กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

สมการของเส้นตรง
Equation of a Line

รูปแบบของสมการเส้นตรง การหาจุดตัดแกน และจุดตัดของเส้นตรง

TH

เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นการผสานพีชคณิตเข้ากับเรขาคณิต โดย "เส้นตรง" เป็นกราฟพื้นฐานที่สำคัญที่สุด การเข้าใจรูปแบบสมการเส้นตรงจะช่วยให้เราสามารถวิเคราะห์ความชัน จุดที่เส้นตรงลากผ่าน และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรงหลายๆ เส้นในระบบพิกัดฉากได้

EN

Analytic Geometry combines algebra with geometry. The "straight line" is the most fundamental graph. Understanding the forms of linear equations allows us to analyze slopes, the points a line passes through, and the relationships between multiple lines in a coordinate system.

1

📌 รูปแบบของสมการเส้นตรงที่สำคัญ 📌 Important Forms of Line Equations

TH

สมการเส้นตรงสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่เราทราบในโจทย์ รูปแบบที่พบบ่อยและสำคัญที่สุดมี 3 รูปแบบ ดังนี้:

  • รูปมาตรฐานความชันและจุดตัด (Slope-Intercept Form):
    $$ y = mx + c $$
    เมื่อ $m$ คือความชัน (Slope) และ $c$ คือจุดตัดแกน Y (Y-intercept) รูปแบบนี้มีประโยชน์มากเมื่อต้องการวาดกราฟอย่างรวดเร็ว
  • รูปจุดและความชัน (Point-Slope Form):
    $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$
    ใช้สำหรับสร้างสมการเส้นตรงเมื่อเราทราบ ความชัน ($m$) และ จุดพิกัด $(x_1, y_1)$ ที่เส้นตรงผ่านอย่างน้อยหนึ่งจุด
  • รูปทั่วไป (General Form):
    $$ Ax + By + C = 0 $$
    เป็นรูปแบบมาตรฐานที่นิยมใช้ตอบคำถาม โดยที่ $A, B, C$ เป็นค่าคงตัว และ $A, B$ ต้องไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สามารถหาความชันได้จากสูตร $\displaystyle m = -\frac{A}{B}$
EN

A linear equation can be written in several forms depending on the given information. The 3 most important forms are:

  • Slope-Intercept Form:
    $$ y = mx + c $$
    Where $m$ is the slope and $c$ is the Y-intercept. This form is very useful for quick graphing.
  • Point-Slope Form:
    $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$
    Used to construct a line equation when we know the slope ($m$) and at least one point $(x_1, y_1)$ on the line.
  • General Form:
    $$ Ax + By + C = 0 $$
    A standard formatting convention where $A, B, C$ are constants, and $A, B$ are not both zero. The slope can be found using the formula $\displaystyle m = -\frac{A}{B}$.
Example 1.1

จงหาสมการของเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ $3$ และตัดแกน Y ที่จุด $(0, -2)$

$$ \begin{aligned} \text{จากโจทย์ } m &= 3, \quad c = -2 \\ \text{จากสมการ } y &= mx + c \\ \text{แทนค่า } y &= 3x + (-2) \\ y &= 3x - 2 \end{aligned} $$

Find the equation of the line with a slope of $3$ and a Y-intercept of $(0, -2)$.

$$ \begin{aligned} \text{Given } m &= 3, \quad c = -2 \\ \text{Using } y &= mx + c \\ \text{Substitute } y &= 3x + (-2) \\ y &= 3x - 2 \end{aligned} $$
Example 1.2

จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(4, 1)$ และมีความชันเท่ากับ $-\frac{1}{2}$ (ตอบในรูปทั่วไป)

$$ \begin{aligned} \text{จากสมการ } y - y_1 &= m(x - x_1) \\ \text{แทนค่า } y - 1 &= -\frac{1}{2}(x - 4) \\ 2(y - 1) &= -1(x - 4) \\ 2y - 2 &= -x + 4 \\ x + 2y - 6 &= 0 \end{aligned} $$

Find the equation of the line passing through $(4, 1)$ with a slope of $-\frac{1}{2}$ (in general form).

$$ \begin{aligned} \text{From } y - y_1 &= m(x - x_1) \\ \text{Sub } y - 1 &= -\frac{1}{2}(x - 4) \\ 2(y - 1) &= -1(x - 4) \\ 2y - 2 &= -x + 4 \\ x + 2y - 6 &= 0 \end{aligned} $$
Example 1.3

จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $(1, 2)$ และ $(3, 6)$

$$ \begin{aligned} \text{หาความชัน } m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \\[6pt] \text{แทนในสมการ } y - y_1 &= m(x - x_1) \\ y - 2 &= 2(x - 1) \\ y - 2 &= 2x - 2 \\ y &= 2x \end{aligned} $$

Find the equation of the line passing through $(1, 2)$ and $(3, 6)$.

$$ \begin{aligned} \text{Find slope } m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \\[6pt] \text{Use } y - y_1 &= m(x - x_1) \\ y - 2 &= 2(x - 1) \\ y - 2 &= 2x - 2 \\ y &= 2x \end{aligned} $$
Example 1.4

จงหาความชันของเส้นตรง $3x + 4y - 12 = 0$

$$ \begin{aligned} \text{จัดในรูป } y &= mx + c \\ 3x + 4y - 12 &= 0 \\ 4y &= -3x + 12 \\ y &= -\frac{3}{4}x + 3 \\[6pt] \text{ดังนั้น ความชัน } m &= -\frac{3}{4} \end{aligned} $$

Find the slope of the line $3x + 4y - 12 = 0$.

$$ \begin{aligned} \text{Rearrange to } y &= mx + c \\ 3x + 4y - 12 &= 0 \\ 4y &= -3x + 12 \\ y &= -\frac{3}{4}x + 3 \\[6pt] \text{Thus, slope } m &= -\frac{3}{4} \end{aligned} $$
Example 1.5

จงหาสมการของเส้นตรงแนวนอนที่ลากผ่านจุด $(4, -5)$

$$ \begin{aligned} \text{เส้นตรงแนวนอนมีความชัน } m &= 0 \\ \text{จากสมการ } y - y_1 &= m(x - x_1) \\ y - (-5) &= 0(x - 4) \\ y + 5 &= 0 \\ y &= -5 \end{aligned} $$

Find the equation of a horizontal line passing through $(4, -5)$.

$$ \begin{aligned} \text{Horizontal line has slope } m &= 0 \\ \text{From } y - y_1 &= m(x - x_1) \\ y - (-5) &= 0(x - 4) \\ y + 5 &= 0 \\ y &= -5 \end{aligned} $$
Example 1.6

จงหาสมการของเส้นตรงแนวตั้งที่ลากผ่านจุด $(-2, 7)$

$$ \begin{aligned} \text{เส้นตรงแนวตั้ง ค่า } x &\text{ จะคงที่เสมอ} \\ \text{ความชัน } m &\text{ หาค่าไม่ได้ (Undefined)} \\ \text{ดังนั้นสมการคือ } x &= -2 \end{aligned} $$

Find the equation of a vertical line passing through $(-2, 7)$.

$$ \begin{aligned} \text{For a vertical line, } x &\text{ is constant} \\ \text{Slope } m &\text{ is Undefined} \\ \text{Thus, equation is } x &= -2 \end{aligned} $$
Example 1.7

จงแปลงสมการ $y = \displaystyle \frac{2}{3}x - 4$ ให้อยู่ในรูปทั่วไป ($Ax + By + C = 0$)

$$ \begin{aligned} y &= \frac{2}{3}x - 4 \\ 3y &= 2x - 12 \\ 0 &= 2x - 3y - 12 \\ 2x - 3y - 12 &= 0 \end{aligned} $$

Convert $y = \displaystyle \frac{2}{3}x - 4$ to General Form ($Ax + By + C = 0$).

$$ \begin{aligned} y &= \frac{2}{3}x - 4 \\ 3y &= 2x - 12 \\ 0 &= 2x - 3y - 12 \\ 2x - 3y - 12 &= 0 \end{aligned} $$
2

📍 การหาจุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y 📍 Finding X-Intercept and Y-Intercept

TH

จุดตัดแกน (Intercepts) คือจุดที่กราฟเส้นตรงตัดผ่านแกนพิกัด หลักการหาค่ามีดังนี้:

  • จุดตัดแกน X: คือจุดที่เส้นตรงตัดแกนแนวนอน ซึ่งค่า $y$ จะเป็นศูนย์เสมอ วิธีการหาคือ: ให้สมมติ $y = 0$ แล้วแก้สมการหาค่า $x$ จะได้จุด $(x, 0)$
  • จุดตัดแกน Y: คือจุดที่เส้นตรงตัดแกนแนวตั้ง ซึ่งค่า $x$ จะเป็นศูนย์เสมอ วิธีการหาคือ: ให้สมมติ $x = 0$ แล้วแก้สมการหาค่า $y$ จะได้จุด $(0, y)$
EN

Intercepts are the points where the line crosses the coordinate axes. The principles to find them are:

  • X-Intercept: The point where the line crosses the horizontal axis, where $y$ is always zero. Method: Set $y = 0$ and solve for $x$. The point is $(x, 0)$.
  • Y-Intercept: The point where the line crosses the vertical axis, where $x$ is always zero. Method: Set $x = 0$ and solve for $y$. The point is $(0, y)$.
Example 2.1

จงหาจุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y ของกราฟเส้นตรง $2x - 5y = 10$

$$ \begin{aligned} \text{หาจุดตัดแกน X (ให้ } y = 0\text{):} \\ 2x - 5(0) &= 10 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \\ \text{ดังนั้น จุดตัดแกน X คือ } (5, 0) \\[8pt] \text{หาจุดตัดแกน Y (ให้ } x = 0\text{):} \\ 2(0) - 5y &= 10 \\ -5y &= 10 \\ y &= -2 \\ \text{ดังนั้น จุดตัดแกน Y คือ } (0, -2) \end{aligned} $$

Find the X-intercept and Y-intercept of the line $2x - 5y = 10$.

$$ \begin{aligned} \text{Find X-intercept (set } y = 0\text{):} \\ 2x - 5(0) &= 10 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \\ \text{Therefore, X-intercept is } (5, 0) \\[8pt] \text{Find Y-intercept (set } x = 0\text{):} \\ 2(0) - 5y &= 10 \\ -5y &= 10 \\ y &= -2 \\ \text{Therefore, Y-intercept is } (0, -2) \end{aligned} $$
Example 2.2

จงหาจุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y ของเส้นตรง $y = 3x - 6$

$$ \begin{aligned} \text{หาจุดตัดแกน Y (ให้ } x &= 0\text{):} \\ y &= 3(0) - 6 \\ y &= -6 \\ \text{ดังนั้น จุดตัดแกน Y คือ } (0, -6) \\[8pt] \text{หาจุดตัดแกน X (ให้ } y &= 0\text{):} \\ 0 &= 3x - 6 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \\ \text{ดังนั้น จุดตัดแกน X คือ } (2, 0) \end{aligned} $$

Find the X and Y intercepts of the line $y = 3x - 6$.

$$ \begin{aligned} \text{Find Y-intercept (set } x &= 0\text{):} \\ y &= 3(0) - 6 \\ y &= -6 \\ \text{Therefore, Y-intercept is } (0, -6) \\[8pt] \text{Find X-intercept (set } y &= 0\text{):} \\ 0 &= 3x - 6 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \\ \text{Therefore, X-intercept is } (2, 0) \end{aligned} $$
Example 2.3

จงหาจุดตัดแกนของเส้นตรง $x = 5$

$$ \begin{aligned} \text{จุดตัดแกน X } &= (5, 0) \\ \text{จุดตัดแกน Y } &\text{ไม่มี (เนื่องจากเป็นเส้นตรงแนวตั้งขนานแกน Y)} \end{aligned} $$

Find the intercepts of the line $x = 5$.

$$ \begin{aligned} \text{X-intercept } &= (5, 0) \\ \text{Y-intercept } &\text{None (vertical line parallel to Y-axis)} \end{aligned} $$
Example 2.4

จงหาจุดตัดแกนของเส้นตรง $y = -3$

$$ \begin{aligned} \text{จุดตัดแกน Y } &= (0, -3) \\ \text{จุดตัดแกน X } &\text{ไม่มี (เนื่องจากเป็นเส้นตรงแนวนอนขนานแกน X)} \end{aligned} $$

Find the intercepts of the line $y = -3$.

$$ \begin{aligned} \text{Y-intercept } &= (0, -3) \\ \text{X-intercept } &\text{None (horizontal line parallel to X-axis)} \end{aligned} $$
Example 2.5

จงหาจุดตัดแกนของเส้นตรง $y = 2x$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } x = 0 \\ y &= 2(0) \\ y &= 0 \\ \text{ให้ } y = 0 \\ 0 &= 2x \\ x &= 0 \\[6pt] \text{สรุป: ตัดทั้งแกน } & \text{ X และ Y ที่จุดเดียวกันคือ } (0, 0) \end{aligned} $$

Find the intercepts of the line $y = 2x$.

$$ \begin{aligned} \text{Set } x = 0 \\ y &= 2(0) \\ y &= 0 \\ \text{Set } y = 0 \\ 0 &= 2x \\ x &= 0 \\[6pt] \text{Conclusion: Crosses } & \text{both axes at } (0, 0) \end{aligned} $$
Example 2.6

จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง $3x + 4y = 12$ และแกนพิกัดทั้งสอง

$$ \begin{aligned} \text{จุดตัดแกน X } (y&=0): \quad 3x = 12 \quad \\ \text{ได้ } x &= 4 \quad (\text{ฐาน } = 4) \\ \text{จุดตัดแกน Y } (x&=0): \quad 4y = 12 \quad \\ \text{ได้ } y &= 3 \quad (\text{สูง } = 3) \\[6pt] \text{พื้นที่สามเหลี่ยม } &= \frac{1}{2} \times \text{ฐาน} \times \text{สูง} \\ &= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \\ &= 6 \text{ ตารางหน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of the triangle bounded by $3x + 4y = 12$ and the coordinate axes.

$$ \begin{aligned} \text{X-intercept } (y&=0): \quad 3x = 12 \quad \\ \text{gives } x &= 4 \quad (\text{Base} = 4) \\ \text{Y-intercept } (x&=0): \quad 4y = 12 \quad \\ \text{gives } y &= 3 \quad (\text{Height} = 3) \\[6pt] \text{Area } &= \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Height} \\ &= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \\ &= 6 \text{ sq. units} \end{aligned} $$
Example 2.7

เส้นตรงเส้นหนึ่งมีจุดตัดแกน X ที่ $2$ และจุดตัดแกน Y ที่ $5$ จงหาสมการเส้นตรงเส้นนี้

$$ \begin{aligned} \text{จากสมการรูปจุดตัด } \frac{x}{a} + \frac{y}{b} &= 1 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{5} &= 1 \\ 5x + 2y &= 10 \\ 5x + 2y - 10 &= 0 \end{aligned} $$

A line has an X-intercept of $2$ and a Y-intercept of $5$. Find its equation.

$$ \begin{aligned} \text{Using Intercept Form } \frac{x}{a} + \frac{y}{b} &= 1 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{5} &= 1 \\ 5x + 2y &= 10 \\ 5x + 2y - 10 &= 0 \end{aligned} $$
3

⚔️ การหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น ⚔️ Intersection of Two Lines

TH

เมื่อมีเส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกัน กราฟจะตัดกันที่จุดๆ หนึ่งเสมอ จุดตัดนี้คือคู่ลำดับ $(x, y)$ ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองพร้อมกัน ดังนั้น การหาจุดตัดก็คือ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร นั่นเอง สามารถใช้วิธีการแทนค่า (Substitution) หรือวิธีการกำจัดตัวแปร (Elimination) ก็ได้

EN

When two non-parallel lines intersect, they cross at exactly one point. This intersection point $(x, y)$ satisfies both equations simultaneously. Therefore, finding the intersection point is equivalent to solving a system of two linear equations. You can use either the Substitution method or the Elimination method.

Example 3.1

จงหาจุดตัดของเส้นตรง $L_1: y = 2x + 1$ และเส้นตรง $L_2: y = -x + 4$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } y &= y \\ 2x + 1 &= -x + 4 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1 \\[6pt] \text{แทน } x = 1 \text{ ใน } L_1: \quad y &= 2(1) + 1 \\ y &= 3 \\[6pt] \text{ดังนั้น จุดตัดคือ } &(1, 3) \end{aligned} $$

Find the intersection point of the lines $L_1: y = 2x + 1$ and $L_2: y = -x + 4$.

$$ \begin{aligned} \text{Set } y &= y \\ 2x + 1 &= -x + 4 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1 \\[6pt] \text{Sub } x = 1 \text{ into } L_1: \quad y &= 2(1) + 1 \\ y &= 3 \\[6pt] \text{Therefore, intersection point is } &(1, 3) \end{aligned} $$
Example 3.2

จงหาจุดตัดของสมการ $2x + 3y = 12$ และ $x - y = 1$

$$ \begin{aligned} 2x + 3y &= 12 \quad \text{--- (1)} \\ x - y &= 1 \quad \text{--- (2)} \\[6pt] \text{นำ (2)} \times 3: \quad 3x - 3y &= 3 \quad \text{--- (3)} \\ \text{นำ (1) + (3):} \quad 5x &= 15 \\ x &= 3 \\[6pt] \text{แทน } x = 3 \text{ ใน (2):} \quad 3 - y &= 1 \\ y &= 2 \\[6pt] \text{ดังนั้น จุดตัดคือ } &(3, 2) \end{aligned} $$

Find the intersection of the equations $2x + 3y = 12$ and $x - y = 1$.

$$ \begin{aligned} 2x + 3y &= 12 \quad \text{--- (1)} \\ x - y &= 1 \quad \text{--- (2)} \\[6pt] (2) \times 3: \quad 3x - 3y &= 3 \quad \text{--- (3)} \\ (1) + (3): \quad 5x &= 15 \\ x &= 3 \\[6pt] \text{Sub } x = 3 \text{ into (2):} \quad 3 - y &= 1 \\ y &= 2 \\[6pt] \text{Therefore, intersection point is } &(3, 2) \end{aligned} $$
Example 3.3

จงหาจุดตัดของเส้นตรง $2x + y = 4$ และ $2x + y = 8$

$$ \begin{aligned} 2x + y &= 4 \quad \text{--- (1)} \\ 2x + y &= 8 \quad \text{--- (2)} \\[6pt] \text{นำ (1) - (2):} \quad 0 &= -4 \quad \text{(เป็นเท็จ)} \\[6pt] \text{สรุป: เส้นตรงทั้งสองขนานกัน จึง} &\text{ไม่มีจุดตัด} \end{aligned} $$

Find the intersection of $2x + y = 4$ and $2x + y = 8$.

$$ \begin{aligned} 2x + y &= 4 \quad \text{--- (1)} \\ 2x + y &= 8 \quad \text{--- (2)} \\[6pt] (1) - (2): \quad 0 &= -4 \quad \text{(False statement)} \\[6pt] \text{Conclusion: Lines are parallel, } &\text{no intersection} \end{aligned} $$
Example 3.4

จงหาจุดตัดของเส้นตรง $x + y = 3$ และ $2x + 2y = 6$

$$ \begin{aligned} x + y &= 3 \quad \text{--- (1)} \\ 2x + 2y &= 6 \quad \text{--- (2)} \\[6pt] \text{นำ (1)} \times 2: \quad 2x + 2y &= 6 \\[6pt] \text{สรุป: เป็นเส้นตรงเดียวกัน จึงมีจุดตัด} &\text{มากมายนับไม่ถ้วน} \end{aligned} $$

Find the intersection of $x + y = 3$ and $2x + 2y = 6$.

$$ \begin{aligned} x + y &= 3 \quad \text{--- (1)} \\ 2x + 2y &= 6 \quad \text{--- (2)} \\[6pt] (1) \times 2: \quad 2x + 2y &= 6 \\[6pt] \text{Conclusion: Exact same line, } &\text{infinitely many intersections} \end{aligned} $$
Example 3.5

จงหาจุดตัดของเส้นตรง $x = 3$ และ $2x + y = 10$

$$ \begin{aligned} \text{ทราบค่า } x &= 3 \\[6pt] \text{แทน } x = 3 \text{ ในสมการ:} \quad 2(3) + y &= 10 \\ 6 + y &= 10 \\ y &= 4 \\[6pt] \text{ดังนั้น จุดตัดคือ } &(3, 4) \end{aligned} $$

Find the intersection of $x = 3$ and $2x + y = 10$.

$$ \begin{aligned} \text{Given } x &= 3 \\[6pt] \text{Sub } x = 3 \text{ into eq:} \quad 2(3) + y &= 10 \\ 6 + y &= 10 \\ y &= 4 \\[6pt] \text{Therefore, intersection point is } &(3, 4) \end{aligned} $$
Example 3.6

จงหาจุดตัดของ $\displaystyle \frac{x}{2} + y = 4$ และ $x - \displaystyle \frac{y}{3} = 1$

$$ \begin{aligned} \text{กำจัดส่วน (1)} \times 2: \quad x + 2y &= 8 \quad \text{--- (3)} \\ \text{กำจัดส่วน (2)} \times 3: \quad 3x - y &= 3 \quad \text{--- (4)} \\[6pt] \text{นำ (4)} \times 2: \quad 6x - 2y &= 6 \quad \text{--- (5)} \\ \text{นำ (3) + (5):} \quad 7x &= 14 \\ x &= 2 \\[6pt] \text{แทน } x = 2 \text{ ใน (3):} \quad 2 + 2y &= 8 \\ 2y &= 6 \\ y &= 3 \\[6pt] \text{ดังนั้น จุดตัดคือ } &(2, 3) \end{aligned} $$

Find intersection of $\displaystyle \frac{x}{2} + y = 4$ and $x - \displaystyle \frac{y}{3} = 1$.

$$ \begin{aligned} (1) \times 2: \quad x + 2y &= 8 \quad \text{--- (3)} \\ (2) \times 3: \quad 3x - y &= 3 \quad \text{--- (4)} \\[6pt] (4) \times 2: \quad 6x - 2y &= 6 \quad \text{--- (5)} \\ (3) + (5): \quad 7x &= 14 \\ x &= 2 \\[6pt] \text{Sub } x = 2 \text{ into (3):} \quad 2 + 2y &= 8 \\ 2y &= 6 \\ y &= 3 \\[6pt] \text{Therefore, intersection is } &(2, 3) \end{aligned} $$
Example 3.7

จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของ $x + y = 3$ และ $2x - y = 3$ โดยมีความชันเท่ากับ $4$

$$ \begin{aligned} \text{ขั้นที่ 1: หาจุดตัด} \\ (x + y) + (2x - y) &= 3 + 3 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \\[4pt] \text{แทน } x = 2: \quad 2 + y &= 3 \\ y &= 1 \\ \text{จุดตัดคือ } &(2, 1) \\[8pt] \text{ขั้นที่ 2: หาสมการเส้นตรง } (m &= 4, \text{ ผ่านจุด } (2,1)) \\ y - y_1 &= m(x - x_1) \\ y - 1 &= 4(x - 2) \\ y - 1 &= 4x - 8 \\ 4x - y - 7 &= 0 \end{aligned} $$

Find the line passing through the intersection of $x + y = 3$ and $2x - y = 3$, with slope $4$.

$$ \begin{aligned} \text{Step 1: Find Intersection} \\ (x + y) + (2x - y) &= 3 + 3 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \\[4pt] \text{Sub } x = 2: \quad 2 + y &= 3 \\ y &= 1 \\ \text{Intersection is } &(2, 1) \\[8pt] \text{Step 2: Find Line Eq } (m &= 4, \text{ passing through } (2,1)) \\ y - y_1 &= m(x - x_1) \\ y - 1 &= 4(x - 2) \\ y - 1 &= 4x - 8 \\ 4x - y - 7 &= 0 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Linear Equation linea (line) + aequare (make equal) สมการเชิงเส้น · สมการที่มีตัวแปรยกกำลังหนึ่งและกราฟเป็นเส้นตรง
Slope sleupan (to slip, glide) ความชัน · อัตราการเปลี่ยนแปลงของแกน Y เทียบกับแกน X (ความลาดเอียงของเส้นตรง)
Intercept inter- (between) + capere (to catch, take) จุดตัดแกน · จุดที่กราฟ "ตัด" หรือพาดผ่านแกนอ้างอิง
Intersection inter- (between) + secare (to cut) จุดตัด (ของเส้นตรง) · จุดที่เส้นตรงสองเส้นไขว้ตัดกันและมีพิกัดร่วมกัน
Coordinate com- (together) + ordinare (to arrange) พิกัด · ระบบตัวเลข (x, y) ที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดบนระนาบ
Substitution sub- (under, in place of) + statuere (to set up) การแทนค่า · วิธีการแก้ระบบสมการโดยแทนตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปร
Elimination ex- (out) + limen (threshold) การกำจัด · วิธีการแก้สมการโดยนำสมการมาบวกลบกันเพื่อกำจัดตัวแปร