - 39|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \\ &= \frac{|-39|}{\sqrt{25 + 144}} \\ &= \frac{39}{\sqrt{169}} \\ &= \frac{39}{13} \\ &= 3 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the lines $5x - 12y = 0$ and $5x - 12y + 39 = 0$.

(First line has $C_1 = 0$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|0 - 39|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \\ &= \frac{|-39|}{\sqrt{25 + 144}} \\ &= \frac{39}{\sqrt{169}} \\ &= \frac{39}{13} \\ &= 3 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง $x + 2y - 4 = 0$ และ $2x + 4y + 12 = 0$

(สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากัน ต้องนำ 2 คูณตลอดสมการแรก จะได้ $2x + 4y - 8 = 0$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-8 - 12|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} \\ &= \frac{|-20|}{\sqrt{4 + 16}} \\ &= \frac{20}{\sqrt{20}} \\ &= \frac{20}{2\sqrt{5}} \\ &= \frac{10}{\sqrt{5}} \\ &= 2\sqrt{5} \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the lines $x + 2y - 4 = 0$ and $2x + 4y + 12 = 0$.

(Coefficients don't match. Multiply the first equation by 2 to get $2x + 4y - 8 = 0$)

Example 2.4

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง $y = -x + 2$ และ $y = -x - 3$

(จัดรูปให้เป็น $x + y - 2 = 0$ และ $x + y + 3 = 0$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-2 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \\ &= \frac{|-5|}{\sqrt{1 + 1}} \\ &= \frac{5}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the lines $y = -x + 2$ and $y = -x - 3$.

(Rearrange to $x + y - 2 = 0$ and $x + y + 3 = 0$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-2 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \\ &= \frac{|-5|}{\sqrt{1 + 1}} \\ &= \frac{5}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ units} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง $6x + 8y - \frac{1}{2} = 0$ และ $6x + 8y + \frac{9}{2} = 0$

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-\frac{1}{2} - \frac{9}{2}|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} \\ &= \frac{|-\frac{10}{2}|}{\sqrt{36 + 64}} \\ &= \frac{|-5|}{\sqrt{100}} \\ &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2} \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the lines $6x + 8y - \frac{1}{2} = 0$ and $6x + 8y + \frac{9}{2} = 0$.

Example 2.6

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงแนวนอน $y - 4 = 0$ และ $y + 2 = 0$

(เส้นขนานแกน x ค่า $A=0, B=1$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-4 - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} \\ &= \frac{|-6|}{\sqrt{1}} \\ &= 6 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between the horizontal lines $y - 4 = 0$ and $y + 2 = 0$.

(Lines parallel to x-axis, $A=0, B=1$)

$$ \begin{aligned} d &= \frac{|-4 - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} \\ &= \frac{|-6|}{\sqrt{1}} \\ &= 6 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 2.7

จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับ $3x + 4y - 2 = 0$ และอยู่ห่างจากเส้นตรงนี้เป็นระยะ $2$ หน่วย

(ให้เส้นตรงใหม่คือ $3x + 4y + C = 0$)

$$ \begin{aligned} 2 &= \frac{|C - (-2)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ 2 &= \frac{|C + 2|}{5} \\ 10 &= |C + 2| \end{aligned} $$

ถอดค่าสัมบูรณ์ จะได้สองกรณี:

$$ \begin{aligned} C + 2 = 10 &\implies C = 8 \\ C + 2 = -10 &\implies C = -12 \end{aligned} $$

สมการคือ $3x + 4y + 8 = 0$ หรือ $3x + 4y - 12 = 0$

Find equations of lines parallel to $3x + 4y - 2 = 0$ at a distance of $2$ units.

(Let the new line be $3x + 4y + C = 0$)

$$ \begin{aligned} 2 &= \frac{|C - (-2)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ 2 &= \frac{|C + 2|}{5} \\ 10 &= |C + 2| \end{aligned} $$

Solving the absolute value gives two cases:

$$ \begin{aligned} C + 2 = 10 &\implies C = 8 \\ C + 2 = -10 &\implies C = -12 \end{aligned} $$

The equations are $3x + 4y + 8 = 0$ or $3x + 4y - 12 = 0$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Analytic Geometry	analysis (breaking down) + geometria (earth measuring)	เรขาคณิตวิเคราะห์ · การศึกษาเรขาคณิตโดยใช้ระบบพิกัดและพีชคณิต
Distance	dis- (apart) + stare (to stand)	ระยะทาง / ระยะห่าง · ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุด (ตั้งฉาก) ระหว่างสองสิ่ง
Parallel Lines	para- (beside) + allelon (of one another)	เส้นคู่ขนาน · เส้นตรงบนระนาบเดียวกันที่มีระยะห่างเท่ากันเสมอและไม่มีวันตัดกัน
Perpendicular	per- (through) + pendere (to hang)	ตั้งฉาก · การตัดกันของเส้นตรงโดยทำมุม 90 องศา (ระยะทางที่สั้นที่สุด)
Coefficient	co- (together) + efficere (to accomplish)	สัมประสิทธิ์ · ตัวเลขที่คูณอยู่หน้าตัวแปรในสมการ เช่น A และ B
Absolute Value	absolutus (freed, unrestricted)	ค่าสัมบูรณ์ · ระยะห่างของจำนวนนั้นจากศูนย์บนเส้นจำนวน (มีค่าเป็นบวกเสมอ)