ลอการิทึมสามัญและธรรมชาติ

ฟังก์ชันลอการิทึมสามารถมีฐานเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ (ที่ไม่ใช่ 1) ก็ได้ แต่ในทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ มีลอการิทึมอยู่ 2 ฐานที่ถูกใช้งานบ่อยที่สุดจนมีชื่อเรียกและสัญลักษณ์เฉพาะตัว นั่นคือ ลอการิทึมสามัญ (ฐาน 10) และ ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐาน $e$)

Logarithmic functions can have any positive real number (except 1) as a base. However, in mathematics, science, and engineering, there are two bases used so frequently that they have specific names and notations: the Common Logarithm (base 10) and the Natural Logarithm (base $e$).

📖 ลอการิทึมสามัญ (Common Logarithms) 📖 Common Logarithms

ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มี ฐานเป็น 10 เพื่อความสะดวกในการเขียน เราจะละการเขียนฐาน 10 เอาไว้

$$ \log_{10} x \quad \text{เขียนแทนด้วย} \quad \log x $$

ตัวอย่างเช่น $\log 100$ หมายถึง $\log_{10} 100$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ $2$ (เพราะ $10^2 = 100$)

A Common Logarithm is a logarithm with base 10. For convenience, the base 10 is usually omitted in writing.

$$ \log_{10} x \quad \text{is written as} \quad \log x $$

For example, $\log 100$ means $\log_{10} 100$, which equals $2$ (since $10^2 = 100$).

🔍 แมนทิสซา และ แคแรกเทอริสติก 🔍 Mantissa and Characteristic

การหาค่า $\log N$ ของจำนวนบวกใดๆ สามารถทำได้โดยเขียน $N$ ให้อยู่ในรูป สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ก่อน คือ $N = A \times 10^n$ โดยที่ $1 \le A < 10$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

$$ \begin{aligned} \log N &= \log (A \times 10^n) \\ &= \log A + \log 10^n \\ &= \log A + n \end{aligned} $$

$\log A$ เรียกว่า แมนทิสซา (Mantissa) ของ $\log N$ ซึ่งจะมีค่า $0 \le \text{Mantissa} < 1$ เสมอ (หาค่าได้จากตารางลอการิทึม)
$n$ เรียกว่า แคแรกเทอริสติก (Characteristic) ของ $\log N$ ซึ่งต้องเป็นจำนวนเต็มเสมอ

To find the value of $\log N$ for any positive number, first write $N$ in scientific notation as $N = A \times 10^n$, where $1 \le A < 10$ and $n$ is an integer.

$$ \begin{aligned} \log N &= \log (A \times 10^n) \\ &= \log A + \log 10^n \\ &= \log A + n \end{aligned} $$

$\log A$ is called the Mantissa of $\log N$. Its value is always $0 \le \text{Mantissa} < 1$ (found using log tables).
$n$ is called the Characteristic of $\log N$. It is always an integer.

Example 2.1

กำหนดให้ $\log 5.72 = 0.7574$ จงหาค่าของ $\log 572$ พร้อมระบุแคแรกเทอริสติกและแมนทิสซา

$$ \begin{aligned} \log 572 &= \log (5.72 \times 10^2) \\ &= \log 5.72 + \log 10^2 \\ &= 0.7574 + 2 \\ &= 2.7574 \\ \text{แมนทิสซา } &= 0.7574 \\ \text{แคแรกเทอริสติก } &= 2 \end{aligned} $$

Given $\log 5.72 = 0.7574$, find the value of $\log 572$ and identify the characteristic and mantissa.

$$ \begin{aligned} \log 572 &= \log (5.72 \times 10^2) \\ &= \log 5.72 + \log 10^2 \\ &= 0.7574 + 2 \\ &= 2.7574 \\ \text{Mantissa } &= 0.7574 \\ \text{Characteristic } &= 2 \end{aligned} $$

Example 2.2

กำหนดให้ $\log 5.72 = 0.7574$ จงหาค่าของ $\log 0.0572$

$$ \begin{aligned} \log 0.0572 &= \log (5.72 \times 10^{-2}) \\ &= \log 5.72 + \log 10^{-2} \\ &= 0.7574 + (-2) \\ &= -1.2426 \end{aligned} $$

Given $\log 5.72 = 0.7574$, find the value of $\log 0.0572$.

$$ \begin{aligned} \log 0.0572 &= \log (5.72 \times 10^{-2}) \\ &= \log 5.72 + \log 10^{-2} \\ &= 0.7574 + (-2) \\ &= -1.2426 \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาแคแรกเทอริสติกและแมนทิสซาของ $\log 0.00345$ (สมมติให้เปิดตารางได้ $\log 3.45 = 0.5378$)

$$ \begin{aligned} \log 0.00345 &= \log (3.45 \times 10^{-3}) \\ &= \log 3.45 + (-3) \\ \text{แมนทิสซา } &= 0.5378 \\ \text{แคแรกเทอริสติก } &= -3 \end{aligned} $$

(ข้อสังเกต: แมนทิสซาต้องเป็นบวกเสมอ ดังนั้นแมนทิสซาคือ 0.5378 ไม่ใช่การเอา -3 ไปบวกให้เสร็จก่อน)

Find the characteristic and mantissa of $\log 0.00345$ (Assume from table $\log 3.45 = 0.5378$).

$$ \begin{aligned} \log 0.00345 &= \log (3.45 \times 10^{-3}) \\ &= \log 3.45 + (-3) \\ \text{Mantissa } &= 0.5378 \\ \text{Characteristic } &= -3 \end{aligned} $$

(Note: The mantissa must always be positive. So the mantissa is 0.5378, before combining it with -3.)

Example 2.4

กำหนดให้ $\log 2 = 0.3010$ และ $\log 3 = 0.4771$ จงหาค่าของ $\log 600$

$$ \begin{aligned} \log 600 &= \log (6 \times 10^2) \\ &= \log (2 \times 3) + 2 \\ &= \log 2 + \log 3 + 2 \\ &= 0.3010 + 0.4771 + 2 \\ &= 2.7781 \end{aligned} $$

Given $\log 2 = 0.3010$ and $\log 3 = 0.4771$, find the value of $\log 600$.

$$ \begin{aligned} \log 600 &= \log (6 \times 10^2) \\ &= \log (2 \times 3) + 2 \\ &= \log 2 + \log 3 + 2 \\ &= 0.3010 + 0.4771 + 2 \\ &= 2.7781 \end{aligned} $$

Example 2.5

ถ้า $\log N = 3.5378$ และ $\log 3.45 = 0.5378$ จงหาค่า $N$ (การหาแอนติลอการิทึม)

$$ \begin{aligned} \log N &= 3 + 0.5378 \\ \log N &= \log 10^3 + \log 3.45 \\ \log N &= \log (3.45 \times 10^3) \\ N &= 3.45 \times 1000 \\ N &= 3450 \end{aligned} $$

If $\log N = 3.5378$ and $\log 3.45 = 0.5378$, find $N$ (Finding Antilogarithm).

$$ \begin{aligned} \log N &= 3 + 0.5378 \\ \log N &= \log 10^3 + \log 3.45 \\ \log N &= \log (3.45 \times 10^3) \\ N &= 3.45 \times 1000 \\ N &= 3450 \end{aligned} $$

Example 2.6 (⚠️ จุดที่ผิดบ่อย)

ถ้า $\log N = -1.4622$ และ $\log 3.45 = 0.5378$ จงหาค่า $N$

** เราไม่สามารถบอกว่าแมนทิสซาคือ -0.4622 ได้ เพราะแมนทิสซาต้องเป็นบวกเสมอ! ต้องจัดรูปใหม่โดยบวกเข้าและลบออกด้วยจำนวนเต็มที่เหมาะสม **

$$ \begin{aligned} \log N &= -1.4622 \\ &= (-2 + 2) - 1.4622 \quad \text{(ลบ 2 และบวก 2 เพื่อจัดรูป)} \\ &= -2 + (2 - 1.4622) \\ &= -2 + 0.5378 \quad \text{(ตอนนี้แมนทิสซาเป็นบวกแล้ว)} \\ \log N &= \log 10^{-2} + \log 3.45 \\ \log N &= \log (3.45 \times 10^{-2}) \\ N &= 0.0345 \end{aligned} $$

If $\log N = -1.4622$ and $\log 3.45 = 0.5378$, find $N$.

** We cannot say the mantissa is -0.4622 because the mantissa must be positive! We must rearrange by adding and subtracting an appropriate integer. **

$$ \begin{aligned} \log N &= -1.4622 \\ &= (-2 + 2) - 1.4622 \quad \text{(Subtract and add 2)} \\ &= -2 + (2 - 1.4622) \\ &= -2 + 0.5378 \quad \text{(Now the mantissa is positive)} \\ \log N &= \log 10^{-2} + \log 3.45 \\ \log N &= \log (3.45 \times 10^{-2}) \\ N &= 0.0345 \end{aligned} $$

Example 2.7

จงหาแคแรกเทอริสติกของ $\log 853000$ โดยไม่ต้องเปิดตาราง

$$ \begin{aligned} \text{เขียน } 853000 \text{ ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์:} \\ 853000 &= 8.53 \times 10^5 \\ \text{ดังนั้น แคแรกเทอริสติก } (n) \text{ คือ } 5 \end{aligned} $$

Find the characteristic of $\log 853000$ without using a table.

$$ \begin{aligned} \text{Write } 853000 \text{ in scientific notation:} \\ 853000 &= 8.53 \times 10^5 \\ \text{Thus, the characteristic } (n) \text{ is } 5 \end{aligned} $$

🍃 ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural Logarithms) 🍃 Natural Logarithms

ลอการิทึมธรรมชาติ หรือ ลอการิทึมแบบเนเปียร์ (Napierian Logarithm) คือ ลอการิทึมที่มี ฐานเป็น $e$ (โดยที่ $e$ เป็นจำนวนอตรรกยะ มีค่าประมาณ $2.71828$)

$$ \log_e x \quad \text{นิยมเขียนแทนด้วย} \quad \ln x $$

การหาค่าลอการิทึมธรรมชาติ สามารถใช้สมบัติการเปลี่ยนฐานเพื่อคำนวณผ่านลอการิทึมสามัญได้ดังนี้:

$$ \ln x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} e} \approx \frac{\log x}{0.4343} \approx 2.3026 \log x $$

A Natural Logarithm or Napierian Logarithm is a logarithm with base $e$ (where $e$ is an irrational number, approximately $2.71828$).

$$ \log_e x \quad \text{is written as} \quad \ln x $$

To evaluate natural logarithms, we can use the change-of-base formula to compute them via common logarithms:

$$ \ln x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} e} \approx \frac{\log x}{0.4343} \approx 2.3026 \log x $$

Example 3.1

จงหาค่าของ $\ln e$

$$ \begin{aligned} \ln e &= \log_e e \\ &= 1 \quad \text{(สมบัติ } \log_a a = 1\text{)} \end{aligned} $$

Evaluate $\ln e$

$$ \begin{aligned} \ln e &= \log_e e \\ &= 1 \quad \text{(Property } \log_a a = 1\text{)} \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาค่าของ $\ln e^5$

$$ \begin{aligned} \ln e^5 &= 5 \ln e \\ &= 5(1) \\ &= 5 \end{aligned} $$

Evaluate $\ln e^5$

$$ \begin{aligned} \ln e^5 &= 5 \ln e \\ &= 5(1) \\ &= 5 \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาค่าของ $\ln \sqrt{e}$

$$ \begin{aligned} \ln \sqrt{e} &= \ln (e^{\frac{1}{2}}) \\ &= \frac{1}{2} \ln e \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\ln \sqrt{e}$

$$ \begin{aligned} \ln \sqrt{e} &= \ln (e^{\frac{1}{2}}) \\ &= \frac{1}{2} \ln e \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาค่าของ $e^{\ln 7}$

$$ \begin{aligned} e^{\ln 7} &= e^{\log_e 7} \\ &= 7 \quad \text{(สมบัติ } a^{\log_a x} = x\text{)} \end{aligned} $$

Evaluate $e^{\ln 7}$

$$ \begin{aligned} e^{\ln 7} &= e^{\log_e 7} \\ &= 7 \quad \text{(Property } a^{\log_a x} = x\text{)} \end{aligned} $$

Example 3.5

จงหาค่าประมาณของ $\ln 10$ (กำหนดให้ $\log e \approx 0.4343$)

$$ \begin{aligned} \ln 10 &= \frac{\log 10}{\log e} \\ &\approx \frac{1}{0.4343} \\ &\approx 2.3026 \end{aligned} $$

Find the approximate value of $\ln 10$ (Given $\log e \approx 0.4343$).

$$ \begin{aligned} \ln 10 &= \frac{\log 10}{\log e} \\ &\approx \frac{1}{0.4343} \\ &\approx 2.3026 \end{aligned} $$

Example 3.6

จงแก้สมการ $\ln x = 2$

$$ \begin{aligned} \log_e x &= 2 \\ x &= e^2 \quad \text{(เปลี่ยนรูปสมการลอการิทึมเป็นเลขยกกำลัง)} \\ x &\approx (2.718)^2 \\ x &\approx 7.389 \end{aligned} $$

Solve the equation $\ln x = 2$.

$$ \begin{aligned} \log_e x &= 2 \\ x &= e^2 \quad \text{(Convert logarithmic to exponential form)} \\ x &\approx (2.718)^2 \\ x &\approx 7.389 \end{aligned} $$

Example 3.7

จงเขียน $\ln 8 + \ln 2 - 2\ln 4$ ให้อยู่ในรูปผลสำเร็จ

$$ \begin{aligned} \ln 8 + \ln 2 - 2\ln 4 &= \ln (8 \times 2) - \ln (4^2) \\ &= \ln 16 - \ln 16 \\ &= 0 \end{aligned} $$

Simplify $\ln 8 + \ln 2 - 2\ln 4$.

$$ \begin{aligned} \ln 8 + \ln 2 - 2\ln 4 &= \ln (8 \times 2) - \ln (4^2) \\ &= \ln 16 - \ln 16 \\ &= 0 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Common Logarithm	communis (shared) + logos (ratio) + arithmos (number)	ลอการิทึมสามัญ · ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 ซึ่งถูกใช้ร่วมกันเป็นมาตรฐานในระบบเลขฐานสิบ
Natural Logarithm	natura (birth, nature) + logarithm	ลอการิทึมธรรมชาติ · ลอการิทึมที่มีฐานเป็น e ซึ่งปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในเรื่องการเติบโตและการสลายตัว
Mantissa	Etruscan origin, meaning "addition" or "makeweight"	แมนทิสซา · ส่วนที่เป็นเศษส่วนทศนิยม (ค่าบวกเสมอ) ของลอการิทึมสามัญ
Characteristic	kharaktēr (engraved mark)	แคแรกเทอริสติก · ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของลอการิทึมสามัญ ซึ่งเป็นตัวบ่งชี้ขนาด (จำนวนหลัก) ของตัวเลข
Euler's Number (e)	Named after Leonhard Euler	จำนวนออยเลอร์ (e) · ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828