สมการลอการิทึม

สมการลอการิทึม (Logarithmic Equations) คือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในตำแหน่งของเลขหลังลอการิทึม (Argument) หรือฐานของลอการิทึม (Base) การแก้สมการเหล่านี้ต้องอาศัยนิยาม สมบัติของลอการิทึม และที่สำคัญที่สุดคือ การตรวจสอบคำตอบ (Checking Solutions) เสมอ เพื่อป้องกันคำตอบที่ทำให้หลังล็อกติดลบหรือเป็นศูนย์

Logarithmic Equations are equations where variables appear in the argument or base of a logarithm. Solving these equations requires applying definitions and properties of logarithms, and most importantly, checking the solutions to avoid extraneous roots that result in non-positive arguments or invalid bases.

⚠️

ข้อควรระวังในการแก้สมการ Important Conditions & Warnings

ก่อนที่จะเริ่มแก้สมการลอการิทึม ต้องจำเงื่อนไขสำคัญของ $\log_a x$ ไว้เสมอ:

เงื่อนไขเลขหลังล็อก: $x > 0$ (ต้องเป็นบวกเสมอ ห้ามเป็นศูนย์หรือติดลบ)
เงื่อนไขฐาน: $a > 0$ และ $a \neq 1$ (ฐานต้องเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1)

** เมื่อได้คำตอบของตัวแปรมาแล้ว ต้องนำกลับไปแทนค่าในสมการตั้งต้นเพื่อตรวจสอบเงื่อนไขเหล่านี้ทุกครั้ง! **

Before solving logarithmic equations, always remember the fundamental conditions of $\log_a x$:

Argument Condition: $x > 0$ (Must always be positive, never zero or negative)
Base Condition: $a > 0$ and $a \neq 1$ (Base must be positive and not equal to 1)

** Once you find the values for the variable, you MUST substitute them back into the original equation to check these conditions! **

การแก้สมการโดยใช้การปลดล็อก (นิยาม) Solving by Converting to Exponential Form

ใช้หลักการพื้นฐานจากนิยามของลอการิทึม: ดันฐานของลอการิทึมไปเป็นฐานของเลขยกกำลังอีกฝั่ง

$$\text{ถ้า } \log_a x = y \implies x = a^y$$

Use the fundamental definition of logarithms: push the base of the log to become the base of the exponent on the other side.

$$\text{If } \log_a x = y \implies x = a^y$$

Example 1.1

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_2 x = 3$

$$ \begin{aligned} \log_2 x &= 3 \\ x &= 2^3 \quad \text{(ปลดลอการิทึม / Apply definition)} \\ x &= 8 \end{aligned} $$

ตรวจคำตอบ: $x=8 > 0$ (ใช้ได้)

Solve for $x$ in $\log_2 x = 3$

$$ \begin{aligned} \log_2 x &= 3 \\ x &= 2^3 \quad \text{(Convert to exponential form)} \\ x &= 8 \end{aligned} $$

Check: $x=8 > 0$ (Valid)

Example 1.2

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_3(2x - 1) = 2$

$$ \begin{aligned} 2x - 1 &= 3^2 \\ 2x - 1 &= 9 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

ตรวจคำตอบ: $2(5)-1 = 9 > 0$ (ใช้ได้)

Solve for $x$ in $\log_3(2x - 1) = 2$

$$ \begin{aligned} 2x - 1 &= 3^2 \\ 2x - 1 &= 9 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Check: $2(5)-1 = 9 > 0$ (Valid)

Example 1.3

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} x = -2$

$$ \begin{aligned} x &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \\ x &= (2^{-1})^{-2} \quad \text{(ทำส่วนกลับ)} \\ x &= 2^2 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} x = -2$

$$ \begin{aligned} x &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \\ x &= (2^{-1})^{-2} \quad \text{(Reciprocal)} \\ x &= 2^2 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_x 16 = 2$

$$ \begin{aligned} x^2 &= 16 \quad \text{(นำ } x \text{ ไปเป็นฐานฝั่งขวา)} \\ x &= \pm 4 \end{aligned} $$

ตรวจเงื่อนไขฐาน: ฐานของลอการิทึมต้อง $x > 0$ และ $x \neq 1$

ดังนั้น $x = -4$ จึงใช้ไม่ได้ คำตอบที่ถูกต้องคือ $x = 4$ เท่านั้น

Solve for $x$ in $\log_x 16 = 2$

$$ \begin{aligned} x^2 &= 16 \quad \text{(Make } x \text{ the base)} \\ x &= \pm 4 \end{aligned} $$

Check Base Condition: The base must be $x > 0$ and $x \neq 1$.

Therefore, $x = -4$ is extraneous. The only valid solution is $x = 4$.

Example 1.5

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_2(\log_3 x) = 1$ (ลอการิทึมซ้อนกัน)

ปลดล็อกทีละชั้นจากด้านนอกเข้าด้านใน

$$ \begin{aligned} \log_3 x &= 2^1 \quad \text{(ปลด } \log_2 \text{ ตัวนอกสุด)} \\ \log_3 x &= 2 \\ x &= 3^2 \quad \text{(ปลด } \log_3 \text{ ตัวในสุด)} \\ x &= 9 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\log_2(\log_3 x) = 1$ (Nested logarithms)

Un-log layer by layer from the outside in.

$$ \begin{aligned} \log_3 x &= 2^1 \quad \text{(Un-log outer } \log_2\text{)} \\ \log_3 x &= 2 \\ x &= 3^2 \quad \text{(Un-log inner } \log_3\text{)} \\ x &= 9 \end{aligned} $$

Example 1.6

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_5(x^2 - 4x + 4) = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x + 4 &= 5^0 \\ x^2 - 4x + 4 &= 1 \\ x^2 - 4x + 3 &= 0 \quad \text{(จัดรูปสมการกำลังสอง)} \\ (x - 3)(x - 1) &= 0 \\ x &= 3, 1 \end{aligned} $$

🔍 ตรวจสอบคำตอบ:

• แทน $x=3 \implies 3^2-4(3)+4 = 1 > 0$ (ผ่าน)
• แทน $x=1 \implies 1^2-4(1)+4 = 1 > 0$ (ผ่าน)

Solve for $x$ in $\log_5(x^2 - 4x + 4) = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x + 4 &= 5^0 \\ x^2 - 4x + 4 &= 1 \\ x^2 - 4x + 3 &= 0 \quad \text{(Form quadratic equation)} \\ (x - 3)(x - 1) &= 0 \\ x &= 3, 1 \end{aligned} $$

🔍 Check Solutions:

• Substitute $x=3 \implies 3^2-4(3)+4 = 1 > 0$ (Valid)
• Substitute $x=1 \implies 1^2-4(1)+4 = 1 > 0$ (Valid)

Example 1.7

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle \log_4 \sqrt{x+1} = \frac{1}{2}$

$$ \begin{aligned} \sqrt{x+1} &= 4^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{x+1} &= \sqrt{4} \\ \sqrt{x+1} &= 2 \\ x + 1 &= 2^2 \quad \text{(ยกกำลังสองทั้งสองข้าง)} \\ x + 1 &= 4 \\ x &= 3 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\displaystyle \log_4 \sqrt{x+1} = \frac{1}{2}$

$$ \begin{aligned} \sqrt{x+1} &= 4^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{x+1} &= \sqrt{4} \\ \sqrt{x+1} &= 2 \\ x + 1 &= 2^2 \quad \text{(Square both sides)} \\ x + 1 &= 4 \\ x &= 3 \end{aligned} $$

การแก้สมการโดยการทำฐานให้เท่ากัน Solving by Equating Bases

หากสมการทั้งสองฝั่งเป็นลอการิทึมที่มี ฐานเหมือนกัน เราสามารถสรุปได้ว่าตัวเลขหลังล็อกต้องเท่ากัน (สมบัติฟังก์ชัน 1-to-1)

$$\text{ถ้า } \log_a x = \log_a y \implies x = y$$

(มักต้องใช้สมบัติของลอการิทึม เช่น การบวก/ลบ ล็อก เพื่อยุบรวมให้เหลือ $\log$ ตัวเดียวในแต่ละฝั่งก่อน)

If both sides of the equation are logarithms with the same base, we can equate their arguments (due to the one-to-one property).

$$\text{If } \log_a x = \log_a y \implies x = y$$

(You often need to use log properties to condense multiple logs into a single log on each side first.)

Example 2.1

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_5(3x) = \log_5(x + 8)$

เมื่อฐานเป็น 5 เหมือนกันทั้งสองฝั่งแล้ว สามารถจับหลังล็อกมาเท่ากันได้เลย

$$ \begin{aligned} 3x &= x + 8 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\log_5(3x) = \log_5(x + 8)$

Since bases are the same (5), equate the arguments directly.

$$ \begin{aligned} 3x &= x + 8 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_2 x + \log_2(x - 2) = \log_2 8$

ใช้สมบัติ $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$ ยุบฝั่งซ้ายก่อน

$$ \begin{aligned} \log_2(x(x - 2)) &= \log_2 8 \\ x(x - 2) &= 8 \quad \text{(ตัด } \log_2 \text{ ออก)} \\ x^2 - 2x - 8 &= 0 \\ (x - 4)(x + 2) &= 0 \\ x &= 4, -2 \end{aligned} $$

ตรวจสอบคำตอบ: แทน $x = -2$ ใน $\log_2 x$ จะได้ $\log_2(-2)$ ซึ่งหลังล็อกติดลบ (ไม่มีนิยาม)

ดังนั้นคำตอบคือ $x = 4$ เท่านั้น

Solve for $x$ in $\log_2 x + \log_2(x - 2) = \log_2 8$

Use product property $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$ to condense left side.

$$ \begin{aligned} \log_2(x(x - 2)) &= \log_2 8 \\ x(x - 2) &= 8 \quad \text{(Drop } \log_2 \text{)} \\ x^2 - 2x - 8 &= 0 \\ (x - 4)(x + 2) &= 0 \\ x &= 4, -2 \end{aligned} $$

Check solutions: Substituting $x = -2$ into $\log_2 x$ gives $\log_2(-2)$, which is undefined.

Thus, the only valid solution is $x = 4$.

Example 2.3

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log(x + 3) - \log x = \log 4$

ใช้สมบัติ $\log_a m - \log_a n = \log_a(\frac{m}{n})$ (ลอการิทึมฐานสิบ)

$$ \begin{aligned} \log\left(\frac{x + 3}{x}\right) &= \log 4 \\ \frac{x + 3}{x} &= 4 \quad \text{(ฐานสิบเท่ากัน)} \\ x + 3 &= 4x \\ 3 &= 3x \\ x &= 1 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\log(x + 3) - \log x = \log 4$

Use quotient property $\log_a m - \log_a n = \log_a(\frac{m}{n})$ (Common log base 10)

$$ \begin{aligned} \log\left(\frac{x + 3}{x}\right) &= \log 4 \\ \frac{x + 3}{x} &= 4 \quad \text{(Bases are equal)} \\ x + 3 &= 4x \\ 3 &= 3x \\ x &= 1 \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_9 x = \log_3 2$

แปลงฐาน 9 ให้เป็นฐาน 3 โดยใช้สมบัติ $\log_{a^n} x = \frac{1}{n} \log_a x$

$$ \begin{aligned} \log_{3^2} x &= \log_3 2 \\ \frac{1}{2} \log_3 x &= \log_3 2 \\ \log_3 x^{\frac{1}{2}} &= \log_3 2 \quad \text{(ดันเลขหน้าล็อกขึ้นไปเป็นกำลัง)} \\ x^{\frac{1}{2}} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 2 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\log_9 x = \log_3 2$

Convert base 9 to base 3 using $\log_{a^n} x = \frac{1}{n} \log_a x$

$$ \begin{aligned} \log_{3^2} x &= \log_3 2 \\ \frac{1}{2} \log_3 x &= \log_3 2 \\ \log_3 x^{\frac{1}{2}} &= \log_3 2 \quad \text{(Move coefficient to exponent)} \\ x^{\frac{1}{2}} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 2 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาค่า $x$ จากสมการ $2\log x = \log 25$

ห้ามตัด $\log$ ทิ้งถ้ายังมีตัวเลขคูณอยู่ด้านหน้า ต้องย้ายไปเป็นเลขชี้กำลังก่อน

$$ \begin{aligned} \log x^2 &= \log 25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \end{aligned} $$

ตรวจสอบเงื่อนไขหลังล็อก ($x > 0$): ตัด $x = -5$ ทิ้ง ตอบ $x = 5$

Solve for $x$ in $2\log x = \log 25$

Do not drop the log if there's a coefficient. Move it to the exponent first.

$$ \begin{aligned} \log x^2 &= \log 25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \end{aligned} $$

Check condition ($x > 0$): Reject $x = -5$. Answer is $x = 5$

Example 2.6

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_7(x^2 - 5x) = \log_7 6$

$$ \begin{aligned} x^2 - 5x &= 6 \\ x^2 - 5x - 6 &= 0 \\ (x - 6)(x + 1) &= 0 \\ x &= 6, -1 \end{aligned} $$

ตรวจสอบ: $(6)^2-5(6) = 6 > 0$ และ $(-1)^2-5(-1) = 6 > 0$ ใช้ได้ทั้งคู่

Solve for $x$ in $\log_7(x^2 - 5x) = \log_7 6$

$$ \begin{aligned} x^2 - 5x &= 6 \\ x^2 - 5x - 6 &= 0 \\ (x - 6)(x + 1) &= 0 \\ x &= 6, -1 \end{aligned} $$

Check: Both $x=6$ and $x=-1$ yield $6 > 0$ in the argument. Both are valid.

Example 2.7

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\ln(2x - 1) = \ln(x + 5)$

$\ln$ คือลอการิทึมธรรมชาติ (Natural Logarithm) ฐาน $e$ ใช้หลักการเดียวกัน

$$ \begin{aligned} 2x - 1 &= x + 5 \\ 2x - x &= 5 + 1 \\ x &= 6 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\ln(2x - 1) = \ln(x + 5)$

$\ln$ is the natural logarithm (base $e$). The same principle applies.

$$ \begin{aligned} 2x - 1 &= x + 5 \\ 2x - x &= 5 + 1 \\ x &= 6 \end{aligned} $$

การแก้สมการโดยการเปลี่ยนตัวแปร Solving by Substitution

เมื่อสมการมีความซับซ้อน มักจะอยู่ในรูปสมการกำลังสอง (Quadratic Form) การสมมติตัวแปรใหม่ เช่น ให้ $A = \log_a x$ จะช่วยให้การจัดรูปและแยกตัวประกอบทำได้ง่ายขึ้นมาก

When equations are complex, they often appear in a Quadratic Form. Substituting a new variable, such as letting $A = \log_a x$, simplifies the algebraic manipulation and factoring process.

Example 3.1

จงหาค่า $x$ จากสมการ $(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } A &= \log_2 x \quad \text{จะได้สมการใหม่เป็น:} \\ A^2 - 5A + 6 &= 0 \\ (A - 2)(A - 3) &= 0 \\ A &= 2, 3 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับ $A = \log_2 x$ :

$$ \begin{aligned} \log_2 x = 2 &\implies x = 2^2 = 4 \\ \log_2 x = 3 &\implies x = 2^3 = 8 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0$

$$ \begin{aligned} \text{Let } A &= \log_2 x \quad \text{The equation becomes:} \\ A^2 - 5A + 6 &= 0 \\ (A - 2)(A - 3) &= 0 \\ A &= 2, 3 \end{aligned} $$

Substitute back $A = \log_2 x$ :

$$ \begin{aligned} \log_2 x = 2 &\implies x = 2^2 = 4 \\ \log_2 x = 3 &\implies x = 2^3 = 8 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาค่า $x$ จากสมการ $(\log x)^2 = 3\log x$

ระวังอย่าเพิ่งนำ $\log x$ ไปหารตลอด เพราะจะทำให้คำตอบสูญหาย ให้ย้ายข้างแล้วดึงตัวร่วมแทน

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } A &= \log x \\ A^2 &= 3A \\ A^2 - 3A &= 0 \\ A(A - 3) &= 0 \\ A &= 0, 3 \end{aligned} $$

🔄 แทนค่ากลับเพื่อหาค่า $x$:

• จาก $A = 0 \implies \log x = 0 \implies x = 10^0 = 1$
• จาก $A = 3 \implies \log x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$

Solve for $x$ in $(\log x)^2 = 3\log x$

Be careful not to divide by $\log x$ as you might lose a solution. Move to one side and factor.

$$ \begin{aligned} \text{Let } A &= \log x \\ A^2 &= 3A \\ A^2 - 3A &= 0 \\ A(A - 3) &= 0 \\ A &= 0, 3 \end{aligned} $$

🔄 Substitute back to solve for $x$:

• For $A = 0 \implies \log x = 0 \implies x = 10^0 = 1$
• For $A = 3 \implies \log x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$

Example 3.3

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log_3 x^2 - (\log_3 x)^2 = 0$

สังเกตความแตกต่าง: $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$ แต่ $(\log_3 x)^2$ คือยกกำลังทั้งก้อน

$$ \begin{aligned} 2\log_3 x - (\log_3 x)^2 &= 0 \\ \text{ให้ } A &= \log_3 x \\ 2A - A^2 &= 0 \\ A(2 - A) &= 0 \\ A &= 0, 2 \end{aligned} $$

🔄 แทนค่ากลับเพื่อหาค่า $x$:

• จาก $A = 0 \implies \log_3 x = 0 \implies x = 3^0 = 1$
• จาก $A = 2 \implies \log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$

Solve for $x$ in $\log_3 x^2 - (\log_3 x)^2 = 0$

Note the difference: $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$ but $(\log_3 x)^2$ squares the entire log.

$$ \begin{aligned} 2\log_3 x - (\log_3 x)^2 &= 0 \\ \text{Let } A &= \log_3 x \\ 2A - A^2 &= 0 \\ A(2 - A) &= 0 \\ A &= 0, 2 \end{aligned} $$

🔄 Substitute back to solve for $x$:

• For $A = 0 \implies \log_3 x = 0 \implies x = 3^0 = 1$
• For $A = 2 \implies \log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$

Example 3.4

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle \log_2 x - \frac{2}{\log_2 x} = 1$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } A &= \log_2 x \\ A - \frac{2}{A} &= 1 \\ A^2 - 2 &= A \quad \text{(นำ } A \text{ คูณตลอด)} \\ A^2 - A - 2 &= 0 \\ (A - 2)(A + 1) &= 0 \\ A &= 2, -1 \end{aligned} $$

🔄 แทนค่ากลับเพื่อหาค่า $x$:

• จาก $A = 2 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$
• จาก $A = -1 \implies \log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Solve for $x$ in $\displaystyle \log_2 x - \frac{2}{\log_2 x} = 1$

$$ \begin{aligned} \text{Let } A &= \log_2 x \\ A - \frac{2}{A} &= 1 \\ A^2 - 2 &= A \quad \text{(Multiply by } A\text{)} \\ A^2 - A - 2 &= 0 \\ (A - 2)(A + 1) &= 0 \\ A &= 2, -1 \end{aligned} $$

🔄 Substitute back to solve for $x$:

• For $A = 2 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$
• For $A = -1 \implies \log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Example 3.5

จงหาค่า $x$ จากสมการ $\displaystyle \log_2 x + \log_x 2 = \frac{5}{2}$

ใช้สมบัติการสลับฐาน $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } A &= \log_2 x \text{ จะได้ } \log_x 2 = \frac{1}{A} \\ A + \frac{1}{A} &= \frac{5}{2} \\ 2A^2 + 2 &= 5A \quad \text{(นำ } 2A \text{ คูณตลอด)} \\ 2A^2 - 5A + 2 &= 0 \\ (2A - 1)(A - 2) &= 0 \\ A &= \frac{1}{2}, 2 \end{aligned} $$

🔄 แทนค่ากลับเพื่อหาค่า $x$:

• จาก $A = \frac{1}{2} \implies \log_2 x = \frac{1}{2} \implies x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
• จาก $A = 2 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$

Solve for $x$ in $\displaystyle \log_2 x + \log_x 2 = \frac{5}{2}$

Use base swap property $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$

$$ \begin{aligned} \text{Let } A &= \log_2 x \text{ then } \log_x 2 = \frac{1}{A} \\ A + \frac{1}{A} &= \frac{5}{2} \\ 2A^2 + 2 &= 5A \quad \text{(Multiply by } 2A\text{)} \\ 2A^2 - 5A + 2 &= 0 \\ (2A - 1)(A - 2) &= 0 \\ A &= \frac{1}{2}, 2 \end{aligned} $$

🔄 Substitute back to solve for $x$:

• For $A = \frac{1}{2} \implies \log_2 x = \frac{1}{2} \implies x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
• For $A = 2 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$

Example 3.6

จงหาค่า $x$ จากสมการ $(\ln x)^2 + \ln x - 2 = 0$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } A &= \ln x \\ A^2 + A - 2 &= 0 \\ (A + 2)(A - 1) &= 0 \\ A &= -2, 1 \end{aligned} $$

🔄 แทนค่ากลับเพื่อหาค่า $x$:

• จาก $A = -2 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2}$
• จาก $A = 1 \implies \ln x = 1 \implies x = e^1 = e$

Solve for $x$ in $(\ln x)^2 + \ln x - 2 = 0$

$$ \begin{aligned} \text{Let } A &= \ln x \\ A^2 + A - 2 &= 0 \\ (A + 2)(A - 1) &= 0 \\ A &= -2, 1 \end{aligned} $$

🔄 Substitute back to solve for $x$:

• For $A = -2 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2}$
• For $A = 1 \implies \ln x = 1 \implies x = e^1 = e$

Example 3.7

จงหาค่า $x$ จากสมการ $2(\log_5 x)^2 - 7\log_5 x + 3 = 0$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } A &= \log_5 x \\ 2A^2 - 7A + 3 &= 0 \\ (2A - 1)(A - 3) &= 0 \\ A &= \frac{1}{2}, 3 \end{aligned} $$

🔄 แทนค่ากลับเพื่อหาค่า $x$:

• จาก $A = \frac{1}{2} \implies \log_5 x = \frac{1}{2} \implies x = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$
• จาก $A = 3 \implies \log_5 x = 3 \implies x = 5^3 = 125$

Solve for $x$ in $2(\log_5 x)^2 - 7\log_5 x + 3 = 0$

$$ \begin{aligned} \text{Let } A &= \log_5 x \\ 2A^2 - 7A + 3 &= 0 \\ (2A - 1)(A - 3) &= 0 \\ A &= \frac{1}{2}, 3 \end{aligned} $$

🔄 Substitute back to solve for $x$:

• For $A = \frac{1}{2} \implies \log_5 x = \frac{1}{2} \implies x = \sqrt{5}$
• For $A = 3 \implies \log_5 x = 3 \implies x = 125$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Logarithm	logos (ratio) + arithmos (number)	ลอการิทึม · ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
Argument	arguere (to make clear)	เลขหลังล็อก · ตัวแปรหรือตัวเลขที่อยู่ภายในฟังก์ชันลอการิทึม (ต้อง > 0)
Base	basis (foundation)	ฐาน · ตัวเลขห้อยที่เป็นฐานของลอการิทึม (ต้อง > 0 และ $\neq 1$)
Extraneous Solution	extra (outside) + solutio	คำตอบแปลกปลอม · คำตอบที่ได้จากการแก้สมการ แต่เมื่อนำไปแทนค่าในสมการตั้งต้นแล้วไม่เป็นจริง (ใช้ไม่ได้)
Substitution	sub- (in place of) + statuere (set up)	การเปลี่ยนตัวแปร · การสมมติตัวแปรใหม่เพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น