กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
Indefinite Integrals

หัวใจของการคำนวณขั้นต่อไป: ปฏิยานุพันธ์ สัญลักษณ์เชิงคณิตศาสตร์ และสูตรพื้นฐาน

1

🔄 ความหมายของปฏิยานุพันธ์ / Meaning of Antiderivatives

ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivatives) คือกระบวนการ "ย้อนกลับ" ของการหาอนุพันธ์ (Derivative) พูดง่ายๆ คือ "การหาฟังก์ชันต้นกำเนิดที่เมื่อนำไปดิฟแล้ว จะได้ฟังก์ชันที่เรากำลังพิจารณาอยู่"

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (Indefinite Integral) ถือเป็นพื้นฐานที่สุดที่คุณต้องแม่นยำ เพราะเป็นหัวใจในการคำนวณพื้นที่ใต้กราฟและวิศวกรรมขั้นสูงต่อไป

An Antiderivative is the "reverse" process of finding a derivative. Simply put, it means "finding the original function that, when differentiated, yields the given function."

The Indefinite Integral is the absolute foundation you must master, as it is the core for calculating areas under curves and advanced engineering problems.

\(\displaystyle \text{ถ้า } F'(x) = f(x) \quad \text{แล้ว } F(x) \text{ จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ } f(x)\)
ตัวอย่างแนวคิดปฏิยานุพันธ์ (5 ตัวอย่าง)
  • ถ้า \(F(x) = x^2\) แล้ว \(F'(x) = 2x\) (ดังนั้น \(x^2\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(2x\))
  • ถ้า \(F(x) = x^3\) แล้ว \(F'(x) = 3x^2\)
  • ถ้า \(F(x) = 5x\) แล้ว \(F'(x) = 5\)
  • ถ้า \(F(x) = x^2 + 10\) แล้ว \(F'(x) = 2x\)
  • ถ้า \(F(x) = \frac{1}{2}x^2\) แล้ว \(F'(x) = x\)
Antiderivative Concept Examples (5 Examples)
  • If \(F(x) = x^2\), then \(F'(x) = 2x\) (\(x^2\) is an antiderivative of \(2x\))
  • If \(F(x) = x^3\), then \(F'(x) = 3x^2\)
  • If \(F(x) = 5x\), then \(F'(x) = 5\)
  • If \(F(x) = x^2 + 10\), then \(F'(x) = 2x\)
  • If \(F(x) = \frac{1}{2}x^2\), then \(F'(x) = x\)
2

🧮 สัญลักษณ์และค่าคงตัว / Symbols and the Constant (+C)

เราใช้เครื่องหมาย อินทิกรัล (\(\int \)) แทนกระบวนการหาปฏิยานุพันธ์ โดยมีรูปแบบสัญลักษณ์ดังนี้:

We use the Integral sign (\(\int \)) to denote the process of finding antiderivatives. The standard notation is:

\(\displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C\)
องค์ประกอบของสัญลักษณ์
  • \(\int\) : เครื่องหมายอินทิกรัล (Integral Sign)
  • \(f(x)\) : ตัวถูกอินทิเกรต (Integrand)
  • \(dx\) : ตัวบ่งชี้เทียบปริพันธ์ (Variable of Integration) ช่วยบอกว่าเรากำลังพิจารณาตัวแปร \(x\)
Components of the Notation
  • \(\int\) : Integral Sign
  • \(f(x)\) : Integrand (the function being integrated)
  • \(dx\) : Variable of Integration, indicates that we are integrating with respect to \(x\)
ทำไมต้องมี +C ?

เนื่องจากอนุพันธ์ของตัวเลขค่าคงตัวใดๆ (Constant) จะมีค่าเท่ากับ 0 เสมอ เช่น

\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)

\(\frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x\)

\(\frac{d}{dx}(x^2 - 99) = 2x\)

เมื่อเราหาปริพันธ์ย้อนกลับของ \(2x\) เราจึงไม่ทราบแน่ชัดว่าเดิมทีมันมีค่าคงตัวบวกหรือลบอยู่เท่าไหร่ จึงต้องบวก \(C\) (ค่าคงตัวของการบูรณาการ) ไว้เสมอเพื่อให้ครอบคลุมทุกกรณี

Why (+C)?

Because the derivative of any constant number is always 0. For example:

\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)

\(\frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x\)

\(\frac{d}{dx}(x^2 - 99) = 2x\)

When we integrate \(2x\) backwards, we don't know exactly what the original constant was. Therefore, we must add \(C\) (Constant of Integration) to represent all possible original functions.

ตัวอย่างที่ 1

จงหาปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของฟังก์ชันต่อไปนี้ (เน้นความเข้าใจเรื่อง +C)

  1. \(f(x) = 3x^2\)
  2. \(f(x) = 4x^3\)
  3. \(f(x) = 10x^9\)
  4. \(f(x) = 2x\)
  5. \(f(x) = 1\)
Example 1

Find the general antiderivatives (focusing on the +C concept):

  1. \(f(x) = 3x^2\)
  2. \(f(x) = 4x^3\)
  3. \(f(x) = 10x^9\)
  4. \(f(x) = 2x\)
  5. \(f(x) = 1\)
\[\begin{aligned} 1) \int 3x^2 \, dx &= x^3 + C \\ 2) \int 4x^3 \, dx &= x^4 + C \\ 3) \int 10x^9 \, dx &= x^{10} + C \\ 4) \int 2x \, dx &= x^2 + C \\ 5) \int 1 \, dx &= x + C \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 1) \int 3x^2 \, dx &= x^3 + C \\ 2) \int 4x^3 \, dx &= x^4 + C \\ 3) \int 10x^9 \, dx &= x^{10} + C \\ 4) \int 2x \, dx &= x^2 + C \\ 5) \int 1 \, dx &= x + C \end{aligned}\]
3

📋 สูตรพื้นฐานที่ต้องจำ / Basic Formulas to Memorize

นี่คือสองสูตรแรกที่ใช้บ่อยที่สุดในการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันพหุนามและค่าคงตัว ซึ่งคุณต้องจำให้ขึ้นใจ

These are the two most frequently used formulas for integrating polynomials and constants, which you must memorize perfectly.

1. ปริพันธ์ของค่าคงตัว

เมื่อ \(k\) เป็นค่าคงตัวใดๆ

1. Integral of a Constant

Where \(k\) is any constant number.

\(\displaystyle \int k \, dx = kx + C\)
ตัวอย่าง:

\(\int 5 \, dx = 5x + C\)

\(\int -3 \, dx = -3x + C\)

Examples:

\(\int 5 \, dx = 5x + C\)

\(\int -3 \, dx = -3x + C\)

2. ปริพันธ์ของเลขยกกำลัง

เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนจริง และ \(n \neq -1\)

2. Integral of a Power

Where \(n\) is a real number and \(n \neq -1\).

\(\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
ตัวอย่าง:

\(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C\)

\(\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C\)

Examples:

\(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C\)

\(\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C\)

ตัวอย่างที่ 2 (แบบมีเลขชี้กำลัง)

จงหาค่าของ \(\int x^5 \, dx\)

Example 2 (Power Rule)

Evaluate \(\int x^5 \, dx\).

\[\begin{aligned} \int x^5 \, dx &= \frac{x^{5+1}}{5+1} + C \\ &= \mathbf{\frac{x^6}{6} + C} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int x^5 \, dx &= \frac{x^{5+1}}{5+1} + C \\ &= \mathbf{\frac{x^6}{6} + C} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 3 (เลขติดลบ/เศษส่วน)

จงหาค่าของ \(\int x^{-4} \, dx\)

Example 3 (Negative Exponent)

Evaluate \(\int x^{-4} \, dx\).

\[\begin{aligned} \int x^{-4} \, dx &= \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C \\ &= \frac{x^{-3}}{-3} + C \\ &= \mathbf{-\frac{1}{3x^3} + C} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int x^{-4} \, dx &= \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C \\ &= \frac{x^{-3}}{-3} + C \\ &= \mathbf{-\frac{1}{3x^3} + C} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4 (รูท/ราก)

จงหาค่าของ \(\int \sqrt{x} \, dx\)

Example 4 (Radicals)

Evaluate \(\int \sqrt{x} \, dx\).

\[\begin{aligned} \int \sqrt{x} \, dx &= \int x^{1/2} \, dx \\ &= \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C \\ &= \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \\ &= \mathbf{\frac{2x\sqrt{x}}{3} + C} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int \sqrt{x} \, dx &= \int x^{1/2} \, dx \\ &= \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C \\ &= \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \\ &= \mathbf{\frac{2x\sqrt{x}}{3} + C} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5 (เศษส่วน)

จงหาค่าของ \(\int \frac{1}{x^3} \, dx\)

Example 5 (Fractions)

Evaluate \(\int \frac{1}{x^3} \, dx\).

\[\begin{aligned} \int \frac{1}{x^3} \, dx &= \int x^{-3} \, dx \\ &= \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C \\ &= \frac{x^{-2}}{-2} + C \\ &= \mathbf{-\frac{1}{2x^2} + C} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int \frac{1}{x^3} \, dx &= \int x^{-3} \, dx \\ &= \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C \\ &= \frac{x^{-2}}{-2} + C \\ &= \mathbf{-\frac{1}{2x^2} + C} \end{aligned}\]
4

⚙️ สมบัติของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต / Properties of Integrals

สมบัติเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถจัดการกับฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นได้ โดยการแตกเป็นส่วนๆ ที่คำนวณได้ง่าย

These properties allow us to break down complex functions into simpler parts that are easier to calculate.

1. การดึงค่าคงตัวออกนอกเครื่องหมายอินทิกรัล

ถ้า \(k\) เป็นค่าคงตัว เราสามารถดึงค่าคงตัวออกไปคูณข้างหน้าอินทิกรัลได้ เหมือนการดึงตัวร่วม

1. Constant Multiple Rule

If \(k\) is a constant, we can pull it out in front of the integral sign.

\(\displaystyle \int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx\)
ตัวอย่างที่ 6
\[\begin{aligned} \int 7x^3 \, dx &= 7 \int x^3 \, dx \\ &= 7\left(\frac{x^4}{4}\right) + C \\ &= \mathbf{\frac{7x^4}{4} + C} \end{aligned}\]
Example 6
\[\begin{aligned} \int 7x^3 \, dx &= 7 \int x^3 \, dx \\ &= 7\left(\frac{x^4}{4}\right) + C \\ &= \mathbf{\frac{7x^4}{4} + C} \end{aligned}\]
2. การกระจายเข้าในการบวก/ลบ

เราสามารถกระจายเครื่องหมายอินทิกรัลเข้าหรือออก สลับกับการบวกหรือลบของฟังก์ชันได้ทีละพจน์

2. Sum and Difference Rule

The integral of a sum or difference is the sum or difference of the integrals. We can distribute the integral sign term by term.

\(\displaystyle \int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx\)
ตัวอย่างที่ 7
\[\begin{aligned} \int (x^2 + 5x - 4) \, dx &= \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x + C \end{aligned}\]
Example 7
\[\begin{aligned} \int (x^2 + 5x - 4) \, dx &= \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x + C \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 8 (ผสมผสาน)
\[\begin{aligned} \int (8x^3 - 6x^2 + 4x - 2) \, dx &= \frac{8x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 2x + C \\ &= \mathbf{2x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + C} \end{aligned}\]
Example 8 (Combined)
\[\begin{aligned} \int (8x^3 - 6x^2 + 4x - 2) \, dx &= \frac{8x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 2x + C \\ &= \mathbf{2x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + C} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 9 (พหุนามและเศษส่วน)
\[\begin{aligned} \int (x^2 + \frac{1}{x^2}) \, dx &= \int (x^2 + x^{-2}) \, dx \\ &= \frac{x^3}{3} + \frac{x^{-1}}{-1} + C \\ &= \mathbf{\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} + C} \end{aligned}\]
Example 9 (Polynomial & Fraction)
\[\begin{aligned} \int (x^2 + \frac{1}{x^2}) \, dx &= \int (x^2 + x^{-2}) \, dx \\ &= \frac{x^3}{3} + \frac{x^{-1}}{-1} + C \\ &= \mathbf{\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} + C} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 10 (ดัดแปลงรูป)
\[\begin{aligned} \int \frac{x^2+1}{\sqrt{x}} \, dx &= \int (x^2+1)x^{-1/2} \, dx \\ &= \int (x^{3/2} + x^{-1/2}) \, dx \\ &= \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C \\ &= \mathbf{\frac{2x^2\sqrt{x}}{5} + 2\sqrt{x} + C} \end{aligned}\]
Example 10 (Algebraic Manipulation)
\[\begin{aligned} \int \frac{x^2+1}{\sqrt{x}} \, dx &= \int (x^2+1)x^{-1/2} \, dx \\ &= \int (x^{3/2} + x^{-1/2}) \, dx \\ &= \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C \\ &= \mathbf{\frac{2x^2\sqrt{x}}{5} + 2\sqrt{x} + C} \end{aligned}\]

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางเรื่องปริพันธ์และปฏิยานุพันธ์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Integral integrare (to make whole) ปริพันธ์ · ค่าที่แสดงผลรวมสะสม หรือถูกใช้ประยุกต์หาพื้นที่ใต้กราฟ
Antiderivative anti- (against) + derivative ปฏิยานุพันธ์ · ฟังก์ชันต้นกำเนิดที่เมื่อนำไปหาอนุพันธ์แล้วจะได้ฟังก์ชันเดิม
Integrand integrare + -and ตัวถูกอินทิเกรต · ฟังก์ชันที่อยู่หลังเครื่องหมายอินทิกรัลและกำลังจะถูกหาปริพันธ์
Indefinite in- (not) + definitus (bounded) ไม่จำกัดเขต · การหาฟังก์ชันปฏิยานุพันธ์ทั้งหมดในภาพรวมโดยไม่ระบุขอบเขต (จึงต้องครอบคลุมด้วยการบวกค่า C)
Constant (+C) constare (to stand firm) ค่าคงตัว · ตัวเลขที่ไม่แปรผันตามตัวแปรใดๆ ซึ่งถูกอนุพันธ์แล้วมีค่าเป็นศูนย์