เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร

🔁 แนวคิดของการเปลี่ยนตัวแปร / Concept of Substitution

การเปลี่ยนตัวแปร (U-Substitution) คือกระบวนการ "ย้อนกลับ" ของกฎลูกโซ่ (Chain Rule) ในการหาอนุพันธ์ โดยใช้สำหรับโจทย์อินทิเกรตที่ไม่สามารถใช้สูตรพื้นฐานได้ตรงๆ โดยเฉพาะหน้าตาที่เป็น ฟังก์ชันซ้อนฟังก์ชัน (Composite Function)

U-Substitution is essentially the "reverse" of the Chain Rule from differentiation. It is used for integration problems that cannot be solved directly with basic formulas, especially when dealing with Composite Functions.

$\displaystyle \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$

📝 ขั้นตอนการแก้โจทย์ / Solving Steps

ใจความสำคัญคือการ "ยุบตัวแปร" ด้วยการสมมติให้ก้อนที่ยุ่งยากกลายเป็นตัวแปร $u$ จากนั้นจัดรูปให้สิ่งแวดล้อมกลายเป็นตัวแปร $u$ ทั้งหมด

The core concept is to "collapse the expression" by substituting the complicated inner function as $u$. Then, reformat the entire equation to be exclusively in terms of $u$.

เลือกสมมติ $u$: มักเป็นก้อนที่อยู่ข้างในฟังก์ชันอื่น (เช่น ในวงเล็บยกกำลัง, ใต้รูท, หรือเลขชี้กำลัง)
หาอนุพันธ์ (Diff $u$): เพื่อสร้างความสัมพันธ์ $du = \dots dx$
แทนค่ากลับ: สลับเปลี่ยนพจน์ $x$ ปกติและ $dx$ ให้เป็นพจน์ของ $u$ และ $du$ ให้หมด (โจทย์จะเหลือแค่ $u$)
อินทิเกรตเทียบ $u$: ใช้สูตรพื้นฐานในการอินทิเกรตก้อน $u$
แทนตัว $x$ กลับคืน: ตอบในรูปของ $x$ ปกติ พร้อมบวกค่า $+C$

Choose $u$: Usually the inner nested function (e.g., inside parentheses, under a square root, or an exponent).
Differentiate $u$: To establish the relationship $du = \dots dx$.
Substitute completely: Replace all $x$ terms and $dx$ into terms of $u$ and $du$.
Integrate with respect to $u$: Use standard basic formulas.
Substitute $x$ back: Return the final answer in terms of $x$, adding $+C$.

💡 ตัวอย่างการหาปริพันธ์ / Varied Subtitution Examples

ตัวอย่างรูปแบบโจทย์ประยุกต์ที่คุณต้องเจออย่างแน่นอนในระดับ ม.ปลาย

Examples of varied applied problems you will definitely encounter at the senior high school level.

ตัวอย่างที่ 1 (พหุนามพื้นฐาน)

จงหาค่าของ $\int 2x(x^2+1)^5 \, dx$

Example 1 (Basic Polynomial)

Evaluate $\int 2x(x^2+1)^5 \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= x^2+1 \\ \frac{du}{dx} &= 2x \\ du &= 2x \, dx \\ \int 2x(x^2+1)^5 \, dx &= \int (x^2+1)^5 (2x \, dx) \\ &= \int u^5 \, du \\ &= \frac{u^6}{6} + C \\ &= \mathbf{\frac{(x^2+1)^6}{6} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= x^2+1 \\ \frac{du}{dx} &= 2x \\ du &= 2x \, dx \\ \int 2x(x^2+1)^5 \, dx &= \int (x^2+1)^5 (2x \, dx) \\ &= \int u^5 \, du \\ &= \frac{u^6}{6} + C \\ &= \mathbf{\frac{(x^2+1)^6}{6} + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 2 (การปรับตัวเลขสัมประสิทธิ์)

จงหาค่าของ $\int x^2 \sqrt{x^3+4} \, dx$

Example 2 (Adjusting Constant Factors)

Evaluate $\int x^2 \sqrt{x^3+4} \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= x^3+4 \\ du &= 3x^2 \, dx \\ \frac{1}{3}du &= x^2 \, dx \\ \int x^2 \sqrt{x^3+4} \, dx &= \int \sqrt{x^3+4} (x^2 \, dx) \\ &= \int u^{1/2} \left( \frac{1}{3}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{u^{3/2}}{3/2} \right) + C \\ &= \frac{2}{9} u^{3/2} + C \\ &= \mathbf{\frac{2}{9} (x^3+4)^{3/2} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= x^3+4 \\ du &= 3x^2 \, dx \\ \frac{1}{3}du &= x^2 \, dx \\ \int x^2 \sqrt{x^3+4} \, dx &= \int \sqrt{x^3+4} (x^2 \, dx) \\ &= \int u^{1/2} \left( \frac{1}{3}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{u^{3/2}}{3/2} \right) + C \\ &= \frac{2}{9} u^{3/2} + C \\ &= \mathbf{\frac{2}{9} (x^3+4)^{3/2} + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 3 (ผลลัพธ์เป็นลอการิทึม)

จงหาค่าของ $\int \frac{2x}{x^2+5} \, dx$

Example 3 (Yielding Natural Logarithm)

Evaluate $\int \frac{2x}{x^2+5} \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= x^2+5 \\ du &= 2x \, dx \\ \int \frac{1}{x^2+5} (2x \, dx) &= \int \frac{1}{u} \, du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \mathbf{\ln|x^2+5| + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= x^2+5 \\ du &= 2x \, dx \\ \int \frac{1}{x^2+5} (2x \, dx) &= \int \frac{1}{u} \, du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \mathbf{\ln|x^2+5| + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 4 (เอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงเส้น)

จงหาค่าของ $\int e^{3x-2} \, dx$

Example 4 (Linear Exponential)

Evaluate $\int e^{3x-2} \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= 3x-2 \\ du &= 3 \, dx \\ \frac{1}{3}du &= dx \\ \int e^{3x-2} \, dx &= \int e^u \left(\frac{1}{3}du\right) \\ &= \frac{1}{3} \int e^u \, du \\ &= \frac{1}{3} e^u + C \\ &= \mathbf{\frac{1}{3} e^{3x-2} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= 3x-2 \\ du &= 3 \, dx \\ \frac{1}{3}du &= dx \\ \int e^{3x-2} \, dx &= \int e^u \left(\frac{1}{3}du\right) \\ &= \frac{1}{3} \int e^u \, du \\ &= \frac{1}{3} e^u + C \\ &= \mathbf{\frac{1}{3} e^{3x-2} + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 5 (ฟังก์ชันตรีโกณมิติซ้อน)

จงหาค่าของ $\int \sin^4(x)\cos(x) \, dx$

Example 5 (Trigonometric Power)

Evaluate $\int \sin^4(x)\cos(x) \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= \sin(x) \\ du &= \cos(x) \, dx \\ \int (\sin(x))^4 \cos(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \frac{u^5}{5} + C \\ &= \mathbf{\frac{\sin^5(x)}{5} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= \sin(x) \\ du &= \cos(x) \, dx \\ \int (\sin(x))^4 \cos(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \frac{u^5}{5} + C \\ &= \mathbf{\frac{\sin^5(x)}{5} + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 6 (พหุนามและเศษส่วนซ้อน)

จงหาค่าของ $\int \frac{3x^2}{(x^3-5)^4} \, dx$

Example 6 (Polynomial Rational)

Evaluate $\int \frac{3x^2}{(x^3-5)^4} \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= x^3-5 \\ du &= 3x^2 \, dx \\ \int (x^3-5)^{-4} (3x^2 \, dx) &= \int u^{-4} \, du \\ &= \frac{u^{-3}}{-3} + C \\ &= \mathbf{-\frac{1}{3(x^3-5)^3} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= x^3-5 \\ du &= 3x^2 \, dx \\ \int (x^3-5)^{-4} (3x^2 \, dx) &= \int u^{-4} \, du \\ &= \frac{u^{-3}}{-3} + C \\ &= \mathbf{-\frac{1}{3(x^3-5)^3} + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 7 (เทคนิคการแทนค่าสลับ)

จงหาค่าของ $\int x\sqrt{x-3} \, dx$

Example 7 (Reverse Substitution Trick)

Evaluate $\int x\sqrt{x-3} \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= x-3 \\ du &= dx \\ \text{จาก } u &= x-3 \implies x = u+3 \\ \int x\sqrt{x-3} \, dx &= \int (u+3)\sqrt{u} \, du \\ &= \int (u^{3/2} + 3u^{1/2}) \, du \\ &= \frac{u^{5/2}}{5/2} + 3\left(\frac{u^{3/2}}{3/2}\right) + C \\ &= \frac{2}{5}u^{5/2} + 2u^{3/2} + C \\ &= \mathbf{\frac{2}{5}(x-3)^{5/2} + 2(x-3)^{3/2} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= x-3 \\ du &= dx \\ \text{From } u &= x-3 \implies x = u+3 \\ \int x\sqrt{x-3} \, dx &= \int (u+3)\sqrt{u} \, du \\ &= \int (u^{3/2} + 3u^{1/2}) \, du \\ &= \frac{u^{5/2}}{5/2} + 3\left(\frac{u^{3/2}}{3/2}\right) + C \\ &= \frac{2}{5}u^{5/2} + 2u^{3/2} + C \\ &= \mathbf{\frac{2}{5}(x-3)^{5/2} + 2(x-3)^{3/2} + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 8 (ลอการิทึมประกอบ)

จงหาค่าของ $\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx$

Example 8 (Logarithmic Composition)

Evaluate $\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= \ln(x) \\ du &= \frac{1}{x} \, dx \\ \int \ln(x) \left(\frac{1}{x} \, dx\right) &= \int u \, du \\ &= \frac{u^2}{2} + C \\ &= \mathbf{\frac{(\ln(x))^2}{2} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= \ln(x) \\ du &= \frac{1}{x} \, dx \\ \int \ln(x) \left(\frac{1}{x} \, dx\right) &= \int u \, du \\ &= \frac{u^2}{2} + C \\ &= \mathbf{\frac{(\ln(x))^2}{2} + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 9 (ตรีโกณมิติส่วนกลับ)

จงหาค่าของ $\int \sec^2(x)\tan^3(x) \, dx$

Example 9 (Trigonometric Reciprocal)

Evaluate $\int \sec^2(x)\tan^3(x) \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= \tan(x) \\ du &= \sec^2(x) \, dx \\ \int \tan^3(x) (\sec^2(x) \, dx) &= \int u^3 \, du \\ &= \frac{u^4}{4} + C \\ &= \mathbf{\frac{\tan^4(x)}{4} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= \tan(x) \\ du &= \sec^2(x) \, dx \\ \int \tan^3(x) (\sec^2(x) \, dx) &= \int u^3 \, du \\ &= \frac{u^4}{4} + C \\ &= \mathbf{\frac{\tan^4(x)}{4} + C} \end{aligned}\]

ตัวอย่างที่ 10 (เอ็กซ์โพเนนเชียลดีกรีสอง)

จงหาค่าของ $\int x e^{x^2} \, dx$

Example 10 (Quadratic Exponential)

Evaluate $\int x e^{x^2} \, dx$

\[\begin{aligned} \text{ให้ } u &= x^2 \\ du &= 2x \, dx \\ \frac{1}{2}du &= x \, dx \\ \int e^{x^2} (x \, dx) &= \int e^u \left(\frac{1}{2}du\right) \\ &= \frac{1}{2}\int e^u \, du \\ &= \frac{1}{2}e^u + C \\ &= \mathbf{\frac{1}{2}e^{x^2} + C} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Let } u &= x^2 \\ du &= 2x \, dx \\ \frac{1}{2}du &= x \, dx \\ \int e^{x^2} (x \, dx) &= \int e^u \left(\frac{1}{2}du\right) \\ &= \frac{1}{2}\int e^u \, du \\ &= \frac{1}{2}e^u + C \\ &= \mathbf{\frac{1}{2}e^{x^2} + C} \end{aligned}\]

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางเรื่องเทคนิคการแทนค่า

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Substitution	substituere (to put in place of)	การแทนค่า · การนำตัวแปรใหม่ไปสวมแทนฟังก์ชันที่มีความซับซ้อน
Composite Function	componere (to put together)	ฟังก์ชันประกอบ · ฟังก์ชันคณิตศาสตร์ที่ซ้อนอยู่ภายในฟังก์ชันอื่น (เช่น กฎลูกโซ่)
Differential	differre (to set apart)	ผลต่างอนุพัทธ์ · ส่วนประกอบย่อยของการประเมินค่าความเปลี่ยนแปลงระดับค่าย้อนกลับ (เช่น dx)