กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

รูปแบบไม่กำหนด
Indeterminate Forms

การหาค่าลิมิตในรูปแบบ 0/0 · Evaluating limits of the form 0/0

เมื่อเราพยายามหาค่าของลิมิตโดยการแทนค่า \(x\) แล้วพบว่าได้ผลลัพธ์เป็น \(\frac{0}{0}\) เราจะไม่สามารถสรุปค่าของลิมิตได้ทันที เรียกว่ารูปแบบนี้ว่า รูปแบบไม่กำหนด (Indeterminate Form) เราต้องทำการจัดรูปฟังก์ชันใหม่เสียก่อน

When direct substitution into a limit yields \(\frac{0}{0}\), we cannot immediately determine the limit's value. This is known as an Indeterminate Form. We must algebraically manipulate the function first.

1

🔍 ความเข้าใจเกี่ยวกับ 0/0 / Understanding 0/0

หลายคนมักเข้าใจผิดว่า \(\frac{0}{0} = 0\) หรือ \(\frac{0}{0} = 1\) แต่นั่นไม่เป็นความจริง ในแคลคูลัส \(\frac{0}{0}\) หมายถึงฟังก์ชันอาจจะ

  • มีลิมิตเป็นค่าใดค่าหนึ่ง
  • มุ่งเข้าสู่อนันต์ (Infinite)
  • ไม่มีลิมิตเลย (DNE)

Many mistakenly assume \(\frac{0}{0} = 0\) or \(\frac{0}{0} = 1\), but this is incorrect. In calculus, \(\frac{0}{0}\) signifies that the function could:

  • Evaluate to a specific real number
  • Approach infinity
  • Not exist at all (DNE)
💡
กฎสำคัญ: หากแทนค่าแล้วได้ \(\frac{0}{0}\) ต้องห้ามตอบทันที ให้พยายามเปลี่ยนรูปเพื่อตัดตัวที่เป็นปัญหาออก แล้วค่อยแทนค่าอีกครั้ง
Key Rule: If substitution yields \(\frac{0}{0}\), do not conclude immediately. Manipulate the expression to cancel out the problematic factor, then substitute again.
2

🧩 การแก้ปัญหาด้วยการแยกตัวประกอบ / Factoring Method

วิธีหลักที่นิยมใช้คือการแยกตัวประกอบ (Factoring) พหุนาม ตัวอย่างเช่น การใช้ผลต่างกำลังสอง หรือการดึงตัวร่วม เพื่อทำให้ตัวส่วนที่ไม่สามารถเป็น 0 ได้ถูกตัดทอน

The primary method involves factoring polynomials. Techniques such as difference of squares or extracting common factors help eliminate the denominator that causes the 0 value.

ตัวอย่างที่ 1 / Example 1

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)

Example 1

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)

ขั้นที่ 1: ลองแทนค่า \(x = 2\)
\(\displaystyle \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}\) (รูปแบบไม่กำหนด)
Step 1: Substitute \(x = 2\)
\(\displaystyle \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}\) (Indeterminate Form)
ขั้นที่ 2: แยกตัวประกอบเศษ (ผลต่างกำลังสอง)
\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
Step 2: Factor the numerator (Difference of Squares)
\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
ขั้นที่ 3: จัดรูปและแทนค่า
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = \mathbf{4}\)
Step 3: Simplify and Substitute
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = \mathbf{4}\)
ตัวอย่างที่ 2 / Example 2

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}\)

Example 2

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(x = -3\)
\(\displaystyle \frac{(-3)^2 + (-3) - 6}{-3 + 3} = \frac{9 - 3 - 6}{0} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(x = -3\)
\(\displaystyle \frac{(-3)^2 + (-3) - 6}{-3 + 3} = \frac{9 - 3 - 6}{0} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: แยกตัวประกอบและทอนเศษส่วน
\(\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(x - 2)}{x + 3}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to -3} (x - 2) = (-3) - 2 = \mathbf{-5}\)
Step 2: Factor and cancel
\(\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(x - 2)}{x + 3}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to -3} (x - 2) = (-3) - 2 = \mathbf{-5}\)
ตัวอย่างที่ 3 / Example 3

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 5x}\)

Example 3

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 5x}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(x = 5\)
\(\displaystyle \frac{5^2 - 25}{5^2 - 5(5)} = \frac{25 - 25}{25 - 25} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(x = 5\)
\(\displaystyle \frac{5^2 - 25}{5^2 - 5(5)} = \frac{25 - 25}{25 - 25} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: แยกตัวประกอบแล้วลดทอน
\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{x(x - 5)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x} = \frac{5 + 5}{5} = \mathbf{2}\)
Step 2: Factor and simplify
\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{x(x - 5)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x} = \frac{5 + 5}{5} = \mathbf{2}\)
ตัวอย่างที่ 4 / Example 4

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\)

Example 4

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(x = 1\)
\(\displaystyle \frac{1^3 - 1}{1 - 1} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(x = 1\)
\(\displaystyle \frac{1^3 - 1}{1 - 1} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: ใช้สูตรผลต่างกำลังสามและลดทอน
\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = \mathbf{3}\)
Step 2: Factor difference of cubes and simplify
\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = \mathbf{3}\)
ตัวอย่างที่ 5 / Example 5

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}\)

Example 5

Evaluate \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(h = 0\)
\(\displaystyle \frac{(x + 0)^2 - x^2}{0} = \frac{x^2 - x^2}{0} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(h = 0\)
\(\displaystyle \frac{(x + 0)^2 - x^2}{0} = \frac{x^2 - x^2}{0} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: กระจายกำลังสองสมบูรณ์แล้วดึงตัวร่วม
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h}\)

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h}\)

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x + 0 = \mathbf{2x}\)
Step 2: Expand and extract common factor
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h}\)

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h}\)

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x + 0 = \mathbf{2x}\)
3

✨ การแก้ปัญหาด้วยการคูณสังยุค / Conjugate Method

ถ้าฟังก์ชันอยู่ในรูปของเครื่องหมายกรณฑ์ (Roots) หรือราก เมื่อทำการแทนค่าแล้วได้ \(\frac{0}{0}\) เรามักจะใช้การคูณด้วยสังยุค (Conjugate) ทั้งเศษและส่วนเพื่อคลายปมปัญหา

If the function involves radical expressions (roots) and yields \(\frac{0}{0}\), multiplying the numerator and denominator by the conjugate is a standard approach to resolve the indeterminacy.

ตัวอย่างที่ 6 / Example 6

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}\)

Example 6

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(x = 9\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{9} - 3}{9 - 9} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(x = 9\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{9} - 3}{9 - 9} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: คูณด้วยสังยุคของเศษ คือ \((\sqrt{x} + 3)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x} - 3)}{x - 9} \cdot \frac{(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)}\)
Step 2: Multiply by the conjugate of the numerator: \((\sqrt{x} + 3)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x} - 3)}{x - 9} \cdot \frac{(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)}\)
ขั้นที่ 3: กระจายเศษด้วยหลักผลต่างกำลังสองแล้วลดทอน
\(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x})^2 - 3^2}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \mathbf{\frac{1}{6}}\)
Step 3: Expand numerator via difference of squares and simplify
\(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x})^2 - 3^2}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \mathbf{\frac{1}{6}}\)
ตัวอย่างที่ 7 / Example 7

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}\)

Example 7

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(x = 4\)
\(\displaystyle \frac{4 - 4}{\sqrt{4} - 2} = \frac{0}{2 - 2} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(x = 4\)
\(\displaystyle \frac{4 - 4}{\sqrt{4} - 2} = \frac{0}{2 - 2} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: คูณสังยุคเรดิกคัลของตัวส่วน
\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x})^2 - 2^2} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{x - 4}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} + 2) = \sqrt{4} + 2 = \mathbf{4}\)
Step 2: Multiply by the conjugate of the denominator
\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x})^2 - 2^2} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{x - 4}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} + 2) = \sqrt{4} + 2 = \mathbf{4}\)
ตัวอย่างที่ 8 / Example 8

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\)

Example 8

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(x = 0\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{0 + 1} - 1}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(x = 0\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{0 + 1} - 1}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: คูณด้วยสังยุคของตัวเศษ
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(x + 1) - 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \mathbf{\frac{1}{2}}\)
Step 2: Multiply by the conjugate of the numerator
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(x + 1) - 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \mathbf{\frac{1}{2}}\)
ตัวอย่างที่ 9 / Example 9

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}\)

Example 9

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(x = 3\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3 + 6} - 3}{3 - 3} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(x = 3\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3 + 6} - 3}{3 - 3} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: คูณสังยุคและจัดรูป
\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 6} + 3}{\sqrt{x + 6} + 3}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x + 6) - 9}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x + 6} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \mathbf{\frac{1}{6}}\)
Step 2: Multiply by conjugate and expand
\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 6} + 3}{\sqrt{x + 6} + 3}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x + 6) - 9}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x + 6} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \mathbf{\frac{1}{6}}\)
ตัวอย่างที่ 10 / Example 10

จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{\sqrt{2x - 1} - 3}\)

Example 10

Evaluate \(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{\sqrt{2x - 1} - 3}\)

ขั้นที่ 1: แทนค่า \(x = 5\)
\(\displaystyle \frac{5 - 5}{\sqrt{2(5) - 1} - 3} = \frac{0}{\sqrt{9} - 3} = \frac{0}{0}\)
Step 1: Substitute \(x = 5\)
\(\displaystyle \frac{5 - 5}{\sqrt{2(5) - 1} - 3} = \frac{0}{\sqrt{9} - 3} = \frac{0}{0}\)
ขั้นที่ 2: คูณด้วยสังยุคของตัวส่วน
\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{2x - 1} + 3)}{(\sqrt{2x - 1} - 3)(\sqrt{2x - 1} + 3)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{2x - 1} + 3)}{(2x - 1) - 9} = \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{2x - 1} + 3)}{2x - 10}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{2x - 1} + 3)}{2(x - 5)} = \lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{2x - 1} + 3}{2}\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{9} + 3}{2} = \frac{6}{2} = \mathbf{3}\)
Step 2: Multiply by the conjugate of the denominator
\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{2x - 1} + 3)}{(\sqrt{2x - 1} - 3)(\sqrt{2x - 1} + 3)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{2x - 1} + 3)}{(2x - 1) - 9} = \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{2x - 1} + 3)}{2x - 10}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{2x - 1} + 3)}{2(x - 5)} = \lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{2x - 1} + 3}{2}\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{9} + 3}{2} = \frac{6}{2} = \mathbf{3}\)

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางบทเรียน

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Indeterminate Form in (not) + determino (to set bounds to) รูปแบบไม่กำหนด · (เช่น 0/0) รูปแบบคณิตศาสตร์ที่ไม่สามารถระบุค่าได้แน่นอนในทันที
Factor factor (maker/doer) ตัวประกอบ · จำนวนที่คูณกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็นค่าที่กำหนด การแยกตัวประกอบ (Factoring)
Conjugate conjugare (join together) สังยุค/คอนจูเกต · พหุนามคู่หูที่นำมาคูณเพื่อปลดเครื่องหมายกรณฑ์
Simplify simplex (simple) จัดรูป (ทำให้ง่ายขึ้น) · การลดทอนสมการหรือเศษส่วนให้กลายเป็นรูปแบบที่เรียบง่าย