เส้นตรงขนานและตั้งฉาก

ในบทเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์ ความชัน (Slope หรือ $m$) เป็นหัวใจสำคัญในการบอกทิศทางและความเอียงของเส้นตรง เมื่อเรามีเส้นตรงสองเส้น เราสามารถใช้ความชันเพื่อตรวจสอบความสัมพันธ์ว่าเส้นตรงทั้งสองนั้น "ขนานกัน" หรือ "ตั้งฉากกัน" ได้อย่างแม่นยำ

In analytic geometry, the Slope ($m$) is the key to indicating the direction and steepness of a line. When we have two lines, we can use their slopes to accurately determine whether they are "parallel" or "perpendicular" to each other.

เส้นตรงที่ขนานกัน Parallel Lines

สมบัติของเส้นตรงที่ขนานกัน: เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน $y$ จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองมีความชันเท่ากัน

$$ m_1 = m_2 $$

Property of Parallel Lines: Two non-vertical lines are parallel if and only if they have the same slope.

$$ m_1 = m_2 $$

Example 1.1

การตรวจสอบความชันของเส้นขนานจากจุดผ่าน: จงตรวจสอบว่าเส้นตรง $L_1$ ที่ผ่านจุด $(1, 3), (4, 9)$ ขนานกับเส้นตรง $L_2$ ที่ผ่านจุด $(0, 1), (3, 7)$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} m_1 &= \frac{9 - 3}{4 - 1} \quad &&\text{(หาความชันของ } L_1 \text{)} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \\[6pt] m_2 &= \frac{7 - 1}{3 - 0} \quad &&\text{(หาความชันของ } L_2 \text{)} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \end{aligned} $$

เนื่องจากความชัน $m_1 = m_2 = 2$ ดังนั้นเส้นตรงทั้งสองขนานกัน ($L_1 \parallel L_2$)

Checking Slope of Parallel Lines from Points: Determine if line $L_1$ passing through $(1, 3), (4, 9)$ is parallel to line $L_2$ passing through $(0, 1), (3, 7)$.

$$ \begin{aligned} m_1 &= \frac{9 - 3}{4 - 1} \quad &&\text{(Slope of } L_1 \text{)} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \\[6pt] m_2 &= \frac{7 - 1}{3 - 0} \quad &&\text{(Slope of } L_2 \text{)} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \end{aligned} $$

Since slopes $m_1 = m_2 = 2$, the lines are parallel ($L_1 \parallel L_2$).

Example 1.2

การตรวจสอบเส้นขนานจากสมการ $y = mx + c$: จงตรวจสอบว่าเส้นตรง $L_1: y = 3x + 4$ และ $L_2: y = 3x - 5$ ขนานกันหรือไม่?

$$ \begin{aligned} m_1 &= 3 \quad &&\text{(อ่านความชันของ } L_1: y = 3x + 4 \text{)} \\ m_2 &= 3 \quad &&\text{(อ่านความชันของ } L_2: y = 3x - 5 \text{)} \\ m_1 &= m_2 = 3 \quad &&\text{(ความชันเท่ากัน)} \end{aligned} $$

เนื่องจากความชันเท่ากันและความจุ Y ไม่เท่ากัน ($c_1 \ne c_2$) เส้นตรงทั้งสองจึงขนานกัน

Checking Parallel Lines from Slope-Intercept Form: Determine if $L_1: y = 3x + 4$ and $L_2: y = 3x - 5$ are parallel.

$$ \begin{aligned} m_1 &= 3 \quad &&\text{(Read slope of } L_1: y = 3x + 4 \text{)} \\ m_2 &= 3 \quad &&\text{(Read slope of } L_2: y = 3x - 5 \text{)} \\ m_1 &= m_2 = 3 \quad &&\text{(Slopes are equal)} \end{aligned} $$

Since the slopes are equal and y-intercepts differ ($c_1 \ne c_2$), the lines are parallel.

Example 1.3

การหาสมการเส้นตรงที่ขนานผ่านจุดกำหนด: จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $(2, 5)$ และขนานกับเส้นตรง $y = 4x - 1$

$$ \begin{aligned} m_1 &= 4 \implies m_2 = 4 \quad &&\text{(เส้นขนานมีความชันเท่ากัน)} \\ y - y_1 &= m(x - x_1) \quad &&\text{(สูตรสมการเส้นตรงผ่านจุด)} \\ y - 5 &= 4(x - 2) \quad &&\text{(แทนจุด } (2,5) \text{ และ } m=4 \text{)} \\ y - 5 &= 4x - 8 \\ y &= 4x - 3 \quad &&\text{(สมการเส้นตรงที่ต้องการ)} \end{aligned} $$

สมการเส้นตรงที่ขนานกันคือ $y = 4x - 3$

Finding Parallel Line Equation through a Point: Find the equation of the line passing through $(2, 5)$ and parallel to $y = 4x - 1$.

$$ \begin{aligned} m_1 &= 4 \implies m_2 = 4 \quad &&\text{(Parallel lines have equal slopes)} \\ y - y_1 &= m(x - x_1) \quad &&\text{(Point-slope formula)} \\ y - 5 &= 4(x - 2) \quad &&\text{(Substitute } (2,5) \text{ and } m=4 \text{)} \\ y - 5 &= 4x - 8 \\ y &= 4x - 3 \quad &&\text{(Required parallel equation)} \end{aligned} $$

The equation of the parallel line is $y = 4x - 3$.

Example 1.4

การจัดรูปสมการทั่วไปตรวจสอบเส้นขนาน: เส้นตรง $2x - 5y + 10 = 0$ และ $4x - 10y - 7 = 0$ ขนานกันหรือไม่?

$$ \begin{aligned} 2x - 5y + 10 &= 0 \\ 5y &= 2x + 10 \\ y &= \frac{2}{5}x + 2 \\ m_1 &= \frac{2}{5} \quad &&\text{(จัดรูป } L_1 \text{)} \\[6pt] 4x - 10y - 7 &= 0 \\ 10y &= 4x - 7 \\ y &= \frac{4}{10}x - \frac{7}{10} \\ m_2 &= \frac{2}{5} \quad &&\text{(จัดรูป } L_2 \text{)} \end{aligned} $$

เนื่องจากความชัน $m_1 = m_2 = \frac{2}{5}$ ดังนั้นเส้นตรงทั้งสองขนานกัน

Checking Parallelism from General Form: Are the lines $2x - 5y + 10 = 0$ and $4x - 10y - 7 = 0$ parallel?

$$ \begin{aligned} 2x - 5y + 10 &= 0 \\ 5y &= 2x + 10 \\ y &= \frac{2}{5}x + 2 \\ m_1 &= \frac{2}{5} \quad &&\text{(Convert } L_1 \text{)} \\[6pt] 4x - 10y - 7 &= 0 \\ 10y &= 4x - 7 \\ y &= \frac{4}{10}x - \frac{7}{10} \\ m_2 &= \frac{2}{5} \quad &&\text{(Convert } L_2 \text{)} \end{aligned} $$

Since slopes $m_1 = m_2 = \frac{2}{5}$, the lines are parallel.

Example 1.5

การหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจากเงื่อนไขเส้นขนาน: เส้นตรงผ่านจุด $(1, 2)$ และ $(3, k)$ ขนานกับเส้นตรง $y = 3x + 1$ จงหาค่า $k$

$$ \begin{aligned} m_1 &= m_2 = 3 \quad &&\text{(เส้นขนานมีความชันเท่ากัน)} \\ \frac{k - 2}{3 - 1} &= 3 \quad &&\text{(แทนค่าในสูตรความชัน)} \\ \frac{k - 2}{2} &= 3 \\ k - 2 &= 6 \quad &&\text{(นำ } 2 \text{ คูณทั้งสองข้าง)} \\ k &= 8 \quad &&\text{(ค่าของ } k \text{)} \end{aligned} $$

ค่าของตัวแปร $k$ คือ $8$

Finding Unknown Variable from Parallel Condition: A line passing through $(1, 2)$ and $(3, k)$ is parallel to $y = 3x + 1$. Find $k$.

$$ \begin{aligned} m_1 &= m_2 = 3 \quad &&\text{(Parallel lines have equal slopes)} \\ \frac{k - 2}{3 - 1} &= 3 \quad &&\text{(Substitute into slope formula)} \\ \frac{k - 2}{2} &= 3 \\ k - 2 &= 6 \quad &&\text{(Multiply both sides by } 2 \text{)} \\ k &= 8 \quad &&\text{(Value of } k \text{)} \end{aligned} $$

The value of variable $k$ is $8$.

Example 1.6

การหาสมการเส้นตรงรูปทั่วไปที่ขนานกัน: จงหาสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป $Ax + By + C = 0$ ที่ผ่านจุด $(3, -2)$ และขนานกับเส้นตรง $5x - 2y + 8 = 0$

$$ \begin{aligned} 5x - 2y + C &= 0 \quad &&\text{(เส้นขนานใช้สัมประสิทธิ์ } A, B \text{ ชุดเดียวกัน)} \\ 5(3) - 2(-2) + C &= 0 \quad &&\text{(แทนพิกัดจุด } (3, -2) \text{)} \\ 15 + 4 + C &= 0 \\ C &= -19 \\ 5x - 2y - 19 &= 0 \quad &&\text{(สมการรูปทั่วไปที่ต้องการ)} \end{aligned} $$

สมการเส้นตรงในรูปทั่วไปคือ $5x - 2y - 19 = 0$

Finding General Form Parallel Line Equation: Find the general form equation $Ax + By + C = 0$ passing through $(3, -2)$ and parallel to $5x - 2y + 8 = 0$.

$$ \begin{aligned} 5x - 2y + C &= 0 \quad &&\text{(Parallel lines share } A, B \text{ coefficients)} \\ 5(3) - 2(-2) + C &= 0 \quad &&\text{(Substitute point } (3, -2) \text{)} \\ 15 + 4 + C &= 0 \\ C &= -19 \\ 5x - 2y - 19 &= 0 \quad &&\text{(Required general form equation)} \end{aligned} $$

The general form equation is $5x - 2y - 19 = 0$.

Example 1.7

การใช้เส้นตรงขนานพิสูจน์รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน: กำหนดจุด $A(0,0), B(4,1), C(5,4), D(1,3)$ จงแสดงว่ารูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

$$ \begin{aligned} m_{AB} &= \frac{1 - 0}{4 - 0} \\ &= \frac{1}{4} \\[6pt] m_{CD} &= \frac{3 - 4}{1 - 5} \\ &= \frac{-1}{-4} \\ &= \frac{1}{4} \\ AB \parallel CD &&\text{(ความชันเท่ากันคู่ที่ 1)} \\[10pt] m_{AD} &= \frac{3 - 0}{1 - 0} \\ &= 3 \\[6pt] m_{BC} &= \frac{4 - 1}{5 - 4} \\ &= \frac{3}{1} \\ &= 3 \\ AD \parallel BC &&\text{(ความชันเท่ากันคู่ที่ 2)} \end{aligned} $$

เนื่องจากด้านตรงข้ามขนานกันทั้งสองคู่ ($AB \parallel CD$ และ $AD \parallel BC$) ดังนั้น $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

Proving a Parallelogram Using Parallel Lines: Given points $A(0,0), B(4,1), C(5,4), D(1,3)$, prove that quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram.

$$ \begin{aligned} m_{AB} &= \frac{1 - 0}{4 - 0} \\ &= \frac{1}{4} \\[6pt] m_{CD} &= \frac{3 - 4}{1 - 5} \\ &= \frac{-1}{-4} \\ &= \frac{1}{4} \\ AB \parallel CD &&\text{(1st pair equal slopes)} \\[10pt] m_{AD} &= \frac{3 - 0}{1 - 0} \\ &= 3 \\[6pt] m_{BC} &= \frac{4 - 1}{5 - 4} \\ &= \frac{3}{1} \\ &= 3 \\ AD \parallel BC &&\text{(2nd pair equal slopes)} \end{aligned} $$

Since opposite sides are parallel ($AB \parallel CD$ and $AD \parallel BC$), $ABCD$ is a parallelogram.

เส้นตรงที่ตั้งฉากกัน Perpendicular Lines

สมบัติของเส้นตรงที่ตั้งฉากกัน: เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกนพิกัด จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ $-1$

$$ m_1 \cdot m_2 = -1 $$

หรือกล่าวได้ว่า ความชันของเส้นตรงเส้นหนึ่ง จะเป็น "ส่วนกลับที่ติดลบ" ของความชันเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง ($m_1 = -\frac{1}{m_2}$)

Property of Perpendicular Lines: Two non-vertical/non-horizontal lines are perpendicular if and only if the product of their slopes is $-1$.

$$ m_1 \cdot m_2 = -1 $$

In other words, the slope of one line is the "negative reciprocal" of the slope of the other line ($m_1 = -\frac{1}{m_2}$).

Example 2.1

การตรวจสอบความชันของเส้นตั้งฉากจากจุดผ่าน: จงตรวจสอบว่าเส้นตรง $L_1$ ที่ผ่านจุด $(1, 2), (4, 6)$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $L_2$ ที่ผ่านจุด $(0, 5), (4, 2)$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} m_1 &= \frac{6 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{4}{3} \quad &&\text{(หาความชันของ } L_1 \text{)} \\[6pt] m_2 &= \frac{2 - 5}{4 - 0} \\ &= -\frac{3}{4} \quad &&\text{(หาความชันของ } L_2 \text{)} \\[6pt] m_1 \cdot m_2 &= \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -1 \quad &&\text{(ผลคูณความชันเป็น } -1 \text{)} \end{aligned} $$

เนื่องจากผลคูณความชัน $m_1 \cdot m_2 = -1$ ดังนั้นเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน ($L_1 \perp L_2$)

Checking Perpendicularity from Points: Determine if line $L_1$ passing through $(1, 2), (4, 6)$ is perpendicular to line $L_2$ passing through $(0, 5), (4, 2)$.

$$ \begin{aligned} m_1 &= \frac{6 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{4}{3} \quad &&\text{(Slope of } L_1 \text{)} \\[6pt] m_2 &= \frac{2 - 5}{4 - 0} \\ &= -\frac{3}{4} \quad &&\text{(Slope of } L_2 \text{)} \\[6pt] m_1 \cdot m_2 &= \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -1 \quad &&\text{(Product of slopes is } -1 \text{)} \end{aligned} $$

Since the product of slopes $m_1 \cdot m_2 = -1$, the two lines are perpendicular ($L_1 \perp L_2$).

Example 2.2

การตรวจสอบเส้นตั้งฉากจากสมการ $y = mx + c$: จงตรวจสอบว่าเส้นตรง $L_1: y = 2x + 5$ และ $L_2: y = -\frac{1}{2}x + 1$ ตั้งฉากกันหรือไม่?

$$ \begin{aligned} m_1 &= 2 &&\text{(อ่านความชันของ } L_1 \text{)} \\ m_2 &= -\frac{1}{2} &&\text{(อ่านความชันของ } L_2 \text{)} \\ m_1 \cdot m_2 &= 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -1 &&\text{(ผลคูณความชันเท่ากับ } -1 \text{)} \end{aligned} $$

เนื่องจากผลคูณความชันเท่ากับ $-1$ เส้นตรงทั้งสองจึงตั้งฉากกัน

Checking Perpendicular Lines from Slope-Intercept Form: Determine if $L_1: y = 2x + 5$ and $L_2: y = -\frac{1}{2}x + 1$ are perpendicular.

$$ \begin{aligned} m_1 &= 2 \quad &&\text{(Read slope of } L_1 \text{)} \\ m_2 &= -\frac{1}{2} &&\text{(Read slope of } L_2 \text{)} \\ m_1 \cdot m_2 &= 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -1 \quad &&\text{(Product of slopes is } -1 \text{)} \end{aligned} $$

Since the product of slopes is $-1$, the lines are perpendicular.

Example 2.3

การหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากผ่านจุดกำหนด: จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-4, 1)$ และตั้งฉากกับเส้นตรง $y = 2x + 7$

$$ \begin{aligned} m_1 &= 2 \\ m_2 &= -\frac{1}{2} \quad &&\text{(ความชันส่วนกลับที่ติดลบ)} \\ y - y_1 &= m(x - x_1) \quad &&\text{(สูตรสมการเส้นตรงผ่านจุด)} \\ y - 1 &= -\frac{1}{2}(x - (-4)) \quad &&\text{(แทนจุด } (-4,1) \text{ และ } m=-\frac{1}{2} \text{)} \\ y - 1 &= -\frac{1}{2}(x + 4) \\ y - 1 &= -\frac{1}{2}x - 2 \\ y &= -\frac{1}{2}x - 1 \quad &&\text{(สมการเส้นตรงที่ตั้งฉาก)} \end{aligned} $$

สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากคือ $y = -\frac{1}{2}x - 1$

Finding Perpendicular Line Equation through a Point: Find the equation of the line passing through $(-4, 1)$ and perpendicular to $y = 2x + 7$.

$$ \begin{aligned} m_1 &= 2 \\ m_2 &= -\frac{1}{2} \quad &&\text{(Negative reciprocal slope)} \\ y - y_1 &= m(x - x_1) \quad &&\text{(Point-slope formula)} \\ y - 1 &= -\frac{1}{2}(x - (-4)) \quad &&\text{(Substitute } (-4,1) \text{ and } m=-\frac{1}{2} \text{)} \\ y - 1 &= -\frac{1}{2}(x + 4) \\ y - 1 &= -\frac{1}{2}x - 2 \\ y &= -\frac{1}{2}x - 1 \quad &&\text{(Required perpendicular equation)} \end{aligned} $$

The equation of the perpendicular line is $y = -\frac{1}{2}x - 1$.

Example 2.4

การจัดรูปสมการทั่วไปตรวจสอบเส้นตั้งฉาก: เส้นตรง $3x + 4y - 12 = 0$ และ $8x - 6y + 5 = 0$ ตั้งฉากกันหรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{เส้นตรงที่ 1: } \quad 3x + 4y - 12 &= 0 \\ 4y &= -3x + 12 \\ y &= -\frac{3}{4}x + 3 \\ m_1 &= -\frac{3}{4} \quad &&\text{(จัดรูป } L_1 \text{)} \\[8pt] \text{เส้นตรงที่ 2: } \quad 8x - 6y + 5 &= 0 \\ 6y &= 8x + 5 \\ y &= \frac{4}{3}x + \frac{5}{6} \\ m_2 &= \frac{4}{3} \quad &&\text{(จัดรูป } L_2 \text{)} \\[8pt] m_1 \cdot m_2 &= \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \\ &= -1 \quad &&\text{(ผลคูณความชันเป็น } -1 \text{)} \end{aligned} $$

เนื่องจากผลคูณความชันเท่ากับ $-1$ ดังนั้นเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน

Checking Perpendicularity from General Form: Are the lines $3x + 4y - 12 = 0$ and $8x - 6y + 5 = 0$ perpendicular?

$$ \begin{aligned} \text{Line 1: } \quad 3x + 4y - 12 &= 0 \\ 4y &= -3x + 12 \\ y &= -\frac{3}{4}x + 3 \\ m_1 &= -\frac{3}{4} \quad &&\text{(Convert } L_1 \text{)} \\[8pt] \text{Line 2: } \quad 8x - 6y + 5 &= 0 \\ 6y &= 8x + 5 \\ y &= \frac{4}{3}x + \frac{5}{6} \\ m_2 &= \frac{4}{3} \quad &&\text{(Convert } L_2 \text{)} \\[8pt] m_1 \cdot m_2 &= \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \\ &= -1 \quad &&\text{(Product of slopes is } -1 \text{)} \end{aligned} $$

Since the product of slopes is $-1$, the lines are perpendicular.

Example 2.5

การหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจากเงื่อนไขเส้นตั้งฉาก: เส้นตรงผ่านจุด $(1, 2)$ และ $(3, k)$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $y = -2x + 4$ จงหาค่า $k$

$$ \begin{aligned} m_2 &= -2 \\ m_1 &= \frac{1}{2} \quad &&\text{(ส่วนกลับที่ติดลบ)} \\ \frac{k - 2}{3 - 1} &= \frac{1}{2} \quad &&\text{(แทนค่าในสูตรความชัน)} \\ \frac{k - 2}{2} &= \frac{1}{2} \\ k - 2 &= 1 \quad &&\text{(นำ } 2 \text{ คูณทั้งสองข้าง)} \\ k &= 3 \quad &&\text{(ค่าของ } k \text{)} \end{aligned} $$

ค่าของตัวแปร $k$ คือ $3$

Finding Unknown Variable from Perpendicular Condition: A line passing through $(1, 2)$ and $(3, k)$ is perpendicular to $y = -2x + 4$. Find $k$.

$$ \begin{aligned} m_2 &= -2 \\ m_1 &= \frac{1}{2} \quad &&\text{(Negative reciprocal)} \\ \frac{k - 2}{3 - 1} &= \frac{1}{2} \quad &&\text{(Substitute into slope formula)} \\ \frac{k - 2}{2} &= \frac{1}{2} \\ k - 2 &= 1 \quad &&\text{(Multiply both sides by } 2 \text{)} \\ k &= 3 \quad &&\text{(Value of } k \text{)} \end{aligned} $$

The value of variable $k$ is $3$.

Example 2.6

การหาสมการเส้นตรงรูปทั่วไปที่ตั้งฉากกัน: จงหาสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป $Ax + By + C = 0$ ที่ผ่านจุด $(2, 3)$ และตั้งฉากกับเส้นตรง $3x - 4y + 5 = 0$

$$ \begin{aligned} 4x + 3y + C &= 0 \quad &&\text{(สลับสัมประสิทธิ์ } A, B \text{ และเปลี่ยนเครื่องหมาย)} \\ 4(2) + 3(3) + C &= 0 \quad &&\text{(แทนพิกัดจุด } (2, 3) \text{)} \\ 8 + 9 + C &= 0 \\ C &= -17 \\ 4x + 3y - 17 &= 0 \quad &&\text{(สมการรูปทั่วไปที่ต้องการ)} \end{aligned} $$

สมการเส้นตรงในรูปทั่วไปคือ $4x + 3y - 17 = 0$

Finding General Form Perpendicular Line Equation: Find the general form equation $Ax + By + C = 0$ passing through $(2, 3)$ and perpendicular to $3x - 4y + 5 = 0$.

$$ \begin{aligned} 4x + 3y + C &= 0 \quad &&\text{(Swap } A, B \text{ and change sign for perpendicular line)} \\ 4(2) + 3(3) + C &= 0 \quad &&\text{(Substitute point } (2, 3) \text{)} \\ 8 + 9 + C &= 0 \\ C &= -17 \\ 4x + 3y - 17 &= 0 \quad &&\text{(Required general form equation)} \end{aligned} $$

The general form equation is $4x + 3y - 17 = 0$.

Example 2.7

การใช้เส้นตั้งฉากพิสูจน์สามเหลี่ยมมุมฉาก: กำหนดจุด $A(1, 1), B(4, 5), C(8, 2)$ จงแสดงว่า $\triangle ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุม $B$

$$ \begin{aligned} m_{AB} &= \frac{5 - 1}{4 - 1} \\ &= \frac{4}{3} \\[6pt] m_{BC} &= \frac{2 - 5}{8 - 4} \\ &= -\frac{3}{4} \\[6pt] m_{AB} \cdot m_{BC} &= \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -1 \\ AB \perp BC \quad &\text{(ด้าน } AB \text{ ตั้งฉากกับ } BC \text{)} \end{aligned} $$

เนื่องจากผลคูณความชัน $m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$ ดังนั้น $\triangle ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุม $B$

Proving a Right Triangle Using Perpendicular Lines: Given points $A(1, 1), B(4, 5), C(8, 2)$, prove that $\triangle ABC$ is a right triangle at vertex $B$.

$$ \begin{aligned} m_{AB} &= \frac{5 - 1}{4 - 1} \\ &= \frac{4}{3} \\[6pt] m_{BC} &= \frac{2 - 5}{8 - 4} \\ &= -\frac{3}{4} \\[6pt] m_{AB} \cdot m_{BC} &= \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -1 \\ AB \perp BC \quad &\text{(Side } AB \text{ perpendicular to } BC \text{)} \end{aligned} $$

Since product of slopes $m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$, $\triangle ABC$ is a right triangle at vertex $B$.

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Parallel	para- (beside) + allelon (one another)	ขนาน · เส้นสองเส้นที่มีระยะห่างเท่ากันเสมอและไม่มีวันตัดกัน ($m_1 = m_2$)
Perpendicular	per- (through) + pendere (to hang)	ตั้งฉาก · การตัดกันของเส้นสองเส้นจนเกิดมุมฉาก 90 องศา ($m_1 \cdot m_2 = -1$)
Slope	sleupan (to slip)	ความชัน · ตัวเลขที่บอกระดับความเอียงและทิศทางของเส้นตรง มักใช้สัญลักษณ์ $m$
Reciprocal	reciprocus (returning, alternating)	ส่วนกลับ · การสลับตำแหน่งระหว่างตัวเศษและตัวส่วน
Analytic Geometry	analysis (resolution) + geometria (earth measurement)	เรขาคณิตวิเคราะห์ · สาขาคณิตศาสตร์ที่ใช้พีชคณิตเพื่อศึกษาและอธิบายรูปทรงเรขาคณิตผ่านระบบพิกัดฉาก