ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา

ในบางครั้ง ฟังก์ชันอาจมีการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันที่จุดใดจุดหนึ่ง ทำให้เราจำเป็นต้องพิจารณาค่าของฟังก์ชันในขณะที่เข้าใกล้จุดนั้นเพียงทางด้านเดียว เรียกว่า ลิมิตทางเดียว (One-sided Limit)

Sometimes a function behaves differently depending on the direction from which it is approached. In such cases, we consider values from only one side, known as a One-sided Limit.

📖 ความหมายและสัญลักษณ์ / Definitions

การระบุทิศทางของลิมิตจะใช้เครื่องหมายเศษส่วนจิ๋ว (+ หรือ -) กำกับที่ตัวเลข

Directional limits use tiny signs (+ or -) above the number to indicate the approach side.

ลิมิตซ้าย (Left-hand Limit)

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = L$

x เข้าใกล้ a จากทางที่มีค่า น้อยกว่า a

x approaches a from values less than a

ลิมิตขวา (Right-hand Limit)

$\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

x เข้าใกล้ a จากทางที่มีค่า มากกว่า a

x approaches a from values greater than a

💡

เงื่อนไขการมีลิมิต: $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ จะมีค่าเท่ากับ $L$ ก็ต่อเมื่อ ลิมิตซ้าย = ลิมิตขวา = L

Continuity Condition: $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ if and only if Left Limit = Right Limit = L

📊 การพิจารณาจากตาราง / Tabular View

ลองพิจารณาพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อ $x$ เข้าใกล้จุดวิกฤตจากรูปแบบต่างๆ ผ่านตารางค่าฟังก์ชัน

Explore function behavior through tables as $x$ approaches critical points from different perspectives.

กรณีที่ 1: ค่าสัมบูรณ์เฉือนกัน $f(x) = \frac{|x|}{x}$ ที่จุด $x \to 0$

Case 1: Piecewise behavior with $f(x) = \frac{|x|}{x}$ as $x \to 0$

Left / เข้าใกล้ทางซ้าย ($x \to 0^-$)			x = 0	Right / เข้าใกล้ทางขวา ($x \to 0^+$)
x	-0.1	-0.01	0	0.01	0.1	x
f(x)	-1	-1	หาไม่ได้ / undefined	1	1	f(x)

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$ | $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$

(-1 ≠ 1 : ลิมิตรวมไม่มีค่า / DNE)

กรณีที่ 2: ฟังก์ชันต่อเนื่องปกติ $f(x) = 2x + 1$ ที่จุด $x \to 2$

Case 2: Simple Continuous Function $f(x) = 2x + 1$ as $x \to 2$

Left / เข้าใกล้ทางซ้าย ($x \to 2^-$)			x = 2	Right / เข้าใกล้ทางขวา ($x \to 2^+$)
x	1.9	1.99	2	2.01	2.1	x
f(x)	4.8	4.98	5	5.02	5.2	f(x)

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (2x+1) = 5$ | $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} (2x+1) = 5$

(ลิมิตรวม = 5)

กรณีที่ 3: ฟังก์ชันแบบ "รูโหว่" (Hole) $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ ที่จุด $x \to 2$

Case 3: Removable Discontinuity $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ as $x \to 2$

Left / เข้าใกล้ทางซ้าย ($x \to 2^-$)			x = 2	Right / เข้าใกล้ทางขวา ($x \to 2^+$)
x	1.9	1.99	2	2.01	2.1	x
f(x)	3.9	3.99	หาไม่ได้ / undefined	4.01	4.1	f(x)

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2-4}{x-2} = 4$ | $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2-4}{x-2} = 4$

(แม้ $f(2)$ ไม่มีค่า แต่ลิมิตรวมมุ่งสู่ 4)

กรณีที่ 4: การก้าวกระโดด (Jump) $f(x) = \frac{x-3}{|x-3|}$ ที่จุด $x \to 3$

Case 4: Jump Discontinuity $f(x) = \frac{x-3}{|x-3|}$ as $x \to 3$

Left / เข้าใกล้ทางซ้าย ($x \to 3^-$)			x = 3	Right / เข้าใกล้ทางขวา ($x \to 3^+$)
x	2.9	2.99	3	3.01	3.1	x
f(x)	-1	-1	หาไม่ได้ / undefined	1	1	f(x)

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{x-3}{|x-3|} = -1$ | $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{x-3}{|x-3|} = 1$

(ซ้าย ≠ ขวา : ลิมิตรวมไม่มีค่า / DNE)

กรณีที่ 5: ลิมิตอนันต์ (Infinite) $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ ที่จุด $x \to 1$

Case 5: Infinite Limit $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ as $x \to 1$

Left / เข้าใกล้ทางซ้าย ($x \to 1^-$)			x = 1	Right / เข้าใกล้ทางขวา ($x \to 1^+$)
x	0.9	0.99	1	1.01	1.1	x
f(x)	100	10,000	หาไม่ได้ / undefined	10,000	100	f(x)

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{(x-1)^2} = \infty$ | $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{(x-1)^2} = \infty$

(ค่าพุ่งสูงขึ้นอย่างรวดเร็วทางด้านบวก)

📈 การพิจารณาจากกราฟ / Graphical View

สรุปพฤติกรรมของลิมิตสองข้างผ่านลักษณะเส้นกราฟ

1. ต่อเนื่อง (Continuous)

ลิมิตสองข้างมีค่าเท่ากันและเท่ากับค่าฟังก์ชัน

Left and right limits are equal and match f(a).

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

2. รูโหว่ (Removable)

ลิมิตเท่ากันแต่มุ่งสู่จุดที่ไม่มีนิยาม

Limits match but approach an undefined point.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

3. ก้าวกระโดด (Jump)

ลิมิตสองข้างต่างกัน มักเกิดใน piecewise

Limits are different, common in piecewise.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

4. อนันต์ทิศเดียวกัน (Inf Positive)

ค่าฟังก์ชันพุ่งขึ้นมหาศาลทั้งสองข้าง

Function values skyrocket on both sides.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$

5. อนันต์แยกทาง (Inf Mixed)

ด้านหนึ่งพุ่งลง อีกด้านพุ่งขึ้น

One side goes down, the other goes up.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty, \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$

6. จุดเริ่มฝั่งซ้าย (Left Start)

ลิมิตซ้ายหาค่าไม่ได้เพราะอยู่นอกโดเมน

Left limit DNE: outside the domain.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ หาค่าไม่ได้}, \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

7. จุดจบฝั่งขวา (Right End)

ลิมิตขวาหาค่าไม่ได้เพราะสิ้นสุดโดเมน

Right limit DNE: domain ends at a.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = L, \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ หาค่าไม่ได้}$

8. จุดอยู่ต่างที่ (Displacement)

ลิมิตสองข้างเข้าสู่ L แต่ค่า f(a) คือ M

Limits reach L but f(a) is at M.

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L \neq f(a)$

🏷️ การพิจารณาเงื่อนไขปีกกา / Piecewise Functions

ฟังก์ชันที่มีนิยามแตกต่างกันในแต่ละช่วงของโดเมน

Functions defined differently over various intervals of their domain.

ตัวอย่างที่ 1 / Example 1

Example 1

กำหนดให้ $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2 & , x \leq 1 \\ 2x-1 & , x > 1 \end{cases} $ หา $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$

1. หาลิมิตซ้าย ($x \to 1^-$): ใช้ $x \leq 1$

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2) = 1^2 = 1$

2. หาลิมิตขวา ($x \to 1^+$): ใช้ $x > 1$

$\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 2(1)-1 = 1$

เนื่องจาก ลิมิตซ้าย = ลิมิตขวา $\therefore \lim_{x \to 1} f(x) = 1$

1. Left Limit ($x \to 1^-$): Use $x \leq 1$

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2) = 1^2 = 1$

2. Right Limit ($x \to 1^+$): Use $x > 1$

$\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 2(1)-1 = 1$

Since Left Limit = Right Limit $\therefore \lim_{x \to 1} f(x) = 1$

ตัวอย่างที่ 2 / Example 2

Example 2

กำหนดให้ $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x+1 & , x < 2 \\ x^2+1 & , x \geq 2 \end{cases} $ หา $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$

หาลิมิตซ้าย ($x \to 2^-$): ใช้ $x < 2$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x+1) = 2(2)+1 = 5$

หาลิมิตขวา ($x \to 2^+$): ใช้ $x \geq 2$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2+1) = 2^2+1 = 5$

ลิมิตสองข้างเท่ากัน $\therefore \lim_{x \to 2} f(x) = 5$

Left Limit ($x \to 2^-$): Use $x < 2$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x+1) = 2(2)+1 = 5$

Right Limit ($x \to 2^+$): Use $x \geq 2$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2+1) = 2^2+1 = 5$

Limits match $\therefore \lim_{x \to 2} f(x) = 5$

ตัวอย่างที่ 3 / Example 3

Example 3

กำหนดให้ $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x-3 & , x \leq 3 \\ 1 & , x > 3 \end{cases} $ หา $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$

ลิมิตซ้าย ($x \to 3^-$): ใช้ $x \leq 3$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x-3) = 3-3 = 0$

ลิมิตขวา ($x \to 3^+$): ใช้ $x > 3$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (1) = 1$

เนื่องจาก ลิมิตซ้าย ≠ ลิมิตขวา $\therefore \lim_{x \to 3} f(x)$ ไม่มีค่า

Left Limit ($x \to 3^-$): Use $x \leq 3$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x-3) = 0$

Right Limit ($x \to 3^+$): Use $x > 3$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (1) = 1$

Limits do not match $\therefore \lim_{x \to 3} f(x) = \text{DNE}$

ตัวอย่างที่ 4 / Example 4

Example 4

กำหนดให้ $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 5 & , x = 1 \end{cases} $ หา $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$

การหาลิมิต: เมื่อ $x \to 1$ คือ $x \neq 1$ จึงใช้เงื่อนไขบน

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$

ลิมิตเป็น 2 (แม้ว่า $f(1) = 5$)

Limit Calculation: Use top condition since $x \neq 1$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$

Limit is 2, independent of $f(1)$.

ตัวอย่างที่ 5 / Example 5

Example 5

กำหนดให้ $\displaystyle f(x) = \begin{cases} |x| & , x < 0 \\ x+1 & , x \geq 0 \end{cases} $ หา $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$

ฝั่งซ้าย ($x \to 0^-$): $x < 0$ ดังนั้น $|x|=-x$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$

ฝั่งขวา ($x \to 0^+$): $x \geq 0$ ดังนั้น $f(x) = x+1$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$

ซ้าย ≠ ขวา $\therefore$ ลิมิตไม่มีค่า

Left Side ($x \to 0^-$): $x < 0$ implies $|x|=-x$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$

Right Side ($x \to 0^+$): $x \geq 0$ implies $f(x) = x+1$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$

Limits differ $\therefore \lim_{x \to 0} f(x) = \text{DNE}$

🛡️ การพิจารณาค่าสมบูรณ์ / Absolute Values

การถอดเครื่องหมาย $|...|$ ตามนิยามของลิมิตแต่ละฝั่ง

หัวใจสำคัญคือการ "ถอดเครื่องหมายค่าสมบูรณ์" ตามกฎพื้นฐาน ดังนี้:

\[ |u| = \begin{cases} u & , u \geq 0 \\ -u & , u < 0 \end{cases} \]

ตัวอย่างที่ 1 / Example 1

หาค่าของ $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{|x-2|}{x-2}$

วิเคราะห์: เมื่อ $x \to 2^+$ ($x > 2$) จะได้ $x-2 > 0$

$\begin{aligned} \text{ถอดค่าสมบูรณ์:} \quad |x-2| &= x-2 \\ \lim_{x \to 2^+} \frac{|x-2|}{x-2} &= \lim_{x \to 2^+} \frac{x-2}{x-2} \\ &= 1 \end{aligned}$

Example 1

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{|x-2|}{x-2}$

Analysis: For $x \to 2^+$ ($x > 2$), $x-2 > 0$

$\begin{aligned} \text{Removal:} \quad |x-2| &= x-2 \\ \lim_{x \to 2^+} \frac{|x-2|}{x-2} &= \lim_{x \to 2^+} \frac{x-2}{x-2} \\ &= 1 \end{aligned}$

ตัวอย่างที่ 2 / Example 2

หาค่าของ $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{|x-2|}{x-2}$

วิเคราะห์: เมื่อ $x \to 2^-$ ($x < 2$) จะได้ $x-2 < 0$

$\begin{aligned} \text{ถอดค่าสมบูรณ์:} \quad |x-2| &= -(x-2) \\ \lim_{x \to 2^-} \frac{|x-2|}{x-2} &= \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x-2)}{x-2} \\ &= -1 \end{aligned}$

Example 2

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{|x-2|}{x-2}$

Analysis: For $x \to 2^-$ ($x < 2$), $x-2 < 0$

$\begin{aligned} \text{Removal:} \quad |x-2| &= -(x-2) \\ \lim_{x \to 2^-} \frac{|x-2|}{x-2} &= \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x-2)}{x-2} \\ &= -1 \end{aligned}$

ตัวอย่างที่ 3 / Example 3

พิจารณาลิมิตรวม $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$

$\begin{aligned} \text{1. ลิมิตซ้าย: } \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} &= \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \\ \text{2. ลิมิตขวา: } \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \end{aligned}$

$\therefore$ ซ้าย ≠ ขวา ทำให้ลิมิตรวม หาค่าไม่ได้ (DNE)

Example 3

Consider overall limit $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$

$\begin{aligned} \text{1. Left: } \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} &= \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \\ \text{2. Right: } \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \end{aligned}$

$\therefore -1 \neq 1 \implies$ Limit Does Not Exist (DNE)

ตัวอย่างที่ 4 / Example 4

หาค่าของ $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{|x^2-9|}{x-3}$

วิเคราะห์: เมื่อ $x \to 3^+$ จะได้ $x^2 > 9$ ดังนั้น $|x^2-9| = x^2-9$

$\begin{aligned} \lim_{x \to 3^+} \frac{|x^2-9|}{x-3} &= \lim_{x \to 3^+} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \\ &= \lim_{x \to 3^+} (x+3) \\ &= 3 + 3 = 6 \end{aligned}$

Example 4

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{|x^2-9|}{x-3}$

Analysis: For $x \to 3^+$, $x^2-9 > 0$ $\to$ remove absolute bars.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 3^+} \frac{|x^2-9|}{x-3} &= \lim_{x \to 3^+} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \\ &= \lim_{x \to 3^+} (x+3) \\ &= 6 \end{aligned}$

ตัวอย่างที่ 5 / Example 5

หาค่าของ $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{|x-1| + x - 1}{x^2-1}$

วิเคราะห์: สำหรับ $x \to 1^-$ ($x < 1$) จะได้ $x-1 < 0$ ดังนั้น $|x-1|=-(x-1)$

$\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1) + (x-1)}{x^2-1} &= \lim_{x \to 1^-} \frac{0}{x^2-1} \\ &= 0 \end{aligned}$

Example 5

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{|x-1| + x - 1}{x^2-1}$

Analysis: For $x \to 1^-$ ($x < 1$), $|x-1|=-(x-1)$

$\begin{aligned} \text{Substitute: } \quad &= \frac{-(x-1) + (x-1)}{x^2-1} \\ &= \frac{0}{x^2-1} \\ &= 0 \end{aligned}$

🥕 การพิจารณารูท / Root Functions

ระวังค่าภายในรากที่สองห้ามติดลบ

Beware: Expression inside the square root cannot be negative.

ตัวอย่างที่ 1 / Example 1

พิจารณา $\displaystyle f(x) = \sqrt{x-5}$ ที่จุด $x = 5$

วิเคราะห์โดเมน: ต้องมี $x-5 \geq 0$ ดังนั้น $x \geq 5$

ซ้าย: $\displaystyle x \to 5^-$
เมื่อ $x = 4.9$: $\sqrt{4.9-5} = \sqrt{-0.1}$
หาค่าไม่ได้ (DNE)

ขวา: $\displaystyle x \to 5^+$
เมื่อ $x = 5.1$: $\sqrt{5.1-5} = \sqrt{0.1} \to 0$
หาค่าได้ (0)

$\therefore \lim_{x \to 5^-} f(x) \neq \lim_{x \to 5^+} f(x)$ ลิมิตหาค่าไม่ได้

Example 1

Evaluate $\displaystyle f(x) = \sqrt{x-5}$ at $x = 5$

Domain Check: Requires $x-5 \geq 0 \to x \geq 5$

Left: $x \to 5^-$
Sample $x=4.9$: $\sqrt{-0.1}$
DNE (Complex)

Right: $x \to 5^+$
Sample $x=5.1$: $\sqrt{0.1} \to 0$
Exists (0)

$\therefore$ Overall limit Does Not Exist (DNE)

ตัวอย่างที่ 2 / Example 2

หาลิมิตของ $\displaystyle f(x) = \sqrt{9-x^2}$ ที่จุด $x = 3$

วิเคราะห์โดเมน: $9-x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 9 \implies -3 \leq x \leq 3$

ซ้าย: $x \to 3^-$
เมื่อ $x = 2.9$: $\sqrt{9-8.41} = \sqrt{0.59} \to 0$
หาค่าได้ (0)

ขวา: $x \to 3^+$
เมื่อ $x = 3.1$: $\sqrt{9-9.61} = \sqrt{-0.61}$
หาค่าไม่ได้ (DNE)

Example 2

Evaluate $\displaystyle f(x) = \sqrt{9-x^2}$ at $x = 3$

Domain Check: $-3 \leq x \leq 3$

Left: $x \to 3^-$
Sample $x=2.9$: $\sqrt{0.59} \to 0$
Exists

Right: $x \to 3^+$
Sample $x=3.1$: $\sqrt{-0.61}$
DNE

ตัวอย่างที่ 3 / Example 3

หาลิมิตของ $\displaystyle f(x) = \sqrt{|x-2|}$ ที่จุด $x = 2$

วิเคราะห์: สัญลักษณ์ค่าสมบูรณ์ ($|...|$) บังคับให้หัวใจรูทเป็นบวกเสมอ

ซ้าย: $x \to 2^-$
เมื่อ $x=1.9 \to \sqrt{|-0.1|} = \sqrt{0.1} \to 0$
หาค่าได้

ขวา: $x \to 2^+$
เมื่อ $x=2.1 \to \sqrt{|0.1|} = \sqrt{0.1} \to 0$
หาค่าได้

$\therefore$ ลิมิตซ้าย = ขวา ทำให้ลิมิตรวม หาค่าได้และเท่ากับ 0

Example 3

Evaluate $\displaystyle \sqrt{|x-2|}$ at $x = 2$

Analysis: Absolute value ensures non-negative input for the root.

Left Limit: 0

Right Limit: 0

$\therefore -1 \neq 1 \implies$ Limit Exists (0)

ตัวอย่างที่ 4 / Example 4

หาค่าของ $\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

เมื่อแทนค่าจะได้ $\frac{0}{0}$ จึงควรแยกตัวประกอบ:
$\begin{aligned} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} &= \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} \\ &= \sqrt{x}+2 \\ \lim_{x \to 4^-} (\sqrt{x}+2) &= \sqrt{4}+2 = 4 \end{aligned}$

Example 4

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

This is $\frac{0}{0}$. Factorize the numerator:
$\begin{aligned} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} &= \sqrt{x}+2 \\ \text{Limit} &= \sqrt{4}+2 = 4 \end{aligned}$

ตัวอย่างที่ 5 / Example 5

หาลิมิตของ $\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{2-x}$ ที่จุด $x = 2$

วิเคราะห์โดเมนรวม: $x \geq 0$ และ $2-x \geq 0 \to x \leq 2$ รวมคือ $[0, 2]$

ลิมิตซ้าย: $x \to 2^-$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \left(\sqrt{x} + \sqrt{2-x}\right) = \sqrt{2}$

✅ หาค่าได้ (ฟังก์ชันนิยามที่ $x \le 2$)

ลิมิตขวา: $x \to 2^+$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \left(\sqrt{x} + \sqrt{2-x}\right)$

❌ ไม่มีค่า ($\sqrt{2-x}$ ติดลบในราก)

Example 5

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\sqrt{x} + \sqrt{2-x}\right)$

Domain Intersection: $x \in [0, 2]$

Left-hand: $x \to 2^-$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \left(\sqrt{x} + \sqrt{2-x}\right) = \sqrt{2}$

✅ Exists (defined for $x \le 2$)

Right-hand: $x \to 2^+$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \left(\sqrt{x} + \sqrt{2-x}\right)$

❌ DNE (negative under root)

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางเรื่องลิมิตทางเดียว

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
One-sided Limit	unus (one) + sidus (side)	ลิมิตทางเดียว · การพิจารณาลิมิตเพียงด้านใดด้านหนึ่ง (ซ้ายหรือขวา)
Piecewise	piece + wise (in pieces)	ฟังก์ชันแบ่งช่วง · ฟังก์ชันที่มีเงื่อนไขต่างกันตามช่วงของค่า x
Absolute Value	absolutus (complete)	ค่าสมบูรณ์ · ขนาดของจำนวน (ถอดเครื่องหมายลบออก)
Domain	dominium (property)	โดเมน · เซตของค่า x ทั้งหมดที่ทำให้ฟังก์ชันหาค่าได้
Conjugate	conjugare (join together)	สังยุค/คอนจูเกต · พจน์ที่นำมาคูณเพื่อกำจัดเครื่องหมายราก (Root)
Indeterminate	in (not) + determinare (limit)	รูปแบบไม่กำหนด · ค่าที่ยังสรุปทันทีไม่ได้ เช่น 0/0 ต้องจัดรูปก่อน