กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

ระบบพิกัดฉากและจุดในระนาบ
Coordinate Geometry

ระบบพิกัดฉาก ระยะห่าง จุดกึ่งกลาง และจุดแบ่งตามอัตราส่วน

TH

เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นการผสมผสานระหว่างเรขาคณิตและพีชคณิตเข้าด้วยกัน โดยใช้ ระบบพิกัดฉาก (Cartesian Coordinate System) ในการระบุตำแหน่งของจุดบนระนาบ 2 มิติ ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญในการศึกษาเส้นตรง วงกลม และภาคตัดกรวยในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย

EN

Analytic Geometry blends geometry with algebra using the Cartesian Coordinate System to pinpoint locations on a 2D plane. It serves as the fundamental basis for studying lines, circles, and conic sections in high school mathematics.

1

📍 ส่วนประกอบของระบบพิกัดฉาก 📍 Components of the Coordinate System

O (0,0) X Y จตุภาคที่ 1 Quadrant 1 (Q1) (+, +) จตุภาคที่ 2 Quadrant 2 (Q2) (-, +) จตุภาคที่ 3 Quadrant 3 (Q3) (-, -) จตุภาคที่ 4 Quadrant 4 (Q4) (+, -)
TH

ระบบพิกัดฉากประกอบด้วยเส้นจำนวนจริง 2 เส้นที่ตั้งฉากกันและตัดกันที่จุด $0$:

  • แกนอ้างอิง (Axes): แกนนอนเรียกว่า แกน X (X-axis) และแกนตั้งเรียกว่า แกน Y (Y-axis)
  • จุดกำเนิด (Origin): จุดที่แกนทั้งสองตัดกัน มีพิกัดเป็น $(0,0)$
  • จตุภาค (Quadrants): แกนทั้งสองแบ่งพื้นที่ออกเป็น 4 ส่วน:
    • จตุภาคที่ 1 (Q1): $x > 0, y > 0$ (+, +)
    • จตุภาคที่ 2 (Q2): $x < 0, y> 0$ (-, +)
    • จตุภาคที่ 3 (Q3): $x < 0, y < 0$ (-, -)
    • จตุภาคที่ 4 (Q4): $x > 0, y < 0$ (+, -)
EN

The coordinate system consists of two perpendicular real number lines intersecting at $0$:

  • Axes: The horizontal line is the X-axis, and the vertical line is the Y-axis.
  • Origin: The point of intersection, denoted as $(0,0)$.
  • Quadrants (Q1-Q4): The axes divide the plane into four regions:
    • Quadrant 1 (Q1): $x > 0, y > 0$ (+, +)
    • Quadrant 2 (Q2): $x < 0, y> 0$ (-, +)
    • Quadrant 3 (Q3): $x < 0, y < 0$ (-, -)
    • Quadrant 4 (Q4): $x > 0, y < 0$ (+, -)
2

📏 ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด 📏 Distance between Two Points

TH

หากเรามีจุด $P_1(x_1, y_1)$ และ $P_2(x_2, y_2)$ ระยะห่างระหว่างสองจุดนี้ (แทนด้วย $d$) สามารถหาได้จากการประยุกต์ใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ถูกสร้างขึ้นจากความแตกต่างของแกน X และ แกน Y

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
EN

Given two points $P_1(x_1, y_1)$ and $P_2(x_2, y_2)$, the distance between them (denoted by $d$) is derived from the Pythagorean Theorem using the horizontal and vertical changes between the points.

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
Example 2.1

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $A(1, 2)$ และ $B(4, 6)$

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} \\ &= \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between points $A(1, 2)$ and $B(4, 6)$

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} \\ &= \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \text{ units} \end{aligned} $$
Example 2.2

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $P(-2, 3)$ และ $Q(3, -9)$

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-9 - 3)^2} \\ &= \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} \\ &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between points $P(-2, 3)$ and $Q(3, -9)$

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-9 - 3)^2} \\ &= \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} \\ &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ units} \end{aligned} $$
Example 2.3

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $M(5, 7)$ และ $N(-3, 7)$

สังเกตว่าค่า $y$ เท่ากัน (จุดอยู่บนเส้นแนวนอนเดียวกัน) สามารถนำค่า $x$ มาลบกันแล้วใส่ค่าสัมบูรณ์ได้เลย

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(-3 - 5)^2 + (7 - 7)^2} \\ &= \sqrt{(-8)^2 + 0} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between points $M(5, 7)$ and $N(-3, 7)$

Notice the $y$ values are the same (horizontal line). You can just subtract the $x$ values and take the absolute value.

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(-3 - 5)^2 + (7 - 7)^2} \\ &= \sqrt{(-8)^2 + 0} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8 \text{ units} \end{aligned} $$
Example 2.4

จงหาระยะห่างจากจุดกำเนิดไปยังจุด $C(-8, 15)$

จุดกำเนิดคือ $(0,0)$ ระยะห่างจึงเท่ากับ $\sqrt{x^2+y^2}$

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(-8 - 0)^2 + (15 - 0)^2} \\ &= \sqrt{(-8)^2 + (15)^2} \\ &= \sqrt{64 + 225} \\ &= \sqrt{289} \\ &= 17 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance from the origin to point $C(-8, 15)$

The origin is $(0,0)$, so the distance is simply $\sqrt{x^2+y^2}$.

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(-8 - 0)^2 + (15 - 0)^2} \\ &= \sqrt{(-8)^2 + (15)^2} \\ &= \sqrt{64 + 225} \\ &= \sqrt{289} \\ &= 17 \text{ units} \end{aligned} $$
Example 2.5

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $A(2, -4)$ และ $B(2, 5)$

จุดอยู่บนเส้นแนวตั้งเดียวกัน ค่า $x$ เท่ากัน

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - (-4))^2} \\ &= \sqrt{0 + (9)^2} \\ &= 9 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between points $A(2, -4)$ and $B(2, 5)$

Points are on the same vertical line (same $x$).

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - (-4))^2} \\ &= \sqrt{0 + (9)^2} \\ &= 9 \text{ units} \end{aligned} $$
Example 2.6

จงหาระยะห่างระหว่าง $P(1.5, 3)$ และ $Q(4.5, 7)$

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(4.5 - 1.5)^2 + (7 - 3)^2} \\ &= \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the distance between $P(1.5, 3)$ and $Q(4.5, 7)$

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(4.5 - 1.5)^2 + (7 - 3)^2} \\ &= \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5 \text{ units} \end{aligned} $$
Example 2.7

ถ้าระยะห่างระหว่างจุด $(x, 2)$ และ $(-3, -2)$ เท่ากับ $5$ หน่วย จงหาค่า $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

$$ \begin{aligned} 5 &= \sqrt{(-3 - x)^2 + (-2 - 2)^2} \\ 25 &= (-3 - x)^2 + (-4)^2 \quad \text{(ยกกำลังสองทั้งสองข้าง)} \\ 25 &= (-3 - x)^2 + 16 \\ (-3 - x)^2 &= 9 \\ -3 - x &= \pm 3 \end{aligned} $$

กรณีที่ 1: $-3 - x = 3 \implies x = -6$

กรณีที่ 2: $-3 - x = -3 \implies x = 0$

ดังนั้น $x = -6$ หรือ $0$

If the distance between $(x, 2)$ and $(-3, -2)$ is $5$ units, find all possible values of $x$.

$$ \begin{aligned} 5 &= \sqrt{(-3 - x)^2 + (-2 - 2)^2} \\ 25 &= (-3 - x)^2 + (-4)^2 \quad \text{(Square both sides)} \\ 25 &= (-3 - x)^2 + 16 \\ (-3 - x)^2 &= 9 \\ -3 - x &= \pm 3 \end{aligned} $$

Case 1: $-3 - x = 3 \implies x = -6$

Case 2: $-3 - x = -3 \implies x = 0$

Therefore, $x = -6$ or $0$.

3

📍 จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด 📍 Midpoint of a Line Segment

TH

จุดกึ่งกลาง (Midpoint) คือจุดที่แบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน พิกัดของจุดกึ่งกลางสามารถหาได้จาก การหาค่าเฉลี่ย ของพิกัด X และค่าเฉลี่ยของพิกัด Y ของจุดปลายทั้งสอง

$$ (\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) $$
EN

The Midpoint divides a line segment into two equal parts. Its coordinates are found by calculating the average of the X-coordinates and the average of the Y-coordinates of the endpoints.

$$ (\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) $$
Example 3.1

จงหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุด $(2, 4)$ และ $(6, 10)$

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{4 + 10}{2}\right) \\ &= \left(\frac{8}{2}, \frac{14}{2}\right) \\ &= (4, 7) \end{aligned} $$

Find the midpoint between $(2, 4)$ and $(6, 10)$

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{4 + 10}{2}\right) \\ &= \left(\frac{8}{2}, \frac{14}{2}\right) \\ &= (4, 7) \end{aligned} $$
Example 3.2

จงหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุด $(-5, 3)$ และ $(3, -7)$

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{-5 + 3}{2}, \frac{3 + (-7)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{-2}{2}, \frac{-4}{2}\right) \\ &= (-1, -2) \end{aligned} $$

Find the midpoint between $(-5, 3)$ and $(3, -7)$

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{-5 + 3}{2}, \frac{3 + (-7)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{-2}{2}, \frac{-4}{2}\right) \\ &= (-1, -2) \end{aligned} $$
Example 3.3

จงหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดกำเนิดและจุด $(8, -6)$

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + (-6)}{2}\right) \\ &= (4, -3) \end{aligned} $$

Find the midpoint between the origin and $(8, -6)$

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + (-6)}{2}\right) \\ &= (4, -3) \end{aligned} $$
Example 3.4

จงหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุด $(-3, 5)$ และ $(-4, 2)$

ผลลัพธ์สามารถติดเป็นเศษส่วนหรือทศนิยมได้

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{-3 + (-4)}{2}, \frac{5 + 2}{2}\right) \\ &= \left(-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right) \quad \text{หรือ } (-3.5, 3.5) \end{aligned} $$

Find the midpoint between $(-3, 5)$ and $(-4, 2)$

The result can be fractions or decimals.

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{-3 + (-4)}{2}, \frac{5 + 2}{2}\right) \\ &= \left(-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right) \quad \text{or } (-3.5, 3.5) \end{aligned} $$
Example 3.5

ถ้าจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $AB$ คือ $M(3, 2)$ และมีจุดปลาย $A(1, 5)$ จงหาพิกัดของจุดปลาย $B(x, y)$

$$ \begin{aligned} \text{พิกัด } x: & & \text{พิกัด } y: & \\ 3 &= \frac{1 + x}{2} & 2 &= \frac{5 + y}{2} \\ 6 &= 1 + x & 4 &= 5 + y \\ x &= 5 & y &= -1 \end{aligned} $$

ดังนั้น จุด $B$ คือ $(5, -1)$

If the midpoint of segment $AB$ is $M(3, 2)$ and one endpoint is $A(1, 5)$, find the coordinates of endpoint $B(x, y)$.

$$ \begin{aligned} \text{X-coord: } & & \text{Y-coord: } & \\ 3 &= \frac{1 + x}{2} & 2 &= \frac{5 + y}{2} \\ 6 &= 1 + x & 4 &= 5 + y \\ x &= 5 & y &= -1 \end{aligned} $$

Therefore, point $B$ is $(5, -1)$.

Example 3.6

วงกลมวงหนึ่งมีจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ที่ $(4, -2)$ และ $(-2, -10)$ จงหาจุดศูนย์กลางของวงกลมวงนี้

จุดศูนย์กลางของวงกลม คือ จุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลาง

$$ \begin{aligned} \text{จุดศูนย์กลาง} &= \left(\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-2 + (-10)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{2}{2}, \frac{-12}{2}\right) \\ &= (1, -6) \end{aligned} $$

A circle has a diameter with endpoints at $(4, -2)$ and $(-2, -10)$. Find the center of the circle.

The center of a circle is the midpoint of its diameter.

$$ \begin{aligned} \text{Center} &= \left(\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-2 + (-10)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{2}{2}, \frac{-12}{2}\right) \\ &= (1, -6) \end{aligned} $$
Example 3.7

จงหาจุดกึ่งกลางของจุด $(-a, 2b)$ และ $(3a, -4b)$

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{-a + 3a}{2}, \frac{2b + (-4b)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{2a}{2}, \frac{-2b}{2}\right) \\ &= (a, -b) \end{aligned} $$

Find the midpoint between $(-a, 2b)$ and $(3a, -4b)$

$$ \begin{aligned} (\bar{x}, \bar{y}) &= \left(\frac{-a + 3a}{2}, \frac{2b + (-4b)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{2a}{2}, \frac{-2b}{2}\right) \\ &= (a, -b) \end{aligned} $$
4

🔗 จุดแบ่งส่วนของเส้นตรงตามอัตราส่วน 🔗 Point Dividing a Line Segment (Ratio $m:n$)

TH

หากต้องการหาพิกัดของจุด $P(x,y)$ ที่อยู่บนส่วนของเส้นตรง $P_1P_2$ และแบ่งส่วนของเส้นตรงนี้ออกเป็นอัตราส่วน $m : n$ (ระยะจาก $P_1$ ถึง $P$ คือ $m$ และระยะจาก $P$ ถึง $P_2$ คือ $n$) สามารถใช้สูตร การคูณไขว้สัดส่วน:

$$ P(x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) $$

*เคล็ดลับ: ให้นำอัตราส่วนตัวหน้า ($m$) ไปคูณกับพิกัดจุดหลัง ($x_2, y_2$) และอัตราส่วนตัวหลัง ($n$) ไปคูณพิกัดจุดหน้า ($x_1, y_1$)

EN

To find the coordinates of point $P(x,y)$ that divides the line segment $P_1P_2$ internally in the ratio $m : n$, use the Section Formula:

$$ P(x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) $$

*Tip: Cross-multiply the ratio values with the opposite endpoints.

Example 4.1

จงหาพิกัดจุด $P$ ที่แบ่งเส้นตรงจาก $A(1, 2)$ ไปยัง $B(6, 7)$ ด้วยอัตราส่วน $2 : 3$

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(2)(6) + (3)(1)}{2 + 3} \\ &= \frac{12 + 3}{5} \\ &= 3 \\[8pt] y &= \frac{(2)(7) + (3)(2)}{2 + 3} \\ &= \frac{14 + 6}{5} \\ &= 4 \end{aligned} $$

จุด $P$ คือ $(3, 4)$

Find point $P$ dividing the segment from $A(1, 2)$ to $B(6, 7)$ in ratio $2 : 3$

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(2)(6) + (3)(1)}{2 + 3} \\ &= \frac{12 + 3}{5} \\ &= 3 \\[8pt] y &= \frac{(2)(7) + (3)(2)}{2 + 3} \\ &= \frac{14 + 6}{5} \\ &= 4 \end{aligned} $$

Point $P$ is $(3, 4)$

Example 4.2

จงหาพิกัดจุด $P$ ที่แบ่งส่วนของเส้นตรงจาก $P_1(-4, 5)$ ไปยัง $P_2(1, -5)$ ออกเป็นอัตราส่วน $3 : 2$

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(3)(1) + (2)(-4)}{3 + 2} \\ &= \frac{3 - 8}{5} \\ &= -1 \\[8pt] y &= \frac{(3)(-5) + (2)(5)}{3 + 2} \\ &= \frac{-15 + 10}{5} \\ &= -1 \end{aligned} $$

จุด $P$ คือ $(-1, -1)$

Find point $P$ dividing segment from $P_1(-4, 5)$ to $P_2(1, -5)$ in ratio $3 : 2$

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(3)(1) + (2)(-4)}{3 + 2} \\ &= \frac{3 - 8}{5} \\ &= -1 \\[8pt] y &= \frac{(3)(-5) + (2)(5)}{3 + 2} \\ &= \frac{-15 + 10}{5} \\ &= -1 \end{aligned} $$

Point $P$ is $(-1, -1)$

Example 4.3

จงหาจุด $P$ บนเส้นตรง $AB$ เมื่อ $A(0, -6), B(8, 2)$ โดยที่ระยะ $AP$ เป็น $1$ ใน $4$ ของระยะ $AB$ ทั้งหมด

นั่นหมายความว่า อัตราส่วน $AP : PB = 1 : 3$ (เพราะระยะทางรวมคือ 4 ส่วน)

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(1)(8) + (3)(0)}{1 + 3} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2 \\[8pt] y &= \frac{(1)(2) + (3)(-6)}{1 + 3} \\ &= \frac{2 - 18}{4} \\ &= -4 \end{aligned} $$

จุด $P$ คือ $(2, -4)$

Find point $P$ on line $AB$ where $A(0, -6), B(8, 2)$ such that $AP$ is $1/4$ of the total distance $AB$.

This means the ratio $AP : PB = 1 : 3$ (total parts = 4).

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(1)(8) + (3)(0)}{1 + 3} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2 \\[8pt] y &= \frac{(1)(2) + (3)(-6)}{1 + 3} \\ &= \frac{2 - 18}{4} \\ &= -4 \end{aligned} $$

Point $P$ is $(2, -4)$

Example 4.4

ทดสอบการใช้อัตราส่วน $1 : 1$ กับจุด $A(4, 2)$ และ $B(10, 8)$

อัตราส่วน $1:1$ คือการหาจุดกึ่งกลางนั่นเอง

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(1)(10) + (1)(4)}{1 + 1} \\ &= \frac{14}{2} \\ &= 7 \\[8pt] y &= \frac{(1)(8) + (1)(2)}{1 + 1} \\ &= \frac{10}{2} \\ &= 5 \end{aligned} $$

ซึ่งตรงกับสูตรจุดกึ่งกลาง จุดที่ได้คือ $(7, 5)$

Test using ratio $1 : 1$ with points $A(4, 2)$ and $B(10, 8)$

A ratio of $1:1$ is exactly the midpoint.

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(1)(10) + (1)(4)}{1 + 1} \\ &= \frac{14}{2} \\ &= 7 \\[8pt] y &= \frac{(1)(8) + (1)(2)}{1 + 1} \\ &= \frac{10}{2} \\ &= 5 \end{aligned} $$

This matches the midpoint formula. Point is $(7, 5)$

Example 4.5

จุด $P(1, 1)$ แบ่งเส้นตรง $A(-3, 3)$ และ $B(7, -2)$ ในอัตราส่วนเท่าใด?

สมมติให้อัตราส่วนคือ $k : 1$ และคิดพิกัด X เท่านั้นก็เพียงพอ

$$ \begin{aligned} 1 &= \frac{k(7) + (1)(-3)}{k + 1} \\ 1(k + 1) &= 7k - 3 \\ k + 1 &= 7k - 3 \\ 4 &= 6k \\ k &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

อัตราส่วน $k : 1 = \frac{2}{3} : 1$ หรือ $2 : 3$

Point $P(1, 1)$ divides segment $A(-3, 3)$ and $B(7, -2)$ in what ratio?

Assume ratio is $k : 1$ and solve using just the X-coordinate.

$$ \begin{aligned} 1 &= \frac{k(7) + (1)(-3)}{k + 1} \\ 1(k + 1) &= 7k - 3 \\ k + 1 &= 7k - 3 \\ 4 &= 6k \\ k &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

The ratio $k : 1 = \frac{2}{3} : 1$ which is $2 : 3$

Example 4.6

ถ้าต้องการแบ่งเส้นตรงจาก $M(-2, 4)$ ไปยัง $N(7, -5)$ ออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน จุดแบ่งจุดแรก (ใกล้ M) คือจุดใด?

แบ่ง 3 ส่วน จุดแรกจะอยู่ห่างจาก M เป็น 1 ส่วน และห่างจาก N เป็น 2 ส่วน (อัตราส่วน $1 : 2$)

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(1)(7) + (2)(-2)}{1 + 2} \\ &= \frac{7 - 4}{3} \\ &= 1 \\[8pt] y &= \frac{(1)(-5) + (2)(4)}{1 + 2} \\ &= \frac{-5 + 8}{3} \\ &= 1 \end{aligned} $$

จุดแบ่งจุดแรกคือ $(1, 1)$

If you trisect (divide into 3 equal parts) the segment from $M(-2, 4)$ to $N(7, -5)$, what is the first division point (closer to M)?

Trisection implies the first point splits it in a $1 : 2$ ratio.

$$ \begin{aligned} x &= \frac{(1)(7) + (2)(-2)}{1 + 2} \\ &= \frac{7 - 4}{3} \\ &= 1 \\[8pt] y &= \frac{(1)(-5) + (2)(4)}{1 + 2} \\ &= \frac{-5 + 8}{3} \\ &= 1 \end{aligned} $$

The first trisection point is $(1, 1)$

Example 4.7

จุด $P(4, 3)$ แบ่งเส้นตรง $AB$ ในอัตราส่วน $2 : 1$ (จาก A ไป B) หาก $A(2, 5)$ จงหาพิกัดจุด $B(x, y)$

$$ \begin{aligned} \text{พิกัด X: } 4 &= \frac{(2)(x) + (1)(2)}{2 + 1} \\ 12 &= 2x + 2 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \\[8pt] \text{พิกัด Y: } 3 &= \frac{(2)(y) + (1)(5)}{2 + 1} \\ 9 &= 2y + 5 \\ 2y &= 4 \\ y &= 2 \end{aligned} $$

ดังนั้น จุด $B$ คือ $(5, 2)$

Point $P(4, 3)$ divides segment $AB$ in ratio $2 : 1$ (from A to B). If $A(2, 5)$, find point $B(x, y)$.

$$ \begin{aligned} \text{X-coord: } 4 &= \frac{(2)(x) + (1)(2)}{2 + 1} \\ 12 &= 2x + 2 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \\[8pt] \text{Y-coord: } 3 &= \frac{(2)(y) + (1)(5)}{2 + 1} \\ 9 &= 2y + 5 \\ 2y &= 4 \\ y &= 2 \end{aligned} $$

Therefore, point $B$ is $(5, 2)$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้อง

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Coordinate co- (together) + ordinare (to order) พิกัด · ตัวเลขที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดในปริภูมิ
Origin origo (beginning, source) จุดกำเนิด · จุดเริ่มต้นของระบบพิกัดฉาก มีพิกัดเป็น (0,0)
Quadrant quadrans (a fourth part) จตุภาค · พื้นที่ 1 ใน 4 ส่วนของระนาบที่ถูกแบ่งโดยแกน X และ Y
Distance distantia (standing apart) ระยะห่าง · ความยาวของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุด
Midpoint mid + point จุดกึ่งกลาง · จุดที่อยู่ตรงกลางพอดีระหว่างปลายทั้งสองของเส้นตรง
Ratio reri (to reckon, calculate) อัตราส่วน · การเปรียบเทียบขนาดของปริมาณสองปริมาณ