กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

การหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
Area Under the Curve

การประยุกต์ปริพันธ์เพื่อหาพื้นที่เรขาคณิตระหว่างเส้นโค้งและแกนพิกัด

1

📐 พื้นที่และแคลคูลัส / Geometry and Calculus

จุดประสงค์หลักที่ทำให้นักเรียนเห็นภาพการนำ ปริพันธ์จำกัดเขต ไปใช้ได้ชัดเจนที่สุด คือการประยุกต์เพื่อหา "พื้นที่" ของรูปทรงอิสระบนกราฟที่ไม่สามารถคำนวณได้ด้วยสูตรเรขาคณิตพื้นฐาน (เช่น กว้างคูณยาว)

The core objective that conceptually grounds Definite Integrals is finding the "Area" of arbitrary shapes on a graph which cannot be calculated easily by standard geometry formulas.

ตัวอยาางแนวคิดพื้นที่ (5 ตัวอย่าง)
  • หาพื้นที่ของแผ่นเหล็กรูปพาราโบลา
  • คำนวณหน้าตัดของเขื่อนที่มีความโค้งตามสมการคณิตศาสตร์
  • ประเมินปริมาณสีที่ต้องใช้ทาผนังรูปทรงอิสระ
  • หาพื้นที่ระหว่างถนนสองเส้นที่ตัดกันเป็นโค้ง
  • คำนวณพื้นที่จัดสวนในมุมอาคารที่มีขอบเป็นส่วนโค้ง
Area Concepts (5 Examples)
  • Finding the area of a parabolic metal sheet.
  • Calculating the cross-section of a dam with a mathematical curvature.
  • Estimating the amount of paint needed for an arbitrary curved wall.
  • Finding the land area between two intersecting curved roads.
  • Calculating garden space in a building corner with curved edges.
2

🌊 พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแกน X / Area Between Curve and X-Axis

การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแกน X ทำได้โดยหาอินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชันนั้น แต่เนื่องจากคำว่า "พื้นที่" ตลับเมตรจะต้องเป็นบวกเสมอ เราจึงต้องพิจารณาตำแหน่งของกราฟว่าอยู่เหนือหรือใต้แกน X ด้วย

Finding the area bounded by a curve and the X-axis involves taking its definite integral. However, since "physical Area" must always be positive, we must consider whether the graph sits above or below the X-axis.

กรณีที่กราฟอยู่เหนือแกน X

ฟังก์ชันมีค่า \(f(x) \geq 0\)

Curve Above X-Axis

Function values are positive \(f(x) \geq 0\)

\(\displaystyle A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\)
x y a b A y=f(x)
ตัวอย่างที่ 1

จงหาพื้นที่ใต้กราฟ \(y = x^2\) จาก \(x=1\) ถึง \(x=2\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{1}^{2} x^2 \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \\ &= \mathbf{\frac{7}{3} \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 1

Find area under \(y = x^2\) from \(x=1\) to \(x=2\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{1}^{2} x^2 \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \\ &= \mathbf{\frac{7}{3} \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
กรณีที่กราฟอยู่ใต้แกน X

ฟังก์ชันมีค่าติดลบ \(f(x) < 0\)

Curve Below X-Axis

Function values are negative \(f(x) < 0\)

\(\displaystyle A = -\int_{a}^{b} f(x) \, dx\)
x y a b A y=f(x)
ตัวอย่างที่ 2

พื้นที่เหนือโค้ง \(y = -x^2\) จาก \(x=1\) ถึง \(x=2\)

\[\begin{aligned} A &= -\int_{1}^{2} (-x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \\ &= \mathbf{\frac{7}{3} \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 2

Area bounded by \(y = -x^2\) from \(x=1\) to \(x=2\)

\[\begin{aligned} A &= -\int_{1}^{2} (-x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \\ &= \mathbf{\frac{7}{3} \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 3 (กราฟตัดแกน)

จงหาพื้นที่ปิดล้อมด้วย \(y = x^2 - 1\) และแกน X ในช่วง \(x=0\) ถึง \(x=2\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{0}^{1} (0 - (x^2-1)) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2-1) \, dx \\ &= \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \\ &= \mathbf{2 \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 3 (Crossing Axis)

Find the area enclosed by \(y = x^2 - 1\) and the X-axis from \(x=0\) to \(x=2\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{0}^{1} (0 - (x^2-1)) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2-1) \, dx \\ &= \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \\ &= \mathbf{2 \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4

พื้นที่ใต้กราฟ \(y = \sqrt{x}\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=4\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{4} \\ &= \frac{2}{3}(8) \\ &= \mathbf{5.33 \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 4

Area under \(y = \sqrt{x}\) from \(x=0\) to \(x=4\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{4} \\ &= \frac{2}{3}(8) \\ &= \mathbf{5.33 \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5

พื้นที่ปิดล้อมด้วย \(y = 3x^2\) จาก \(x=1\) ถึง \(x=3\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \\ &= \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \\ &= 27 - 1 \\ &= \mathbf{26 \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 5

Area enclosed by \(y = 3x^2\) from \(x=1\) to \(x=3\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \\ &= \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \\ &= 27 - 1 \\ &= \mathbf{26 \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
*ข้อควรระวัง: หากกราฟมีทั้งช่วงที่อยู่เหนือและใต้แกน \(X\) ปะปนกัน คุณต้องวาดกราฟเพื่อหาจุดตัดแกน \(X\) เสมอในการเริ่มแบ่งช่วง!
3

📈 พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น / Area Between Two Curves

หากเราต้องการหาพื้นที่ส่วนที่ซ้อนทับหรือปิดล้อมระหว่างกราฟสองเส้น ให้เราเอา กราฟเส้นบน ลบด้วย กราฟเส้นล่าง แล้วค่อยนำมาอินทิเกรตตามขอบเขตของจุดตัด

To find the area fully enclosed by two distinct curves, subtract the Lower Curve from the Upper Curve, then evaluate the integral across their intersection points.

\(\displaystyle A = \int_{a}^{b} \left[ f_{upper}(x) - g_{lower}(x) \right] \, dx\)
x y a b f(x) บน g(x) ล่าง A
ลำดับขั้นตอนการแก้โจทย์ (Steps)
  • ขั้นที่ 1: หาจุดตัดกราฟโดยการเอาฟังก์ชันมาตั้งเท่ากัน \(f(x) = g(x)\) เพื่อหาค่าขอบเขต \(a\) และ \(b\)
  • ขั้นที่ 2: วาดกราฟคร่าวๆ หรือสุ่มแทนค่าในสมการ เพื่อเช็กว่าฟังก์ชันใดอยู่บน ฟังก์ชันใดอยู่ล่าง
  • ขั้นที่ 3: ตั้งสมการ \(A = \int_{a}^{b} (ฟังก์ชันบน - ฟังก์ชันล่าง) dx\)
Problem Solving Routine
  • Step 1: Find intersection boundaries by setting \(f(x) = g(x)\) to find \(a\) and \(b\).
  • Step 2: Sketch to identify which function is geometrically Top/Upper vs Bottom/Lower.
  • Step 3: Evaluate the integral equation \(A = \int_{a}^{b} (\text{Upper} - \text{Lower}) dx\).
ตัวอย่างที่ 3

จงหาพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง \(y = x^2\) และเส้นตรง \(y = x\)

ขั้นที่ 1: หาจุดตัด

ให้ \(x^2 = x\) จะได้ \(x^2 - x = 0\)

\(x(x - 1) = 0 \rightarrow x = 0, x = 1\)

ขั้นที่ 2 & 3: หาฟังก์ชันบนและคำนวณ

ในช่วง \(x \in (0,1)\) เส้นตรง \(y=x\) จะอยู่เหนือ \(y=x^2\) เสมอ (เช่น ลองแทน 0.5 พบว่า 0.5 > 0.25)

\[\begin{aligned} A &= \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0) \\ &= \mathbf{\frac{1}{6} \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 3

Find the area enclosed by the curve \(y = x^2\) and the line \(y = x\)

Step 1: Intersections

Set \(x^2 = x\), rendering \(x^2 - x = 0\)

\(x(x - 1) = 0 \rightarrow x = 0, x = 1\)

Step 2 & 3: Upper Function & Calculate

In \((0,1)\), line \(y=x\) is above \(y=x^2\) (e.g., \(0.5 > 0.25\)).

\[\begin{aligned} A &= \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0) \\ &= \mathbf{\frac{1}{6} \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4

จงหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง \(y = x^2 - 4\) และกราฟแกน X (\(y = 0\))

\[\begin{aligned} A &= \int_{-2}^{2} (0 - (x^2 - 4)) \, dx \\ &= \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \\ &= \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \\ &= \mathbf{\frac{32}{3} \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 4

Find the area between \(y = x^2 - 4\) and the X-axis (\(y = 0\)).

\[\begin{aligned} A &= \int_{-2}^{2} (0 - (x^2 - 4)) \, dx \\ &= \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \\ &= \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \\ &= \mathbf{\frac{32}{3} \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5

จงหาพื้นที่ปิดล้อมด้วย \(y=x^2\) และ \(y=8-x^2\)

\[\begin{aligned} x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2 &= 8 \\ x &= \pm 2 \\ A &= \int_{-2}^{2} ( (8-x^2) - x^2 ) \, dx \\ &= \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx \\ &= \left[ 8x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \\ &= \mathbf{21.33 \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 5

Find the area enclosed by \(y=x^2\) and \(y=8-x^2\)

\[\begin{aligned} x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2 &= 8 \\ x &= \pm 2 \\ A &= \int_{-2}^{2} ( (8-x^2) - x^2 ) \, dx \\ &= \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx \\ &= \left[ 8x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \\ &= \mathbf{21.33 \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 6

พื้นที่ระหว่าง \(y = x^2\) และ \(y = \sqrt{x}\) ในช่วง \(x=0\) ถึง \(x=1\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \\ &= \mathbf{\frac{1}{3} \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 6

Area bounded by \(y = x^2\) and \(y = \sqrt{x}\) on \(x \in [0, 1]\)

\[\begin{aligned} A &= \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \\ &= \mathbf{\frac{1}{3} \text{ sq. units}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 7

พื้นที่ปิดล้อมด้วย \(y=x+2\) และ \(y=x^2\)

\[\begin{aligned} x^2 &= x+2 \\ x^2-x-2 &= 0 \\ x &= -1, 2 \\ A &= \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \\ &= \mathbf{4.5 \text{ ตร.หน่วย}} \end{aligned}\]
Example 7

Area enclosed by \(y=x+2\) and \(y=x^2\)

\[\begin{aligned} x^2 &= x+2 \\ x^2-x-2 &= 0 \\ x &= -1, 2 \\ A &= \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \\ &= \mathbf{4.5 \text{ sq. units}} \end{aligned}\]

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางเรื่องการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Area area (level piece of ground) พื้นที่ · ขนาดของปริภูมิสองมิติที่อยู่ภายในขอบเขต
Bounded bound (to fix limits) ปิดล้อม / มีขอบเขต · พื้นที่ที่มีจุดปิดล้อมหรือล้อมรอบไว้ทุกทิศทางด้วยกราฟใดกราฟหนึ่ง
Intersect inter- (between) + secare (to cut) ตัด / จุดตัด · จุดพิกัดที่กราฟเส้นตรงหรือเส้นโค้งหลายเส้นซ้อนทับหรือลากผ่านกัน
Upper / Lower - บน / ล่าง · หมายถึงเส้นที่อยู่สูงกว่า (ค่า y มากกว่า) หรือน้อยกว่า ในช่วงๆหนึ่ง