กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

ปริพันธ์จำกัดเขต
Definite Integrals

การหาค่าผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลข ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส และสมบัติที่สำคัญ

1

📐 ความหมายของปริพันธ์จำกัดเขต / Meaning of Definite Integral

ในหัวข้อที่แล้ว (ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต) เราจะได้ผลลัพธ์เป็น "ฟังก์ชันใหม่" รูปแบบทั่วไปที่ติดค่าตัวแปร \(C\) เอาไว้

แต่สำหรับ ปริพันธ์จำกัดเขต (Definite Integral) เราต้องการฟิกซ์หรือตีกรอบขอบเขตในการคำนวณ (จาก \(x = a\) ถึง \(x = b\)) ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้ออกมาจะไม่ใช่ฟังก์ชันอีกต่อไป แต่จะเป็น "ค่าตัวเลข (Value)" เพียงค่าเดียวที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในเชิงเรขาคณิต (เช่น การใช้คำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟ)

In the previous topic (Indefinite Integrals), the primary result of the operation was a "new function" in a general form containing the constant \(C\).

However, for a Definite Integral, we strict boundaries for the calculation (from \(x = a\) to \(x = b\)). The outcome is no longer a function, but a single "numerical value" which is extremely crucial in geometry (e.g., evaluating the precise area under a curve).

ตัวอย่างแนวคิด (5 ตัวอย่าง)
  • หาพื้นที่ใต้เส้นตรงจาก \(x=0\) ถึง \(x=2\)
  • คำนวณระยะทางสะสมในช่วงเวลา 1 ถึง 5 วินาที
  • รวมผลบวกของค่าฟังก์ชันเล็กๆ ในช่วงที่กำหนด
  • ประเมินค่าคงที่ที่เกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงในช่วงนั้นๆ
  • เปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างขอบเขตบนและล่าง
Conceptual Examples (5 Examples)
  • Finding area under a straight line from \(x=0\) to \(x=2\).
  • Calculating total distance over a time interval of 1 to 5 seconds.
  • Summing infinitesimal function values over a range.
  • Evaluating total change between two specific points.
  • Comparing the difference between upper and lower boundaries.
2

🧠 ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส / Fundamental Theorem of Calculus

ทฤษฎีบทนี้คือการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในแคลคูลัส เพราะมันเป็นสะพานเชื่อมโยงระหว่าง อนุพันธ์ (Derivative) และ ปริพันธ์ (Integral) เข้าด้วยกันอย่างสมบูรณ์

ถ้า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด \([a, b]\) และ \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(f\) เราจะสามารถหาปริพันธ์จำกัดเขตได้ตามสมการนี้:

This theorem is the greatest discovery in calculus as it perfectly bridges Derivatives and Integrals together.

If \(f\) is a continuous function on the closed interval \([a, b]\) and \(F\) is an antiderivative of \(f\), then we can evaluate its definite integral using this formula:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)\)
* อินทิเกรตตัวถูกอินทิเกรตก่อน แล้วเอาค่าขอบเขตบนไปแทนค่า ลบด้วยการนำค่าขอบเขตล่างไปแทนค่า *
ตัวอย่างที่ 1

จงหาค่าของ \(\int_{1}^{3} 2x \, dx\)

Example 1

Evaluate \(\int_{1}^{3} 2x \, dx\)

\[\begin{aligned} \int_{1}^{3} 2x \, dx &= \left[ \frac{2x^2}{2} \right]_{1}^{3} \\ &= \left[ x^2 \right]_{1}^{3} \\ &= (3^2) - (1^2) \\ &= 9 - 1 \\ &= \mathbf{8} \end{aligned}\]
* ข้อสังเกต: สำหรับปริพันธ์จำกัดเขต เราไม่จำเป็นต้องเขียนบวก \(C\) เพราะเวลาจับ \(F(b) - F(a)\) ค่าคงตัวจะหักลบกันหายไปเสมอ
\[\begin{aligned} \int_{1}^{3} 2x \, dx &= \left[ \frac{2x^2}{2} \right]_{1}^{3} \\ &= \left[ x^2 \right]_{1}^{3} \\ &= (3^2) - (1^2) \\ &= 9 - 1 \\ &= \mathbf{8} \end{aligned}\]
* Note: In definite integrals, writing \(+C\) is unnecessary because \(C - C\) will ultimately cancel it out.
ตัวอย่างที่ 2 (พหุนามหลายพจน์)

จงหาค่าของ \(\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1) \, dx\)

Example 2

Evaluate \(\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1) \, dx\)

\[\begin{aligned} \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1) \, dx &= \left[ \frac{3x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + x \right]_{0}^{2} \\ &= \left[ x^3 - 2x^2 + x \right]_{0}^{2} \\ &= \left( (2)^3 - 2(2)^2 + (2) \right) - \left( 0 - 0 + 0 \right) \\ &= (8 - 8 + 2) - 0 \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 3 (พหุนามกำลังสาม)

จงหาค่าของ \(\int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \, dx\)

Example 3

Evaluate \(\int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \, dx\)

\[\begin{aligned} \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \, dx &= \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{-1}^{2} \\ &= \left( \frac{16}{4} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 \right) \\ &= (4 + 2) - \left( -\frac{3}{4} \right) \\ &= 6 + \frac{3}{4} \\ &= \mathbf{\frac{27}{4}} \\ &= \mathbf{6.75} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \, dx &= \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{-1}^{2} \\ &= \left( \frac{16}{4} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 \right) \\ &= (4 + 2) - \left( -\frac{3}{4} \right) \\ &= 6 + \frac{3}{4} \\ &= \mathbf{\frac{27}{4}} \\ &= \mathbf{6.75} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4 (ฟังก์ชันราก)

จงหาค่าของ \(\int_{1}^{4} 3\sqrt{x} \, dx\)

Example 4

Evaluate \(\int_{1}^{4} 3\sqrt{x} \, dx\)

จัดให้เป็นเลขยกกำลัง \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)
\[\begin{aligned} \int_{1}^{4} 3x^{1/2} \, dx &= \left[ 3 \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right) \right]_{1}^{4} \\ &= \left[ 3 \left( \frac{2x^{3/2}}{3} \right) \right]_{1}^{4} \\ &= \left[ 2x\sqrt{x} \right]_{1}^{4} \\ &= 2(4\sqrt{4}) - 2(1\sqrt{1}) \\ &= 2(8) - 2(1) \\ &= 16 - 2 \\ &= \mathbf{14} \end{aligned}\]
Rewrite as power \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)
\[\begin{aligned} \int_{1}^{4} 3x^{1/2} \, dx &= \left[ 3 \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right) \right]_{1}^{4} \\ &= \left[ 3 \left( \frac{2x^{3/2}}{3} \right) \right]_{1}^{4} \\ &= \left[ 2x\sqrt{x} \right]_{1}^{4} \\ &= 2(4\sqrt{4}) - 2(1\sqrt{1}) \\ &= 2(8) - 2(1) \\ &= 16 - 2 \\ &= \mathbf{14} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5 (พหุนามและเศษส่วน)

จงหาค่าของ \(\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x^2}) \, dx\)

Example 5

Evaluate \(\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x^2}) \, dx\)

\[\begin{aligned} \int_{1}^{2} (x + x^{-2}) \, dx &= \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} \\ &= \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \\ &= 1.5 - (-0.5) \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int_{1}^{2} (x + x^{-2}) \, dx &= \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} \\ &= \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \\ &= 1.5 - (-0.5) \\ &= \mathbf{2} \end{aligned}\]
3

📋 สมบัติของปริพันธ์จำกัดเขต / Properties of Definite Integrals

เมื่อนำขอบเขตเข้ามาเกี่ยวข้อง ปริพันธ์จะมีสมบัติเกี่ยวกับขอบเขตเพิ่มเติมดังต่อไปนี้ที่มักจะถูกนำไปใช้ออกข้อสอบหรือแก้โจทย์พื้นที่บ่อยๆ

With boundaries in play, definite integrals exhibit several interval properties that are frequently used in exams and area calculations.

1. การสลับช่วงขอบเขต (Flipping Bounds)
1. Reversing the Intervals
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx\)

ถ้าเราสลับขอบเขตการอินทิเกรตจากซ้ายไปขวา หรือ ขวาไปซ้าย ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเท่าเดิมแต่เครื่องหมายจะตรงกันข้ามกัน

If we swap the upper and lower limits of integration, the result has the exact same magnitude but the opposite mathematical sign.

ตัวอย่างที่ 6
\[\begin{aligned} \int_{3}^{1} 2x \, dx &= -\int_{1}^{3} 2x \, dx \\ &= - (8) \\ &= \mathbf{-8} \end{aligned}\]
Example 6
\[\begin{aligned} \int_{3}^{1} 2x \, dx &= -\int_{1}^{3} 2x \, dx \\ &= - (8) \\ &= \mathbf{-8} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 7
\[\begin{aligned} \int_{2}^{-1} 5x^4 \, dx &= -\int_{-1}^{2} 5x^4 \, dx \\ &= -\left[ x^5 \right]_{-1}^{2} \\ &= - (32 - (-1)) \\ &= \mathbf{-33} \end{aligned}\]
Example 7
\[\begin{aligned} \int_{2}^{-1} 5x^4 \, dx &= -\int_{-1}^{2} 5x^4 \, dx \\ &= -\left[ x^5 \right]_{-1}^{2} \\ &= - (32 - (-1)) \\ &= \mathbf{-33} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 8
\[\begin{aligned} \int_{0}^{-3} (2x+1) \, dx &= -\int_{-3}^{0} (2x+1) \, dx \\ &= -\left[ x^2 + x \right]_{-3}^{0} \\ &= - (0 - (9 - 3)) \\ &= -(-6) \\ &= \mathbf{6} \end{aligned}\]
Example 8
\[\begin{aligned} \int_{0}^{-3} (2x+1) \, dx &= -\int_{-3}^{0} (2x+1) \, dx \\ &= -\left[ x^2 + x \right]_{-3}^{0} \\ &= - (0 - (9 - 3)) \\ &= -(-6) \\ &= \mathbf{6} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 9
\[\begin{aligned} \int_{5}^{1} (3x^2+1) \, dx &= -\int_{1}^{5} (3x^2+1) \, dx \\ &= -\left[ x^3+x \right]_{1}^{5} \\ &= -( (125+5) - (1+1) ) \\ &= -(130 - 2) \\ &= \mathbf{-128} \end{aligned}\]
Example 9
\[\begin{aligned} \int_{5}^{1} (3x^2+1) \, dx &= -\int_{1}^{5} (3x^2+1) \, dx \\ &= -\left[ x^3+x \right]_{1}^{5} \\ &= -( (125+5) - (1+1) ) \\ &= -(130 - 2) \\ &= \mathbf{-128} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 10
\[\begin{aligned} \int_{\pi}^{0} \sin(x) \, dx &= -\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \\ &= -[-\cos(x)]_{0}^{\pi} \\ &= [\cos(x)]_{0}^{\pi} \\ &= \cos(\pi) - \cos(0) \\ &= -1 - 1 \\ &= \mathbf{-2} \end{aligned}\]
Example 10
\[\begin{aligned} \int_{\pi}^{0} \sin(x) \, dx &= -\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \\ &= -[-\cos(x)]_{0}^{\pi} \\ &= [\cos(x)]_{0}^{\pi} \\ &= \cos(\pi) - \cos(0) \\ &= -1 - 1 \\ &= \mathbf{-2} \end{aligned}\]
2. การแยกช่วงอินทิเกรต (Splitting Intervals)
2. Splitting Intervals
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx\)

เราสามารถแบ่งช่วงการอินทิเกรตหลักออกเป็นช่วงย่อยๆ กี่ช่วงก็ได้ โดยจุดพัก (จุด \(c\)) จะเป็นตัวเชื่อมระหว่างจุดเริ่มต้นและปลายทาง

We can fragment a main integration interval into multiple partial intervals, provided that the connecting boundary (point \(c\)) anchors the start and end of respective segments.

ตัวอย่างที่ 11

กำหนด \(\int_{1}^{5} f(x)dx = 10\) และ \(\int_{3}^{5} f(x)dx = 2\) จงหา \(\int_{1}^{3} f(x)dx\)

\[\begin{aligned} \int_{1}^{5} f(x) \, dx &= \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \\ 10 &= \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 2 \\ \int_{1}^{3} f(x) \, dx &= 10 - 2 \\ &= \mathbf{8} \end{aligned}\]
Example 11

Suppose \(\int_{1}^{5} f(x)dx = 10\) and \(\int_{3}^{5} f(x)dx = 2\). Evaluate \(\int_{1}^{3} f(x)dx\).

\[\begin{aligned} \int_{1}^{5} f(x) \, dx &= \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \\ 10 &= \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 2 \\ \int_{1}^{3} f(x) \, dx &= 10 - 2 \\ &= \mathbf{8} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 12

กำหนด \(\int_{0}^{2} g(x)dx = 4\), \(\int_{2}^{7} g(x)dx = -1\) และ \(\int_{-3}^{0} g(x)dx = 5\)

จงหา \(\int_{-3}^{7} g(x)dx\)

\[\begin{aligned} \int_{-3}^{7} g(x) \, dx &= \int_{-3}^{0} g(x) \, dx + \int_{0}^{2} g(x) \, dx + \int_{2}^{7} g(x) \, dx \\ &= 5 + 4 + (-1) \\ &= \mathbf{8} \end{aligned}\]
Example 12

Suppose \(\int_{0}^{2} g(x)dx = 4\), \(\int_{2}^{7} g(x)dx = -1\), and \(\int_{-3}^{0} g(x)dx = 5\).

Evaluate \(\int_{-3}^{7} g(x)dx\).

\[\begin{aligned} \int_{-3}^{7} g(x) \, dx &= \int_{-3}^{0} g(x) \, dx + \int_{0}^{2} g(x) \, dx + \int_{2}^{7} g(x) \, dx \\ &= 5 + 4 + (-1) \\ &= \mathbf{8} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 13

จงหาการแยกช่วงอินทิเกรตของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ \(\int_{-2}^{3} |x| \, dx\)

\[\begin{aligned} \int_{-2}^{3} |x| \, dx &= \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{3} (x) \, dx \\ &= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} \\ &= \left( 0 - (-2) \right) + \left( \frac{9}{2} - 0 \right) \\ &= 2 + 4.5 \\ &= \mathbf{6.5} \end{aligned}\]
Example 13

Split the interval for the absolute value function \(\int_{-2}^{3} |x| \, dx\)

\[\begin{aligned} \int_{-2}^{3} |x| \, dx &= \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{3} (x) \, dx \\ &= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} \\ &= \left( 0 - (-2) \right) + \left( \frac{9}{2} - 0 \right) \\ &= 2 + 4.5 \\ &= \mathbf{6.5} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 14

กำหนด \(\int_{0}^{10} f(x)dx = 25\) และ \(\int_{0}^{7} f(x)dx = 15\) จงหา \(\int_{7}^{10} f(x)dx\)

\[\begin{aligned} \int_{0}^{10} f(x) \, dx &= \int_{0}^{7} f(x) \, dx + \int_{7}^{10} f(x) \, dx \\ 25 &= 15 + \int_{7}^{10} f(x) \, dx \\ \int_{7}^{10} f(x) \, dx &= \mathbf{10} \end{aligned}\]
Example 14

Suppose \(\int_{0}^{10} f(x)dx = 25\) and \(\int_{0}^{7} f(x)dx = 15\). Evaluate \(\int_{7}^{10} f(x)dx\).

\[\begin{aligned} \int_{0}^{10} f(x) \, dx &= \int_{0}^{7} f(x) \, dx + \int_{7}^{10} f(x) \, dx \\ 25 &= 15 + \int_{7}^{10} f(x) \, dx \\ \int_{7}^{10} f(x) \, dx &= \mathbf{10} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 15

จงหาค่า \(\int_{-1}^{1} |x| \, dx\)

\[\begin{aligned} \int_{-1}^{1} |x| \, dx &= \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx \\ &= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \\ &= (0 - (-0.5)) + (0.5 - 0) \\ &= \mathbf{1} \end{aligned}\]
Example 15

Evaluate \(\int_{-1}^{1} |x| \, dx\)

\[\begin{aligned} \int_{-1}^{1} |x| \, dx &= \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx \\ &= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \\ &= (0 - (-0.5)) + (0.5 - 0) \\ &= \mathbf{1} \end{aligned}\]
3. อินทิเกรตบนช่วงที่ความกว้างเป็นศูนย์ (Zero Interval)
3. Zero-Width Interval
\(\displaystyle \int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0\)

ถ้าขอบเขตบนและล่างเป็นค่าเดียวกัน (พิจารณาเริ่มที่และจบที่ลอจิกเดียวกัน) ผลการอินทิเกรตจะเป็น 0 เสมอ เพราะระยะห่างของฐานมีความกว้างเป็นศูนย์ พื้นที่จึงไม่มี

If the targeted upper and lower limits are exactly the same point, the definite integral evaluates to 0, representing a geometric base of zero width.

ตัวอย่างที่ 16
\[\begin{aligned} \int_{4}^{4} (9x^3 - \sqrt{x} + \sin(x)) \, dx &= \dots \\ &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
Example 16
\[\begin{aligned} \int_{4}^{4} (9x^3 - \sqrt{x} + \sin(x)) \, dx &= \dots \\ &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 17
\[\begin{aligned} \int_{-10}^{-10} \frac{x^2 - 4x + 7}{x^3 + 1} \, dx &= \dots \\ &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
Example 17
\[\begin{aligned} \int_{-10}^{-10} \frac{x^2 - 4x + 7}{x^3 + 1} \, dx &= \dots \\ &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 18
\[\begin{aligned} \int_{\pi}^{\pi} \cos^2(x) \, dx &= \dots \\ &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
Example 18
\[\begin{aligned} \int_{\pi}^{\pi} \cos^2(x) \, dx &= \dots \\ &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 19
\[\begin{aligned} \int_{k}^{k} f(x)dx &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
Example 19
\[\begin{aligned} \int_{k}^{k} f(x)dx &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 20
\[\begin{aligned} \int_{1.23}^{1.23} e^x \ln(x) \, dx &= \mathbf{0} \end{aligned}\]
Example 20
\[\begin{aligned} \int_{1.23}^{1.23} e^x \ln(x) \, dx &= \mathbf{0} \end{aligned}\]

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางเรื่องปริพันธ์จำกัดเขตและทฤษฎีบท

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Definite de- (completely) + finire (to bound/limit) จำกัดเขต · การประเมินค่าข้อมูลภายใต้ขอบเขตหรือช่วงสองจุดที่ชัดเจน
Fundamental fundamentum (foundation) รากฐาน / หลักมูล · หัวใจหลักทางทฤษฎีที่เป็นรากฐานของการกระทำทั้งหมด
Theorem theorema (proposition to be proved) ทฤษฎีบท · แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าถูกต้อง 100%
Interval intervallum (space between palisades) ช่วง · ระยะห่าง ขอบเขต หรือพื้นที่ที่อยู่ระหว่างจุดเริ่มต้นและปลายทาง
Evaluate ex- (out) + valere (to be worth) หาค่า / ประเมินผล · การคำนวณถอดค่าเชิงตัวเลขเพื่อหาข้อสรุปการทำงาน