การแก้อสมการลอการิทึมมีหลักการคล้ายกับการแก้อสมการเลขยกกำลัง คือต้องพิจารณา "ฐาน (Base)" ว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด นอกจากนี้สิ่งที่จะลืมไม่ได้เลยคือ "โดเมนของลอการิทึม" ซึ่งกำหนดไว้ว่าค่าหลังล็อกต้องมากกว่าศูนย์เสมอ
Solving logarithmic inequalities is similar to solving exponential inequalities. You must consider whether the "Base" represents an increasing or decreasing function. Crucially, you must never forget the "Domain of Logarithms," which strictly requires the argument inside the log to be greater than zero.
📌 ทฤษฎีบทและหลักการสำคัญ 📌 Core Principles & Theorems
ในการปลดล็อก (ตัดลอการิทึมทิ้ง) ต้องพิจารณาฐาน $a$ ดังนี้:
- 1. ฐาน $a > 1$ (ฟังก์ชันเพิ่ม): ไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
ถ้า $\log_a M > \log_a N$ จะได้ $M > N$ - 2. ฐาน $0 < a < 1$ (ฟังก์ชันลด): ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ
ถ้า $\log_a M > \log_a N$ จะได้ $M < N$
เนื่องจากลอการิทึม $\log_a X$ นิยามเฉพาะเมื่อ $X > 0$ ดังนั้นเมื่อคำนวณหาคำตอบเสร็จแล้ว ต้องนำคำตอบไปอินเตอร์เซก (Intersect) กับเงื่อนไขที่ว่า "ค่าหลังล็อกทุกตัวต้องมากกว่า 0" เสมอ
When dropping the logarithms, you must examine the base $a$:
- 1. Base $a > 1$ (Increasing Function): Keep
the inequality sign.
If $\log_a M > \log_a N$, then $M > N$. - 2. Base $0 < a < 1$ (Decreasing Function): Flip
the inequality sign.
If $\log_a M > \log_a N$, then $M < N$.
Since $\log_a X$ is only defined when $X > 0$, after finding the solution, you must ALWAYS intersect it with the condition that "every argument inside a log must be strictly greater than 0."
📝 ตัวอย่างการแก้อสมการลอการิทึม 📝 Logarithmic Inequality Examples
มาดูตัวอย่างการประยุกต์ใช้กฎทั้งสองข้อร่วมกับการตรวจสอบเงื่อนไขหลังล็อก
Let's look at examples applying both rules along with checking the log argument conditions.
จงแก้อสมการ $\log_2(x) > \log_2(5)$
ตรวจสอบเงื่อนไขหลังล็อก: $x > 0$
นำ $(x > 5) \cap (x > 0)$ จะได้คำตอบคือ $x > 5$ หรือ $(5, \infty)$
Solve the inequality $\log_2(x) > \log_2(5)$
Check log condition: $x > 0$
Intersect $(x > 5) \cap (x > 0)$ to get the final answer: $x > 5$ or $(5, \infty)$
จงแก้อสมการ $\log_{0.5}(x+1) < \log_{0.5}(4)$
ตรวจสอบเงื่อนไขหลังล็อก: $x+1 > 0 \implies x > -1$
นำ $(x > 3) \cap (x > -1)$ จะได้คำตอบคือ $x > 3$ หรือ $(3, \infty)$
Solve the inequality $\log_{0.5}(x+1) < \log_{0.5}(4)$
Check log condition: $x+1 > 0 \implies x > -1$
Intersect $(x > 3) \cap (x > -1)$ to get the final answer: $x > 3$ or $(3, \infty)$
จงแก้อสมการ $\log_3(2x-5) \le 2$
(แปลงค่าคงที่ $2$ ให้อยู่ในรูป $\log_3$)
ตรวจสอบเงื่อนไขหลังล็อก: $2x-5 > 0 \implies x > 2.5$
นำ $(x \le 7) \cap (x > 2.5)$ จะได้คำตอบคือ $2.5 < x \le 7$ หรือ $(2.5, 7]$
Solve the inequality $\log_3(2x-5) \le 2$
(Convert the constant $2$ into a $\log_3$ format)
Check log condition: $2x-5 > 0 \implies x > 2.5$
Intersect $(x \le 7) \cap (x > 2.5)$ to get the final answer: $2.5 < x \le 7$ or $(2.5, 7]$
จงแก้อสมการ $\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}(x-2) \ge -1$
ตรวจสอบเงื่อนไขหลังล็อก: $x-2 > 0 \implies x > 2$
นำ $(x \le 5) \cap (x > 2)$ จะได้คำตอบคือ $2 < x \le 5$ หรือ $(2, 5]$
Solve the inequality $\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}(x-2) \ge -1$
Check log condition: $x-2 > 0 \implies x > 2$
Intersect $(x \le 5) \cap (x > 2)$ to get the final answer: $2 < x \le 5$ or $(2, 5]$
จงแก้อสมการ $\log_5(x^2 - 4x) > \log_5(5)$
ตรวจสอบเงื่อนไขหลังล็อก: $x^2 - 4x > 0 \implies x(x-4) > 0$
เงื่อนไขโดเมนคือ $x < 0$ หรือ $x> 4$
นำ $(x < -1 \cup x> 5) \cap (x < 0 \cup x> 4)$
จะได้คำตอบสุดท้ายคือ $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$
Solve the inequality $\log_5(x^2 - 4x) > \log_5(5)$
Check log condition: $x^2 - 4x > 0 \implies x(x-4) > 0$
Domain condition is $x < 0$ or $x> 4$
Intersect $(x < -1 \cup x> 5) \cap (x < 0 \cup x> 4)$
to get final answer:
$(-\infty, -1) \cup (5,
\infty)$
จงแก้อสมการ $\log_{0.1}(3x-1) > \log_{0.1}(x+5)$
- 1) $3x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{3}$
- 2) $x+5 > 0 \implies x > -5$
จะได้คำตอบคือ $\frac{1}{3} < x < 3$ หรือ $\left(\frac{1}{3}, 3\right)$
Solve the inequality $\log_{0.1}(3x-1) > \log_{0.1}(x+5)$
- 1) $3x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{3}$
- 2) $x+5 > 0 \implies x > -5$
to get final answer: $\frac{1}{3} < x < 3$ or $\left(\frac{1}{3}, 3\right)$
จงแก้อสมการ $\log_2(x-1) + \log_2(x+2) \le 2$
(ใช้สมบัติลอการิทึมยุบผลบวกเป็นผลคูณก่อน)
- 1) $x-1 > 0 \implies x > 1$
- 2) $x+2 > 0 \implies x > -2$
- • เงื่อนไขร่วมคือ $x > 1$
จะได้คำตอบสุดท้ายคือ $1 < x \le 2$ หรือ $(1, 2]$
Solve the inequality $\log_2(x-1) + \log_2(x+2) \le 2$
(Use log properties to combine addition into multiplication first)
- 1) $x-1 > 0 \implies x > 1$
- 2) $x+2 > 0 \implies x > -2$
- • Common condition is $x > 1$
to get final answer: $1 < x \le 2$ or $(1, 2]$
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Prefix | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Logarithm | logos (ratio, proportion) + arithmos (number) | ลอการิทึม · ฟังก์ชันผกผันของเลขยกกำลัง |
| Inequality | in- (not) + aequalis (equal) | อสมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมาย >, <, ≥, หรือ ≤ |
| Base | basis (foundation) | ฐาน · ตัวเลขห้อยที่เป็นตัวกำหนดพฤติกรรมฟังก์ชันเพิ่มหรือลด |
| Increasing Function | in- (in, towards) + crescere (to grow) | ฟังก์ชันเพิ่ม · กรณีที่ฐาน a > 1 (เครื่องหมายอสมการคงเดิม) |
| Decreasing Function | de- (down) + crescere (to grow) | ฟังก์ชันลด · กรณีที่ฐาน 0 < a < 1 (ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ) |
| Intersect | inter- (between) + secare (to cut) | อินเตอร์เซก / ส่วนร่วม · การนำช่วงคำตอบมาหาพื้นที่ทับซ้อนกันเพื่อหาคำตอบที่แท้จริง |
| Condition | con- (together) + dicere (to speak) | เงื่อนไข · ข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์ (เช่น ค่าหลังล็อกต้องมากกว่า 0) |