กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithmic Function) คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $y = \log_a x$ โดยที่ $a > 0$ และ $a \neq 1$ ซึ่งฟังก์ชันนี้เป็น ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ($y = a^x$) ลักษณะของกราฟจะถูกแบ่งออกเป็น 2 กรณีหลักๆ ขึ้นอยู่กับค่าของฐาน ($a$)

A Logarithmic Function is a function of the form $y = \log_a x$ where $a > 0$ and $a \neq 1$. It is the inverse function of the exponential function ($y = a^x$). The shape of its graph is primarily divided into two cases depending on the value of the base ($a$).

📈 กรณีฐาน $a > 1$ (ฟังก์ชันเพิ่ม) 📈 Base $a > 1$ (Increasing Function)

เมื่อค่าฐานของลอการิทึมมากกว่า $1$ กราฟที่ได้จะมีลักษณะเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม (Increasing Function)

ลักษณะกราฟ: เส้นโค้งชันขึ้นจากซ้ายไปขวา โดยกราฟจะเพิ่มขึ้นอย่างช้าๆ เมื่อค่า $x$ มีค่ามาก
โดเมน (Domain): $(0, \infty)$ หรือ $x > 0$
เรนจ์ (Range): $(-\infty, \infty)$ หรือ $\mathbb{R}$

When the base of the logarithm is greater than $1$, the resulting graph is an Increasing Function.

Graph characteristic: Slopes upward from left to right, increasing very slowly as $x$ becomes large.
Domain: $(0, \infty)$ or $x > 0$
Range: $(-\infty, \infty)$ or $\mathbb{R}$

ตัวอย่างกราฟ $y = \log_2 x$ (สีเขียว) Example graph of $y = \log_2 x$ (Green)

📉 กรณีฐาน $0 < a < 1$ (ฟังก์ชันลด) 📉 Base $0 < a < 1$ (Decreasing Function)

เมื่อค่าฐานของลอการิทึมอยู่ระหว่าง $0$ ถึง $1$ กราฟที่ได้จะมีลักษณะเป็น ฟังก์ชันลด (Decreasing Function)

ลักษณะกราฟ: เส้นโค้งลาดลงจากซ้ายไปขวา
โดเมน (Domain): $(0, \infty)$ หรือ $x > 0$
เรนจ์ (Range): $(-\infty, \infty)$ หรือ $\mathbb{R}$

When the base of the logarithm is between $0$ and $1$, the resulting graph is a Decreasing Function.

Graph characteristic: Slopes downward from left to right.
Domain: $(0, \infty)$ or $x > 0$
Range: $(-\infty, \infty)$ or $\mathbb{R}$

ตัวอย่างกราฟ $y = \log_{0.5} x$ (สีส้ม) Example graph of $y = \log_{0.5} x$ (Orange)

📍 จุดตัดและเส้นกำกับ (Asymptote) 📍 Intercepts and Asymptotes

สำหรับกราฟในรูปแบบมาตรฐาน $y = \log_a x$ จะมีคุณสมบัติที่สำคัญตายตัวดังนี้:

จุดตัดแกน $X$: กราฟจะตัดแกน $X$ ที่จุด $(1, 0)$ เสมอ (เนื่องจาก $\log_a 1 = 0$)
จุดตัดแกน $Y$: กราฟ ไม่มีจุดตัดแกน $Y$ (เนื่องจากไม่อนุญาตให้ $x = 0$)
เส้นแนวดิ่ง (Vertical Asymptote): แกน $Y$ (หรือเส้นตรง $x = 0$) ทำหน้าที่เป็นเส้นกำกับแนวดิ่ง ซึ่งกราฟจะโค้งเข้าใกล้เส้นนี้ไปเรื่อยๆ สู่อนันต์ แต่จะ ไม่มีวันสัมผัสหรือตัดผ่าน

For the standard graph form $y = \log_a x$, it possesses these fixed properties:

X-Intercept: The graph always intersects the X-axis at $(1, 0)$ (since $\log_a 1 = 0$).
Y-Intercept: The graph never intersects the Y-axis (since $x$ cannot be $0$).
Vertical Asymptote: The Y-axis (the line $x = 0$) acts as a vertical asymptote. The graph approaches this line infinitely but never touches or crosses it.

↔️ การเลื่อนขนานของกราฟลอการิทึม ↔️ Translation of Logarithmic Graphs

เมื่อฟังก์ชันถูกปรับเปลี่ยนให้อยู่ในรูป $y = \log_a (x-h) + k$ กราฟจะถูกเลื่อนขนานไปจากตำแหน่งเดิม:

$$ y = \log_a (x-h) + k $$

ค่า $h$ (เลื่อนซ้าย-ขวา): ส่งผลต่อโดเมนและเส้นกำกับแนวดิ่ง
- หากเป็น $(x - 2)$ กราฟเลื่อน ขวา 2 หน่วย (เส้นกำกับย้ายไปที่ $x = 2$)
- หากเป็น $(x + 3)$ กราฟเลื่อน ซ้าย 3 หน่วย (เส้นกำกับย้ายไปที่ $x = -3$)
ค่า $k$ (เลื่อนขึ้น-ลง): ส่งผลต่อจุดตัดแกน $X$
- หาก $k > 0$ กราฟเลื่อน ขึ้น
- หาก $k < 0$ กราฟเลื่อน ลง

When the function is modified into the form $y = \log_a (x-h) + k$, the graph undergoes translation:

$$ y = \log_a (x-h) + k $$

Value $h$ (Horizontal Shift): Affects the domain and the vertical asymptote.
- For $(x - 2)$, graph shifts right by 2 (asymptote moves to $x = 2$).
- For $(x + 3)$, graph shifts left by 3 (asymptote moves to $x = -3$).
Value $k$ (Vertical Shift): Affects the X-intercept position.
- If $k > 0$, graph shifts up.
- If $k < 0$, graph shifts down.

📝 ตัวอย่างการวิเคราะห์กราฟและการเลื่อนขนาน 📝 Examples of Graph Analysis & Translation

การวิเคราะห์สมการเพื่อหาโดเมน เส้นกำกับ และจุดตัดแกน ถือเป็นหัวใจสำคัญในการวาดกราฟลอการิทึม มาศึกษาผ่าน 7 ตัวอย่างนี้

Analyzing the equation to find the domain, asymptote, and intercepts is the core of graphing logarithmic functions. Let's study these 7 examples.

Example 5.1

จงหาโดเมนและสมการเส้นกำกับแนวดิ่งของฟังก์ชัน $y = \log_2(x - 3)$

เงื่อนไขของลอการิทึมคือ หลัง $\log$ ต้องมากกว่า 0 เสมอ

$$ \begin{aligned} \text{พิจารณาหลัง } \log: \quad x - 3 &> 0 \\ x &> 3 \\ \text{ดังนั้น โดเมนคือ } (3, \infty) & \\ \text{และเส้นกำกับแนวดิ่งคือเส้นตรง } x &= 3 \end{aligned} $$

Find the domain and vertical asymptote of $y = \log_2(x - 3)$

The argument of a logarithm must always be strictly greater than 0.

$$ \begin{aligned} \text{Consider the argument: } \quad x - 3 &> 0 \\ x &> 3 \\ \text{Thus, Domain is } (3, \infty) & \\ \text{and the vertical asymptote is } x &= 3 \end{aligned} $$

Example 5.2

จงหาจุดตัดแกน $X$ ของฟังก์ชัน $y = \log_3(x + 2) - 1$

หาจุดตัดแกน $X$ โดยการแทนค่า $y = 0$ แล้วแก้สมการ

$$ \begin{aligned} 0 &= \log_3(x + 2) - 1 \\ 1 &= \log_3(x + 2) \\ 3^1 &= x + 2 \quad \text{(แปลงเป็นรูปเลขยกกำลัง)} \\ 3 &= x + 2 \\ x &= 1 \end{aligned} $$

ดังนั้น จุดตัดแกน $X$ คือ $(1, 0)$

Find the X-intercept of the function $y = \log_3(x + 2) - 1$

Find the X-intercept by setting $y = 0$ and solving.

$$ \begin{aligned} 0 &= \log_3(x + 2) - 1 \\ 1 &= \log_3(x + 2) \\ 3^1 &= x + 2 \quad \text{(Convert to exponential form)} \\ 3 &= x + 2 \\ x &= 1 \end{aligned} $$

Thus, the X-intercept is $(1, 0)$

Example 5.3

ฟังก์ชัน $y = \log_{0.5}(x - 1) + 2$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลด และมีการเลื่อนขนานอย่างไรเมื่อเทียบกับ $y = \log_{0.5} x$

$$ \begin{aligned} &\text{1. เนื่องจากฐาน } a = 0.5 \text{ (อยู่ระหว่าง } 0 \text{ ถึง } 1\text{)} \\ &\text{ดังนั้นเป็น } \textbf{ฟังก์ชันลด} \\ &\text{2. มีพจน์ } (x - 1) \text{ แสดงว่ากราฟเลื่อนไปทาง } \textbf{ขวา 1 หน่วย} \\ &\text{3. มีพจน์ } + 2 \text{ ท้ายสมการ แสดงว่ากราฟเลื่อน } \textbf{ขึ้น 2 หน่วย} \end{aligned} $$

Is the function $y = \log_{0.5}(x - 1) + 2$ increasing or decreasing? How is it translated compared to $y = \log_{0.5} x$?

$$ \begin{aligned} &\text{1. Since the base } a = 0.5 \text{ (between } 0 \text{ and } 1\text{),} \\ &\text{it is a } \textbf{Decreasing function}. \\ &\text{2. The term } (x - 1) \text{ indicates a shift to the } \textbf{right by 1 unit}. \\ &\text{3. The } + 2 \text{ at the end indicates a shift } \textbf{upward by 2 units}. \end{aligned} $$

Example 5.4

จงหาจุดตัดแกน $Y$ ของฟังก์ชัน $y = \log_4(x + 16) - 2$ (ถ้ามี)

หาจุดตัดแกน $Y$ โดยการแทนค่า $x = 0$

$$ \begin{aligned} y &= \log_4(0 + 16) - 2 \\ y &= \log_4(16) - 2 \\ y &= \log_4(4^2) - 2 \\ y &= 2 - 2 \\ y &= 0 \end{aligned} $$

ดังนั้น จุดตัดแกน $Y$ คือ $(0, 0)$ (หมายความว่ากราฟตัดผ่านจุดกำเนิด)

Find the Y-intercept of $y = \log_4(x + 16) - 2$ (if any).

Find the Y-intercept by setting $x = 0$.

$$ \begin{aligned} y &= \log_4(0 + 16) - 2 \\ y &= \log_4(16) - 2 \\ y &= \log_4(4^2) - 2 \\ y &= 2 - 2 \\ y &= 0 \end{aligned} $$

Thus, the Y-intercept is $(0, 0)$ (meaning the graph passes through the origin).

Example 5.5

จงหาโดเมนและเส้นกำกับแนวดิ่งของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ $y = \ln(5 - x)$

จำไว้ว่า $\ln$ คือ $\log_e$ กฎของหลัง $\log$ ยังคงเหมือนเดิม

$$ \begin{aligned} \text{พิจารณาหลัง } \ln: \quad 5 - x &> 0 \\ -x &> -5 \\ x &< 5 \quad \text{(กราฟจะหันไปทางซ้าย)} \\ \text{ดังนั้น โดเมนคือ } (-\infty, 5) & \\ \text{และเส้นกำกับแนวดิ่งคือ } x &=5 \end{aligned} $$

Find the domain and vertical asymptote of the natural log function $y = \ln(5 - x)$.

Remember that $\ln$ is $\log_e$. The argument rule remains the same.

$$ \begin{aligned} \text{Consider argument: } \quad 5 - x &> 0 \\ -x &> -5 \\ x &< 5 \quad \text{(Graph opens to the left)} \\ \text{Thus, Domain is } (-\infty, 5) & \\ \text{and the vertical asymptote is } x &=5 \end{aligned} $$

Example 5.6

กราฟของฟังก์ชัน $y = \log x$ (ฐาน 10) ถูกเลื่อนขนานไปทางขวา 4 หน่วย และเลื่อนลงล่าง 3 หน่วย จงหาสมการของกราฟใหม่นี้

$$ \begin{aligned} \text{จากรูปแบบมาตรฐาน: } y &= \log_a (x - h) + k \\ \text{เลื่อนขวา 4 หน่วย} &\implies h = 4 \\ \text{เลื่อนลง 3 หน่วย} &\implies k = -3 \\ \text{แทนค่าในสมการจะได้: } y &= \log(x - 4) - 3 \end{aligned} $$

The graph of $y = \log x$ (base 10) is translated 4 units to the right and 3 units down. Find the new equation.

$$ \begin{aligned} \text{From standard form: } y &= \log_a (x - h) + k \\ \text{Shift right 4 units} &\implies h = 4 \\ \text{Shift down 3 units} &\implies k = -3 \\ \text{Substitute to get: } y &= \log(x - 4) - 3 \end{aligned} $$

Example 5.7

จงแสดงให้เห็นว่ากราฟของ $\displaystyle y = \log_2\left(\frac{x}{8}\right)$ มีความหมายเทียบเท่ากับการนำกราฟ $y = \log_2 x$ มาเลื่อนขนานลงล่าง 3 หน่วย

ใช้สมบัติของลอการิทึม: $\log_a(\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N$

$$ \begin{aligned} y &= \log_2\left(\frac{x}{8}\right) \\ y &= \log_2 x - \log_2 8 \\ y &= \log_2 x - \log_2(2^3) \\ y &= \log_2 x - 3 \end{aligned} $$

จะเห็นได้ว่าสมการสุดท้ายคือ $y = \log_2 x - 3$ ซึ่งตรงกับรูปแบบการเลื่อนลง 3 หน่วย ($k = -3$)

Show that the graph of $\displaystyle y = \log_2\left(\frac{x}{8}\right)$ is equivalent to translating the graph of $y = \log_2 x$ downwards by 3 units.

Use logarithm property: $\log_a(\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N$

$$ \begin{aligned} y &= \log_2\left(\frac{x}{8}\right) \\ y &= \log_2 x - \log_2 8 \\ y &= \log_2 x - \log_2(2^3) \\ y &= \log_2 x - 3 \end{aligned} $$

The final equation is $y = \log_2 x - 3$, which exactly matches a downward translation of 3 units ($k = -3$).

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้อง

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Logarithm	logos (proportion) + arithmos (number)	ลอการิทึม · ฟังก์ชันผกผันของการยกกำลัง ใช้หาว่าต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ค่าที่ต้องการ
Asymptote	a- (not) + sympiptein (to meet)	เส้นกำกับ · เส้นตรงที่กราฟพยายามเข้าใกล้ไปเรื่อยๆ สู่อนันต์ แต่จะไม่มีวันสัมผัสหรือตัดผ่านเส้นนั้น
Translation	trans- (across) + latus (carried)	การเลื่อนขนาน · การขยับกราฟหรือรูปเรขาคณิตไปในทิศทางต่างๆ โดยรักษารูปร่างและขนาดเดิมไว้
Domain	dominium (property, right)	โดเมน · เซตของค่า x ทั้งหมดที่เป็นไปได้ซึ่งทำให้ฟังก์ชันสามารถหาค่าได้ (สำหรับ log ต้องมากกว่า 0 เสมอ)
Intercept	inter- (between) + capere (to catch/take)	จุดตัด · จุดพิกัดที่กราฟเส้นโค้งหรือเส้นตรงลากผ่านและตัดกับแกนพิกัดฉาก (แกน X หรือ แกน Y)