ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันจะ ต่อเนื่อง (Continuous) ที่จุดใดๆ ก็ต่อเมื่อกราฟของฟังก์ชันนั้นไม่มีรอยขาด รูโหว่ หรือการก้าวกระโดดที่จุดนั้น โดยฟังก์ชัน \(f(x)\) จะต่อเนื่องที่จุด \(x=a\) ก็ต่อเมื่อผ่าน เงื่อนไข 3 ข้อ ดังนี้:

Mathematically, a function is Continuous at a point if its graph has no breaks, holes, or jumps there. A function \(f(x)\) is continuous at \(x=a\) if and only if it satisfies the following 3 conditions:

1

\(f(a)\) หาค่าได้ (ฟังก์ชันนิยามที่จุดนั้น)

\(f(a)\) is defined (The function exists at that point)
2

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\) หาค่าได้ (ลิมิตซ้าย = ลิมิตขวา)

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\) exists (Left limit = Right limit)
3

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) (ค่าลิมิตเท่ากับค่าฟังก์ชัน)

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) (The limit equals the function value)

📈 ความต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องพื้นฐาน / Basic Continuity and Discontinuity

ตัวอย่างที่ 1 - 4: ความเข้าใจรูปแบบกราฟ (รูโหว่, ก้าวกระโดด, อนันต์)

ตัวอย่างที่ 1: พหุนาม (ต่อเนื่อง)

จงตรวจสอบว่า \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) ต่อเนื่องที่ \(x = 2\) หรือไม่

Example 1: Polynomial (Continuous)

Determine directly if \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) is continuous at \(x = 2\).

ตรวจสอบทั้ง 3 ข้อ:

1. \(f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1\) ✔️
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 3) = -1\) ✔️
3. \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) ✔️

Check all 3 conditions:

1. \(f(2) = -1\) ✔️
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 3) = -1\) ✔️
3. \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) ✔️

สรุป: ต่อเนื่องที่ \(x=2\)

Conclusion: Continuous at \(x=2\)

ตัวอย่างที่ 2: รูโหว่ (ไม่ต่อเนื่องแบบที่ 1)

จงตรวจสอบว่า \(f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}\) ต่อเนื่องที่ \(x = 3\) หรือไม่

Example 2: Hole (Removable Discontinuity)

Determine if \(f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}\) is continuous at \(x = 3\).

ทดสอบข้อที่ 1:

\(f(3) = \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}\) (หาค่าไม่ได้)

Test Condition 1:

\(f(3) = \frac{0}{0}\) (Undefined)

สรุป: ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=3\) เพราะฟังก์ชันไม่นิยามที่จุดนั้น (สอบตกข้อที่ 1)

Conclusion: Discontinuous at \(x=3\) because \(f(3)\) is undefined (Fails Condition 1).

ตัวอย่างที่ 3: กราฟไม่อยู่ที่จุด (ไม่ต่อเนื่องแบบที่ 2)

กำหนด \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 3 & , x = 1 \end{cases}\) ตรวจสอบที่ \(x=1\)

Example 3: Displaced Point (Removable Discontinuity)

Given \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 3 & , x = 1 \end{cases}\). Check at \(x=1\).

1. \(f(1) = 3\) ✔️
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2\) ✔️
3. \(f(1) \neq \lim_{x \to 1} f(x)\) ( \(3 \neq 2\) ) ❌

สรุป: ไม่ต่อเนื่อง เพราะค่าลิมิตไม่เท่ากับค่าฟังก์ชัน (ตกข้อที่ 3)

Conclusion: Discontinuous because the limit does not equal the function value (Fails Condition 3).

ตัวอย่างที่ 4: ลิมิตอนันต์ (ไม่ต่อเนื่องแบบที่ 3)

จงตรวจสอบ \(f(x) = \frac{1}{|x - 4|}\) ที่ \(x = 4\)

Example 4: Infinite Discontinuity (Asymptote)

Determine continuity of \(f(x) = \frac{1}{|x - 4|}\) at \(x = 4\).

\(f(4) = \frac{1}{0}\) หาค่าไม่ได้ (พังตั้งแต่ข้อแรก)
\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{1}{|x - 4|} = \infty\) ลิมิตหาค่าไม่ได้ (พุ่งสู่ infinity)

\(f(4) = \frac{1}{0}\) is undefined (Fails step 1).
\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{1}{|x - 4|} = \infty\) limit does not exist as a real number.

สรุป: ไม่ต่อเนื่องแน่นอน เกิดแนวดิ่งกำกับ (Vertical Asymptote)

Conclusion: Discontinuous due to a vertical asymptote.

🏷️ ฟังก์ชันแยกช่วงและค่าสัมบูรณ์ / Piecewise & Absolute Value

ตัวอย่างที่ 5 - 7: การพิจารณาแยกทีละเงื่อนไขย่อย

ตัวอย่างที่ 5: ฟังก์ชันแยกช่วง 2 เงื่อนไข (พบก้าวกระโดด)

กำหนด \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x+1 & , x < 2 \\ x^2 & , x \ge 2 \end{cases}\) ต่อเนื่องที่ \(x=2\) หรือไม่?

Example 5: Standard Piecewise (Jump Discontinuity)

Given \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x+1 & , x < 2 \\ x^2 & , x \ge 2 \end{cases}\). Is it continuous at \(x=2\)?

1. ฟังก์ชัน: \(f(2) = 2^2 = 4\)
2. ลิมิตซ้าย: \(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (2x+1) = 2(2)+1 = 5\)
3. ลิมิตขวา: \(\displaystyle \lim_{x \to 2^+} (x^2) = 2^2 = 4\)

1. Function: \(f(2) = 2^2 = 4\)
2. Left Limit: \(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (2x+1) = 2(2)+1 = 5\)
3. Right Limit: \(\displaystyle \lim_{x \to 2^+} (x^2) = 2^2 = 4\)

สรุป: ไม่ต่อเนื่อง เพราะลิมิตซ้าย \(\ne\) ลิมิตขวา (กราฟก้าวกระโดด / Jump Discontinuity)

Conclusion: Discontinuous because Left Limit \(\ne\) Right Limit (Jump Discontinuity).

ตัวอย่างที่ 6: กราฟที่มีค่าสัมบูรณ์

กำหนด \(f(x) = \frac{|x - 5|}{x - 5}\) พิจารณาความต่อเนื่องที่ \(x = 5\)

Example 6: Absolute Value Step Function

Consider \(f(x) = \frac{|x - 5|}{x - 5}\) at \(x = 5\).

ฟังก์ชันแบบนี้คือฟังก์ชันขั้นบันได (Step Function):

\(\displaystyle \lim_{x \to 5^+} \frac{x-5}{x-5} = \lim_{x \to 5^+} (1) = 1\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 5^-} \frac{-(x-5)}{x-5} = \lim_{x \to 5^-} (-1) = -1\)

This creates a step function pattern. Evaluating limits:

\(\displaystyle \lim_{x \to 5^+} \frac{x-5}{x-5} = \lim_{x \to 5^+} (1) = 1\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 5^-} \frac{-(x-5)}{x-5} = \lim_{x \to 5^-} (-1) = -1\)

สรุป: ลิมิตไม่มีค่า และ \(f(5)\) เองก็หาร 0 ดังนั้น ไม่ต่อเนื่อง

Conclusion: Limit DNE and \(f(5)\) is division by zero. Discontinuous.

ตัวอย่างที่ 7: ฟังก์ชันแยกช่วงแบบมี Square Root

กำหนด \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & , x > 0 \\ x+2 & , x \le 0 \end{cases}\) ต่อเนื่องที่ \(x=0\) หรือไม่?

Example 7: Piecewise with Square Root

Given \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & , x > 0 \\ x+2 & , x \le 0 \end{cases}\). Is it continuous at \(x=0\)?

1. ฟังก์ชัน: ใช้เงื่อนไข \(x \le 0\) \(\to f(0) = 0+2 = 2\)
2. ลิมิตซ้าย: ใช้สัมพัทธ์เงื่อนไข \(\le 0\) \(\to \lim_{x \to 0^-} (x+2) = 2\)
3. ลิมิตขวา: ใช้สัมพัทธ์เงื่อนไข \(> 0\) \(\to \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x+4} = \sqrt{4} = 2\)

1. Function: Use \(x \le 0\) \(\to f(0) = 0+2 = 2\)
2. Left Limit: approaches from \(\le 0\) \(\to \lim_{x \to 0^-} (x+2) = 2\)
3. Right Limit: approaches from \(> 0\) \(\to \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x+4} = \sqrt{4} = 2\)

สรุป: เลขทั้งหมดตรงกัน (2) ดังนั้น ต่อเนื่อง

Conclusion: All components equal 2. Therefore, it is Continuous.

🔧 การประยุกต์แก้สมการหาตัวแปร / Solving for Unknowns

ตัวอย่างที่ 8 - 10: หาค่าพารามิเตอร์เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 8: หาตัวแปร 1 ตัว

จงหาค่า \(c\) ที่ทำให้ฟังก์ชัน \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} cx^2+2x & , x < 2 \\ x^3 - cx & , x \ge 2 \end{cases}\) ต่อเนื่องบนจำนวนจริง

Example 8: Find 1 Unknown Constant

Find the value of \(c\) that makes \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} cx^2+2x & , x < 2 \\ x^3 - cx & , x \ge 2 \end{cases}\) continuous for all real numbers.

เพื่อให้ต่อเนื่องที่ \(x=2\) ลิมิตซ้ายต้องเท่ากับลิมิตขวา:

\(\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \lim_{x \to 2^+} f(x) \\ c(2)^2 + 2(2) &= (2)^3 - c(2) \\ 4c + 4 &= 8 - 2c \end{aligned}\)

To be continuous at \(x=2\), Left Limit must equal Right Limit:

\(\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \lim_{x \to 2^+} f(x) \\ c(2)^2 + 2(2) &= (2)^3 - c(2) \\ 4c + 4 &= 8 - 2c \end{aligned}\)

แก้สมการหา \(c\):

\(6c = 4\) \(\implies\) \(\mathbf{c = \frac{2}{3}}\)

Solve for \(c\):

\(6c = 4\) \(\implies\) \(\mathbf{c = \frac{2}{3}}\)

ตัวอย่างที่ 9: หาตัวแปร 2 ตัว ประกอบกับลิมิตแยกร่าง

กำหนด \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} ax-b & , x < 1 \\ 3 & , x=1 \\ bx^2+a & , x> 1 \end{cases}\) ถ้า \(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=1\) จงหา \(a, b\)

Example 9: System of Equations with 2 Unknowns

Given \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} ax-b & , x < 1 \\ 3 & , x=1 \\ bx^2+a & , x> 1 \end{cases}\), find \(a\) and \(b\) if continuous at \(x=1\).

สร้างสมการจากเงื่อนไข: \(f(1) = 3\) ดังนั้น ลิมิตทั้งสองข้างต้องเท่ากับ 3

\(\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 &\implies a(1) - b = 3 \implies a - b = 3 \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 &\implies b(1)^2 + a = 3 \implies a + b = 3 \end{aligned}\)

Set both limits equal to \(f(1) = 3\):

\(\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 &\implies a(1) - b = 3 \implies a - b = 3 \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 &\implies b(1)^2 + a = 3 \implies a + b = 3 \end{aligned}\)

แก้ระบบสมการ: นำ 2 สมการบวกกัน
\(2a = 6\) \(\implies\) \(\mathbf{a = 3}\)
แทนทกลับจะได้ \(\mathbf{b = 0}\)

Solve the system: Add the equations.
\(2a = 6\) \(\implies\) \(\mathbf{a = 3}\)
Substitute back to get \(\mathbf{b = 0}\)

ตัวอย่างที่ 10: ตัวแปรแฝงรวมกับการแยกตัวประกอบแบบรูโหว่

ถ้า \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 16}{x - 4} & , x \neq 4 \\ k & , x = 4 \end{cases}\) ต่อเนื่องที่ \(x=4\) จงหาค่า \(k\)

Example 10: Unknown with Factoring (Hole repair)

If \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 16}{x - 4} & , x \neq 4 \\ k & , x = 4 \end{cases}\) is continuous at \(x=4\), find \(k\).

เพื่ออุดรูโหว่ (Hole) ให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง เราต้องกำหนดให้จุด \(f(4)\) หรือ \(k\) มีค่าเท่ากับลิมิตของฟังก์ชันเมื่อเข้าใกล้ 4

\(\displaystyle k = \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}\)

To repair the hole and make the function continuous, \(f(4) = k\) must equal the limit as \(x \to 4\).

\(\displaystyle k = \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}\)

หาลิมิตด้วยผลต่างกำลังสอง:

\(\displaystyle k = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4}\)

\(\displaystyle k = \lim_{x \to 4} (x + 4) = 4 + 4 = \mathbf{8}\)

Calculate the limit (Difference of Squares):

\(\displaystyle k = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4}\)

\(\displaystyle k = \lim_{x \to 4} (x + 4) = 4 + 4 = \mathbf{8}\)

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางเรื่องความต่อเนื่อง

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Continuity	continuus (uninterrupted)	ความต่อเนื่อง · ลักษณะที่ฟังก์ชันลากเส้นเชื่อมต่อกันได้โดยไม่ต้องยกปากกา
Discontinuous	dis (apart) + continuus	ไม่ต่อเนื่อง · ฟังก์ชันที่มีรูโหว่ ขาดตอน หรือก้าวกระโดด
Removable Discontinuity	remove (take away) + discontinuity	จุดขาดตอนที่กำจัดได้ · ฟังก์ชันรูโหว่ที่สามารถเติมเต็มด้วยการกำหนดค่าฟังก์ชันขึ้นใหม่ (เช่น ตัวอย่างที่ 10)
Jump Discontinuity	jump + discontinuity	ความไม่ต่อเนื่องแบบก้าวกระโดด · เมื่อลิมิตซ้ายและขวาหาค่าได้ แต่ไม่เท่ากัน
Interval	intervallum (space between)	ช่วง · ขอบเขตของค่า x ที่พิจารณา เช่น ความต่อเนื่องบนช่วง [a, b]